Intégrales généralisées (ou impropres)
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Intégrales généralisées (ou impropres)
Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Intégrales généralisées (ou impropres) Université Mohammed I Faculté des Sciences Département de Mathématiques Oujda. Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Plan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ] − ∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Responsable du cours : Pr. NAJIB TSOULI. Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Dans ce chapitre on va étudier l'intégrale des fonctions continues sur un intervalle I de la forme : [a, b[, ]a, b], ] − ∞, a], [a, +∞[, ]a, b[, ] − ∞, +∞[. Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel 2 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ] − ∞, a] 3 Intégrales généralisées aux deux bornes 4 Critères de convergence 5 Intégrales de Comparaison 6 Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes 7 Utilisation de l'intégration par parties 8 Critère de Cauchy 9 Règle d'Abel 1 Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Denition Soit f une fonction continue sur [a,b[ telle que lim− f (x ) = ∞. x →b R Pour tout x appartenant à [a,b[, on dénit Φ(x ) = ax f (t )dt. On dit que l'intégrale généralisée (ou impropre) de f sur [a,b[ ; R notée ab f (t )dt ; est convergente (CV) si et seulement si lim Φ(x ) existe et elle est nie, x →b − on note lim− Φ(x ) = x →b Z a b f (t )dt. Dans le cas où lim− Φ(x ) n'existe pas, on dit que x →b divergente (DV). Mars 2012 Rb a f (t )dt est Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Denition Soit f une fonction continue sur ]a,b] telle que lim+ f (x ) = ∞. x →a Pour tout x appartenant à ]a,b], on dénit Φ(x ) = xb f (t )dt. On dit que l'intégrale généralisée (ou impropre) de f sur ]a,b] ; R notée ab f (t )dt ; est convergente (CV) si et seulement si R lim Φ(x ) existe et elle est nie, x →a+ on note lim+ Φ(x ) = x →a Z a b f (t )dt. Dans le cas où lim+ Φ(x ) n'existe pas, on dit que x →a divergente (DV). Mars 2012 Rb a f (t )dt est Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Remarque . 1/ Soit f une fonction continue sur [a,b[ telle que lim f (x ) = l . x →b − On dénit e f le prolongement de f par e f (t ) = f (t ) l si t ∈ [a, b[ si t = b e f est continue sur [a,b]. Alors f est Riemann-integrable sur [a,b[ et on a : Z a b f (t )dt = Z b e f (t )dt . a 2012 Mars Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Remarque 2/ Soit f une fonction continue sur ]a,b] telle que lim f (x ) = l . x →a + On dénit e f le prolongement de f par e f (t ) = f (t ) l si t ∈]a, b] si t = a e f est continue sur ]a,b]. Alors f est Riemann-integrable sur ]a,b] et on a : Z a b f (t )dt = Z a b e f (t )dt . Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel 2 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ] − ∞, a] 3 Intégrales généralisées aux deux bornes 4 Critères de convergence 5 Intégrales de Comparaison 6 Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes 7 Utilisation de l'intégration par parties 8 Critère de Cauchy 9 Règle d'Abel 1 Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Denition Soit f une fonction continue sur [a, +∞[. R Pour tout x appartenant à [a, +∞[, on dénit Φ(x ) = ax f (t )dt. On ditRque l'intégrale généralisée (ou impropre) de f sur [a, +∞[ ; notée a+∞ f (t )dt ; est convergente (CV) si et seulement si lim Φ(x ) existe et elle est nie, x →+∞ on note lim Φ(x ) = x →+∞ Z a +∞ f (t )dt. Dans le cas où lim Φ(x ) n'existe pas, on dit que x →+∞ divergente (DV). Mars 2012 R +∞ a f (t )dt est Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Remarque . Soit f une fonction continue sur ] − ∞, a]. R Pour tout x appartenant à ] − ∞, a], on dénit Φ(x ) = xa f (t )dt. On ditRque l'intégrale généralisée (ou impropre) de f sur ] − ∞, a] ; a f (t )dt ; est convergente (CV) si et seulement si notée −∞ lim Φ(x ) existe et elle est nie, x →−∞ on note lim Φ(x ) = x →−∞ Z a f (t )dt. +∞ Dans le cas où lim Φ(x ) n'existe pas, on dit que x →−∞ divergente (DV). Exemple Mars 2012 Ra −∞ f (t )dt est Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel 2 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ] − ∞, a] 3 Intégrales généralisées aux deux bornes 4 Critères de convergence 5 Intégrales de Comparaison 6 Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes 7 Utilisation de l'intégration par parties 8 Critère de Cauchy 9 Règle d'Abel 1 Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Denition Soit f une fonction continue sur ]a, b[ (−∞ ≤ a < b ≤ +∞). R Soit c ∈]a, b[, on dit que ab f (t )dt est (CV) si et seulement si Rc Rb a f (t )dt et c f (t )dt sont (CV). Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Remarque .R R b f (t )dt est (DV) si et seulement si ac f (t )dt est (DV) ou a Rb c f (t )dt est (DV). Exemple Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel 2 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ] − ∞, a] 3 Intégrales généralisées aux deux bornes 4 Critères de convergence 5 Intégrales de Comparaison 6 Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes 7 Utilisation de l'intégration par parties 8 Critère de Cauchy 9 Règle d'Abel 1 Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Theorème Soit f une fonction continue et positive ou nulle sur [a, b[. Rb Rx a f (t )dt est (CV) si et seulement si ∀x ∈ [a, b [, Φ(x ) = a f (t )dt est majorée. Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Remarque . 