Combinaisons linéaires et bases

ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE VECTORIELLE
EXERCICES SUPPLÉMANTAIRES - COMBINAISONS LINÉAIRES
1- Écrire le polynôme Q(x) = 3x2 + 2x − 1 comme une combinaison linéaire des polynômes
suivants (si possible). Dans les cas où c’est possible, donner les composantes dans la
base formée par ces polynômes.
a) P1 (x) = x2 , P2 (x) = x, P3 (x) = 1
b) P1 (x) = x2 − 1, P2 (x) = x + 1, P3 (x) = 1
c) P1 (x) = x2 + 2x + 7, P2 (x) = x − 4, P3 (x) = x2 − 3x + 1
d) P1 (x) = x2 − x + 4, P2 (x) = 2x − 13
e) P1 (x) = x2 − x + 4, P2 (x) = 2x −
13
4
f) P1 (x) = 3x − 4, P2 (x) = x2 + 5x − 1, P3 (x) = 5x2 + 13, P4 (x) = −6x2 + 4x − 24
4 −1
comme une combinaison linéaire des matrices suiv2- Écrire la matrice M =
−1 2
antes (si possible). Dans les cas où c’est possible, donner les composantes de M dans la
base formée par ces matrices.
0 0
0 0
0 1
1 0
, A4 =
, A3 =
, A2 =
a) A1 =
0 1
1 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
1 1
, A4 =
, A3 =
, A2 =
b) A1 =
1 1
1 0
1 0
0 0
1 0
0 3
2 1
1 1
, A4 =
, A3 =
, A2 =
c) A1 =
2 3
2 1
0 2
1 0
3
−6
−1 2
3 0
1 2
, A4 =
, A3 =
, A2 =
d) A1 =
−23 20
−3 4
1 8
3 4
3- Démontrer les affirmations suivantes :
a) Les polynômes de la question 1c) forment une base pour l’espace des polynômes de
degré 2 et moins.
b) Les polynômes P1 (x) = x2 + 2x + 3, P2 (x) = 2x2 − x − 5 et P3 (x) = −x2 + 8x + 19
ne forment pas une base pour l’espace des polynômes de degré 2 et moins.
c) Les matrices de la question 2c) forment une base pour l’espace des matrices carrées
d’ordre 2.
2 1
0 0
0 2
d) Les matrices A1 =
, A2 =
et A3 =
ne forment pas une
0 2
1 1
3 0
base pour l’espace des matrices carrées d’ordre 2.
SOLUTIONS
1a) Q(x) = 3P1 (x) + 2P2 (x) − P3 (x)
Les composantes dans la base B = {P1 (x), P2 (x), P3 (x)} sont (3, 2, −1).
1
1b) Q(x) = 3P1 (x) + 2P2 (x)
Les composantes dans la base B = {P1 (x), P2 (x), P3 (x)} sont (3, 2, 0).
20
43
19
P1 (x) + P2 (x) + P3 (x)
13
13
13
Les composantes dans la base B = {P1 (x), P2 (x), P3 (x)} sont
1c) Q(x) =
20 43 19
13 , 13 , 13
.
1d) Q(x) ne peut pas s’écrire comme une combinaison linéaire de P1 (x), P2 (x) et P3 (x).
1e) Q(x) = 3P1 (x) + 4P2 (x)
L’ensemble B = {P1 (x), P2 (x)} ne forme pas une base des polynômes de degré 2 et
moins car les polynômes P1 (x) et P2 (x) ne les génèrent pas tous.
2162 + 7401s
276 + 1793s
23 + 79s
1f) Q(x) =
P1 (x) −
P2 (x) +
P3 (x) + sP4 (x)
1173
391
23
L’ensemble B = {P1 (x), P2 (x), P3 (x), P4 (x)} ne forme pas une base des polynômes de
degré 2 et moins car les polynômes sont linéairement dépendants (présence d’une variable
libre).
2a) M = 4A1 − A2 − A3 + 2A4
Les composantes dans la base B = {A1 , A2 , A3 , A4 } sont (4, −1, −1, 2).
2b) M = 3A1 − 4A2 + A3 + 2A4
Les composantes dans la base B = {A1 , A2 , A3 , A4 } sont (3, −4, 1, 2).
27
7
29
3
A1 + A2 − A3 + A4
25
5
25
25
Les composantes dans la base B = {A1 , A2 , A3 , A4 } sont
2c) M =
27 7
29 3
25 , 5 , − 25 , 25
.
2d) La matrice M ne peut pas s’écrire comme une combinaison linéaire des matrices A1 ,
A2 , A3 et A4 . Celles-ci sont linéairement dépendantes et n’engendrent pas l’espace de
toutes les matrices carrées d’ordre 2.
3a) D’une part, il faut montrer que le système k1 P1 (x)+k2 P2 (x)+k3 P3 (x) = 0x2 +0x+0 ⇔
k1 = k2 = k3 = 0. D’autre part, il faut vérifier que tout polynôme de la forme ax2 +bx+c
peut s’écrire comme une combinaison linéaire unique en fonction de P1 (x), P2 (x) et P3 (x)
pour toutes les valeurs de a, b et c.
3b) Il suffit de montrer que le système k1 P1 (x) + k2 P2 (x) + k3 P3 (x) = 0x2 + 0x + 0 possède
une infinité de solution (présence d’une variable libre) et donc que les polynômes sont
linéairement dépendants.
0 0
3c) D’une part, il faut montrer que le système k1 A1 + k2 A2 + k3 A3 + k4 A4 =
⇔
0 0
k
1 = k2= k3 = k4 = 0. D’autre part, il faut vérifier que toute matrice de la forme
a b
peut s’écrire comme une combinaison linéaire unique en fonction de A1 , A2 ,
c d
A3 et A4 pour toutes les valeurs de a, b, c et d.
a b
3d) Il suffit de montrer que ce ne sont pas toutes les matrices de la forme
qui
c d
peuvent s’écrire comme une combinaison
linéaire
de A1 , A2 , A3 et A4 . Montrer que le
a b
système k1 A1 + k2 A2 + k3 A3 + k4 A4 =
ne possède pas une solution pour toutes
c d
les valeurs de a, b, c et d.
2