TD: Parabole de sécurité

TD: Parabole de sécurité
1 Position du problème
Soit un obus lancé avec une vitesse initiale de 30 m.s−1 vers le haut avec un angle de θ0 par rapport à
l’horizontale. On néglige le frottement de l’air.
1. Tracer les différentes trajectoires en faisant varier l’angle θ0 de 0 à 90◦ . Vérifier qu’un point cible peut être
atteint pour deux angles θ0 (tir tendu et tir en cloche).
2. Tracer l’enveloppe de ces trajectoires (appelée parabole de sécurité).
Solution
~
1. Système: l’obus; référentiel: lié à la Terre (supposé
bilan:
galiléen);
• poids P
••
x=0
x = v0 . cos θ0
Le principe fondamental de la dynamique s’écrit: ••
⇒ •
z
=
−g
z = −g.t + v0 . sin θ0
x = v0 . cos θ0 .t
⇒
.
z = − 21 .g.t2 + v0 . sin θ0 .t
On obtient l’équation paramétrique d’une parabole.
L’impact sur le sol a lieu à t = 2.v0 .gsin θ0 , en x = 2.v02 . sin θ0 . cos θ0 /g.
2
x
2. L’équation cartésienne de la parabole s’obtient en éliminant t; on a: z = − 21 .g. v2 . cos
2 θ + tan θ0 .x.
0
1
cos2 θ0 sous la forme:
2.v 2
z.2.v 2
tan θ0 . g.x0 + (1 + g.x20 )
En écrivant
0
1 + tan2 θ0 . On trouve une équation du second degré en tan θ0 :
tan2 θ0 −
= 0.
Cette équation admet 2 solutions (tir tendu et tir en cloche) lorsque l’on se trouve à l’intérieur de la parabole
de sécurité; aucune solution, lorsqu’on est à l’extérieur et une seule solution, lorsqu’on se trouve sur la
parabole de sécurité.
2 2
2 2
2
2.v
z.2.v 2
v0
z.2.v 2
v02
Le discriminant s’annule pour: g.x0
= 4.(1 + g.x20 ) ⇒ g.x
− 1 = g.x20 ⇒ z = 2.g
− g.x
.
2.v 2
0
2 Code avec Mathematica
Parabole de sécurité
In[1]:= g=9.81;v0=30;theta=.; x=.;y=.;z=.;t=.; ax=0; vx0=v0*Cos[theta];x0=0.;
az=-g;vz0=v0*Sin[theta];z0=0.; x=vx0*t+x0;z=.5*az*t^2+vz0*t+z0; Graph={};
For[i=.5,i<=9,i+=.5,theta=i*10 Degree;
Graph=Insert[Graph,ParametricPlot[{x,z},{t,0,N[2 vz0/g]}],1]]; Show[Graph]
Out[8]= -Graphics-
In[9]:= Securite=Plot[-g*x^2/(2 v0^2)+v0^2/(2*g),{x,0,v0^2/g}]
In[10]:= Show[Graph,Securite]
1
ISEN-Brest. Kany.
TD: Parabole de sécurité
Out[10]= -Graphics-
3 Code avec Python
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
50
40
z [m]
30
20
10
00
20
40
x [m]
60
80
100
2