Table des matières - Martin DEL HIERRO

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Table des matières
11 Dérivation des Fonctions à valeurs réelles
3
11.1 Dérivabilité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
11.1.1 Point de Vue Cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
11.1.2 Point de vue analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
11.1.3 Point de vue géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
11.1.4 Opérations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
11.2 Dérivabilité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
11.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
11.2.2 Opérations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
11.3 Propriétés Fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
11.3.1 Extrema Locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
11.3.2 Théorème des Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
11.3.3 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
11.3.3.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
11.3.3.2 Monotonie Stricte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
11.3.4 Tableau de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
11.3.5 Courbes Paramétrées et Prolongements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
11.4 Dérivées Successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
11.4.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
11.4.2 La classe C p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
11.5 Fonctions Convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
11.5.1 Defintion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
11.5.2 Cas dérivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
11.6 Brève Extension aux fonctions Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1
TABLE DES MATIÈRES
2
Lycée Pierre de Fermat - Martin Del Hierro
2
Chapitre 11
Dérivation des Fonctions à valeurs
réelles
Dans tout ce chapitre I :=< α, β > désigne un intervalle contenant au moins deux éléments (avec
2
(α, β) ∈ R ). On pose alors I = [α, β] (partie de R) Nous notons F(I, R) l’ensemble des fonctions définies
sur I à valeurs réelles.
11.1
Dérivabilité en un point
11.1.1
Point de Vue Cinématique
C’est en voulant donner un cadre mathématique à sa théorie de la Mécanique, que Newton, simultanément avec Leibniz, introduit la notion de calcul infinitésimal (ou fluxion). Il s’agit de donner un sens
aux variations instantanées d’une grandeur.
Par exemple, la vitesse peut être vue comme l’accroissement fini de la distance parcourue (∆x) pendant
la durée écoulée (∆t)
∆x
∆t
Cette valeur, n’est qu’une moyenne : c’est le taux de variation de la distance par rapport à la durée, elle
n’est pas définie instantanément, mais on peut extrapoler sa valeur instantanée :
Supposons que toute grandeur physique dépende continûment du temps (pas de chocs), cette vitesse
aura donc pour valeur instantanée le prolongement continu de la vitesse moyenne (voir (i) de la définition
11.1.2).
Afin de calculer la vitesse instantanée, on se ramène à un laps de temps de plus en plus petit, on note
cette variation quasi-infinitésimale δt. La distance parcourue, dépendant continûment du temps sera, elle
aussi, petite. On la note δx.
A la limite ce rapport tend vers la valeur instantanée cherchée.... C’est ce qu’on appellera la dérivée de
la distance par rapport au temps (voir (ii) et (iii) de la définition 11.1.2).
On notera alors
dx
dt
cet accroissement infinitésimal de la distance par rapport au temps.
dx
δx
−−−→
δt δt→0 dt
Replaçons-nous dans un contexte mathématique
11.1.2
Point de vue analytique
Définition 11.1.1 (taux d’accroissement) Soit f une fonction définie au voisinage d’un point t0 , on
appelle taux d’accroissement de f en t0 , la fonction définie au voisinage épointé de 0, qui à h associe
3
4
CHAPITRE 11. DÉRIVATION DES FONCTIONS À VALEURS RÉELLES
l’accroissement fini de f sur la durée h :
τ [f, t0 ](h) =
f (t0 + h) − f (t0 )
h
♠
Définition 11.1.2 (Dérivabilité) Soit f une fonction définie au voisinage d’un point t0 , on dit que f
est dérivable en t0 lorsque l’une de ces assertions équivalentes est vérifiée
– (i) le taux d’accroissement de f en t0 est prolongeable par continuité en 0
– (ii) Ce taux d’accroissement admet une limite lorsque h tend vers 0
(t0 )
– (iii) le rapport f (t)−f
converge lorsque t tend vers t0
t−t0
³ ´
Dans ce cas, on note f 0 (t0 ) ou df
♠
dt (t0 ) cette limite, qu’on appelle valeur dérivée de f en t0
Remarque 11.1.1
On notant ϕ le prolongement du taux d’accroissement (défini sur un voisinage I) on voit que
f est dérivable en x0 si et seulement si
∀x ∈ I, f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )ϕ(x) où ϕ est une fonction continue en x0
On a alors f 0 (x0 ) = ϕ(x0 )
∗
Exemple: toute fonction constante est dérivable en tout point, sa dérivée est nulle en tout point.
Corollaire 11.1.1 Toute fonction dérivable en t0 est continue en t0
♣
Question: La réciproque est-elle vraie ?
Si f est défini sur un voisinage à gauche (resp. à droite) d’un point t0 (et en t0 ), on définit de la même
façon le taux d’accroissement de f en t0 sur un voisinage à gauche (resp. à droite) de 0.
La Notion de dérivabilité qui s’en suit donne :
Définition 11.1.3 (Demi-dérivée) Lorsque le taux d’accroissement de f en t0 admet une limite à
gauche (resp. à droite) en 0, on dit que f est dérivable à gauche (resp. à droite) en t0 , on note cette
demi-dérivée fg0 (t0 ) (resp. fd0 (t0 ))
♠
Corollaire 11.1.2 Si f est dérivable à droite (resp. à gauche) en t0 , alors f est continue à droite (resp.
à gauche) en t0
♣
Lemme 11.1.3 f est dérivable en t0 si et seulement si
f est dérivable à droite et à gauche en t0 ET fg0 (t0 ) = fd0 (t0 )
11.1.3
♣
Point de vue géométrique
Revoyons les notions du paragraphe précédent d’un point de vue géométrique.
On considère f définie sur un intervalle ouvert I, et on note Γ son graphe sur I.
Supposons f dérivable en un point x0 ∈ I.
Soit x ∈ I un point quelconque, on notera x = x0 + h, on peut donc associer à ces valeurs deux points
du graphe M0 (x0 , f (x0 )) et M (x, f (x)).
La corde de Γ reliant les points M0 et M a pour équation dans le repère (XOY ) :
¸
·
f (x) − f (x0 )
(X − x0 ) + f (x0 )
(M0 M ) :
Y =
x − x0
En particulier le coefficient directeur n’est rien d’autre que τ [f, x0 ](h)
Lorsque M se rapproche de M0 , la corde devient de plus en plus tangente à la courbe Γ, on appelle
donc tangente à Γ au point M0 , la droite Υ obtenue par passage à la "limite" de la corde (M0 M ). Comme
M0 ∈ Υ, l’équation de Υ s’écrit (à supposer que la tangente n’est pas verticale) :
(Υ) :
Y = k(X − x0 ) + f (x0 )
4
11.1. DÉRIVABILITÉ EN UN POINT
5
où k est le coefficient directeur de Υ, c’est donc la limite du coefficient directeur de (M0 M ), soit k = f 0 (x0 ),
et l’on a :
(Υ) :
Y = f 0 (x0 )(X − x0 ) + f (x0 )
Remarque 11.1.2 Si l’on considère cette fois f dérivable à droite de x0 , la discussion ci dessus nous
amènerait à considérer la demi-tangente à droite (Υd ) qui a pour équation :
Y = fd0 (x0 )(X − x0 ) + f (x0 )
(Υd ) :
Et un raisonnement analogue, nous amènerait à définir une demi-tangente à gauche.
Y = fg0 (x0 )(X − x0 ) + f (x0 )
(Υg ) :
∗
Exemple: la fonction valeur absolue admet deux demi-tangentes en 0 : ce sont les deux bissectrices du
repère fixé.
