MATHEMATHIQUES SPECIALISEES

Transcription

MATHEMATHIQUES SPECIALISEES - MATH 642
Partie I : DISTRIBUTIONS
, Jean-Jacques VINUREL
Abdourrahmane M. ATTO, Emmanuel TROUVE
Polytech Annecy-Chambery - Universite de Savoie
E-mail : [email protected] - Tel. : 04 50 09 65 27
Notes de cours - Specialite IAI
Version provisoire - 9 fevrier 2015
A. Atto - Polytech Annecy-Chambery
p. 2
TABLE DES MATIERES
TABLE DES MATIERES
Table des matières
1 Distributions
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
ements de mesurestandards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El
Integrales de Riemann et de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Espaces fonctionnels D0 et D (espaces de fonctions tests) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Espaces fonctionnels Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Espaces Lp , D et D0 - Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonctionnelles - Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distributions regulieres / Distributions singulieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Distributions regulieres (associees a des fonctions localement sommables) . . . . . . . . . . .
1.5.2 Distributions singulieres (ne peuvent pas être associees aux fonctions localement sommables) .
Distributions identiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Support d'une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
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2 Opérations sur les distributions
2.1 Translation d'une distribution . . . . . . . . . .
2.1.1 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Transposition d'une distribution . . . . . . . .
2.3 Changement d'echelle d'une distribution . . . .
2.4 Convergence au sens des distributions . . . . . .
2.5 Produit d'une distribution par une fonction C∞
2.5.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Derivee d'une distribution . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Convergence et derivation . . . . . . . .
2.7 Produit de convolution de deux distributions . .
5
6
7
7
8
10
11
11
12
13
13
14
15
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20
21
21
22
p. 3
TABLE DES MATIERES
2.7.1 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3 Distributions causales . . . . . . . . . . . . .
2.8 Transformee de Laplace des distributions causales . .
2.8.1 Rappel : transformee de Laplace d'une fonction
2.8.2 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TABLE DES MATIERES
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3 Transformée de Fourier des distributions
3.1 Fonctions a decroissance rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Distributions temperees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Transformee de Fourier d'une distribution temperee . . . . . . .
3.2.2 Distribution reguliere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Distributions de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Translation, changement d'echelle, produit par une exponentielle
3.2.6 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.7 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.8 T.F. d'une fonction periodique . . . . . . . . . . . . . . . . .
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p. 4
1
DISTRIBUTIONS
1
Distributions
{ f, φ, ψ, fonctions de la variable reelle, variable notee x par defaut,
{ f, φ, ψ, sont a valeurs dans IR (ou C, extensions a IRn et a Cn `quasi' immediates).
1.1
Éléments de mesure standards
{ Longueur d'un segment E =]a, b], [a, b[ ou [a, b] de IR : µ0(E) = b − a.
{ Masse de Dirac au point a : δa(E) = 1lE(a).
{ Probabilite d'un evenement A : reel P(A) ∈ [0, 1] et satisfaisant P(evenement certain) = 1.
{ Regle : ces mesures se distribuent additivement (somme) sur les reunions denombrables et disjointes.
Theme de dissertation : Mesure du volume d'un glacier (argentiere) ou du volume sous le mont-blanc
{ Remarques :
• [Longueur] Un ensemble n
egligeable est un ensemble de longueur nulle : un singleton reel, une union
nie ou innie-mais-denombrable de tels singletons (par exemple N ou Q).
• [Masse] Tout ensemble ne contenant pas le point a est n
egligeable.
• [Probabilite] Un evenement negligeable est un evenement de probabilite nulle (nuancer avec evenement
impossible : le seul evenement impossible est l'ensemble vide).
