Mathématiques II Polycopié d^exercices Mat 4

POLYTECH MONTPELLIER
Département Matériaux
Mathématiques II
[Pour le traitement du signal]
Polycopié d’exercices
Mat 4
1
Feuille 1 : Intégration et convolution des fonctions
Exercice 1 :
1/ Déterminer si les fonctions suivantes sont intégrables sur l’intervalle I :
f1 (x) = sin x
I1 = [1; ]
f2 (x) = cos x
I2 = [1; +1[
1
f3 (x) = 1+x
I3 = [1; +1[
I4 = R
f4 (x) = 2+cos1x+x4
f5 (x) = tan x
I5 = 0; 2
1
p
I6 = [0; 1[
f6 (x) = 1 x2
2/ Déterminer si les fonctions suivantes sont de carré intégrable :
x
f7 (x) = epx I7 = [2; +1[
1
f8 (x) = 1+jxj
I8 = R
esin x
f9 (x) = x
I9 = [1; +1[
3/ Déterminer les primitives ou intégrales suivantes :
Z 1
Z 1
x+3
dx;
x2 ln xdx;
(x
+
1)
(x
+
2)
0
Z0
Z
1
3x
dx
sin (x) e dx;
sin x cos3 x
Z
3
0
p
x
dx
x+1
Exercice 2 :
1/ Soit f = 1[ 1;1] et g = 1[ a;a] avec a > 0. Calculer f
exp ( x) 1[0;+1[ (x) et g (x) = exp ( x) 1[0;+1[ (x) :
2/ On pose f (x) = exp ( x2 ). Calculer f f:
g. Idem avec f (x) =
Exercice 3 :
R
x2
Soit ' (x) = p21 2 exp
:
On
admet
que
' = 1: Soit f une fonction C 0
2
2
quelconque.
1/ Montrez que g = ' f est dans C 1 et calculer g 0 :
2/ Déterminer
lim ' f (x) :
!0
3/ Que se passe-t-il si f admet une discontinuité au point x ?
2
Feuille 2 : Séries de Fourier
Exercice 1 :
Déterminer la période et calculer les coe¢ cients de Fourier (réels ou complexes) des
fonctions suivantes :
1/ f1 (x) = 8 sin ( x) ;
2/ f2 (x) = 3 sin (2 x) 2 cos (5 x) + 6 sin (10 x) ;
3/ f3 (x) = cos2 (x) :
Exercice 2 :
1/ Déterminer les coe¢ cients de la série de Fourier de la fonction 1-périodique g (signal
en créneaux) ci-dessous telle que pour tout x 2 [ 1=2; 1=2] :
g (x) =
En déduire les valeurs de
P+1
1 x 2 [ 1=4; 1=4]
0 x 2 [ 1=2; 1=4[ [ ]1=4; 1=2] :
1
n=0 (2n+1)2
et
P+1
1
n=1 n2 :
2/ Déterminer les coe¢ cients de la série de Fourier de la fonction 2-périodique et paire
s (signal en dents de scie) dé…nie pour x 2 [0; 1] par s (x) = 1 x:
3/ Déterminer les coe¢ cients de la série de Fourier de la fonction -périodique impaire
h dé…nie pour x 2 [0; =2] par h (x) = x (1 2x= ) :
Exercice 3 :
Soit n
pour x 2
2: On considère la fonction 1-périodique f qui vaut f (x) =
1 1
;
et 0 ailleurs.
n n
1/ Tracer cette fonction pour n petit et n grand.
R 1=2
2/ Que vaut 1=2 f (x) dx ? Que vaut f (0) ?
3/ Calculer les coe¢ cients de Fourier de f:
4/ Que remarquez-vous quand n ! +1 ?
3
15
n (1
16
2
n2 x2 )
Feuille 3 : Transformée de Fourier
Exercice 1 : TF d’une gaussienne
2
L’objectif de l’exercice est de montrer que la transformée de Fourier de x 7! e x est
2
7! e
. Notons g ( ) cette transformée de Fourier.
