Modèles et formulation faible pour l`élasticité compressible non

B. Després
(JLL)
Recherche
initiée au
CEA
Modèles et formulation faible pour l’élasticité
compressible non linéaire avec plasticité
B. Després (JLL)
Recherche initiée au CEA
Modèles et formulation faible pour l’élasticité compressible non linéaire avec plasticité
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σ
Matériaux (solides, métaux) en dynamique rapide
plastique
elastique
F
Introduction
Dynamique, compressible
Des ondes se propagent
6= Quasi-statique
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Formulations
hyperélastiques
Conclusions
(copyright Cea)
Modèles et formulation faible pour l’élasticité compressible non linéaire avec plasticité
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Un résultat dans de la calcite
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Formulations
hyperélastiques
Conclusions
cf. Drumeheller
Modèles et formulation faible pour l’élasticité compressible non linéaire avec plasticité
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Autres résultats (LANL shock data profile)
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe







1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Formulations
hyperélastiques
Conclusions
|s|=0
|s|=k
Precurseur elastique
|s|=k
Choc plastique
Explication
au niveau


microscopique




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Impact de Taylor
|s|=0
|s|=k
|s|=k
Precurseur elastique
Choc plastique
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
C’est l’impact d’un projectile (cuivre par exemple) sur un mur
1.2
1
0.8
0.6
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
0.4
0.2
Formulations
hyperélastiques
0
-0.2
Conclusions
0
1
2
3
4
5
Calcul thèse Gilles Kluth.
Les bourrelés et la position d’arrêt dépendent de la plasticité du
matériau.
Approche plus macroscopique.
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Point de départ de la modélisation
|s|=0
|s|=k
|s|=k
Precurseur elastique
Choc plastique
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Formulations
hyperélastiques
Conclusions
Le modèle de Wilkins : couplage fluide-élasticité linéarisé
En dimension 3 d’espace


 ∂t ρ +∇.(ρu) = 0,



σ = −pI +s,
 ∂t ρu +∇.(ρu ⊗ u + pI −s) = 0,
∂t ρe +∇.(ρup + pu−s u) = 0,


tr(s) = 0,
∂t ρs +∇.(ρu ⊗ s) − 2αD = ρJ,



1
1

D ij = 2 (∂i uj + ∂j ui ) − 3 ∇.u, tr(D) = 0.
La dérivée objective (de Jaumann) permet d’obtenir
l’invariance par rotation


3
X
∂u
1
∂u
j
i
sip ϕpj + spj ϕpi  , ϕ =
J = −
−
.
2 ∂xj
∂xi i,j
p=1
i,j
Le modèle est non conservatif à cause de J : l’analyse des
solutions discontinues est problématique.
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p. 6 / 28
Simplification en 1D : J disparait
|s|=0
|s|=k
|s|=k
Precurseur elastique
Choc plastique
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Formulations
hyperélastiques
Conclusions

∂t ρ




∂
t ρu




 ∂t ρs11
∂t ρs22



∂t ρs33




 ∂t ρs23

∂t ρe
+∂x (ρu) = 0,
+∂x (ρu 2 + p − s1 ) = 0,
p = p(τ, ε), τ = ρ1 ,
+∂x (ρus11 − 43 αu) = 0,
+∂x (ρus22 + 23 αu) = 0,
+∂x (ρus33 + 23 αu) = 0,
s11 + s22 + s33 = 0,
+∂x (ρus23 ) = 0,
+∂x (ρue + pu − s1 u) = 0.
1
2 + s 2 + s 2 + 2s 2 ).
L’énergie totale est e = ε + 12 u 2 + 4α
(s11
22
33
23
Le coefficient est α ≈ ρµ où µ est le coefficient de Lamé,
donné dans les tables.
Soit un système de lois de conservation ∂t U + ∂x f (U) = 0, U ∈ Rn , muni d’un couple entropie strictement
convexe-flux d’entropie U 7→ (S, G ) ∈ R2 : ∇G = ∇S∇f , ∇2 S > 0. La condition d’entropie est
∂t S(U) + ∂x G (U) ≤ 0.
Les solutions discontinues (σ, UG , UD ) se déterminent grâce à la relation de Rankine Hugoniot
−σ(UD − UG ) + f (UD ) − f (UG ) = 0,
−σ(S(UD ) − S(UG )) + G (UD ) − G (UG ) ≤ 0.
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Plasticité parfaite
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Formulations
hyperélastiques
Conclusions
Critère de type Von Mises (cf Drumheller) : |s| ≤ C
Y2
2
2
2
2
s ∈ K = s1 + s2 + s3 + 2σ23 ≤
, Y acier = 900 Mpa.
3
D’où le système de retour radial