{ Les mesures d'objets mathematiques (ou physiques) plus complexes que le simple segment (longueur d'une
courbe, surface d'une region de l'espace, esperance de gains, etc.) exploitent les sommations de ces mesures
elementaires a travers la notion d'integration.
p. 5
1
DISTRIBUTIONS
1.2
1.2
Integrales de Riemann et de Lebesgue
Intégrales de Riemann et de Lebesgue
{ Integration (de Riemann, discretisation de l'axe des abscisses) : ψ est constante sur les intervalles E1, E2, . . . , Em,
de mesures µ0(E1), µ0(E2), . . . , µ0(Em), ψ prend les valeurs ψ1, ψ2, . . . , ψm sur ces intervalles, alors :
Z
ψdµ0 =
m
X
ψi µ0 (Ei ).
i=1
{ Integration (de Lebesgue, par discretisation de l'axe des ordonnees) : si ψ(x) prend un nombre ni de valeurs
ψ1 , ψ2 , . . . , ψn sur les ensembles : F1 , F2 , . . . , Fn de mesures µ0 (F1 ), µ0 (F2 ), . . . , µ0 (Fn ), alors :
Z
n
X
ψi µ0 (Fi ).
ψdµ0 =
i=1
Z
{ [Remarque] Fonction nulle au sens de la mesure µ0 : ψ dµ0 = 0 ⇔ ψ = 0 µ0 − presque partout.
{ [Remarque] Egalit
e presque partout, φ(x) = ψ(x) − sauf sur un ensemble negligeable au sens de µ0 .
{ Integration (Riemann versus Lebesgue) : Dans les 2 cas, la generalisation se fait par passage a la limite.
Si ψ est Riemann-integrable, alors elle est Lebesgue-integrable et les 2 integrales sont egales. La reciproque
n'est pas vraie : il existe des fonctions Lebesque-Integrable et non-integrable au sens de Riemann. Exemple,
si ψ = 1lQ, alors
Zb
ψ(x)dx = µ0 (Q) = 0 au sens de Lebesgue (Q, en tant que reunion denombrable de
a
Zb
singletons, est de \longueur" nulle), tandis que ψ(x)dx n'existe pas au sens de Riemann [les dierentes
a
P
sommes de Riemann Sn = i ψ(ci)(xi − xi−1) ne convergent pas : elles tendent vers b − a si {ci}i ∈ Q
alors qu'elles tendent vers 0 si {ci}i ∈ R\Q].
p. 6
1
DISTRIBUTIONS
1.3
1.3
Espaces fonctionnels
{ Un Espace vectoriel est une structure mathematique formee par une collection d'elements et 2 lois (operations)
de compositions dont l'une interne (àddition') et l'autre externe (`multiplication', a gauche, par un scalaire),
satisfaisant a dierents axiomes d'addition (associativite, Commutativite, element neutre, element oppose) et
de multiplication (distributivites, associativite mixte, element identite de la multiplication par un scalaire).
{ Un Espace fonctionnel est ensemble de fonctions ayant une structure d'espace vectoriel.
1.3.1
Espaces fonctionnels D0 et D (espaces de fonctions tests)
{ Support de la fonction φ, Supp(φ), plus petit ensemble ferme en dehors duquel φ est identiquement nulle.
{ D0, espace (vectoriel) des fonctions continues a support borne.
{ D, espace (vectoriel) des fonctions indeniment derivables a support borne.
Exemple de fonction appartenant a D :
φ(x) =
0
e
−
1
1−x2
si |x| ≥ 1
si |x| < 1
{ Convergence dans D : Une suite {φn}n de fonctions de D converge dans D vers φ si :
{ les supports {∆n}n de ces fonctions sont contenus dans un même ensemble borne ∆ independant de n,
{ pour tout entier non-negatif k, la suite {φ(k)
ement vers φ(k), ou la notation φ(k)
n }n converge uniform
designe la Derivee keme de φ.
p. 7
1
DISTRIBUTIONS
1.3.2
1.3
Espaces fonctionnels Lp
On se restreint a p ∈ {1, 2} → voir litterature pour les specicites des autres espaces Lp (theorie des espaces Lp,
dans le cadre general). La variable est reelle (comme precise au debut de ce chapitre), la valeur est reelle (legere
adaptations dans le cas de l'ensemble des nombres complexes).
Définitions [fonctions particulieres]
{ Fonction sommable , fonction absolument integrable, i.e. dont la valeur absolue satisfait :
Z
|f(x)| dx < ∞
R
{ Fonction localement sommable , fonction satisfaisant, en valeur absolue :
Zb
a
|f(x)| dx < ∞,
∀[a, b] ⊂ R.