11.1.4
Opérations algébriques
Proposition 11.1.4 Soient u et v deux fonctions définies sur un intervalle I et dérivables (resp. à
gauche, resp. à droite) en un point x0 ∈ I.
Alors la somme u + v et le produit uv sont dérivables (resp. à gauche, resp. à droite) en x0 .
Si de plus u(x0 ) 6= 0, alors la fonction inverse est bien définie localement et dérivable (resp. à gauche,
resp. à droite) en x0
Plus précisément on a
0
0
0
0
(u + v) (x0 ) = u (x0 ) + v (x0 )
0
0
(uv) (x0 ) = u (x0 )v(x0 ) + u(x0 )v (x0 )
µ ¶0
u0 (x0 )
1
(x0 ) = − 2
u
u (x0 )
et les formules analogues dans le cas dérivable à gauche (resp. à droite)
♣
Démonstration Dans le cas de la somme, il suffit de remarquer :
τ [u + v, x0 ](h) = τ [u, x0 ](h) + τ [v, x0 ](h)
D’où la conclusion par passage à la limite lorsque h tend vers 0 (resp. 0− resp. 0+ ).
Dans le cas du produit, on a
τ [uv, x0 ](h) = τ [u, x0 ](h)
v(x0 + h) + v(x0 )
u(x0 + h) + u(x0 )
+ τ [v, x0 ](h)
2
2
Or comme u est dérivable (resp. à gauche, resp. à droite) en x0 , u est aussi continue (resp. à gauche, resp.
à droite) en x0 , il en va de même pour v.
D’où la conclusion par passage à la limite lorsque h tend vers 0 (resp. 0− resp. 0+ ).
Dans le cas de l’inverse, on a vu que u 6= 0 localement dans le cas de la continuité et par ailleurs :
1
1
τ [ , x0 ](h) = −τ [u, x0 ](h)
u
u(x0 + h)u(x0 )
•
Remarque 11.1.3 En reprenant les hypothèses de la Proposition.
On en déduit de façon évidente la linéarité de la dérivée :
(λu + µv)0 (x0 ) = λu0 (x0 ) + µv 0 (x0 )
Mais aussi dans le cas où v(x0 ) 6= 0
³ u ´0
v
(x0 ) =
u0 (x0 )v(x0 ) − u(x0 )v 0 (x0 )
v 2 (x0 )
∗
5
D’où la conclusion.
6
Exemple: On en déduit que tous les fractions rationnelles sont dérivables en tout point de leurs domaines
de définition.
Proposition 11.1.5 (Composition) Soient f définie sur un intervalle I et g définie sur un intervalle
J, telles que :
f
g
I −→ J −→ R
Si f est dérivable en x0 ∈ I et que g est dérivable en f (x0 ), Alors
g ◦ f est dérivable en x0
(g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 )
et
♣
Démonstration1 Grâce à la definition de la dérivabilité, on voit que
f est dérivable en x0 si et seulement si
∀x ∈ I, f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )ϕ(x) où ϕ est une fonction continue en x0
On a alors f 0 (x0 ) = ϕ(x0 )
De même pour g : g est dérivable en f (x0 ) si et seulement si
∀y ∈ J, g(y) = g(f (x0 )) + (y − f (x0 ))ψ(x) où ψ est une fonction continue en f (x0 )
On a alors g 0 (f (x0 )) = ψ 0 (f (x0 ))
Il suffit donc de montrer que
∀x ∈ I,
(g ◦ f )(x) = (g ◦ f )(x0 ) + (x − x0 )χ(x)
où χ est une fonction continue en x0 et χ(x0 ) = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 )
En effet
∀x ∈ I,
g(f (x)) = g(f (x0 )) + (f (x) − f (x0 ))ψ(f (x)) = g(f (x0 )) + (x − x0 )ϕ(x)ψ(f (x))
On pose pour tout x ∈ I, χ(x) = ϕ(x)ψ(f (x)), d’après les théorèmes sur le produit et la composition
de fonctions continues (en effet ϕ, ψ et f sont continues en x0 ), on voit que χ est continue en x0 et
χ(x0 ) = ϕ(x0 )ψ(f (x0 )) = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 )
•
Remarque 11.1.4 Dans le cas où x0 est une des extrémités de I , et/ou même encore si f (x0 ) est une
des extrémités de J, le théorème ci dessus reste vrai à condition de modifier le dérivabilité de f et/ou de
g et/ou de g ◦ f en dérivabilité à gauche et/ou à droite en x0 et/ou en f (x0 ). Et la formule analogue en
découle.
∗
On retient cette formule en revenant à la notation de Leibniz :
Soient x une fonction de la variable t et y une "transformation" de x on a alors :
dy dx
dy
=
·
dt
dx dt
Lemme 11.1.6
Soit f une fonction continue, strictement monotone sur un intervalle I = hα, βi. Notons encore f
la bijection induite.
Si pour un certain x0 ∈ I, f est dérivable (resp. à gauche ou à droite) en x0 et que
f 0 (x0 ) 6= 0
Alors la réciproque est dérivable (resp. à gauche ou à droite) en y0 = f (x0 ) et sa dérivée vaut :
(f −1 )0 (y0 ) =
1
f 0 (f −1 (y0 ))
(avec les formules analogues pour les dérivées à gauche ou à droite)
1 je
tiens à remercier Tan Lei, pour m’avoir donner cette preuve courte et élégante
6
♣
11.2. DÉRIVABILITÉ SUR UN INTERVALLE
7
Démonstration Soit J ⊂ I un voisinage épointé (resp. à gauche resp. à droite) de x0 , alors le théorème
de la bijection, nous montre que K := f (J) est un voisinage épointé (resp. à gauche ou à droite, suivant
la monotonie de f ) de y0 .
D’où si l’on pose X = f −1 (y), on a :
lim X = x0
y→y0
y∈K
et
y∈K⇔X∈J
Et donc par composition des limites :
lim
y→y0
y∈K
y − y0
f (X) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
= y→y
lim
= x→x
lim
= l 6= 0
0
0
f −1 (y) − f −1 (y0 )
X
−
x
x − x0
0
y∈K
x∈J
où l est la dérivée (resp. à gauche resp à droite) en x0 de f .
D’où par passage à l’inverse dans la limite :
lim
y→y
0
y∈K
f −1 (y) − f −1 (y0 )
1
= ∈R
y − y0
l
Et donc f −1 est dérivable (resp. à gauche ou à droite) en y0 .
La formule en découle, et la conséquence sur la dérivabilité sur l’intervalle ouvert est immédiate.
•
Remarque 11.1.5 Même si on retrouve la formule le fait de de dériver la relation g ◦ f = IdI en x0 ne
constitue pas une preuve de la dérivabilité de f −1 .
∗
Remarque 11.1.6 Géométriquement le graphe de f −1 s’obtient, à partir de celui de f , par symétrie par
rapport à la première bissectrice y = x.
Ainsi l’égalité entre les dérivées, n’exprime rien d’autre que :
"les tangentes respectives sont symétriques par rapport à la première bissectrice".
∗
Remarque 11.1.7 A nouveau la notation de Leibniz, nous donne une écriture simple de cette formule :
Soit y une fonction de la variable x, sa réciproque sera alors x fonction de la variable y, alors :
dx
1
= dy
dy
dx
∗
11.2
11.2.1
Dérivabilité sur un intervalle
Définitions
De la même façon que pour les fonctions continues, on définit
la fonction f |I est dérivable en chaque point x0 ∈ I.
df
ou encore Df l’application dérivée ainsi définie.
