Démonstration 02 - XMaths

Démonstration 02
Les valeurs de cos x et sin x pour x = 0 ; x = π ; x = π ; x = 3π ; x = 2π, sont évidentes d'après la définition.
2
2
Pour x = π
4
L'angle HOM est donc un angle de π .
4
Comme la somme des angles d'un triangle est égale à π , on en
déduit, en utilisant le triangle HOM que l'angle OMH mesure aussi π.
4
Le triangle HOM est donc isocèle et par conséquent
OH = HM donc OH = OK c'est-à-dire cos x = sin x
On sait que cos2 x + sin2 x = 1 donc cos2 x + cos2 x = 1
Donc 2cos2 x = 1 c'est-à-dire cos2 x = 1
2
1 = 1 = 2
Sachant que cos x est positif, on obtient cos x =
2
2
2
On a donc
M
K
π
4
H
cos π = sin π = 2
2
4
4
Pour x = π
3
On a OI = OM = 1 . Donc le triangle IOM est isocèle.
L'angle IOM est un angle de π .
3
Donc le triangle IOM est équilatéral.
La droite (MH) est une hauteur du triangle, donc elle est aussi
médiane et H est donc le milieu de [OI].
On en déduit que OH = 1 , donc cos x = 1
2
2
On sait que cos2 x + sin2 x = 1 donc 1 + sin2 x = 1
4
Donc sin2 x = 1 - 1 c'est-à-dire sin2 x = 3
4
4
3 = 3
Sachant que sin x est positif, on obtient sin x =
4
2
On a donc cos π = 1 et sin π = 3
3 2
3
2
Pour x = π
6
On a OM = OJ = 1 . Donc le triangle OMJ est isocèle.
L'angle HOM est un angle de π , donc MOJ = π - π = π .
6
2 6 3
Donc le triangle OMJ est équilatéral.
La droite (MK) est une hauteur du triangle, donc elle est aussi
médiane et K est donc le milieu de [OJ].
On en déduit que OK = 1 , donc sin x = 1 .
2
2
On sait que cos2 x + sin2 x = 1 donc cos2 x + 1 = 1
4
1
3
Donc cos2 x = 1 c'est-à-dire cos2 x =
4
4
3 = 3
Sachant que cos x est positif, on obtient cos x =
2
4
π
3
π
1
et sin =
On a donc cos =
6
2
6 2
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M
K
π
3
H
I
J
M
K
6
H