{ Fonction de carre sommable , fonction telle que :
Z
|f(x)|2 dx < ∞
R
{ Fonction de carre localement sommable , fonction veriant :
Zb
a
|f(x)|2 dx < ∞,
∀[a, b] ⊂ R.
p. 8
1
DISTRIBUTIONS
1.3
Définitions [espaces fonctionnels particuliers]
{ Espace L1([a, b]), resp. L1(R), ensemble des fonctions sommables sur [a, b], resp. sur R.
{ Espace L1loc (R), ensemble des fonctions localement sommables sur R.
{ Espace L2([a, b]), resp. L2(R), ensemble des fonctions de carre sommables sur [a, b], resp. sur R.
{ Espace L2loc (R), ensemble des fonctions de carre localement sommables sur R.
{ Les espaces Lp sont des espaces fonctionnels (structure d'espace vectoriel).
{ L2, sur [a, b] ou sur R, est un espace Pre-Hilbertien (cela n'est pas vrai pour les autres espaces Lp, p 6= 2), i.e.
un espace vectoriel muni d'un produit scalaire. Le produit scalaire est deni dans L2([a, b]) par (fonctions a
valeurs dans R) :
Zb
hφ, ψiL2 (R) =
a
φ(x)ψ(x) dx
A noter que pour les fonctions a valeurs dans C, ce produit scalaire devient :
Z
φ(x)ψ(x) dx
hφ, ψiL2 ([a,b]) =
R
{ L2([a, b]), resp. L2(R), est un espace de Hilbert : L2([a, b]), resp. L2(R), est complet par rapport a la norme :
Zb
ψ −→ hψ, ψiL2 ([a,b]) =
resp.
a
Z
R
|ψ(x)|2 dx = ||ψ||2L2 ([a,b])
R
ψ(x)ψ(x) d =
ψ −→ hψ, ψiL2 (R) =
ψ(x)ψ(x) d =
Z
Z
|ψ(x)|2 dx = ||ψ||2L2 (R)
R
p. 9
1
DISTRIBUTIONS
1.3
Théorème 1 (Convergence dominée de Lebesgue) Soit {ψn }n une suite de fonctions qui converge presque
partout vers une fonction ψ. S'il existe une fonction sommable f telle que pour tout k, |ψk | < f presque
partout, alors :
Z
lim
k→∞
|ψk (x) − ψ(x)| dx = 0
Z
et
lim
k→∞
ψk (x) dx =
Z
ψ(x) dx.
Conséquence
En particulier, si f ∈ Lp,p = 1, 2, alors ψ ∈ Lp et on dit que {ψn}n converge vers ψ en norme Lp, avec
||f||p =
Z
1/p
|f(x)| dx
p
Theme de dissertation : Distances entre fonctions et convergence en normes L1 et L2
1.3.3
Espaces Lp , D et D0 - Propriétés
Théorème 2 Soit une fonction f ∈ L1 (R) et {φn } une suite de fonctions de D qui converge dans D vers
φ, on a alors :
Z +∞
f(t)φn (t)dt
lim
n→∞
−∞
Z +∞
f(t)φ(t)dt
=
−∞
Théorème 3 Toute fonction f continue a support borne est limite uniforme de fonction de D,
i.e. ∀f ∃{φn } ∈ D / φn −→ f uniformement
i.e. ∀ > 0, ∃n0 / n > n0 ⇒ ∀x ∈ IR |φn (x) − f(x)| < A. Atto - Polytech Annecy-Chambery
p. 10
1
DISTRIBUTIONS
1.4
1.4.1
1.4
Fonctionnelles - Distributions
Fonctionnelles
{ Fonctionnelle : application lineaire, associant un reel ou un complexe a tout element d'un espace fonctionnel.
{ [Retour a la notion de mesure] on denit la mesure associee a une fonction localement integrable f par :
Zb
µ[f](]a, b]) =
f(x)dx
a
{ [Consequence] la mesure de Lebesgue (longueur d'un segment E =]a, b], [a, b[ ou [a, b] par µ0(E) = b − a
est associee a la fonction unite (f = 1 est une fonction localement integrable).