On note alors f 0 ou dx
♠
Exemple: la fonction valeur absolue est dérivable sur ]0, +∞[ et sur ]−∞, 0[, mais elle n’est pas dérivable
en 0.
Corollaire 11.2.1 Toute fonction dérivable sur un intervalle ouvert I est continue sur I.
7
♣
Définition 11.2.1 (Dérivabilité sur un intervalle ouvert) Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que f est dérivable sur I, lorsque :
8
Définition 11.2.2 (Fonction dérivée à droite- Fonction dérivée à gauche)
Soit f une fonction dont le domaine de définition est Df . On appelle domaine de dérivabilité à droite
l’ensemble
∆+
f est dérivable à droite en x}
f := {x ∈ Df ,
De même, on appelle domaine de dérivabilité à gauche l’ensemble
∆−
f := {x ∈ Df ,
f est dérivable à gauche en x}
+
On note alors fd0 la fonction dérivée à droite dont le domaine de définition est ∆+
f et qui à chaque x ∈ ∆f
0
associe la valeur dérivée à droite fd (x).
Et on a la définition analogue pour la fonction dérivée à gauche fg0
♠
Définition 11.2.3 (Fonction dérivée) Soit f une fonction dont le domaine de définition est Df , on
appelle domaine de dérivabilité l’ensemble
∆f := {x ∈ Df ,
f est dérivable en x}
df
On note alors f 0 ou dx
la fonction dont le domaine de définition est ∆f et qui à chaque x ∈ ∆f associe
la valeur dérivée f 0 (x)
♠
−
Remarque 11.2.1 En général, on a ∆f 6= ∆+
f ∩ ∆f (voir exemple de la valeur absolue).
En revanche grâce au lemme 11.1.3 on voit que
−
∆f := {x ∈ ∆+
f ∩ ∆f ,
fg0 (x) = fd0 (x)}
∗
d
Par abus de langage on notera parfois (f (x))0 ou dx
(f (x)) pour désigner f 0 (x).
En particulier, on notera
¯
³
´0
d
¯
:=
f (x)
f (x)¯
:= f 0 (x0 )
dx
x0
x=x0
Proposition 11.2.2 La fonction racine carrée a pour domaine de dérivabilité R∗+ . Et pour tout x ∈ R∗+
√
1
( x)0 = √
2 x
♣
Preuve Soit x0 ∈ R∗+ . En multipliant par la quantité conjuguée
√
√
x − x0
1
=√
√
x − x0
x + x0
Et donc puisque la racine carrée est continue en x0 , on trouve par passage à la limite :
√
1
( x)0x0 = √
2 x0
En revanche vu que
√
√
x− 0
1
=√
x−0
x
On voit bien que le graphe de la racine carrée admet une demi-tangente verticale en 0.
11.2.2
Opérations algébriques
Grace aux propriétés des valeurs dérivées, on a les propriétés suivantes :
8
•
11.3. PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES
9
Proposition 11.2.3 Soient u et v définies et dérivables sur un intervalle I.
la somme, le produit sont alors dérivables sur I.
Si de plus u ne s’annule pas sur I, 1/u est également dérivable sur I
Plus précisément, on a les formules
(u + v)0 = u0 + v 0
µ ¶0
1
u0
=− 2
u
u
(uv)0 = u0 v + uv 0
♣
Proposition 11.2.4 (Enchaînement) Soient f dérivable sur un intervalle ouvert I et g dérivable sur
un intervalle ouvert J telles que
f
g
I −→ J −→ R
Alors g ◦ f est dérivable sur I et (g ◦ f )0 = [g 0 ◦ f ] · f 0 sur I.
♣
Remarque 11.2.2 Les propositions ci-dessus n’expriment que des conditions suffisantes de dérivabilité
donc
∆u+v ⊃ ∆u ∩ ∆v
∆uv ⊃ ∆u ∩ ∆v et ∆g◦f ⊃ {x ∈ ∆f , f (x) ∈ ∆g }
les égalités étant fausses en général.
∗
On va apporter ici un complément au théorème de la bijection.
Corollaire 11.2.5 Si f est dérivable ET sans points critiques sur ]α, β[, Alors
f est strictement monotone, le théorème de la bijection s’applique et
f −1 est dérivable sur f (]α, β[)
avec
(f −1 )0 =
f0
1
◦ f −1
Si de plus f est continue sur [α, β], alors le théorème de la bijection s’applique sur [α, β]
11.3
♣
Propriétés Fondamentales
On va tenter de relier des propriétés de monotonie (sens de variation, extrema...) ou de régularité, au
comportement de la fonction dérivée.
Un premier résultat évident :
Lemme 11.3.1 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I. Alors
f est croissante sur I =⇒ ∀x ∈ I, f 0 (x) ≥ 0
Et le résultat analogue dans le cas f décroissante
♣
Preuve Dans le cas où f est croissante, on a
τ [f, x](h) ≥ 0
Il suffit alors de passer à la limite h → 0 (resp. 0− resp 0+ ) pour conclure
•
Remarque 11.3.1 Ce n’est pas parce qu’une fonction dérivable est strictement croissante, que sa dérivée
sera strictement positive.
Exemple: la fonction x 7→ x3 est dérivable strictement croissante, mais sa dérivée s’annule en 0.
∗
9
De même on peut remplacer la dérivée par la dérivée à gauche (resp. à droite)
10
11.3.1
Extrema Locaux
Proposition 11.3.2 Soit f admettant un extremum local en un point x0 où f est dérivable, on a
Alors
f 0 (x0 ) = 0
♣
Preuve Soit ]x0 − δ, x0 + δ[ un voisinage de x0 sur lequel f est définie et admet f (x0 ) pour extremum.
On a par exemple dans le cas d’un maximum :
∀x ∈]x0 − δ, x0 + δ[,
f (x) ≤ f (x0 )
On en déduit :
∀h ∈]0, δ[,
τ [f, x0 ](h) ≤ 0
fd0 (x0 )
On en déduit par passage à la limite
≤ 0.
De même on montre que
∀h ∈] − δ, 0[,
τ [f, x0 ](h) ≥ 0
D’où fg0 (x0 ) ≥ 0.
Et donc puisque f est dérivable en x0 , on a 0 ≤ fg0 (x0 ) = f 0 (x0 ) = fd0 (x0 ) ≤ 0.
Dans le cas d’un minimum la preuve est similaire.
•
Définition 11.3.1 Un point x0 est dit point critique pour une fonction f dérivable en x0 , lorsque
f 0 (x0 ) = 0
♠
Remarque 11.3.2 Les extrema locaux ne sont pas tous des points critiques, en effet il peut y avoir des
extrema locaux en des points où la fonction n’est pas dérivable.
Exemple: la fonction valeur absolue admet un minimum en 0, où pourtant elle n’est pas dérivable
Par ailleurs, on peut trouver des points critiques qui ne correspondent pas à des extrema locaux
Exemple: La fonction x 7→ x3 a une dérivée nulle en 0, sans avoir d’extrema locaux.
∗
En revanche, on a la réciproque partielle :
Proposition 11.3.3 Soit f dérivable sur un intervalle ouvert I Alors
f admet un extremum local en x0 ∈ I ⇐⇒ f 0 s’annule en changeant de signe en x0
♣
11.3.2
Théorème des Accroissements finis
Lemme 11.3.4 (de Rolle) Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé [a, b] et dérivable
sur l’intervalle ouvert ]a, b[.Alors
f (a) = f (b) =⇒ ∃c ∈]a, b[,
f 0 (c) = 0
♣
Démonstration Si f est constante la preuve est directe. Supposons alors que f n’est pas constante, on
sait alors qu’il existe un point ω ∈]a, b[ tel que f (ω) 6= f (a). Supposons par exemple f (ω) > f (a).
