f1(x)=ln(x2 + 1) f2(x)=ln(x2 +36) f3(x)=ln(x2 + 9) f4(x)=e−x2 f5(x)=e

Université de Nice Sophia Antipolis
L1 Sciences économiques - Gestion
Mathématiques 2 (DL1EMA2) - Unité U5
Année 2006/2007
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Enseignant: J. YAMEOGO
Chargés de TD: E. AUBRY, F. BARKATS, M. VIRAT
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Feuille TD Nř1 - semaine du 5 février 2007
Exercice 1. (révision)
a) a, b et c étant des nombres réels fixés, on suppose a 0. Rappeler la règle du
signe du trinôme (de la variable réel x) T = ax2 + bx + c.
b) Dans la liste des fonctions définies par les formules ci-dessous, dites lesquelles
sont convexes sur l’intervalle [2, 5]. Justifiez votre réponse.
f1(x) = ln(x2 + 1) f2(x) = ln(x2 + 36) f3(x) = ln(x2 + 9)
f4(x) = e
−
x2
2
f7(x) = x +
f5(x) = e
1
x
−3
x2
7
f8(x) = x −
x2
f6(x) = e
3
x
− 12
7
f9(x) = x − x
Exercice 2. Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, Ii , Ij ),
a) dessiner sur l’intervalle [1, 3], les graphes des fonctions suivantes:
•
f1: [1, 3]
•
f2: [1, 3]
•
f3: [1, 3]
f4: [1, 3]
•
R; x
R; x
R; x
R; x
3
1+ x
11x − 3
2x
x+7
2
−x+5
b) Sans les calculer, comparer les quatre intégrales suivantes: I1 =
Z 3
Z 3
Z 3
I2 =
f2(x)dx, I3 =
f3(x)dx, I4 =
f4(x)dx .
1
1
Z
3
f1(x)dx,
1
1
Justifiez votre réponse.
Exercice 3.
a) Dessiner dans un repère orthonormé, le graphe de la fonction f : [1, 5]
R
R définie par
définie par f(x) = x2 − 6x + 8 puis celui de la fonction g: [1, 5]
g(x) = f (x).
b) Calculer l’aire A du domaine D = (x, y) ∈ R2 /1 6 x 6 5, 0 6 y 6 g(x) .
1
−π π
, ]
R, définie par f (x) = |sin(x)|.
2 2
p
Dessiner le graphe de f et calculer la primitive F de f qui prend la valeur 1 en .
Exercice 4. Soit f : [
2
Exercice 5.
x
+ 15x8.
On considère la fonction réelle f définie par f(x) = q
1 2
2
3 + 2x
a) Dans la liste (F1, F2, F3, F4) ci-dessous, trouver une fonction qui soit une primitive de f :
!
r
r
1 2
1
5
5 9
F1 = 2
3+ x
F2 = 3 + x2 + x9 + 15,
+ x,
2
2
3
3
!
r
√
5
1
5
6 + x2
+ x9 + 8,
F4 = ln
3 + x2 + x9.
F3 = √
3
2
3
2
(Vous devez justifier votre choix)
b) Calculer I1 =
Z
1
f(x)dx et I2 =
Z
1
f(x)dx.
0
−1
Exercice 6. Calculer des primitives pour les fonctions suivantes:
√
√
5
1
f1(x) = 3x( x − 23 x ), f2(x) = − x2 + 4x + − 3 ,
x x
f3(x) =
7x2 − x + 2
√
,
x
f4(x) =
1
3√
x−√
2
x
Exercice 7. Calculer les intégrales suivantes:
Z 1
Z 1
i1 =
|2x2 − 3|dx,
i2 =
(2x2 − 3)dx,
0
−1
2
.
i3 =
Z
1
−2
(x3 − x)dx.
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2