MT23 - P2016 - Test 1 NOM : PRENOM : Groupe ou horaire de TD

MT23 - P2016 - Test 1
NOM :
PRENOM :
Groupe ou horaire de TD :
Barème approximatif (6, 3, 1, 5). Les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes.
Durée 45 min - Aucun document ni calculatrice.
La rédaction est très importante, rédigez et justifiez clairement vos réponses ou démonstrations !
1. Soit F = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 , /2x1 − x2 = 0 et 3x1 + x3 = 0}.
(a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de IR3 .
(b) Donner une base et la dimension de F (on justifiera la réponse).
(c) Soit G = vect < (1, 0, 0), (0, 1, 0) >, montrer que F ⊕ G = IR3 .
(d) En déduire une base de IR3 autre que la base canonique.
(e) Plus généralement, soit F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E, si
F = (f~1 , . . . , f~n ) est une base de F et G = (g~1 , . . . , g~p ) est une base de G, montrer que
F ∩ G = {~0} ⇒ F ∪ G est une famille libre
2. Soit u : E −→ F une application linéaire et (e~1 , . . . , e~n ) une famille de vecteurs de E.
(a) Montrer que
(e~1 , . . . , e~n ) famille génératrice de E ⇒ (u(e~1 ), . . . , u(e~n )) famille génératrice de Im u.
(b) On suppose de plus que u est injective, montrer que
(e~1 , . . . , e~n ) famille libre de E ⇔ (u(e~1 ), . . . , u(e~n )) famille libre de F .
3. Soit u une application linéaire de E vers F et v une application linéaire de F vers G.
Montrer que v ◦ u est une application linéaire de E vers G.
4. Soit u : E −→ F , où E est muni de la base E = (e~1 , e~2 , e~3 ) et F de la base F = (f~1 , f~2 ).
On a u(e~1 ) = 3f~1 + f~2
u(e~2 ) = 0
u(e~3 ) = 2f~2
(a) Déterminer u(~x) pour tout ~x dans E (on l’exprimera en fonction des vecteurs f~i et des
composantes de ~x dans la base E).
(b) Donner la définition de Ker u et en déterminer une base (on l’exprimera en fonction des e~i ).
(c) Donner une famille génératrice de Im u et en déduire une base (on l’exprimera en fonction
des f~i ).
(d) u est-elle injective ? surjective ? (on justifiera soigneusement les réponses).
(e) Ecrire la matrice A de u lorsque E et F sont munis des bases E et F.