Comme f est continue sur [a, b], f est bornée et atteint ses bornes. Soit alors f (c) sa borne supérieure,
avec c ∈ [a, b].
Si par l’absurde c = a (ou b) alors f (c) = f (a) < f (ω) ce qui est absurde donc c ∈]a, b[ d’où d’après la
Proposition 11.3.2
f 0 (c) = 0
•
10
11
Remarque 11.3.3 On peut interpréter géométriquement ce résultat :
Soit f vérifiant les hypothèses du Lemme de Rolle. Si son graphe admet une corde horizontale, Alors il
existe quelque part une tangente horizontale.
∗
On peut généraliser ce résultat en ce Théorème fondamental en analyse, qu’on notera TAF :
Théorème 11.3.5 (Accroissements Finis) Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé
[a, b] et dérivable sur l’intervalle ouvert ]a, b[ (on pose b = a + h) Alors
∃c ∈]a, b[,
f 0 (c) = τ [f, a](h) =
f (b) − f (a)
b−a
Plus particulièrement :
Quelque soit f dérivable sur un intervalle ouvert I, et quelque soit x ∈ I et h ∈ R tel que x + h ∈ I
∃cx,h ∈ I,
f 0 (cx,h ) = τ [f, x](h) =
f (x + h) − f (x)
h
i.e.
f (x + h) − f (x) = h · f 0 (x + θ · h)
∃θ ∈]0, 1[;
♣
Preuve Il s’agit d’appliquer le Lemme de Rolle à la fonction
ϕ(x) = f (x) −
f (b) − f (a)
(b − x)
b−a
La deuxième est alors la conséquence de la première appliquée à l’intervalle [x, x + h]
•
Remarque 11.3.4
D’un point de vue analytique : Ce résultat porte bien son nom, car il s’agit là d’identifier un accroissement fini (le taux d’accroissement) à un certain accroissement infinitésimal (la dérivée). Ce résultat
exprime toute sa force du fait qu’il nous permet d’extrapoler aux differences finies ce que l’on sait sur les
differences infinitésimales....
D’un point de vue géométrique, l’interprétation est la suivante :
Si f vérifie les hypothèses du TAF Alors toute corde est parallèle à une certaine tangente au graphe ∗
Théorème 11.3.6 (Inégalités des Accroissements finis) Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé [a, b] et dérivable sur l’intervalle ouvert ]a, b[
Si m ≤ f 0 ≤ M
sur
]a, b[ Alors
m(b − a) ≤ f (b) − f (a) ≤ M (b − a)
En particulier :
Si |f 0 | ≤ M sur l’intervalle I Alors f est M -lipschitzienne sur I
♣
Exercice: Le prouver
En Effet :
D’après le TAF appliqué à f sur [a, b], on peut trouver c ∈]a, b[ tel f 0 (c) =
f (b)−f (a)
b−a
or m ≤ f 0 (c) ≤ M D’où
.
La deuxième partie de la preuve, en découle alors :
Pour tout x, y dans I avec par exemple x < y (le cas d’égalité étant trivial) on a en appliquant ce qui précède à f sur [x, y] où f
est continue, sachant que f est dérivable sur ]x, y[ :
−M ≤ f ≤ M
sur ]x, y[
et donc − M (y − x) ≤ f (y) − f (x) ≤ M (y − x)
D’où
2
∀(x, y) ∈ I ,
|f (y) − f (x)| ≤ M |y − x|
11
m(b − a) ≤ f (b) − f (a) ≤ M (b − a)
12
Remarque 11.3.5 On peut donner une interprétation mécanique à ce résultat :
Si un mobile se déplace à la vitesse instantanée v(t) sur une durée de temps ∆t alors la distance parcourue
vérifie
Vmin ∆t ≤ ∆x ≤ Vmax ∆t
Où Vmax est la vitesse absolue maximale du mobile sur le laps de temps ∆t.
En particulier la distance maximale que l’on peut espérer parcourir est alors de :
(∆x)max = Vmax ∆t
∗
11.3.3
Sens de variation
11.3.3.1
Monotonie
Proposition 11.3.7 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors
f est croissante sur I ⇐⇒ ∀x ∈ I, f 0 (x) ≥ 0
Et le résultat est analogue dans le cas f où est décroissante
♣
Démonstration L’implication directe a déjà été montrée.
La réciproque provient du TAF. En effet soient x ∈ I et h ∈ R tel que x + h ∈ I, si par l’absurde
τ [f, x](h) < 0
on sait grâce au TAF qu’il existe c ∈ I tel que
f 0 (c) = τ [f, x](h) < 0
D’où la contradiction.
•
Remarque 11.3.6 Le fait que l’on se soit placé sur un intervalle est très important, puisque par exemple
la fonction x 7→ 1/x est dérivable sur R∗ de dérivée négative, mais elle n’est pas décroissante sur R∗ ∗
Corollaire 11.3.8 Les seules fonctions dérivables sur un intervalle dont la dérivée est nulle sont les
fonctions constantes
♣
Preuve On sait déjà que les fonctions constantes sont des solutions de f 0 = 0. Réciproquement si la
dérivée f 0 est nulle sur un intervalle I, elle est donc positive et négative, donc la fonction est croissante
et décroissante sur I elle est donc constante
•
Remarque 11.3.7 Encore une fois le fait que l’on se soit placé sur un intervalle est très important. En
effet, la fonction définie sur R∗ et qui x 7→ |x|/x est de dérivée nulle, mais non constante sur R∗ .
De même il ne suffit pas d’avoir fd0 = 0 ou fg0 = 0 pour que la fonction soit constante, comme nous le
montre la fonction partie entière dont la dérivée à droite est nulle sur R.
∗
11.3.3.2
Monotonie Stricte
Lemme 11.3.9 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
f est strictement monotone (i.e. injective) sur I si et seulement si :
f 0 est de signe constant sur I ET n’est pas localement nulle sur I
♣
Preuve C’est une condition nécessaire, car comme on l’a vu f 0 de signe constant et si f 0 = 0 sur un
intervalle du type ]x0 − h, x0 + h[⊂ I alors d’après Rolle, f est constante sur cet intervalle ce qui contredit
la monotonie stricte.
C’est une condition suffisante.
On sait déjà que f est monotone car elle car f 0 est de signe constant, montrons la monotonie stricte. Dans
le cas contraire, on peut trouver a < b dans I tels que f (a) = f (b) et par monotonie stricte f constante
sur [a, b] et donc f 0 = 0 sur ]a, b[... d’où la contradiction
•
Plus précisément on a :
12
13
Corollaire 11.3.10 Soit f une fonction dérivable sur l’intervalle ouvert ]a, b[ (éventuellement continue sur l’intervalle fermé [a, b])
(∀x ∈]a, b[,
f 0 (x) > 0) =⇒ f strictement % sur]a, b[
(event. sur [a, b])
(∀x ∈]a, b[,
f 0 (x) < 0) =⇒ f strictement & sur]a, b[
(event. sur [a, b])
De même
♣
Exercice: Montrer que toute fonction f telle que f 0 > 0 sur un intervalle sauf éventuellement sur un
nombre fini de points est strictement croissante. Exemple: x 7→ x3 sur R
Exercice: Montrer que pour f dérivable sur un intervalle I, on a
f 0 6= 0
11.3.4
sur I =⇒ f strictement monotone sur I
Tableau de variation
Pour rassembler les propriétés ci-dessus, on peut tracer ce qu’on appelle le tableau de variation d’une
fonction définie, continue et dérivable sur une réunion finie d’intervalles. Dans une première ligne on
place les valeurs caractéristiques de la fonction ainsi que ses points critiques. Enfin en deuxième ligne on
représente les variations strictes de la fonction par des flèches % & voire →.
