Géométrie Non-Commutative/Mathématiques Physique

Présentation du thème : Géométrie
Non-Commutative/Mathématiques Physique
La géométrie non-commutative
La GNC ()
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8 décembre 2011
1 / 16
Les personnes les plus concernées
Eitan Angel (Post-doc) ;
Moulay Tahar Benameur (Professeur) ;
El-kaioum Moutuou El-kaioum (Doctorant de J.L Tu) ;
Ivan Lassane (Doctorant de J.L Tu) ;
Hervé Oyono-Oyono (Professeur) ;
Jean Savinien (Maître de conférences) ;
Nicolas Prudhon (Maître de conférences) ;
Jean-Louis Tu (Professeur) ;
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Figure de diffraction de l’alliage
Aluminium-Manganèse (I. Bletch D. Gratias et D. Cahn
1984)
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Quasi-cristal
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Quasi-cristal
Symétrie d’ordre 10 (interdite pour les cristaux) ;
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4 / 16
Quasi-cristal
Symétrie d’ordre 10 (interdite pour les cristaux) ;
Les atomes sont uniformément répartis ;
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4 / 16
Quasi-cristal
Symétrie d’ordre 10 (interdite pour les cristaux) ;
Les atomes sont uniformément répartis ;
Nb fini de configurations locales à translations près (Patchs) de
taille donnée ;
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4 / 16
Quasi-cristal
Symétrie d’ordre 10 (interdite pour les cristaux) ;
Les atomes sont uniformément répartis ;
Nb fini de configurations locales à translations près (Patchs) de
taille donnée ;
Chaque patch se répète uniformément ;
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Pavage de Penrose
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Pavage de Penrose
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Pavage de Penrose
Il est obtenue avec 10 prototuiles (tuiles à translation près).
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6 / 16
Pavage de Penrose
Il est obtenue avec 10 prototuiles (tuiles à translation près).
Nb fini de configurations locales (k -couronnes autour d’une tuile) à
translations près (Patchs) de taille donnée : complexité locale finie
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6 / 16
Pavage de Penrose
Il est obtenue avec 10 prototuiles (tuiles à translation près).
Nb fini de configurations locales (k -couronnes autour d’une tuile) à
translations près (Patchs) de taille donnée : complexité locale finie
Pour chaque patch, il existe r t.q toute boule de rayon r contienne
un copie du patch (le pavage est répétitif).
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6 / 16
Pavage de Penrose
Il est obtenue avec 10 prototuiles (tuiles à translation près).
Nb fini de configurations locales (k -couronnes autour d’une tuile) à
translations près (Patchs) de taille donnée : complexité locale finie
Pour chaque patch, il existe r t.q toute boule de rayon r contienne
un copie du patch (le pavage est répétitif).
A un pavage CLF et répétitif, on peux associer un quasicristal en
prenant le centre des tuiles ;
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6 / 16
Pavage de Penrose
Il est obtenue avec 10 prototuiles (tuiles à translation près).
Nb fini de configurations locales (k -couronnes autour d’une tuile) à
translations près (Patchs) de taille donnée : complexité locale finie
Pour chaque patch, il existe r t.q toute boule de rayon r contienne
un copie du patch (le pavage est répétitif).
A un pavage CLF et répétitif, on peux associer un quasicristal en
prenant le centre des tuiles ;
A un quasicristal on peut associé son pavage de Voronoï.