{ On supposera par la suite que l'element dierentiel dµf de la mesure µ[f] , µf satisfait : dµf(x) = f(x)dx
{ \Mesurer" une fonction f en utilisant une `fonction de test' φ ∈ D0 revient alors a calculer :
Z
Z
φ(x)dµf (x) =
f(x)φ(x)dx
{ [Consequence] la mesure 1 µf ainsi denie est une fonctionnelle lineaire et continue sur l'espace D0. La notion
de distribution permet de generaliser la notion de mesure 2.
1. la theorie de la mesure permet de denir toute mesure µ impliquant les intervalles de R comme etant une fonctionnelle lineaire et continue sur l'espace D0 , en
utilisant un formalisme plus abstrait (notion de tribus, d'espaces mesures, de fonctions mesurables, etc.). Cette theorie ne fait pas partie des objectifs de ce cours.
2. le fait d'ajouter des contraintes sur l'espace des fonctions tests permet de reduire les contraintes sur la fonctionnelle car la question fondamentale est celle de
l'existence, ainsi que le caractere ni de l'integrale. En particulier, les formules impliquant la notion de derivation peuvent ne pas avoir de sens lorsqu'on se limite
a l'espace des fonctions D0 (integration par parties notamment) alors qu'elles prennent un sens lorsque l'espace des fonctions tests utilise est D.
p. 11
1
DISTRIBUTIONS
1.4.2
1.4
Distributions
{ Distribution , notation T , fonctionnelle lineaire et continue sur D,
T :
D −→ C
φ −→ hT, φi
• T est une application lineaire de D dans C (ou R ou [a, b]) :
< T, αφ + βψ >= α < T, φ > + β < T, ψ > .
• T est continue 3 : i.e. pour toute suite {φn } qui converge vers φ dans D , les nombres hT, φn i convergent
vers hT, φi dans C (ou R ou [a, b]).
{ L'ensemble des distributions sur D est note D 0.
{ D 0 a une structure d'espace vectoriel pour lequel la somme des distributions T1 et T2 ∈ D 0 est denie par :
hT1 + T2 , φi = hT1 , φi + hT2 , φi
et la multiplication par un scalaire complexe λ est denie par :
hλT1 , φi = λhT1 , φi
{ D 0 est un sous-ensemble de l'espace dual de D (ensemble de toutes les fonctionnelles lineaires sur D).
3. En pratique, il est dicile de mettre la main sur un fonctionnelle lineaire mais non-continue sur D . . .
p. 12
1
DISTRIBUTIONS
1.5
1.5.1
1.5
Distributions regulieres / Distributions singulieres
Distributions régulières / Distributions singulières
Distributions régulières (associées à des fonctions localement sommables)
Soit f une fonction localement sommable sur R (f ∈ L1loc(R)). On denit Tf , [f] la distribution reguliere
associee a f :
[f] :
D −→ R ( ou C)
Z
Z +∞
φ −→ h[f], φi =
f(t).φ(t) dt =
−∞
Supp(φ)
f(t).φ(t) dt < ∞
Propriété
Si deux fonctions denissent la même distribution, elles sont egales presque partout. La distribution [f] represente
une classe d'equivalence : les fonctions qui sont presque partout egales a f.
Exemples
{ fonction rectangle normalisee, ra(t) = a−11l[−a/2, a/2](t) :
h[ra ], φi =
1
Z a/2
φ(t) dt
a
(1)
−a/2
{ echelon unite, u(t) = 1 si t ≥ 0, 0 sinon (distribution de Heaviside) :
Z +∞
h[u], φi =
φ(t) dt
0
p. 13
1
DISTRIBUTIONS
1.5.2
1.5
Distributions regulieres / Distributions singulieres
Distributions singulières (ne peuvent pas être associées aux fonctions localement sommables)
• Distribution de Dirac en 0, notation δ :
δ:
φ −→ hδ, φi = φ(0)
• La distribution de Dirac n'est une distribution reguliere : on montre qu'il n'existe aucune fonction f(t) dont δ
puisse être la distribution associee. Neanmoins, on utilise souvent la notation abusive δ(t) qui permet d'ecrire :
Z +∞
hδ, φi =
δ(t)φ(t) dt = φ(0)
−∞
• Distribution de Dirac en a, notation δa
δa :
φ 7−→ hδa , φi = φ(a).