∂t ρ + ∂x (ρu)




∂t ρu + ∂x (ρu 2 + p − s11 )



4


 ∂t ρs11 + ∂x (ρus11 − 3 αu)
2
∂t ρs22 + ∂x (ρus22 + 3 αu)


∂t ρs33 + ∂x (ρus33 + 23 αu)




∂t ρs23 + ∂x (ρus23 )




∂t ρe + ∂x (ρue + pu − s11 u)
de Maxwell : C(K ) = Rn − K
= 0,
= 0,
= −IC(K ) (s) sλ11 ,
= −IC(K ) (s) sλ22 ,
= −IC(K ) (s) sλ33 ,
= −IC(K ) (s) sλ23 ,
= −IC (K )(s)
2 +s 2 +s 2 +2s 2
s111
22
33
23
2αλ
≤ 0.
Pour λ → 0 : plasticité parfaite.
Pour λ > 0 : visco-élasto-plasticité.
Modèles et formulation faible pour l’élasticité compressible non linéaire avec plasticité
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Limite formelle pour s ∈ ∂K
• Pour simplifier prenons K = {|U|2 ≤ 1} et considérons
∂t Uλ + ∂x f (Uλ ) = −IC(K ) (Uλ )
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Formulations
hyperélastiques
Uλ
λ
.
Supposons la contrainte active IC(K ) (Uλ ) ≡ 1. Alors
∂t
|Uλ |2
2
+ Uλ · ∂x f (Uλ ) = −
|Uλ |2
λ
=⇒
1
λ
≈ −U · ∂x f (U).
D’où le système limite non conservatif ∂t U + ∂x f (U) = (U · ∂x f (U)) U,
∂t U + (I − U ⊗ U) ∂x f (U) = 0.
Le terme non conservatif est un multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte U ∈ K .
• Il y a un problème fondamental pour la définition de la solution du problème de Riemann (existence,
unicité). Les relations de Rankine Hugoniot ne peuvent pas s’écrire.
U
0
Conclusions
U
D
U
G
x
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Littérature
Première référence en dynamique : Courant-Friedrichs (Supersonic flows and shock waves, 1948)
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Formulations
hyperélastiques
Conclusions
Statique ou lentement variable
Duvaut-Lions (Variational inequalities in physics, 1972), Suquet (ex : Un espace fonctionnel pour les
équations de la plasticité ≥ 1972), Ciarlet, Teman, . . ., , Dalmaso et al (ex : A vanishing viscosity
approach to quasistatic evolution in plasticity with softening 2008)
Dynamique : école américaine
Wilkins (Computer simulation of dynamic phenomena, 1999), Drumheller (Introduction to wave
propagation in nonlinear fluids and solids, 1998), Sharp-Plohr (A conservative formulation for
plasticity, 1992)
Dynamique : école russe
Godounov (Elements of mechanics of continuous media and conservation laws, 1998),
Kulikovski-Pogorelov-Semenov (2001), Kaudarov (1982), Sadovskii (Hyperbolic variational
inequalities in problems of the dynamics of elastoplastic flows 1992).
Dynamique : école française (et aussi italienne)
Colombo-Leroux (Multiplications of distributions in elasticity and hydrodynamics, 1988), Rascle
(Elasto-Plasticity, 1996), Lefloch-Dalmaso-Murat (Definition and weak stability of non conservative
products, 1995), Bouchut-Berthelin (Weak solutions for a hyperbolic system with unilateral
constraint and mass loss, 2003)
Renouveau numérique
Toro et al. (≥ 2004), Barton et al. (JCP 2009), Collela-Miller (JCP 2004), Miller (2003),
Trangenstein-Colella (A higher-order Godunov method for modeling finite deformation in
elastic-plastic solids, 2008)
Modèles et formulation faible pour l’élasticité compressible non linéaire avec plasticité
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W
Cadre théorique
Π(W)
K
• Système de lois de conservation ∂t U + ∂x f (U) = 0, U ∈ Rn ,
avec une entropie S : ∂t S(U) + ∂x G (U) ≤ 0