On placera aux extrémités de ces flèches les valeurs limite de la fonction.
x
f (x)
−∞
0
+
f
a
0
f (a)
%
-
b
0
+
f (c− )
&
λ
%
f (b)
c
||
||
||
||
+∞
+
µ
%
f (c+ )
On voit ainsi apparaître les extrema locaux f (a) et f (b) (qui sont ici globaux), mais aussi le fait que, par
exemple, f induit une bijection (strictement croissante) entre ]c, +∞[ et ]f (c+ ), µ[.
11.3.5
Courbes Paramétrées et Prolongements
Corollaire 11.3.11 Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle fermé [a, b] et dérivables
sur l’intervalle ouvert ]a, b[ (on pose b = a + h) Alors
∃c ∈]a, b[,
f 0 (c)[g(b) − g(a)] = g 0 (c)[f (b) − f (a)]
♣
Preuve Il suffit non pas d’appliquer deux fois le TAF pour f puis pour g, car le point "c" peut être
distinct. En revanche il s’agit d’appliquer le Lemme de Rolle à la fonction :
φ(x) = (f (x) − f (a))(g(b) − g(a)) − (g(x) − g(a))(f (b) − f (a))
•
Proposition 11.3.12 (Règle de l’Hospital) Soit a ∈ I et f, g continues sur l’intervalle I et dérivables
en tout point de I \ {a} telles que
f (a) = g(a) = 0
On a
Si lim
t→a
t6=a
et
f 0 (t)
=`∈R
g 0 (t)
g 0 (t) 6= 0
∀t ∈ I \ {a},
Alors
lim
t→a
t6=a
f (t)
=`
g(t)
Avec les résultats analogues pour les dérivées à gauche resp. à droite
13
♣
Remarque 11.3.8 L’interprétation géométrique de ce résultat nous dit que pour toute courbe paramétrée
{(x(t), y(t)), t ∈ [a, b]} (où x et y sont des fonctions du temps t vérifiant les hypothèses du Corollaire) la
corde reliant deux points de la courbe est parallèle à une certaine tangente.
∗
14
Démonstration On ne montre que le cas ` ∈ R.
Puisque ∀t ∈ I \ {a}, g 0 (t) 6= 0, on en déduit par stricte monotonie
∀t ∈ I \ {a},
g(t) 6= 0
Supposons que I contienne un voisinage à droite de a.
Soit ε > 0 quelconque, on peut trouver α > 0 tel que
]a, a + α[⊂ I \ {a}
et
∀t ∈]a, a + α[,
f 0 (t)
∈]` − ε, ` + ε[
g 0 (t)
Soit v ∈]a, a + α[ quelconque.
Pour tout u ∈]a, v[, on a, d’après le corollaire précédent appliqué sur [u, v],
f (v) − f (u)
f 0 (c)
= 0
g(v) − g(u)
g (c)
avec u < c < v
En particulier puisque c ∈]a, a + α[
f (v) − f (u)
∈]` − ε, ` + ε[
g(v) − g(u)
D’où par passage à la limite lorsque u → a+ , on trouve.
f (v)
∈ [` − ε, ` + ε]
g(v)
On a donc montré que
∀ε > 0,
∃α > 0;
∀v ∈ I,
v ∈]a, a + α[=⇒ |
f (v)
− `| ≤ ε
g(v)
i.e.
lim
t→a+
f (t)
=`
g(t)
Dans le cas où I contienne un voisinage à droite de a, on montre par un raisonnement analogue que
lim
t→a−
f (t)
=`
g(t)
•
Remarque 11.3.9 Nous savions déjà que lorsqu’elle existait la limite des cordes d’une courbe paramétrée
était la tangente.
Cette règle nous dit que lorsque la tangente d’une courbe paramétrée au voisinage du point O(a) tend vers
une droite, celle-ci est tangente à la courbe en O(a).
∗
Exercice: Calculer la tangente au paramètre −2 de la courbe paramétrée
x(t) = (t + 1)et
et
y(t) = t2 et
Voici un cas particulier de la Règle de l’Hospital (en prenant f (t) = ϕ(t) − ϕ(a) et g(t) = t − a)
Proposition 11.3.13 Soit a ∈ I et ϕ continue sur l’intervalle I et dérivable sur I \ {a}.
Si x→a
lim ϕ0 (x) = `
Alors
(ϕ dérivable en a
et
ϕ0 (a) = `)
x6=a
Avec les résultats analogues pour les dérivées à gauche resp. à droite
14
♣
11.4. DÉRIVÉES SUCCESSIVES
15
Preuve soit h > 0 quelconque, suffisamment petit.
D’après le TAF appliqué à f sur [a, a + h] et/ou [a − h, a].
Puisque f y est continue et dérivable sur ]a, a + h[ et/ou ]a − h, a[ On a
ϕ(a + h) − ϕ(a)
= ϕ0 (ch ) avec a < ch < a+h
h
ϕ(a) − ϕ(a − h)
= ϕ0 (dh ) avec a−h < dh < a
h
et/ou
Or par le théorème des gendarmes
lim ch = a+
h→0+
lim dh = a−
et/ou
h→0+
D’où par composition des limites
lim+
h→0
ϕ(a + h) − ϕ(a)
= lim+ ϕ0 (x) = `
h
x→a
et donc ϕ0d (a) = `
et/ou
et/ou
lim+
h→0
ϕ(a) − ϕ(a − h)
= lim− ϕ0 (x) = `
h
x→a
ϕ0g (a) = `
•
Remarque: La réciproque comme nous le montre l’exemple de la fonction
f (x) = x2 sin(1/x)
et
f (0) = 0
qui est dérivable sur R et pourtant f 0 n’est pas continue en 0 (le montrer)
Exercice: En reprenant les notations de la proposition, montrer que
Si x→a
lim f 0 (x) = +∞
Alors
x6=a
11.4
11.4.1
lim
x→a
x6=a
f (x) − f (a)
= +∞
x−a
Dérivées Successives
Définitions et propriétés
Toute fonction dérivable sur un intervalle ouvert I définit une nouvelle fonction f 0 , on peut alors
s’intéresser à la dérivabilité sur I et à la dérivée de cette nouvelle fonction qu’on appelle dérivée seconde
et que l’on note f 00 .... Et de façon générale en réitérant ce processus n fois on définit les fonctions n−fois
dérivables sur I et on note la dérivée n−ième f (n) . En particulier on posera f (0) = f
Définition 11.4.1 L’ensemble des fonctions n fois dérivables sur un intervalle ouvert I est défini par
récurrence :
f est (n + 1)− fois dérivable sur I de dérivée (n + 1)−ième f (n+1) si et seulement si
f est n− fois dérivable sur I et sa dérivée n−ième f (n) est dérivable sur I et vérifie
∀x ∈ I,
d (n)
f (x) = f (n+1) (x)
dx
Remarque 11.4.1 En général, nous ne disposons pas de formule générale donnant la dérivée n−ième
d’une composée de fonctions, en revanche, pour toute fonction f n fois dérivable sur un intervalle I, on
a:
∀a, b ∈ R,
(f (ax + b))(n) = an f (n) (ax + b)
De même lorsque n ≥ 1
∀a, b ∈ R,
(af (x) + b)(n) = af (n) (x)
∗
Exercice: Prouver ces deux égalités par une récurrence sur n.