1/ Soit f une fonction continue et négative ou nulle sur [a, b[. Rb Rx a f (t )dt est (CV) si et seulement si ∀x ∈ [a, b [, Φ(x ) = a f (t )dt est minorée. 2/ Il en de même si l'on considère ]a,b]. Exemple Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Theorème (Comparaison des intégrales généralisées de deux fonctions positives) Soit f et g deux fonctions continue et positives ou nulle sur I = [a, b[ ou ]a, b], vériant f (t ) ≤ g (t )∀t ∈ I . Alors R R i- ab g (t )dt est (CV) implique que ab f (t )dt est (CV). R R ii- ab f (t )dt est (DV) implique que ab gt )dt est (DV). Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Theorème (Intégrales généralisées de deux fonctions positives et équivalentes) Soient f et g deux fonctions continues, positives sur I = [a, b[ ou ]a, b] (−∞ ≤ a < b ≤ +∞) et équivalentes en l'extrémité de I. R R Alors ab f (t )dt et ab gt )dt sont de même nature. Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel 2 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ] − ∞, a] 3 Intégrales généralisées aux deux bornes 4 Critères de convergence 5 Intégrales de Comparaison 6 Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes 7 Utilisation de l'intégration par parties 8 Critère de Cauchy 9 Règle d'Abel 1 Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Les intégrales suivants serviront souvent comme intégrales de comparaison 1 2 3 4 Intégrales généralisées de RRiemann : R a dt (CV) SSi α < 1 et a+∞ tdtα (CV) SSi α > 1. α 0 t Intégrales de Bertrand : R +∞ dt (CV) SSi α > 1 ou (α = 1 et β > 1). t α (logt )β dt 0 t α |logt |β R R +∞ (CV) SSi α < 1 ou (α = 1 et β > 1). exp(−αt )dt (CV) SSi α > 0. Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel 2 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ] − ∞, a] 3 Intégrales généralisées aux deux bornes 4 Critères de convergence 5 Intégrales de Comparaison 6 Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes 7 Utilisation de l'intégration par parties 8 Critère de Cauchy 9 Règle d'Abel 1 Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Denition On dit que ab f (t )dt est absolument convergente (ACV) si Rb a |f (t )|dt est (CV). R Denition On dit que ab f (t )dt est semi-convergente (SCV) si elle est (CV) sans être (ACV). R Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Theorème Soit f une fonctions continues sur I = [a, b[ ou ]a, b] R (−∞ ≤ a < b ≤ +∞). Pour que ab f (t )dt soit (CV) il sut qu'elle soit (ACV) et on a Z | a b f (t )dt | ≤ Z a b |f (t )|dt . Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel 2 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ] − ∞, a] 3 Intégrales généralisées aux deux bornes 4 Critères de convergence 5 Intégrales de Comparaison 6 Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes 7 Utilisation de l'intégration par parties 8 Critère de Cauchy 9 Règle d'Abel 1 Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Theorème Soient u et v deux fonctions de classe C 1 sur [a, b[ ( éventuellement b = +∞ ), alors Z a b u (t )v (t )dt = [ lim− u (x )v (x ) − u (a)v (a)] − 0 x →b Z a b u 0 (t )v (t )dt . Si l'une des intégrales est convergentes et ( lim− u (x )v (x )) existe x →b et nie alors l'autre intégrale est convergente. Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel 2 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ] − ∞, a] 3 Intégrales généralisées aux deux bornes 4 Critères de convergence 5 Intégrales de Comparaison 6 Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes 7 Utilisation de l'intégration par parties 8 Critère de Cauchy 9 Règle d'Abel 1 Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Denition Soit I un intervalle quelconque de R. Une application f : I −→ R sera dite localement intégrale sur I si sa restriction à chaque sous-intervalle fermé et borné de I est integrable au sens de Riemann. Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Theorème Soit f une fonction localement integrable sur [a, b[ (b ∈ R ou b = +∞). R Pour que l'intégrale ab f (t )dt soit convergente, il faut et il sut que, pour toute suite (xn )n∈N de limite b, la suite F (xn ) = Z ait une limite et lim F (xn ) = Z n→+∞ xn a a b f (t )dt f (t )dt Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Theorème (Critère de Cauchy pour les intégrales généralisées) Soit f une fonction localement integrable sur [a, b[ (b ∈ R ou b = +∞) à valeur dans R. R Pour que l'intégrale ab f (t )dt soit convergente, il faut et il sut que ∀ > 0, ∃X () tel que b > v > u ≥ X () ≥ a entraînent : Z u v f (t )dt < . Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel 2 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ] − ∞, a] 3 Intégrales généralisées aux deux bornes 4 Critères de convergence 5 Intégrales de Comparaison 6 Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes 7 Utilisation de l'intégration par parties 8 Critère de Cauchy 9 Règle d'Abel 1 Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel La proposition suivante permet de prouver la convergence de certaines intégrales non absolument convergentes. Theorème Soit f : [a, +∞[−→ R, positive, décroissante et tendant vers zéro à l'inni. Soit g localement integrable sur [a, +∞[, telle que la fonction x 7−→ | Z a x g (t )dt | soit R +∞majorée par un nombre K indépendant de x. Alors l'intégrale f (t )g (t )dt est convergente. a Mars 2012 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a, +∞[ et ]−∞, a] Intégrales généralisées aux deux bornes Critères de convergence Intégrales de Comparaison Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes Utilisation de l'intégration par parties Critère de Cauchy Règle d'Abel Mars 2012