Theme de dissertation : Catalogue de distributions singulieres
Theme de dissertation : etude des distributions singulieres \Valeurs Principales de Cauchy"
Exercice : Donner la nature des application suivantes, qui associent a φ ∈ D , les quantites
Z1
N
∞
X
X
(n)
a)
φ(x)dx,
b)
φ (0),
c)
φ(n) (n),
0
n=0
Z1
|φ(x)|dx,
d)
0
e)
∞
X
n=0
n=0
φ
(n)
(0),
f)
∞ X
(n)
φ
(n)
2
.
n=0
p. 14
1
DISTRIBUTIONS
1.6
1.6
Distributions identiques
Distributions identiques
{ Deux distributions T1 et T2 sont egales si
∀φ ∈ D,
hT1 , φi = hT2 , φi.
{ Considerons l'ensemble DE de toutes les fonctions φ ∈ D dont le support est contenu dans E, sous ensemble
ouvert de IR. On dira que deux distributions T1 et T2 sont identiques (egales) \sur E" si
∀φ ∈ DE , hT1 , φi = hT2 , φi.
1.7
Support d’une distribution
{ T ∈ D 0 est identiquement nulle si :
∀φ ∈ D, hT, φi = 0.
{ T ∈ D 0 est nulle sur ]a, b[ ⇔ hT, φi = 0 pour tout φ dont le support est dans ]a, b[.
{ Le support d'une distribution est le complementaire du plus grand ouvert sur lequel T est identiquement
nulle.
p. 15
2
OPERATIONS
SUR LES DISTRIBUTIONS
2
Opérations sur les distributions
Dans ce paragraphe, φ designe une fonction test de D et f ∈ L1loc(R). On denit par la suite des operations sur
l'espace des distributions D 0 telles que la translation, la derivation, la convolution... Ces denitions decouleront
des resultats obtenus sur les distributions regulieres, celles associees a des fonctions localement sommables : ces
denitions presenterons donc souvent, des analogies aux relations etablies pour les fonctions.
2.1
Translation d’une distribution
On precise ici la notion de distribution translatee introduite implicitement sur l'exemple de la distribution de
Dirac δa. Soit a une constante quelconque. La translatee au sens des fonctions se note generalement ταφ ou φα,
avec ταφ , φα : x 7−→ φ(x − α). On a :
Z
τα f(x)φ(x) dx =
R
Z
f(x)τ−α φ(x) dx
R
D'ou : soit T une distribution quelconque. On denit la distribution translatee en a, notee Ta , τaT par :
hTa , φi = hT, τ−a φi = hT, φ−a i
p. 16
2
OPERATIONS
2.1.1
2.1
Translation d'une distribution
Propriétés
• La translation de a d'une distribution reguliere associee a une fonction f est egale a la distribution associee a
la fonction retarde de a :
[f]a = [τa f]
• Periodicite : une distribution est dite p
eriodique de periode a si : Ta = T.
ce qui revient, si T = [f], a :
Z
τα f(x)φ(x) dx =
R
Z
f(x)φ(x) dx
R
Exemples :
• si f(x) est une fonction periodique de periode a, [f] est une distribution periodique de periode a.
• La distribution de Dirac δa en a satisfait :
δa = τa δ.
• Peigne de Dirac : le peigne de Dirac de periode P la somme innie de translatees de distributions de Dirac :
ttP =
X
δkP :
φ −→ httP , φi =
k
X
φ(kP)
k
On montre que ttP denit bien une distribution.
p. 17
2
OPERATIONS
2.2
2.2
Transposition d'une distribution
Transposition d’une distribution
• On denit la transposee T− d'une distribution T (notation abusive T (−x)) par :
hT− , φ(x)i = hT, φ(−x)i
La transposee de la distribution associee a f(x) ∈ L1loc(R) est ainsi la distribution associee a f(−x) ∈ L1loc(R) :
[f(x)]− = [f(−x)]
• Parite : Une distribution est dite paire si T− = T . Une distribution est dite impaire si T− = −T .
