+ xz+ 4x4 =2 -24+ x2+ 4=l \,x2,\,x42.0

MasaerSTIC CNAM.UniversitéParis6
PârcoursRO
novembre 2005
Examende I'U.E. PDML: partle "programmâtion discrète"
DuIé€: 1h30,documentsâutorisés
1. Soit le problèrned'optimisationen vadablesbivalentes:
(Pl) min{3rr+ 12+ 3)q + 4x4-ï\tz
-2124 -34xa:4,x2,4,4e
{O,l}}
a. Poseice problèrnecommela rccherched'un flot maximaldansun éseaudetransport.Donnerle téseau
qu'unesolutionoptimalede (Pl) est rl =1,r2 =1,r3 =0,r4 =0 trouverune
avecsescapacités.
Sachant
coupedecapacitéminimaledansceréseau,En déduiteun flot maximal.
b. Soit (P'1) le problèmeobtenuen ajoutantà (Pl) la contraintex3tx4-\t231.
Considérer
le dual
lagangiende (P'l) obtenuen rclâchantcetteconfiainteet calculerla valeurde la fonctiondualelolsque
le multiplicateurde Lagrangeest égal à l. Calculercette valeur par simple examendu réseauet de la
coupeobtenusà la ouestiona,
2. Soit le proglammelinéaire
min 2\+3xz + 4+l0x4
(n)
souslescontraintes
\ + x z +4 x 4= 2
- 2 4 + x 2 +4 = l
\,x2,\,x42.0
Ecrire le tableaudu simplexearsociéà la solutionde basenon réalisable: *1 = xo = I , x2 * 0, *: * 0 .
Monber que l'on peut, à partir de cette solutionde base,appliquerl'algorithmedual du simplexepour
déterminerI'optimurnd€ (P2). Déterminercetoptimum(uneitémtion).
3.- Considérerla posiformeqùadratique
eG,Î) = 4\iz + 5x2i3+ 6\4 + 4rf z + 4izh + 5i3\ + bcal4+ ?,ci4 .
Montrer,en exhibantun circuit adéquatdaltsle graphed'implicationassociéà cetteposifonne,que
p(r,t)>4
Vr€ {0,1}4.
4. Ecrirc le problèmed'optimisationnon linéaireen vaiiablesmixtes(P4) commeun programmelinéaire
et variables
mixtes.
' n*t
î=,1*2i=,"''
11 -r,<t
1 r ..e ,x,< l
(P4)
souslescontnintes
l P..o ,z,< o
r, e {o,t},z, >o U=t,...p)
r,e {t,s,rB}1i=t,...,2;
læsvariablesti , Q= I,...,rr) sontdesvariablesdiscrètespouvafltprendre4 valeursdifféreûtes:I , 5, 7 et 8.
tæsvariablesx1,Q =1.,.0) sontbivalentes
et les variablesz|,U =1.-ù sontréelleser positivesou
nulles.Tousles coefficients
du Foblème,Ci(i =1,...,n),8,AiU =1.." p), A,D / j =1,...,p),D, sontdes
entierspositils.
5,
0n considère
unegdlle rx, où chaquecasecontientun nombrede I à r. Un memenombre
qu'une
n'appafaft
fois danschaqueligneet chaquecolonne,De pluscertaines
casessontsélectionné€s
(soulignées,
cf. Figurel). On noteauborddechaquerangéela sommedesnombressélectionnés
dansla
raîgée.Le problèmeconsisteà rc.onstituerla grille ap!èsavoir effacéles nombreset les sélections,Ia
solulionn'estpasobligatoiæment
unique.
ExemDle
I
3 4
I
3 4
3 2
I
4
4
3
3 3 2 .L
I
-t
2
-t 1
tr'lgure1. Problèmesurudegrille 3x3 et solution
Ecrirc un progÎammelinéaile en variablesbivâlentesqui permetde résoudrele problèmepour unegrille
4xr, . I-esdonnéessont,pour chaquerangée,la sommedesnombressélectionnés
dansla rangée(a, pour
la ligne i et àj pourla colonne, ; il faut reconstituerla grille, c'est à dirc déteminerle nombreattribuéà
chaquecâseet dirc si cettecaseestsélectionnée
ou non.