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Formulations
hyperélastiques
• Soit une contrainte convexe pour la variable entropique
V ∈ K,
V ≡ ∇S(u).
En supposant que la relaxation est instantanée et compatible
avec l’entropie, le système limite s’écrit sous forme forte
∂t U − ΠU (−∂x f (U)) = 0, V ∈ K .
Conclusions
• Soit W ∈ Rn et ΠU (W ) ∈ TU la projection de W ∈ Rn sur
le cône des directions admissibles (HU = ∇2 S(U)) TU
Déf. :
(W − ΠU (W ), HU (Z − ΠU (W ))) ≤ 0,
∀Z ∈ TU .
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p. 11 / 28
W
Formulation faible avec contrainte saturée
Π(W)
K
Soit une suite de solutions visqueuses (régulières) avec un
tenseur de viscosité M = M t ≥ 0, constant pour simplifier
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Formulations
hyperélastiques
∂t Uν − ΠU (−∂x f (Uν ) + ν∂x M∂x Vν ) = 0, Vν (x, t) ∈ K .
Théorème(D. 2007) Si Uν → U presque partout et est borné
L∞ , alors
Z Z
−
(S(U)∂t ϕ + F (U)∂x ϕ) dxdt
x
Conclusions
Z Z
+
x
t
U, V̄ ∂t ϕ + f (U), V̄ ∂x ϕ dxdt ≤ 0
t
pour tout vecteur test V̄ ∈ K et toute fonction test ϕ ∈ C01 . De
plus V ∈ K p.p.
C’est une formulation faible sans multiplicateur.
Modèles et formulation faible pour l’élasticité compressible non linéaire avec plasticité
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V(t,x)
t
Z’
Z
Preuve évidente (calcul) : Uν = U pour simplifier
On prend W = −∂x f (U) + ν∂x M∂x V et ∂t U = ΠU W . Donc
(−∂x f (U) + ν∂x M∂x V − ∂t U, HU (Z − ∂t U)) ≤ 0
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
pour tout Z ∈ TU . On a HU ∂t U = ∂t V . Posons HU Z = Z 0 (t, x)
“
”
0
−∂x f (U) + ν∂x M∂x V − ∂t U, Z − ∂t V ≤ 0,
0
∀Z .
Choisissons Z 0 = ∂t V + Z ” = ∂t V + (V − V )ϕ pour V ∈ K et tout ϕ ≥ 0, ce qui est autorisé car le
cône des directions admissibles est un demi-espace pour tout U.
Donc
“
”
−∂x f (U) + ν∂x M∂x V − ∂t U, V − V ϕ ≤ 0.
La condition de compatibilité V = ∇S permet de recomposer
“
Formulations
hyperélastiques
“
”
− ∂t U + ∂x f (U) − ν∂x (M∂x V ), V
+ ∂t S(U) + ∂x F (U)
Conclusions
−ν ∂x (V , M∂x V ) + ν (∂x V , M∂x V ) ) ϕ ≤ 0.
Donc
“
“
”
∂t S(U) + ∂x F (U) − ∂t U + ∂x f (U), V
“
”
”
−ν ∂x (M∂x V ), V − ν∂x (V , M∂x V )
ϕ
≤ − ((∂x V , M∂x V ) ) ϕ ≤ 0.
Puis on intègre le membre de gauche par partie. CQFD
Modèles et formulation faible pour l’élasticité compressible non linéaire avec plasticité
p. 13 / 28
V(t,x)
t
Z’
Autres résultats
Z
Si la solution faible est régulière c’est une solution forte.
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Formulations
hyperélastiques
Conclusions
Le problème fort avec contrainte saturée, V (x, t) ∈ ∂K
presque partout, est hyperbolique. Preuve très proche de
Chen-Lervermore-Liu 1994.
Les solutions faibles discontinues vérifient les conditions de
Rankine Hugoniot faibles : VG , VD ∈ K , σ ∈ R,
−σ(SD − SG ) + FD − FG
− −σ(UD − UG ) + fD − fG , V ≤ 0, ∀V ∈ K .
RHF similaire à une transformée de Legendre.
Question 1 : Existence et unicité des solutions faibles pour f
donné et K donné.
Question 2 : Discussion de la condition algébrique RHF.
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K affine : K = Vect (Z1 , · · · , Zp ) avec p < n
Introduction
• Les discontinuités admissibles sont données par p lois de conservation dans un espace de dimension p