2.3
Changement d’échelle d’une distribution
Z
Z x
φ(x) dx = |a| f(x)φ(ax) dx.
f
a
R
R
On denit alors la distribution T (ax) (notation abusive) par :
x
hT, φ
hT (ax), φ(x)i =
i
|a|
a
1
• Distribution reguliere T = [f] :
T (ax) = [f(ax)]
• Distributions de Dirac :
δ(ax) =
1
|a|
δ(x)
et δb(ax) =
1
|a|
δ b (x)
a
p. 18
2
OPERATIONS
2.4
2.4
Convergence au sens des distributions
Convergence au sens des distributions
Une suite de distributions {Tn} converge vers une distribution T lorsque n → ∞ si :
∀φ ∈ D, lim hTn , φi = hT, φi
n→∞
De même pour une serie associee a une suite de distributions Tn :
X
Tn → S si
∀φ ∈ D,
n
X
hTn , φi → hS, φi
n
Théorème 4 Si une suite de fonctions localement int
egrables fn converge presque partout vers f en etant
majoree en module par une même fonction localement integrable, alors les distributions regulieres [fn ]
convergent dans D 0 vers [f]
Théorème 5 Si une suite de fonctions localement int
egrables fn converge uniformement vers f sur tout
ensemble borne, alors les distributions regulieres [fn ] convergent dans D 0 vers [f]
Attention : sans hypothese de domination, il n'y a pas d'implication entre la CV p.p. des fonctions localement
integrables et la CV dans D 0. Ainsi des distributions regulieres peuvent converger vers une distribution singuliere.
Exemple : distributions regulieres associees aux fonctions rectangle normalisees r1/n = n sur [−1/2n, 1/2n]
lim [r1/n ] = δ
n→∞
p. 19
2
OPERATIONS
2.5
2.5
Produit d'une distribution par une fonction C∞
Produit d’une distribution par une fonction C∞
Soit g, une fonction C∞ sur IR et T ∈ D 0. On denit la distribution g.T par :
hg.T, φi = hT, g.φi
2.5.1
Exemples
Distribution reguliere :
g.[f] = [g.f]
Distribution de Dirac :
g.δa = g(a).δa
2.6
Dérivée d’une distribution
Soit T ∈ D 0. On denit T 0 la distribution derivee de T par :
hT 0 , φi = −hT, φ 0 i
En iterant la denition, on obtient :
hT (k) , φi = (−1)k hT, φ(k) i
2.6.1
Propriétés
• Distribution reguliere associee a une fonction derivable f :
Si la fonction est C∞, on obtient en iterant :
[f] 0 = [f 0 ]
[f](k) = [f(k) ]
p. 20
2
OPERATIONS
2.6
Derivee d'une distribution
• Si la fonction f est C1 sur ] − ∞, a[ ∪ ]a, +∞[ et presente en a une discontinuite nie σa = f(a+ ) − f(a− ), f
est derivable partout sauf en a. La distribution [f] a pour derivee :
[f] 0 = [f 0 ] + σa δa
(2)
(k)
Si f est C∞ sur ] − ∞, a[ ∪ ]a, +∞[ et les discontinuites σ(k)
(a+ ) − f(k) (a− ) sont nies, on obtient :
a = f
[f]
(n)
= [f
(n)
]+
n−1
X
(n−k−1)
σ(k)
a δa
(3)
k=0
2.6.2
Exemples
Derivee de la distribution de Dirac :
Derivee de la distribution de Heaviside :
2.6.3
hδ 0 , φi = −φ 0 (0)
[u(t)] 0 = δ
Convergence et dérivation
Si les distributions Tλ convergent vers T quand λ → λ0, les distributions derivees Tλ0 convergent vers T 0.
La derivation est une application lineaire continue de D 0 dans D 0.
p. 21
2
OPERATIONS
2.7
2.7
Produit de convolution de deux distributions
Soient deux distributions :
{ S(x) qui s'applique sur la variable x d'une fonction,
{ T(y) qui s'applique sur la variable y d'une fonction,
On denit le produit de convolution S(x) ? T(y) par :
hS(x) ? T(y) , φi = hS(x) , hT(y) , φ(x + y)i i
2.7.1
Existence
• Si T est a support compact K, hT, φi a un sens pour φ indeniment derivable de support quelconque :
def
∀φ ∈ C ∞ , hT, φ(t)i = hT, α(t)φ(t)i avec α(t) ∈ D et α(t) = 1 sur un voisinage de K.
• Il est possible de denir hT, φi des que l'intersection des supports de T et φ est bornee.