1/ Montrer que g (0) = 1:
2/ Montrer que g 0 ( ) = 2 g ( ) : Résoudre l’équation di¤érentielle précédente et
conclure.
i
h
(x m) 2
1
p
3/ Déduire des questions précédentes la TF de x 7! 2 exp
:
2 2
Exercice 2 :
1/ Soient a; b > 0: Calculer les TF des fonctions L1 (R) suivantes :
e
ajxj
;
jxj e
ajxj
;
ha (x) =
2a
x 2 + a2
2/ En utilisant le calcul de F (ha ), calculer la convolée ha hb et la TF F (ha hb ).
Exercice 3 :
En utilisant le Théorème de Parseval, calculer les intégrales suivantes :
Z
n
sin ( x)
dx;
n = 2; 3; 4;
I=
x
R
Z
dx
J=
:
2 2
R (1 + x )
Exercice 4 :
On cherche la solution F nulle en
1 de l’équation di¤érentielle :
y 00 (x) + y (x) = e
2jxj
Supposons que F 2 L1 (R) et notons Fb sa transformée de Fourier.
1/ Montrer que Fb ( ) = 43 1+41 2 2 4+41 2 2 :
2/ En déduire l’expression de F (x).
Exercice 5 :
1/ Calculer la transformée de Laplace de la fonction :
Z
1
' (x) =
cos (x cos t) dt:
0
2/ Trouver les solutions de l’équation de Bessel :
xy 00 (x) + y 0 (x) + xy (x) = 0:
4
Intégrales multiples
Rappel des changements de variables principaux :
-Cartésiennes-Polaires dxdy = rdrd en 2D
-Cartésiennes-Cylindrique dxdydz = rdrd dz en 3D
-Cartésiennes-Sphérique dxdydz = r2 sin drd d' en 3D avec
8
< x = r sin cos '
y = r sin sin '
:
z = r cos
-Formule générale de changement de variable (en 2D) : x 7 ! u et y 7 ! v : avec
x = x (u; v) et y = y (u; v). On a dxdy = jJ (u; v)j dudv avec J (u; v) =
@x
@u
@y
@u
@x
@v
@y
@v
:
Exercice 1 : [Intégrales doubles]
1/ Retrouver la surface de l’ellipse d’équation
x2
a2
+
y2
b2
= 1:
p
2
xg. Tracer
2/ Soit le domaine
du
plan
D
dé…ni
par
D
=
f(x;
y)
:
0
x
1;
x
y
RR
RR
D et calculer
xdxdy: Que vaut selon vous
ydxdy ? Véri…ez cela par le calcul.
D
D
RR
3/ Soit = [0; ] [0; ] ;calculer
y cos (xy) dxdy:
4/ Calculer
RR
A
pdxdy
x2 +y 2
avec A = f(x; y) : 1
x
2; 1
y
3g :
Exercice 2 : [Intégrales triples]
1/ Retrouver le volume de la sphère de rayon R à l’aide d’une intégrale triple.
2/ Retrouver le volume d’un cône de révolution de hauteur h et de rayon de base R:
3/ Calculer le centre de gravité du domaine D de masse volumique constante et égale
à 1 avec D = f(x; y; z) : x2 + y 2 1; 0 z 1g :
5
Mat4
Une introduction aux distributions.
1
Pourquoi des distributions à la place des fonctions
Dans certaines situations physiques, les fonctions ne peuvent pas permettre de modéliser
certains phénomènes, notamment ceux du type impulsionnel. Par exemple une charge
ponctuelle à la surface d’un conducteur ou une force mettant un solide en mouvement.
Supposons donc que l’on dispose d’un système auquel on impulse une entrée f (quantité
de mouvement, densité de charge...) dont l’intégrale est constante (énergie,
potentiel...)
