Corrigé du DL n 3

Lycée St-Joseph de Tivoli
Première S
Octobre 2014
Corrigé du DL n°3
- Problème ouvert avec prise d’initiative -
Énoncé.
L’arche d’un pont a la forme d’une parabole s’appuyant sur deux points au sol distants de 160 mètres.
Le sommet de la parabole est à une hauteur de 80 mètres.
Déterminer la hauteur de l’arche à 16 mètres du bord.
........................................................................................................
Une solution. Notons f : x ∈ [ 0 ; 160 ] 7→ ax2 + bx + c le polynôme de degré dont la représentation
graphique est la parabole Cf de sommet S que forme l’arche du pont.
Par hypothèses, on a f (0) = 0 et f (160) = 0.
De plus les points O (0 ; 0) et A (160 ; 0) de
S
80
la parabole Cf ont la même ordonnée et sont
Cf
70
donc symétriques par rapport à l’axe de sy60
métrie de la parabole, c-à-d la droite d’équa50
tion x = xS . Il suit donc que xS = 80 puis
40
que f (80) = 80.
30
On dispose alors du système suivant :
b






20
f (0) = 0
10
O
(⋆)  f (160) = 0 .





−10
−10
f (80) = 80







c=0
b







A
b
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
c=0







c=0







c=0
Or, (⋆) ⇔  a × 1602 + b × 160 + c = 0 ⇔  a × 160 + b = 0 ⇔  a × 160 + b = 0 ⇔  b = 2
















 a=−1
 80a = −1
 a × 80 + b+ = 1
 a × 802 + b × 80 + c = 80
80
1 2
x + 2x.
80
Pour répondre à la question posée, il ne reste plus qu’à calculer alors f (16).
1
f (16) = − × 162 + 2 × 16 = 28, 8.
80
C’est donc qu’à 16 mètres du bord, la hauteur de l’arche est de 28,8 mètres.
Par suite, f : x ∈ [ 0 ; 160 ] 7→ −
⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
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LATEX 2ε