−σ(SD − SG ) + (FD − FG ) ≤ 0,
− (−σ(UD − UG ) + (fD − fG ), Zi ) = 0,
1 ≤ i ≤ p.
R
• Proposition Le minimum de minU S(U) avec (U, Zi ) = αi donné est atteint si il existe pour V ∈ K (=
Méthodes des moments de Chen-Lervermore-Liu (94)= Méthodes des sous systèmes de Boillat-Ruggieri
(94)).
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Formulations
hyperélastiques
Conclusions
L(U, λ) = S(U) −
X
„Z
«
(U, Zi ) − αi
λi
⇒V −
i
X
λZi = 0.
i
• Exemple en dimension finie : Euler isotherme
8
+∂x (ρu) = 0,
>
> ∂t ρ
<
∂t ρu
+∂x (ρu 2 + p(ρ, T )) = 0,
+∂x (ρue + p(ρ, T )u) = 0,
> ∂t ρe
>
:
contrainte
V3 = − T1 = −C

∂t ρ
∂t ρu
⇒
+∂x (ρu) = 0,
+∂x (ρu 2 + p(ρ, C1 )) = 0.
• Le modèle M1 (dimension infinie) ∂t I + cΩ · ∇I = ”0”, |Ω| = 1, avec
S = ν 2 (n log n − (n + 1) log(n + 1)) , n = I3
ν
0
S =
(
∂
∂t
∂
∂t
1
ν
log
n
n+1
ν3
∈ Vect(1, Ω) ⇒ Planckienne généralisée : I =
Er + c∇Fr = 0,
Fr + c∇Pr = 0,
e
avec Pr = Er
˛ ˛2
˛ ˛
et le facteur d’Eddington donné par χ = (3 + 4 ˛~
f˛ )
1−χ
2
I+
r
5+2
ν (1+b·Ω
T
f ⊗~
f
3χ − 1 ~
2
|~
f |2
,
−1
!
,
~
f =
Fr
Er
!
˛ ˛2 −1
˛ ˛
4 − 3 ˛~
f˛
.
Modèles et formulation faible pour l’élasticité compressible non linéaire avec plasticité
p. 15 / 28
Seguin-Lagoutière-D. 2010
Soit Ai = Ati ∈ Rn×n et S =
|U|2
2 .
Soit le système linéaire
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Formulations
hyperélastiques
∂t u +
X
Ai ∂xi u = ”0”, plus une contrainte u = v = K ⊂ Rn .
i
Soit la formulation faible contrainte
#
Z Z " 2
X u · (Ai u)
|u|
− z · u ∂t ϕ +
− z · (Ai u) ∂xi ϕ
2
2
x t
i
Conclusions
Z −
x
|u0 |2
− z · u0 ϕ0 ≤ 0,
2
∀z ∈ K and ∀ϕ ∈ C01,+ .
Théorème : Soit une donnée initiale u0 ∈ L2loc (K ). Il existe une
unique solution faible contrainte u ∈ C([0, T ] : L2loc (K )).
1 (K ), alors u ∈ C([0, T ] : H 1 (K )).
Si u0 ∈ Hloc
loc
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p. 16 / 28
Idée de la preuve
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Formulations
hyperélastiques
Conclusions
Utiliser la formulation symétrisée
#
Z Z "
X
1
2
|u − z| ∂t ϕ +
(u − z), Ai (u − z)) ∂xi ϕ
2 t x
i
+
1
2
Z
|u0 − z|2 ϕ(0) ≥ 0,
∀z ∈ K , ∀ϕ ≥ 0.
x
Obtenir l’unicité en généralisant l’approche
”Kruzkov-Kuztnetsov”. Le résultat est multiD.
Construire une solution par un schéma numérique.
On montre que ku ε − ukL2 → 0
∂t u ε +
X
i
1
Ai ∂xi u ε = (PK u ε − u ε ).
ε
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p. 17 / 28
Exemple de schéma sur les ondes
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
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1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Formulations
hyperélastiques
•
Première étape : On résout le système des ondes
∂t u + ∂x v = 0,
par un schéma standard de Volumes Finis.
∂t v + ∂x u = 0,