15
♠
16
Proposition 11.4.1 La somme et le produit de deux fonctions n−fois dérivable sont des fonctions n−fois
dérivables et l’on a
n
X
(n)
(n)
(n)
(n)
Cnk u(k) v (n−k)
(u + v) = u + v
et (uv) =
k=0
♣
Preuve On laissera la preuve de la somme en exercice (faire une récurrence). Regardons le produit.
Soit Pn la propriété de récurrence.
Pour tout u et v n-fois dérivables on a uv est n fois dérivable et (uv)(n) =
Pn
k=0
Cnk u(k) v (n−k)
Pour n = 0 la propriété P0 s’écrit uv = uv ce qui est évidemment vrai
Pour n ∈ N fixé, supposons Pn vraie.
Soient u et v (n + 1)-fois dérivables, en particulier elles sont n fois dérivables et donc par hypothèse de
récurrence
n
X
(uv)(n) =
Cnk u(k) v (n−k)
k=0
Comme somme et produit de fonctions dérivables cette expression est dérivable, d’où uv est (n + 1) fois
dérivable et par dérivation on obtient
(uv)(n+1) =
n
X
Cnk u(k+1) v (n−k) +
n
X
Cnk u(k) v (n+1−k)
k=0
k=0
Par réindexation de la première somme, on trouve
(uv)(n+1) =
n+1
X
Cnk−1 u(k) v (n+1−k) +
k=1
D’où
(uv)(n+1) = uv (n+1) +
n
X
Cnk u(k) v (n+1−k)
k=0
n
X
(Cnk−1 + Cnk )u(k) v (n+1−k) ) + u(n+1) v
k=1
k
= Cnk−1 + Cnk , que Pn+1 est vérifiée
Et on conclut grâce à la relation du triangle de Pascal : Cn+1
Conclusion on a donc montré par récurrence que pour tout k ∈ N, Pk est vraie
•
Remarque 11.4.2 La dernière formule s’appelle la formule de Leibniz, elle est l’analogue de la formule
de Newton :
n
X
∀a, b ∈ R,
(a + b)n =
Cnk ak bn−k
k=0
∗
11.4.2
La classe C p
Définition 11.4.2 On dit qu’une fonction est de classe C 1 sur un intervalle ouvert I, lorsque :
f est dérivable sur I et f 0 est continue sur I.
On note alors f ∈ C 1 (I).
On peut alors définir par récurrence les classes C p (p ∈ N∗ ), par
h
i
f ∈ C p (I) ⇐⇒ f ∈ C p−1 (I) et f (p−1) ∈ C 1 (I)
♠
Remarque 11.4.3
C p (I) n’est rien d’autre que l’ensemble des fonctions f p-fois dérivables qui vérifient f (p) ∈ C 0 (I).
On définit de même les fonctions de classe C ∞ sur I comme étant les fonctions de classe C p sur I pour
tout p ∈ N.
\
C p (I)
C ∞ (I) :=
n∈N
∗
16
11.5. FONCTIONS CONVEXES
17
Exemple: x 7→ 1/x est de classe C ∞ sur tout intervalle de R∗
Comme pour les fonctions plusieurs fois dérivables on a
Proposition 11.4.2 (Structure Algébrique)
Soit I un intervalle ouvert, et u, v ∈ C p (I), alors quels que soient λ, µ ∈ R, on a
λu + µv ∈ C p (I)
et
u · v ∈ C p (I)
(C p (I), +, ·) est un sous-espace vectoriel. (de même pour C ∞ ).
♣
Proposition 11.4.3 (Enchaînement) soit p ∈ N ∪ {+∞}. Soient f ∈ C p (I) et g ∈ C p (J) tels que
I
f
−→ J
g
−→ R
Alors g ◦ f ∈ C p (I)
♣
Exercice: Montrer cette propriété par récurrence sur la propriété définie pour tout p ∈ N
P(p) : ”∀(f, g) ∈ C p (I) × C p (J),
f (I) ⊂ J =⇒ g ◦ f ∈ C p (I)
Corollaire 11.4.4 Soit p ∈ N ∪ {+∞} Si f ∈ C p (I) et ne s’annule pas sur I alors 1/f ∈ C p (I)
♣
Démonstration Puisque f est continue ne s’annulant pas sur l’intervalle I elle est donc de signe strict
constant, par exemple f (I) ⊂ R∗+ .
Or puisque u : x 7→ 1/x est de classe C p sur R∗+ , on en déduit d’après la proposition précédente :
1/f = u ◦ f ∈ C p (I)
•
Exemple: les fonctions polynômes, fractions rationnelles, trigonométriques, hyperboliques, exponentielle
et logarithme sont de classe C ∞ sur leur domaine de définition. (faire une récurrence)
Lemme 11.4.5 (Prolongement C 1 à droite) Soit f ∈ C 0 ([a, b]) ∪ C 1 (]a, b]).
Si f 0 admet une limite en a+ Alors f ∈ C 1 ([a, b])
On a le résultat analogue dans le cas du prolongement C 1 à gauche
11.5
11.5.1
♣
Fonctions Convexes
Defintion
Lorsque l’on regarde un domaine du plan : un carré, un trapèze, un disque ou un sablier (deux triangles
reliés par un sommet), on voit que seuls les trois premiers vérifient la propriété :
Dans le cas d’une fonction f définie sur un intervalle I, celle-ci définit un domaine du plan, qu’on
appelle l’épigraphe de f sur I : il s’agit de l’ensemble des points se trouvant au dessus du graphe de f |I,
on le note EpiI (f )
EpiI (f ) := {M (x, y) | x ∈ I et y ≥ f (x)}
Définition 11.5.1 (Fonction Convexe) Soit f une fonction définie sur un intervalle I, on dit que f
est convexe sur I lorsque l’une des deux assertions équivalentes suivantes est vérifiée
(i) EpiI (f ) est convexe
(ii) Pour tout a, b ∈ I le graphe de f |[a,b] est en dessous de la corde [Ma Mb ]
17
(Cx)
Tous les points du domaine peuvent être reliés par un segment sans sortir du domaine.
(Cx) est ce qui caractérise la convexité d’un domaine.
18
(iii) ∀λ ∈ [0, 1], ∀(a, b) ∈ I 2 ,
Où Mθ = (θ, f (θ)).
f (λa + (1 − λ)b) ≤ λf (a) + (1 − λ)f (b)
On dira par ailleurs que f est concave lorsque −f est convexe
♠
Preuve
• (i) =⇒ (ii) évident
• (ii) =⇒ (i) Soient (N, P ) ∈ EpiI f 2 , montrons que [N P ] ⊂ EpiI f .
En posant N (a, A), P (b, B) et N 0 (a, f (a)) , P 0 (b, f (b)).