R"
pendant une durée de temps de plus en plus courte " # 0. Pour que 0 f soit constante
il faut que f soit de plus en plus grande. Pour …xer les idées imaginons que f se mette
sous la forme d’une fonction en escalier :
1
f (x) = f" (x) = 11f0
"
x "g :
On voit qu’en faisant tendre " vers 0 on aboutit à un objet mathématique non identi…é
que nous noterons qui n’est pas une fonction car il véri…e :
(0) = +1
(x) = 0 si x 6= 0
Cet objet est appelé distribution de Dirac en 0: Les fonctions f" sont elles aussi toutes
des distributions mais sont également des fonctions...
Nous voyons en première approche que les distributions vont englober certaines fonctions qui peuvent être irrégulières comme les f" (nous préciserons ce point plus loin) mais
elles vont surtout permettre de dé…nir une nouvelle forme de calcul intégral. En e¤et
l’aire sous le graphe de est nulle (si l’on accepte la convention qu’un trait,
R même in…ni,
est d’aire nulle) pourtant l’intégrale de vaut 1 puisque pour tout " > 0; f" = 1
Nous verrons également plus loin que les distributions nous permettront de forger un
nouveau type de dérivation, notamment de dériver des fonctions discontinues...
Avant de jeter les bases du formalisme associé aux distributions, il faut faire une
dernière remarque, liée au chapitre sur la convolution. Soit ' une fonction que nous
supposons su¢ samment lisse. Calculons la convolée de ' et f" :
Z
Z "
Z 1
' (x t)
' f" (x) = ' (x t) f" (t) dt =
dt =
' (x "s) ds
"
0
0
après avoir posé t = "s: Il est alors aisé de voir que ' f" (x) ! ' (x) quand " ! 0:
Tirons au moins de cela un enseignement
R : même si les distributions sont des objets assez
abstraits, le calcul d’intégrales du type 'f peut être aisé et réserver de bonne surprises...
2
Fonctionnelles linéaires et espace D
Nous avons vu dans le cas des espaces L2 qu’il était possible de dé…nir un produit scalaire
par une intégrale.p Nous voyons que les fonctions f" sont de carré intégrable mais leur
norme L2 vaut 1= " et tend vers +1: Si l’on veut dé…nir l’équivalent du produit scalaire
pour une distribution comme il faut changer de point de vue. En général si f est
6
R
une distribution on devra se contenter de calculer des intégrales de la forme f ' quand
' est choisie dans un ensemble moins vaste que les fonctions de carré intégrable L2 :
Intuitivement comme f est plus générale qu’une fonction, il semble logique d’imposer
davantage de contraintes sur ':
De…nition : On appelle fonctionnelle linéaire toute application T qui à une fonction
' associe un nombre réel noté T (') et qui est linéaire en '.
Par exemple on véri…e facilement que le choix de Tx0 (') = ' (x0 ) où x0 appartient
au domaine de dé…nition de ' convient. Nous pouvons
citer un autre exemple à partir
R
2
du produit scalaire sur L en prenant Tg (') = 'g où ' et Rg sont dans L2 : De façon
générale si ' 2 F où F est une famille de fonctions T (') =
R f ' est une fonctionnelle
sur F dès lors que f est choisie de telle sorte que l’intégrale f ' existe pour tout ' 2 F.
Dans ce cas on peut identi…er f et T:
1
: prenons ' 2 L
R Exemple
R
R (R) et f telle que supx jf (x)j < +1: Nous voyons que
f'
jf 'j supx jf (x)j j'j et la fonctionnelle T est bien dé…nie.
De…nition : On note D l’ensemble des fonctions de R vers R dont le support est
borné et qui sont indé…niment dérivables. L’ensemble D est un espace vectoriel.
Exemple : La fonction '1 dé…nie par :
'1 (x) = 0 si jxj > 1
'1 (x) = exp x21 1
si jxj
1
appartient à D (Pourquoi ?).
