Rappels sur les équations différentielles ordinaires

Rappels sur les équations différentielles ordinaires
Jean-Pierre Croisille
Décembre 2008
On rappelle quelques théorèmes fondamentaux sur les équations différentielles ordinaires. On note E = RN , N ≥ 1 , I ⊂ R un intervalle ouvert et U ⊂ E un ouvert de
E. Soit H : U × I → E, une fonction C 1 . Soit (x0 , t0 ) ∈ I × U .
Théorème 0.1 (Cauchy-Lipschitz) Le problème : chercher t → X(t) ∈ E, solution
de l’équation différentielle
Ẋ = H(X, t)
(0.1)
(P )
X(t0 ) = x0
possède une unique solution sur un intervalle maximal J =]t1 , t2 [ , − ∞ ≤ t1 < t0 <
t2 ≤ +∞. Ceci signifie que
• L’intervalle J est un intervalle d’existence
e
e alors X = X
e sur J ∩ Je
• Si X(t)
est une autre solution de (P ) sur J,
• L’intervalle J est maximal pour l’inclusion : on ne peut pas prolonger X(t) à un
intervalle strictement plus grand.
On note J(x0 ) cet intervalle, pour préciser qu’il dépend de la donnée initiale x0 . On
note aussi
V = ∪x0∈U {x0 } × J(x0 )
On note à présent X(x0 , t) l’unique solution de (P ).
Théorème 0.2 (Dépendance continue par rapport à la condition initiale)
(i) V est un ouvert de R × E.
∂X
(x0 , t)
(ii) La fonction X(x0 , t) est C 1 sur V . De plus, la dérivée partielle Y (t) = ∂x
0
est dérivable par rapport t et est solution de l’équation différentielle linéaire dans
R × MN (R) (où MN (R) est l’ensemble des matrices carrées N × N ).
˙ = ∂H (X (x0 , t) , t) · Y (t)
Y (t)
∂x
(0.2)
Y (0) = IdMN (R)
Théorème 0.3 (Théorème des “bouts”) La solution maximale X(t) du problème
(P ) est t.q. (X(t) , t) sort de toute partie compacte K ⊂ U × I. C’est dire, pour tout
compact K ⊂ U × I, il existe un intervalle compact [a, b] ⊂ J, tel que (X(t) , t) 6∈ K
pour t 6∈ J \ [a, b].
1
Ceci a pour conséquence en particulier que:
(i) Si J =]t1 , t2 [, t2 < +∞, alors on a nécessairement lim t→t2 kX(t)k = +∞.
t<t2
(ii) Si E = R , J =]t1 , t2 [ , t2 < +∞, alors on a l’alternative :
(0.3)
lim X(t) = +∞
t→t2
t<t2
ou
(0.4)
lim X(t) = −∞
t→t2
t>t2
e
e se
e : ]t1 , t2 [→ E est solution de (P ) et si lim t→t X(t)
existe, alors X
(iii) Si X
2
t<t2
prolonge sur ]t1 , t2 + ε [
Théorème 0.4 (Equations linéaires) Si H(X, t) = A(t)·X, où A ∈ C 0 (I , MN (R)),
alors le problème (P ) admet une solution unique définie sur I entier, qui est X(t) =
F (t) · x0 où F (t) est la matrice solution du problème
(0.5)
On note exp M =
P
n≥0
importants:
Mn
n!
dF (t)
dt = A(t)
F (t0 ) = Id
· F (t)
(exponentielle matricielle). On a deux cas particuliers
• A(t) = A, matrice constante, alors
(0.6)
F (t) = exp (t − t0 ) A
et la solution est X(t) = (exp ((t − t0 ) A)) · x0 ∈ RN
• Dans le cas scalaire N = 1, A(t) = a(t), alors F (t) est la fonction scalaire
(0.7)
F (t) = exp
Z
t
a(s) ds
t0
Attention, erreur classique à ne pas commettre: en général, on n’a pas dans le cas
matriciel non constant,
Z t
(0.8)
F (t) = exp(
A(s) ds)
t0
On considère à présent le cas particulier d’une équation autonome, c’est à dire H(X, t) =
H(X) ∈ C 1 (U ). On note Xt : x0 ∈ U 7→ X(x0 , t). Le domaine de définition de Xt est
noté Ut
Ut = {x0 ∈ U / t ∈ J(x0 )} .
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Théorème 0.5 (Théorème du flot)
(i) Ut est ouvert dans E.
(ii) Xt est un C 1 -difféomorphisme de Ut sur U−t dont l’inverse est X−t . De plus, on
a, pour s, t ∈ R Xs+t = Xs ◦ Xt .
Un autre résultat classique est le lemme de Gronwall.
Théorème 0.6 (Lemme de Gronwall) Soit f ∈ C 0 ([0, T [; R+ ); A > 0, B > 0 telle
que
Z t
(0.9)
f (t) ≤ A + B
f (s)ds
0
alors f (t) ≤ AeBt
Ce résultat a de multiples variantes. Il faut connaı̂tre le début de la preuve de (0.9).
La fonction vérifie
f (t)
≤1
Rt
A + B 0 f (s)ds
(0.10)
ce qui s’écrit aussi
(0.11)
1 d
ln(A + B
B dt
Z
t
f (s)ds) ≤ 1
0
puis on intègre entre 0 et t cette expression.
Enfin, rappelons la notion de points d’équilibre et de fonction de Lyapounov On
considère une àquation autonome
(0.12)
Ẋ(t) = H(X)
On distingue les différents types de points d’équilibre de (0.12)
Définition 0.1 Soit x̄ ∈ W un point d’équilibre de (0.12), c’est-à-dire un point t.q.
H(x̄) = 0.
• x̄ est stable si il existe un voisinage V de x̄ t.q. toute trajectoire X(t), solution de
(0.12) issue d’un point de V en t = 0, reste dans V pour t > 0.
• x̄ est asymptotiquement stable si toute trajectoire issue d’un point de V tend vers
x̄ quand trightarrow + ∞.
Le théorème de Lyapouvov donne une condition suffisante pour qu’un point d’équilibre
x̄ soit stable ou asymptotiquement stable.
Définition 0.2 Une fonction L définie au voisinage de x̄, point d’équilibre de (0.12)
est une fonction de Lyapounov, si
• V (x̄) = 0 et V (x) = 0 si x 6= x̄.
• V̇ ≤ 0 au voisinage de x̄.
C’est une fonction de Lyapounov stricte si V̇ < 0 au voisinage de x̄.
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Théorème 0.7 ( Théorème de Lyapounov)
(i) Si il existe une fonction de Lyapounov au voisinage de x̄, alors x̄ est stable.
(ii) Si il existe une fonction de Lyapounov stricte au voisinage de x̄, alors x̄ est asymptotiquement stable.
Des références utiles sont [4, 1, 2, 3]. [4] est à la bibliothèque de l’UPVM.
Bibliographie
[1] M. Braun. Differential Equations and Their Applications. Springer-Verlag, TAM,
11, 4-th ed. edition, 1992.
[2] P. Deuflhard and F. Bornemann. Scientific Computing with Ordinary Differential
Equations. Springer-Verlag, 2002.
[3] M.W. Hirsch and S. Smale. Differential equations, dynamical systems and linear
algebra. Academic Press, 1974.
[4] J-C. Yoccoz. Cours de Topologie - Calcul différentiel - Equations différentielles.
Paris Onze Editions, Université de Paris-Sud edition.
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