Soit M (x, y) ∈ [N, P ] quelconque posons alors M 0 (x, y 0 ) ∈ [N 0 , P 0 ], en particulier y 0 ≤ y et donc grâce à
(ii)
f (x) ≤ y 0 ≤ y
D’où
∀M ∈ [N, P ],
M ∈ EpiI f
• (ii) ⇐⇒ (iii) Ceci découle du fait que
³
´
[Ma Mb ] = {λMa + (1 − λ)Mb | λ ∈ [0, 1]} = {M λa + (1 − λ)b, λf (a) + (1 − λ)f (b) | λ ∈ [0, 1]}
M (x, y) ∈ EpiI f ⇐⇒ f (x) ≤ y
•
Proposition 11.5.1 (Inégalité de Jensen)
Soient f convexe sur un intervalle I et λ1 , . . . , λn (n ≥ 2) réels positifs
Si
n
X
λk = 1
Alors
∀(x1 , . . . , xn ) ∈ I n ,
f
k=1
n
³X
n
´ X
λk xk ≤
λk f (xk )
k=1
k=1
♣
Démonstration Soit f convexe sur I et pour n ≥ 2, on pose
P(n) : ”∀(λ1 , . . . , λn ) ∈ (R+ )n ,
n
X
∀(x1 , . . . , xn ) ∈ I n ,
λk = 1 =⇒ f
k=1
n
³X
n
´ X
λk x k ≤
λk f (xk )”
k=1
k=1
• P(2) est vérifié par définition de la convexité de f .
En effet quels que soient (λ1 , λ2 ) ∈ (R+ )2 et (x1 , x2 ) ∈ I 2
³
´
³
´
λ1 + λ2 = 1 =⇒ λ2 = 1 − λ1 =⇒ f λ1 x1 + λ2 x2 = f λ1 x1 + (1 − λ1 )x2 ≤ λ1 f (x1 ) + (1 − λ1 )f (x2 )
|{z}
≥0
• Soit n ≥ 2 et supposons P(n) vérifié, Montrons que P(n + 1) l’est aussi.
Soient (λ1 , .P
. . , λn , λn+1 ) ∈ (R+ )n+1 , et (x1 , . . . , xn , xn+1 ) ∈ I n+1 quelconques.
n
Supposons k=1 λk + λn+1 = 1.
Le cas λn+1 = 1 étant simple, on peut alors supposer λn+1 6= 1.
Posons alors
n+1
X
1
yn+1 =
λk xk
1 − λn+1
k=1
Par convexité on en déduit
³ n+1
´
³
´
X
f
λk xk = f λn+1 xn+1 + (1 − λn+1 )yn+1 ≤ λn+1 f (xn+1 ) + (1 − λn+1 )f (yn+1 )
k=1
Or d’après P(n), puisque
Pn+1
λk
k=1 1−λn+1
=1
f (yn+1 ) ≤
n+1
X
k=1
λk
f (xk )
1 − λn+1
Et donc P(n + 1) est vérifiée.
Conclusion on a donc montré par récurrence la propriété annoncée.
Exemple: les fonctions valeur absolue et puissance carrée sont convexes sur R
18
•
19
Proposition 11.5.2 (Inégalité des 3 pentes) toute application convexe f sur un intervalle ]a, b[ vérifie :
f (x) − f (a)
f (b) − f (a)
f (b) − f (x)
∀x ∈]a, b[,
≤
≤
(11.1)
x−a
b−a
b−x
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
(1)
(2)
(3)
♣
Démonstration Pour s’en convaincre, on pourra faire un dessin et interpréter ces expressions comme
les pentes de trois cordes.
Soit x ∈]a, b[, alors
b−x
x = λa + (1 − λ)b avec λ =
∈]0, 1[
b−a
Et donc par convexité
´
1 ³
f (x) = f (λa + (1 − λ)b) ≤ λf (a) + (1 − λ)f (b) =
(b − x)f (a) + (x − a)f (b)
b−a
Et donc
¡
¢
¡
¢
(b − a) f (x) − f (a) ≤ (x − a) f (b) − f (a) et
¡
¢
¡
¢
(b − a) f (x) − f (b) ≤ (b − x) f (a) − f (b)
•
Exercice: Montrer que toute application f vérifiant l’une des trois assertions équivalentes
(x)
(x)
≤ f (z)−f
"(1) ≤ (2)"
(i) ∀(x, y, z) ∈ I 3 , x < y < z =⇒ f (y)−f
y−x
z−x
(ii)
∀(x, y, z) ∈ I 3 ,
f (y)−f (x)
(y)
≤ f (z)−f
y−x
z−y
(y)
(x)
≤ f (z)−f
=⇒ f (z)−f
z−x
z−y
x < y < z =⇒
"(1) ≤ (3)"
x<y<z
"(2) ≤ (3)"
(iii) ∀(x, y, z) ∈ I 3 ,
est convexe sur I
Exercice: Quelles caractérisations analogues a-t’on dans le cas concave ?
∀a ∈ I,
I \ {a} −→
x
7→
R
f (x)−f (a)
x−a
est croissante
♣
Démonstration Notons ϕa l’application définie ci-dessus.
Si f est convexe, et a ∈ I quelconque alors d’après 11.1, on a
∀(x, b) ∈ I 2 ,
a < x < y =⇒ ϕa (x) =
19
f (y) − f (a)
f (x) − f (a)
≤
= ϕa (y)
x−a
y−a
Proposition 11.5.3 Soit f convexe sur l’intervalle I si et seulement si
20
f (x) − f (a)
f (b) − f (a)
≤
= ϕa (b)
x−a
b−a
f (b) − f (a)
f (x) − f (a)
≤
= ϕa (b)
x < a < y =⇒ ϕa (x) =
x−a
b−a
∀(x, b) ∈ I 2 ,
x < y < a =⇒ ϕa (x) =
∀(x, b) ∈ I 2 ,
Donc ϕa croissante.
Réciproquement soit x ∈ I quelconque ϕx etant croissante pour tout y, z dans I
x < y < z =⇒
f (y) − f (x)
f (z) − f (x)
≤
y−x
z−x
On conclut à l’aide de l’exercice précédent.
•
Corollaire 11.5.4 Soit f définie et continue sur un intervalle fermé [a, b]
f est convexe sur ]a, b[⇐⇒ f est convexe sur [a, b]
La propriété analogue étant vraie dans le cas concave
♣
Exercice: le prouver
11.5.2
Cas dérivable
Proposition 11.5.5 Soit f dérivable sur un intervalle ouvert I.
f est convexe sur I ⇐⇒ f 0 est croissante sur I
♣
Démonstration
Supposons f convexe.
Soient a ≤ b quelconques, on a d’après (11.1)
∀x ∈]a, b[,
f (x) − f (a)
f (b) − f (a)
f (b) − f (x)
≤
≤
x−a
b−a
b−x
En faisant tendre x → a+ dans la première inégalité, puis x → b− dans la deuxième inégalité, on trouve
fd0 (a) ≤
f (b) − f (a)
≤ fg0 (b)
b−a
D’où puisque f est dérivable, f 0 (a) ≤ f 0 (b)... CQFD
Réciproquement Supposons f 0 croissante.
Soient a > b quelconques et étudions la fonction définie sur [0, 1]
ϕ(λ) = f (λa + (1 − λ)b) − (λf (a) + (1 − λ)f (b))
Comme ϕ est continue sur [0, 1], dérivable sur ]0, 1[ et que ϕ(0) = ϕ(1), le lemme de Rolle nous dit que :
(∗)
Or
∃λ0 ∈]0, 1[,
ϕ0 (λ0 ) = 0
ϕ0 (λ) = (a − b)f 0 (λa + (1 − λ)b) − (f (a) − f (b))
Comme f 0 est croissante, de même que λ 7→ λa + (1 − λ)b, par composition
λ 7→ f 0 (λa + (1 − λ)b) %
D’où ϕ0 %, donc d’après (∗)
(∀λ ∈ [0, λ0 ], ϕ0 (λ) ≤ 0) et
(∀λ ∈ [λ0 , 1], ϕ0 (λ) ≥ 0)
i.e
(ϕ & sur [0, λ0 ]) et
(ϕ % sur [λ0 , 1])
Comme ϕ(0) = ϕ(1) = 0, on en déduit
∀λ ∈ [0, 1], ϕ(λ) ≤ 0
CQFD
•
20
21
Corollaire 11.5.6 Soit f deux fois dérivable sur un intervalle ouvert I.
f est convexe sur I ⇐⇒ f 00 ≥ 0 sur I
♣
Exemple: la fonction exp est convexe et la fonction ln est concave (sur leur domaine de définition)
Proposition 11.5.7 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I.