n
n
n+1
n
n

vj+
1 − v
ug
− ujn

+ ujn
− vjn
uj+1
vj+1
j− 12

n
2
 j
+
= 0, vj+
=
+
1
2
∆t
∆x
2
2
n
n
g
n+1
n
n
n
n
n

u
1 − u
1
v
−
v

v
+
v
u
j+ 2
j− 2
j
j+1
j
j+1 − uj

n
 j
+
= 0, uj+
+
1 =
2
∆t
∆x
2
2
Conclusions
• Deuxième étape : Relaxation instantanée pour tout j, n

 si u 2 + v 2 ≤ 1, ne rien faire,
(u, v )
.
 si u 2 + v 2 ≥ 1, (u, v ) = √ 2
u + v2
• Le résultat intermédiaire de contraction L2 est immédiat.
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p. 18 / 28
v
Discussion de RHF et résultats num.
L
(c,d)
u
R
(a,b)
Solution discontinue :u(t, x) = uG ∈ K pour x < σt, et uR ∈ K pour x > σt. Supposons que K est
d’intérieur non vide au sens
0
∀z 6= z ∈ K , ∀0 < α < 1,
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Formulations
hyperélastiques
αz + (1 − α)z ∈ Int(K ).
Proposition La condition RHF
h
i
2
2
−σ |uR − z| − |uL − z| + [(uR − z, A(uR − z)) − (uL − z, A(uL − z))] ≤ 0
∀z ∈ K
est équivalente à la condition de RH forte (classiqe)
−σ(uD − uG ) + A(uD − uG ) = 0.
“
”
−σ(uR − uL ) + A(uR − uL ), z − 21 (uR + uL ) ≤ 0, ∀z ∈ K .
Conséquence : Les solutions discontinues atteignables numériquement sont des discontinuités classiques.
Preuve : évidente à partir de
Conclusions
Exemple numérique : ondes + K = [−1]2
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p. 19 / 28
Retour sur le problème initial
V
7
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Formulations
hyperélastiques
Conclusions