• Exemple d'existence de S ? T :
{ S ou T est a support borne
{ Les supports de S et T sont tous les deux dans [a, ∞[ (ou dans ] − ∞, a])
p. 22
2
OPERATIONS
2.7.2
2.7
Propriétés
• Distributions regulieres : [f] ? [g] = [f ? g]
⇒ δ est l'element neutre de la convolution
T ?δ = T
⇒ translation de a
T ? δa = Ta
δa ? δb = δa+b
• Commutativite, linearite, associativite
Si S ? T existe,
S?T = T ?S
S ? (aT1 + bT2 ) = a.S ? T1 + b.S ? T2
Attention : le produit de convolution des distributions n'est pas associatif en general. Si les produits de convolution
existent deux a deux, alors il y a associativite.
• Derivation :
(S ? T ) 0 = S ? T 0 = S 0 ? T
T ? δ0 = T 0
T ? δ(n) = T (n)
p. 23
2
OPERATIONS
2.7.3
2.7
Distributions causales
On appelle D+0 l'ensemble des distributions \causales" dont le support est dans IR+.
• Proprietes :
1. D+0 est un sous-espace vectoriel de D 0,
2. Si S et T sont dans D+0 , S ? T a toujours un sens et S ? T ∈ D+0 ,
3. ? est associatif dans D+0 ,
4. Si S et T sont 2 distributions non-nulles de D+0 , alors S ? T 6= [0].
• Inverse de convolution :
{ Si il existe, on note T ?−1 l'inverse de convolution de T qui verie T ? T ?−1 = δ
{ Pour que l'equation A ? X = B ait au moins une solution dans D+0 , il faut et il sut que A possede un inverse
de convolution dans D+0 . Cet inverse est alors unique ainsi que la solution de l'equation : X = A?−1B
p. 24
2
OPERATIONS
2.8
2.8.1
2.8
Transformee de Laplace des distributions causales
Transformée de Laplace des distributions causales
Rappel : transformée de Laplace d’une fonction
Soit f une fonction localement integrable sur IR, a valeur dans IR ou C
On appelle Transformee de Laplace de f, la fonction L{f} denie par :
Z +∞
p → L{f}(p) =
f(t)e−pt dt
−∞
sur l'ensemble des nombres complexes p tels que l'integrale existe.
2.8.2
Définitions
0
• Soit p ∈ IR et T ∈ D+
, on appelle transformee de Laplace de T , la fonction L{T } denie par :
p → L{T }(p) = hT, e−pt i
2.8.3
Propriétés
• Distribution reguliere T = [f] :
L{T }(p) = L{[f]}(p) = L{f}(p)
L{δ}(p) = 1 et L{δa }(p) = e−ap
p. 25
2
OPERATIONS
2.8
Transformee de Laplace des distributions causales
• Si L{T }(p0 ) existe, alors L{T }(p) existe pour tout p ≥ p0
• Si pour p > p0 , L{T1 }(p) = L{T2 }(p), alors T1 = T2
• Linearite :
• Convolution :
L{λ1 T1 + λ2 T2 } = λ1 L{T1 } + λ2 L{T2 }
L{T ? S} = L{T }.L{S}
• Derivation : ∀n ∈ IN
dn
dpn
(L{T }(p)) = (−1)n .L{tn T }(p)
L{T (n) }(p) = pn L{T }(p)
• Translation, a ∈ IR :
L{Ta }(p) = e−pa L{T }(p)
• Changement d'echelle, a > 0 :
L{T (at)}(p) =
• Multiplication par une exponentielle, a ∈ C :
2.8.4
1
p
L{T }( )
a
a
L{e−at T }(p) = L{T }(p + a)
Exemples
L{δ 0 }(p) = p
n −ap
L{δ(n)
a }(p) = p e
p. 26
3
DE FOURIER DES DISTRIBUTIONS
TRANSFORMEE
3
Transformée de Fourier des distributions
3.1
Fonctions à décroissance rapide
An de denir la transformee de Fourier (T.F.) d'une distribution, il est necessaire d'etendre l'espace des
fonctions tests D car si φ(t) appartient a D sa transformee de Fourier F {φ}(f) :
Z +∞
F {φ}(f) =
φ(t).e−i2πft dt
−∞
n'appartient pas a D (support inni).