(Contre)exemple : Les fonction (x) = exp ( x2 ) et f2 (x) = 12 11f0
pas à D (Pourquoi ?).
3
x 3g n’appartiennent
Distributions réelles.
De…nition : Une distribution est une fonctionelle linéaire continue sur l’espace D.
L’ensemble des distributions est noté D0 :
Cette dé…nition est abstraite déjà explicitée dans le paragraphe précédent mais va être
éclaircie. En e¤et nous allons examiner tout de suite deux grandes classes de distributions.
Avant cela il faut noter que la dé…ntion des distributions est très intimement liée à celle
de D qui prend souvent le nom d’espace de fonctions tests. Bien comprendre l’e¤et d’une
distribution passe souvent par Rle calcul de T (') qui se ramène lui-même bien souvent au
calcul d’intégrales de la forme f ':
3.1
Deux types de distributions
De…nition : Une fonction f est dite localement sommable si elle est sommable sur tout
ensemble borné.
Exemple : f (x) = 2x est localement sommable alors que x ! 1=x ne l’est pas.
Proposition : A toute fonction
R localement sommable f on peut associer une distribution T par T (') = hT; 'i = f ' pour ' 2 D. Une telle distribution T est dite
régulière.
Le premier Rexemple de distributions singulière est = 0 qui peut se généraliser en a
où a 2 R avec
a ' = ' (a) :
De…nition : Une distribution T est dite singulière si elle est la combinaison linéaire
non nécessairement …nie 1 a1 + 2 a2 + ::: de distributions de Dirac. P
+1
Un cas particulier important est constitué par le peigne de Dirac :
n= 1 n (faire
un dessin pour comprendre l’image du peigne).
7
3.2
Propriétés des distributions
Soit T et S deux distributions et un scalaire, alors T + S et T sont également ds
distributions avec hT + S; 'i = hT; 'i + hS; 'i et h T; 'i = hT; 'i : Il est possible de
translater, de transposer des distributions, de changer d’échelle.
La multiplication par une fonction indé…niment dérivable est possible et h T; 'i =
hT; 'i mais la propriété sur laquelle nous allons insister est la dérivation.
Proposition : Les distributions sont indé…niment dérivables et toutes leurs dérivées
sont également des distributions. La dérivée T 0 de T est dé…nie par hT 0 ; 'i = hT; '0 i et
sa dérivée d’ordre m s’écrit T (m) ; ' = ( 1)(m) T; '(m) :
Le principe est le suivant : comme les distributions ne sont dé…nies généralement que
via les fonctions tests, une intégration par partie donne
Z
Z
0
0
hT ; 'i = T ' = [T ']
T '0
et comme ' est à support compact [T '] = [T ']+1
1 = 0 d’où la formule.
Exemple : Déterminons la dérivée de = 0 : Nous avons pour tout '; h 0 ; 'i =
h ; '0 i = '0 (0) :
Il est également possible d’intégrer des distributions : la primitive d’une distribution
est toujours une distribution.
4
Exercices :
Exercice 1 :
Montrer que pour tout " > 0 il est possible de construire une fonction '" 2 D telle
que :
'" (x) = 1
'" (x) = 0
jxj < 1=2 "
jxj > 1=2 + "
[Comencer par faire un dessin et bien reprendre les exemples du poly].
Exercice 2 :
R1
Soit ' une fonction test quelconque. La fonctionnelle f dé…nie par hf; 'i = 0 j' (x)j dx
est-elle une distribution ? Pourquoi ?
Exercice 3 :
Dériver au sens des distributions la fonction H de Heaviside, la fonction porte
fonction signe (x) :
Exercice 4 :
Quelle sont les limites dans D0 des deux suites dé…nies par : fk (x) =
gk (x) =
sin( kx)
x
?
8
; la
k
(ke x2 +1)
et