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Dynamique des pavages
Soit P un pavage CLF et répétitif de Rn et soit XP l’ensemble des
pavages ayant les même patchs que P ;
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Dynamique des pavages
Soit P un pavage CLF et répétitif de Rn et soit XP l’ensemble des
pavages ayant les même patchs que P ;
P est muni d’une action de Rn par translations ;
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7 / 16
Dynamique des pavages
Soit P un pavage CLF et répétitif de Rn et soit XP l’ensemble des
pavages ayant les même patchs que P ;
P est muni d’une action de Rn par translations ;
topologie sur cet ensemble : 2 pavages P 0 et P 00 sont proches si
modulo une petite translation, ils coincident sur une grande boule ;
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7 / 16
Dynamique des pavages
Soit P un pavage CLF et répétitif de Rn et soit XP l’ensemble des
pavages ayant les même patchs que P ;
P est muni d’une action de Rn par translations ;
topologie sur cet ensemble : 2 pavages P 0 et P 00 sont proches si
modulo une petite translation, ils coincident sur une grande boule ;
Cette topologie est compact et Rn agit par homéomorphismes ;
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Dynamique des pavages
Soit P un pavage CLF et répétitif de Rn et soit XP l’ensemble des
pavages ayant les même patchs que P ;
P est muni d’une action de Rn par translations ;
topologie sur cet ensemble : 2 pavages P 0 et P 00 sont proches si
modulo une petite translation, ils coincident sur une grande boule ;
Cette topologie est compact et Rn agit par homéomorphismes ;
XP est l’enveloppe continue de P. C’est un espace feuilleté par
l’action de Rn transversalement Cantor.
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7 / 16
Le gap-labelling (J. Bellissard)
Soit H l’op. de Schrödinger sur un quasi-cristal L ;
h2
HL = −
∆ + VL ,
2m
où
La GNC ()
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8 / 16
Le gap-labelling (J. Bellissard)
Soit H l’op. de Schrödinger sur un quasi-cristal L ;
h2
HL = −
∆ + VL ,
2m
où
∆ est le Laplacien sur Rn ;
La GNC ()
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8 / 16
Le gap-labelling (J. Bellissard)
Soit H l’op. de Schrödinger sur un quasi-cristal L ;
h2
HL = −
∆ + VL ,
2m
où
∆ est le Laplacien sur Rn ;
P
VL (x) = y ∈L v (x − y ) où v est le potentiel près d’un site
atomique ;
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8 / 16
Le gap-labelling (J. Bellissard)
Soit H l’op. de Schrödinger sur un quasi-cristal L ;
h2
HL = −
∆ + VL ,
2m
où
∆ est le Laplacien sur Rn ;
P
VL (x) = y ∈L v (x − y ) où v est le potentiel près d’un site
atomique ;
L’algèbre des observables affiliés à HL est contenue dans la
C ∗ -algèbre associée au système dynamique ergotique (XL , Rn , µ)
avec
La GNC ()
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8 / 16
Le gap-labelling (J. Bellissard)
Soit H l’op. de Schrödinger sur un quasi-cristal L ;
h2
HL = −
∆ + VL ,
2m
où
∆ est le Laplacien sur Rn ;
P
VL (x) = y ∈L v (x − y ) où v est le potentiel près d’un site
atomique ;
L’algèbre des observables affiliés à HL est contenue dans la
C ∗ -algèbre associée au système dynamique ergotique (XL , Rn , µ)
avec
XL est l’enveloppe continue du pavage de Voronoï de L ;
µ est une proba canonique invariante ;
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8 / 16
Le gap-labelling (J. Bellissard)
Soit H l’op. de Schrödinger sur un quasi-cristal L ;
h2
HL = −
∆ + VL ,
2m
où
∆ est le Laplacien sur Rn ;
P
VL (x) = y ∈L v (x − y ) où v est le potentiel près d’un site
atomique ;
L’algèbre des observables affiliés à HL est contenue dans la
C ∗ -algèbre associée au système dynamique ergotique (XL , Rn , µ)
avec
XL est l’enveloppe continue du pavage de Voronoï de L ;
µ est une proba canonique invariante ;
Avantage : (XL , Rn , µ) ne dépend pas du potentiel v au voisinage
des sites atomiques ;
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8 / 16
La C ∗ -algèbre de (XL , Rn )
La C ∗ -algèbre associée à (XL , Rn ) est C(XL ) o Rn c.a.d la C ∗ complétion de l’algèbre involutive de convolution Cc (Rn × XL )
f ∗ g(t, ω) =
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R
f (s, ω)g(t − s, ω − s) ;
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9 / 16
La C ∗ -algèbre de (XL , Rn )
La C ∗ -algèbre associée à (XL , Rn ) est C(XL ) o Rn c.a.d la C ∗ complétion de l’algèbre involutive de convolution Cc (Rn × XL )
R
f ∗ g(t, ω) = f (s, ω)g(t − s, ω − s) ;
f ∗ (t, ω) = f̄ (ω + t, −t) ;
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9 / 16
La C ∗ -algèbre de (XL , Rn )
La C ∗ -algèbre associée à (XL , Rn ) est C(XL ) o Rn c.a.d la C ∗ complétion de l’algèbre involutive de convolution Cc (Rn × XL )
R
f ∗ g(t, ω) = f (s, ω)g(t − s, ω − s) ;
f ∗ (t, ω) = f̄ (ω + t, −t) ;
La proba invariante µ sur XL induit une trace sur C(XL ) o Rn
Z
τ µ : f 7→ f (0, ω)dµ
pour f ∈ Cc (Rn × XL ).