On considere un nouvel espace de fonctions tests S : l'espace des fonctions a decroissance rapide. Une fonction
φ est a decroissance rapide si elle est C∞ et verie :
α dn φ ∀α ≥ 0, ∀n ∈ IN, lim t . n (t) = 0
t→∞
dt
Si φ ∈ S , F {φ} ∈ S .
3.2
Distributions tempérées
On appelle distribution temperee toute fonctionnelle lineaire et continue de S sur C. Les distributions temperees
forment un espace vectoriel note S 0. Toutes les proprietes precedentes des distributions de Schwartz (sur D) restent
vraies.
Remarque : si φ ∈ D, alors φ ∈ S .
Consequence : la restriction a D d'une distribution temperee est une distribution : S 0 ⊂ D 0
p. 27
3
TRANSFORMEE
3.2.1
3.2
Distributions temperees
Transformée de Fourier d’une distribution tempérée
On denit F {T } la transformee de Fourier d'une distribution temperee T ∈ S 0 par :
F {T } :
hF {T }, φi = hT, F {φ}i
et la transformee inverse F −1 par
F −1 {T } :
3.2.2
hF −1 {T }, φi = hT, F −1 {φ}i
Distribution régulière
La T.F. d'une distribution reguliere T = [f] associee a une fonction f est la distribution reguliere associee a la
T.F. de la fonction :
F {[f]} = [F {f}]
3.2.3
Distributions de Dirac
T.F.
δ ←→ [1]
δa ←→ [e−i2πaf ]
[1] ←→ δ
[ei2πf0 t ] ←→ δf0
p. 28
3
TRANSFORMEE
3.2
Application : sinus et cosinus
T.F.
[cos(2πf0 t)] ←→
1
(δf0 + δ−f0 )
2
1
[sin(2πf0 t)] ←→
(δf0 − δ−f0 )
2i
3.2.4
Dérivation
(F {T })(n) = F {(−i2πt)n .T }
F {T (n) } = (i2πf)n .F {T }
Application :
F {v.p.[1/t]} = −iπ (2U(ν) − 1) = −iπsign(ν)
1
1
F {U(t)} =
δ + v.p.[1/ν]
2
iπ
3.2.5
Translation, changement d’échelle, produit par une exponentielle
F {T (x − a)} = e−i2πνa F {T }
1
ν
F {T (ax)} =
F {T }
|a|
a
F {ei2πν0 x T } = F {T }ν0
p. 29
3
TRANSFORMEE
3.2.6
3.2
Convergence
Si un suite de distributions temperees Tn converge vers une limite T , la suite des T.F. converge vers la T.F. de
la limite :
S0
Tn ←→ T
=⇒
S0
F {Tn } ←→ F {T }
Application : T.F. du peigne de Dirac
tt =
X
T.F.
δ(x − k) ←→ tt =
X
k
δ(ν − k)
k
T.F. du peigne de Dirac de periode P :
ttP =
X
T.F.
δ(x − kP) ←→
k
3.2.7
1
P
tt1/P =
1X
P
δ(ν − k/P)
k
Convolution
Soient une distribution temperee T ∈ S 0 et les fonctions h ∈ S et g ∈ C∞. Sous reserve d'existence, on a :
F {[h] ? T } = F {h}.F {T }
et
F {g.T } = F {[g]} ? F {T }
Mêmes proprietes pour la T.F. inverse (F −1).
p. 30
3
TRANSFORMEE
3.2.8
3.2
T.F. d’une fonction périodique
Soient f(x) une fonction periodique de periode P et f0(x) la fonction tronquee sur la periode [0, P[ :
f0 (x) =
f(x) si
0
x ∈ [0, P[
ailleurs
[f] s'ecrit sous la forme :
[f(x)] = [f0 (x)] ? ttP
et sa T.F. vaut :
F {[f]} =
X
ak .δ k
P
k
avec
ak =
1
P
F {[f0 ]}(ν = k/P) =
1
P
ZP
k
e−2iπ P t f(t)dt
0
La T.F. d'une fonction P periodique est un peigne de Dirac de periode 1/P pondere par la T.F. de la fonction
tronquee sur la periode [0, P[.
p. 31

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