MT23 - P2016 - Test 1 NOM : PRENOM : Groupe ou horaire de TD
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MT23 - P2016 - Test 1 NOM : PRENOM : Groupe ou horaire de TD : Barème approximatif (6, 3, 1, 5). Les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes. Durée 45 min - Aucun document ni calculatrice. La rédaction est très importante, rédigez et justifiez clairement vos réponses ou démonstrations ! 1. Soit F = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 , /2x1 − x2 = 0 et 3x1 + x3 = 0}. (a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de IR3 . (b) Donner une base et la dimension de F (on justifiera la réponse). (c) Soit G = vect < (1, 0, 0), (0, 1, 0) >, montrer que F ⊕ G = IR3 . (d) En déduire une base de IR3 autre que la base canonique. (e) Plus généralement, soit F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E, si F = (f~1 , . . . , f~n ) est une base de F et G = (g~1 , . . . , g~p ) est une base de G, montrer que F ∩ G = {~0} ⇒ F ∪ G est une famille libre 2. Soit u : E −→ F une application linéaire et (e~1 , . . . , e~n ) une famille de vecteurs de E. (a) Montrer que (e~1 , . . . , e~n ) famille génératrice de E ⇒ (u(e~1 ), . . . , u(e~n )) famille génératrice de Im u. (b) On suppose de plus que u est injective, montrer que (e~1 , . . . , e~n ) famille libre de E ⇔ (u(e~1 ), . . . , u(e~n )) famille libre de F . 3. Soit u une application linéaire de E vers F et v une application linéaire de F vers G. Montrer que v ◦ u est une application linéaire de E vers G. 4. Soit u : E −→ F , où E est muni de la base E = (e~1 , e~2 , e~3 ) et F de la base F = (f~1 , f~2 ). On a u(e~1 ) = 3f~1 + f~2 u(e~2 ) = 0 u(e~3 ) = 2f~2 (a) Déterminer u(~x) pour tout ~x dans E (on l’exprimera en fonction des vecteurs f~i et des composantes de ~x dans la base E). (b) Donner la définition de Ker u et en déterminer une base (on l’exprimera en fonction des e~i ). (c) Donner une famille génératrice de Im u et en déduire une base (on l’exprimera en fonction des f~i ). (d) u est-elle injective ? surjective ? (on justifiera soigneusement les réponses). (e) Ecrire la matrice A de u lorsque E et F sont munis des bases E et F.