Limites et continuité. Limite en un point,limite infinie en un point

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Limites et continuité.
Limite en un point,limite infinie en un point, limite à l’infinie.
Limite à droite, limite à gauche. Unicité de la limite.
Caractérisation séquentielle de la limite.
Méthodes/ Techniques de calculs de limites. Croissance comparée.
Théorème des gendarmes, minoration, majoration. Limite d’une fonction monotone (dessins).
Fonctions continues en un point. Sur un intervalle.
Théorème de prolongement continue. Dessin. Exemples.
Théorème des valeurs intermédiaires. Preuve par dichotomie. Résolution f (x) = 0.
Image d’un segment par une fonction continue. Dessin.
Théorème de la bijection.
Étude des suites récurrentes un+1 = f (un ).
, limu→0 ln(1+u)
, limu→0 tan(u)
, limu→0 cos(u)−1
Limite connue limu→0 e u−1 , limx→0 sin(x)
x
u
u
u
u
Limite croissance comparée et fonctions usuelles.
REVOIR Les équations différentielles (prolongement des solutions).
Dérivations.
Définition d’une fonction négligeable. Notion de petit o.
Fonction dérivable en un point. Développement limité d’ordre 1.
Tangente en un point. Dérivabilité à droite et à gauche. Lien avec la dérivabilité.
Opérations sur les fonctions dérivables.
Théorème de dérivation des applications réciproques. Applications.
Définition extremum local. Condition nécessaire.
Théorème de Rolle. Représentation. Preuve.
Théorème des accroissements finis. Preuve. Inégalité des accroissements finis.
Conséquence du théorème des accroissements finis. Étude de la série harmonique, monotonie, suite récurrente avec fonction lipschitzienne de rapport 0 ≤ k < 1.
Théorème sur la limite de la dérivée.
Définition des fonctions de classe C k .
Formule de Leibniz.
Théorème de dérivation des applications réciproques cas C k
Extension aux cas complexes. Le théorème de Rolle ne s’applique pas. Exemple.
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Analyse asymptotique .
Définition de la domination. f est dominée par g
Définition de l’équivalence. f et g sont équivalentes.
Lien avec la limite- équivalents
Polynôme, limite finie NON NULLE
Opérations sur les équivalents. Composition à droite.
Fonctions Négligeables .Croissance comparée.
Opérations sur les fonctions négligeables.
Lien entre équivalence et fonctions négligeables.
Définition de f admet un DL à l’ordre n en a. Troncature.
Unicité du DL. Fonctions paires/impaires.
Basculer de a vers 0. Changement de variables. Partie principale d’un DL.
Formule de Taylor Young. Développement limités usuels.
Opérations sur les DL. Règles pour l’addition, le produit, le quotient, composition.
Primitive des DL.
Applications des DL aux calculs de limites, lien avec la dérivation DL d’ordre 1, définition
des branches infinies (calculs asymptotes et positions), tangentes et positions relatives,
extremum local, équations différentielles et raccordement.
Questions de cours et DÉMONSTRATION.
Le colleur est libre de choisir un ou plusieurs énoncés dans chacun des différents chapitres
étudiés. Une question de cours dans chaque chapitre.
L’idée est de développer chez vous une réflexion sur les énoncés.
Le colleur peut demander des démonstrations simples ou des explications/ idées de
démonstrations.
Par exemple, énoncer le théorème des accroissements finis. Quel théorème permet de le
démontrer ?
Autre exemple, définition de deux fonctions équivalentes. Montrer que si f1 ∼ f2 et
f2 ∼ f3 alors f1 ∼ f3 .
Ou encore, énoncer le théorème de limite d’une dérivée. Quel est le corollaire ? Comment
se démontre t-il avec le théorème précédent ?
Mais pourquoi pas, énoncer la formule de Taylor Young. Qu’elle est la définition d’une
fonction de classe C n ? Formule de Liebniz ?
C’est sans fin, définition d’une fonction dérivable ? dérivable implique continue ? exemple
d’une fonction dérivable dont la dérivée n’est pas continue ? Technique pour montrer
qu’une fonction est dérivable ?
INVENTEZ VOS PROPRES QUESTIONS ...
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