∂t ρ




∂

t ρu




 ∂t ρs11
∂t ρs22


∂t ρs33




∂t ρs23




∂t ρe
+∂x (ρu) = 0,
+∂x (ρu 2 + p − s1 ) = 0,
+∂x (ρus11 − 43 αu) = ”0”,
+∂x (ρus22 + 32 αu) = ”0”,
+∂x (ρus33 + 23 αu) = ”0”,
+∂x (ρus23 ) = 0,
+∂x (ρue + pu − s1 u) = ”0”,
p = p(τ, ε), τ = ρ1 ,
α > 0,
s11 + s22 + s33 = ”0”,
e = ε + 12 u 2 +
|s|2
4α ,
avec TdS = pdτ + dε. D’où
u
s11
s22
s33
s23 1
µ
,−
,−
,−
, )
V = −( , − , −
T
T
2αT
2αT
2αT
αT T
et K = {V ∈ R7 ; ϕ(V ) ≤ k 2 , V7 ≤ 0} ⊂ R7 avec
ϕ(V ) ≡ 4α2
V32 + V42 + V52 + 21 V62
2
2
2
2
= s11
+ s22
+ s33
+ 2s23
.
V72
Modèles et formulation faible pour l’élasticité compressible non linéaire avec plasticité
p. 20 / 28
Push hard
(Shock)
Shock not possible (Smooth compression)
Shock possible (Plastic shock)
Shock possible (Elastic shock)
Conditions de Rankine-Hugoniot faible
On écrit la formulation faible, dont on déduit les conditions de RH faibles
−s
(−σ[ρs1 ] + [ρus1 ] − 43 α[u]) × 2α1
Introduction
−s
+(−σ[ρs2 ] + [ρus2 ] + 23 α[u]) × 2α2
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Formulations
hyperélastiques
Conclusions
−s
+(−σ[ρs3 ] + [ρus3 ] + 23 α[u]) × 2α3
−σ
+(−σ[ρσ23 ] + [ρuσ23 ]) × α23
+(−σ[ρe] + [ρue] + [(p − s1 )u]) ≤ 0,
pour toutes les contraintes test : s1 2 + s2 2 + s3 2 + 2σ23 2 ≤ k 2 . Et aussi
−σ[ρ] + [ρu] = 0,
2
−σ[ρu] + [ρu + p − s11 ] = 0
−σ[ρS] + [ρuS] ≥ 0.
[ρ]
Théorème Dans la limite des petits paramètres naturels ρ < 0.05, Y
≈ 0.011, le seul tenseur des
µ
contraintes saturé admissible avant choc est le tenseur uniaxial
:
0 aligné avec le choc1
s1
0
0
q
2 k = −2s
@
A
0
s
σ
s1 =
=
−pI
+
. (C’est le choc
=
−2s
,
σ
=
0
avec
σ
2
23
22
33
23
3
0
σ23
s3
plastique)
Push hard
(Shock)
Shock not possible (Smooth compression)
Shock possible (Plastic shock)
Shock possible (Elastic shock)
Modèles et formulation faible pour l’élasticité compressible non linéaire avec plasticité
p. 21 / 28
Push hard
(Shock)
Shock not possible (Smooth compression)
Shock possible (Plastic shock)
Shock possible (Elastic shock)
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Résultats numériques : impact de deux barres
Problème de Riemann avec données initiales imposées : les
barres sont
• au repos (précurseur élastique)
• ou précontraintes (rampe de compression).
8500
’elpl.rho’
’elpl2.rho’
-1.27405
’elpl.S’
’elpl2.S’
8400
-1.2741
-1.27415
8300
-1.2742
-1.27425
8200
Formulations
hyperélastiques
-1.2743
-1.27435
8100
-1.2744
-1.27445
8000
-1.2745
-1.27455
7900
-1.2746
6
Conclusions
7800
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Densité dans l’acier
1895
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
10
Entropie
200
’palo.rho’
’palo2.rho’
1890
’palo.u’
’palo2.u’
150
1885
100
1880
50
1875
0
1870
-50
1865
-100
1860
-150
1855
1850
0
1
2
3
4
5
6
7
Densité
8
9
10
-200
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Vitesse
Modèles et formulation faible pour l’élasticité compressible non linéaire avec plasticité
p. 22 / 28
t >t
2 1
t
1
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Formulations
hyperélastiques
Conclusions
Extension à l’écrouissage isotrope (Nouri-Rascle)
Ce critère étend la plasticité parfaite grâce à une nouvelle
variable γ ∈ R et à une fonction γ 7→ g (γ) convexe et
strictement croissante
K = {|σ| + g (γ) ≤ Y } .
En variables normalisées

 ∂t u − ∂x σ = ”0”,
∂t ε − ∂x u = ”0”,

∂t γ
= ”0”, S = 12 u 2 + 12 ε2 + 12 γ 2 .
Théorème (Noury-Rascle, SINUM 95) Pour une donnée
initiale (u, ε) ∈ H 1 (R) et γ = 0, il existe une unique solution
régulière contrainte.
Dans le nouveau cadre, on peut aussi calculer des solutions
discontinues.
Modèles et formulation faible pour l’élasticité compressible non linéaire avec plasticité
p. 23 / 28
3D
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Formulations
hyperélastiques
Conclusions
Formulations hyperélastiques (avec G. Kluth)
Notre objectif est d’utiliser ces formulations pour
obtenir l’invariance par rotation dans le cadre d’un modèle
conservatif (pas de dérivée de Jaumann),
puis d’introduire la plasticité parfaite de type Von Mises
|s| ≤ Y avec le formalisme précédent,

Dt ρ0 = 0,
Dt = ∂t + u · ∇,



Dt F = ∇X u,
Dt (ρ0 u) = ∇X · σ PK , σ PK = ρ0 ∇F ϕ,



Dt (ρ0 e) = ∇X · ut σ PK , Dt (ρ0 S) ≥ 0.
”ou”