Si f est convexe sur I Alors le graphe de f est au dessus de ses tangentes I
♣
Preuve L’équation de la tangente de f en x0 étant donné par
Y = f 0 (x0 )(X − x0 ) + f (x0 )
Il s’agit d’étudier le signe de la fonction
ϕ(x) = f (x) − f 0 (x0 )(x − x0 ) − f (x0 )
Elle est dérivable sur I de dérivée ϕ0 (x) = f 0 (x) − f 0 (x0 ). D’où puisque que f 0 est croissante :
ϕ0 s’annule en changeant de signe en x0 .
En fait ϕ(x0 ) = 0 est un minimum global sur I ... CQFD
•
En comparant les fonctions exp(x) et ln(1 + x) à leurs tangentes en 0, on trouve
Corollaire 11.5.8 (Inégalités de Convexité)
ex ≥ 1 + x
∀x ∈ R,
∀x > 0,
ln(1 + x) ≤ x
♣
On appellera point d’inflexion tout point où f change de concavité :
Définition 11.5.2 (Points d’Inflexion)
Soit f deux fois dérivable sur un intervalle ouvert I. On dira que :
x0 ∈ I est un point d’inflexion analytique pour f lorsque :
f 00 (x0 ) = 0 (i.e. x0 est un point critique pour f 0 )
x0 ∈ I est un point d’inflexion géométrique pour f lorsque :
f 00 s’annule en changeant de signe en x0 (i.e. f 0 admet un extremum local en x0 )
♠
On peut résumer ces caractérisations en reprenant le tableau de variation d’une fonction deux fois
dérivable sur une réunion finie d’intervalles
−∞
+
f
a
0
f (a)
%
&
λ
f”(x)
−
α
−
|
|
|
|
0
b
0
&
%
f (b)
+
β
+
|
|
|
|
0
f (c− )
%
−
c
||
||
||
||
||
||
+∞
+
µ
%
f (c+ )
−
Ainsi dans cet exemple, on voit que f n’est convexe que sur l’intervalle [α, β] et que les points d’inflexion
sont α et β.
Remarque 11.5.1 Il ne faut pas confondre le domaine de monotonie (par exemple [a, b]) et le domaine
de convexité (par exemple [α, β])
∗
21
x
f’(x)
22
Exemple: la fonction sin est concave sur [0, π] on en déduit
2x
≤ sin x ≤ x
π
∀x ∈ [0, π/2],
sin est convexe sur [−π, 0], 0 est un point d’inflexion géométrique de sin (elle change de concavité en 0 et
donc la tangente "coupe" la courbe de sinus en 0)
11.6
Brève Extension aux fonctions Complexes
Définition 11.6.1 Soit f ∈ F(I, C). On note α := Re(f ) et β := Im(f ), alors f est dérivable en x0 et
on note f 0 (x0 ) sa dérivée en x0 lorsque l’une de ces trois assertions équivalentes est vérifiée.
(x0 )
(i) limx→x0 f (x)−f
= f 0 (x0 )
x−x0
(ii) α et β sont dérivables en x0 avec f 0 (x0 ) = α0 (x0 ) + iβ 0 (x0 )
On définit par extension au cas complexe la dérivabilité sur un intervalle et les classes C p (I, C) avec
p ∈ N ∪ {+∞}
♠
Remarque 11.6.1 Le Lemme de Rolle ne s’étend pas au cas des fonctions complexes.
Exemple: la fonction t 7→ eit est dérivable (et donc continue) sur R et vérifie ei·0 = ei2π et pourtant
∀t ∈]0, 2π|,
deit
= ieit 6= 0
dt
∗
Proposition 11.6.1 Soit f dérivable sur un intervalle I et M ≥ 0 tels que
∀t ∈ I,
Alors
∀(a, b) ∈ I 2 ,
|f 0 (t)| ≤ M
|f (b) − f (a)| ≤ M |b − a|
i.e. f est M lipschitzienne sur I
♣
Preuve Fixons a, b dans I avec par exemple a < b (le cas d’égalité étant trivial).
Soit ε > 0 quelconque fixé et posons
∀t ∈ [a, b],
ϕε (t) := |f (t) − f (a)| − (M + ε)(t − a)
En particulier ϕε est continue sur [a, b].
Désignons par
Eε := {t ∈ [a, b] |
22
ϕε (t) ≤ ε}
11.6. BRÈVE EXTENSION AUX FONCTIONS COMPLEXES
23
Eε une partie de R non vide (contient a) et majorée (par b), notons alors c sa borne supérieure (en
particulier c ∈ [a, b] ).
• Montrons que c’est un plus grand élément
En particulier on peut trouver une suite (cn )n∈N à valeurs dans Eε tel que cn → c.
Et donc par continuité de ϕε sur [a, b] et puisque la suite (cn ) et sa limite sont dans [a, b], on a par passage
à la limite dans
∀n ∈ N, ϕε (cn ) ≤ ε
ϕε (c) ≤ ε et donc c ∈ Eε (c’est donc un plus grand élément).
• Montrons que c > a
En effet par continuité de ϕε à droite en a et puisque ϕε (a) = 0 on a pour un certain α > 0.
∀t ∈]a, a + α[,
−ε ≤ ϕε (t) ≤ ε
Et donc ]a, a + α[⊂ Eε en particulier c ≥ a + α > a
• Montrons que c = b
Supposons par l’absurde c < b puisque c ∈ Eε , on a
(∗)
|f (c) − f (a)| ≤ (M + ε)(c − a) + ε
Et par dérivabilité de f en c, on a pour un certain β > 0,
¯
¯
¯
¯
¯ f (t) − f (c) ¯
¯
¯ f (t) − f (c)
0
0
¯
¯
¯
∀t ∈]c, c + β[, ¯
− f (c)¯¯ ≤ ε
− |f (c)| ≤ ¯
t−c ¯
t−c
D’où pour t ∈]c, c + β[ quelconque on a
|f (t) − f (c)| ≤ (t − c)(|f 0 (c)| + ε) ≤ (t − c)(M + ε)
D’où grâce à (∗) et l’inégalité triangulaire
|f (t) − f (a)| ≤ (M + ε)(c − a) + ε + (t − c)(M + ε) = (M + ε)(t − a) + ε
Et donc t ∈ Eε et t > c ce qui est absurde puisque c majore Eε ... contradiction
• Conclusion.
On a donc Montré que b = c ∈ Eε d’où
∀ε > 0,
|f (b) − f (a)| ≤ (M + ε)(b − a) + ε
On conclut alors par passage à la limite lorsque ε → 0
•
Corollaire 11.6.2 Soit f fonction complexe dérivable sur un intervalle I.
Si f 0 est nulle sur I Alors f est constante sur I
♣
Preuve d’après l’IAF, f est 0-lipschitzienne sur I et donc constante sur I
•
23
Remarque: En appliquant l’IAF à la partie réelle à Re(f ) et Im(f ) on montre facilement que f est
2M -Lipschitzienne

Table des matières - Martin DEL HIERRO

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