∂t ρ + ∇x · (ρu) = 0,




u⊗Ft
=
∇
·
, J = detF,
∂t FJ + ∇x · F⊗u
x
J
J

∂t (ρu) + ∇x · (ρu ⊗ u) = ∇x · σ,
σ = ρ∇F ϕFt



t
∂t (ρe) + ∇x · (ρue) = ∇x · (u σ) ,
∂t (ρS) + ∇x · (ρuS) ≥ 0.
Modèles et formulation faible pour l’élasticité compressible non linéaire avec plasticité
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3D
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Contraintes σ et σ PK
Soient C = Ft F et B = F Ft et les invariants
1
1
ι1 = tr (C) , ι2 = tr (C)2 − tr C2 , ι3 = det (C)
2
2
L’invariance par rotation et l’isotropie sont obtenues en prenant
(Bertam)
Formulations
hyperélastiques
ϕ (F, S) = ϕ1 (C, S) = ϕ2 (ι1 , ι2 , ι3 , S) .
Conclusions
Proposition On a σ = σ t . Les calculs sont ”évidents”.
Mais : l’entropie du système lagrangien n’est pas strictement
convexe. On utilise le critère de stricte convexité de rang 1
Aij (n) =
X
1≤k,l≤3
nl
∂ 2 φ1
nk > 0,
∂Fil ∂Fjk
∀n = (n1 , n2 , n3 ).
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p. 25 / 28
3D
Plasticité
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Formulations
hyperélastiques
Conclusions
Trouver un système étendu
qui soit hyperbolique dans sa version non contrainte
qui modèlise la plasticité, par exemple sous la forme Von
Mises
|s| ≤ Y .
pour lequel s = s t = σ + pI fait partie des variables
adjointes (pour l’entropie du système).
Modèles et formulation faible pour l’élasticité compressible non linéaire avec plasticité
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3D
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
Début de solution (G. K.)
On décompose la déformation F en partie élastique et partie plastique sous la forme : F = EP, C = Et E, et
CP = Pt P. ”Tous calculs faits” le modèle cible est du type Simo
8 D ρ = 0,
t 0
>
>
>
Dt F − ∇X u = 0,
>
>
<
Dt CP −1 = ”0”, “
”
> Dt (ρ0 u) − ∇ · σ PK = 0,
>
X
>
>
“
”
>
:
t PK
Dt (ρ0 e) − ∇X · u σ
= ”0”,
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Formulations
hyperélastiques
avec
Conclusions
σ PK = ρ0 ∇F ϕ,
σ = ρ∇F ϕ Ft = σ t ,
1
0
B ι1 (C) ι2 (C) C
, 2
ϕ = ϕH (ρ, S) + ϕE @ 1
A =⇒ σ = σH + σE = −pI + s,
ι13 (C) ι13 (C)
et
∇“
CP −1
”S
=
ϕ0E
1
ι33
„
t
F F−
ι1
3
!t
«
Cp
=
∇“
CP −1
”S
,
ainsi que
ϕ0
σE = s = 2ρ 1E
ι33
„
«
ι1
t −1
F Cp F −
Id ,
3
t
−1
ι1 = tr(F Cp F).
Modèles et formulation faible pour l’élasticité compressible non linéaire avec plasticité
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The End
Introduction
Lois de bilan
avec
contrainte
convexe
1) Convexe plat
2) Système
linéaire
3) Application
Formulations
hyperélastiques
Conclusions
Conclusions
Cadre mathématique pour les solutions faibles avec
contraintes convexes en la variable adjointe.
Applications multiples à la plasticité parfaite compressible
1D à partir de RHF : VG , VD ∈ K
−σ(SD − SG ) + (FD − FG )
− −σ(UD − UG ) + (fD − fG ), V ≤ 0, ∀V ∈ K
Justification de la méthode de retour radial pour les
méthodes numériques (de Volumes Finis).
En cours : modélisation multiD.
Problème ouvert : Existence et unicité dans le cas général,
pour la formulation faible et pour RHF. Description en
terme de champs (VNL, LD).
Convergence des solutions régularisées.
Extension à d’autres problèmes ?
Modèles et formulation faible pour l’élasticité compressible non linéaire avec plasticité
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