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9 / 16
La C ∗ -algèbre de (XL , Rn )
La C ∗ -algèbre associée à (XL , Rn ) est C(XL ) o Rn c.a.d la C ∗ complétion de l’algèbre involutive de convolution Cc (Rn × XL )
R
f ∗ g(t, ω) = f (s, ω)g(t − s, ω − s) ;
f ∗ (t, ω) = f̄ (ω + t, −t) ;
La proba invariante µ sur XL induit une trace sur C(XL ) o Rn
Z
τ µ : f 7→ f (0, ω)dµ
pour f ∈ Cc (Rn × XL ).
Les observables affiliés à HL sont dans C(XL ) o Rn .
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9 / 16
La densité intégré d’états
Définition
La densité intégrée d’états est la fonction E 7→ N (E), où N (E) est le
nb d’états de valeur propre (ou d’énergie) inférieur ou égal à E par
unité de volume.
La GNC ()
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8 décembre 2011
10 / 16
La densité intégré d’états
Définition
La densité intégrée d’états est la fonction E 7→ N (E), où N (E) est le
nb d’états de valeur propre (ou d’énergie) inférieur ou égal à E par
unité de volume.
la trace τ µ s’étend à l’algèbre de von Neumann de C(XL ) o Rn ;
La GNC ()
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10 / 16
La densité intégré d’états
Définition
La densité intégrée d’états est la fonction E 7→ N (E), où N (E) est le
nb d’états de valeur propre (ou d’énergie) inférieur ou égal à E par
unité de volume.
la trace τ µ s’étend à l’algèbre de von Neumann de C(XL ) o Rn ;
χ(−∞,E] (H) (obtenue par calcul fonctionnel Borélien) appartient à
l’algèbre de von Neumann de C(XL ) o Rn ;
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10 / 16
La densité intégré d’états
Définition
La densité intégrée d’états est la fonction E 7→ N (E), où N (E) est le
nb d’états de valeur propre (ou d’énergie) inférieur ou égal à E par
unité de volume.
la trace τ µ s’étend à l’algèbre de von Neumann de C(XL ) o Rn ;
χ(−∞,E] (H) (obtenue par calcul fonctionnel Borélien) appartient à
l’algèbre de von Neumann de C(XL ) o Rn ;
Théorème (Formule de Shubin, J. Bellissard)
N (E) = τ µ (χ(−∞,E] (H))
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10 / 16
La densité intégré d’états
Définition
La densité intégrée d’états est la fonction E 7→ N (E), où N (E) est le
nb d’états de valeur propre (ou d’énergie) inférieur ou égal à E par
unité de volume.
la trace τ µ s’étend à l’algèbre de von Neumann de C(XL ) o Rn ;
χ(−∞,E] (H) (obtenue par calcul fonctionnel Borélien) appartient à
l’algèbre de von Neumann de C(XL ) o Rn ;
Théorème (Formule de Shubin, J. Bellissard)
N (E) = τ µ (χ(−∞,E] (H))
Si E est contenu dans un saut spectral, alors χ(−∞,E] (H) est un
projecteur de C(XL ) o Rn ;
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10 / 16
La densité intégré d’états
Définition
La densité intégrée d’états est la fonction E 7→ N (E), où N (E) est le
nb d’états de valeur propre (ou d’énergie) inférieur ou égal à E par
unité de volume.
la trace τ µ s’étend à l’algèbre de von Neumann de C(XL ) o Rn ;
χ(−∞,E] (H) (obtenue par calcul fonctionnel Borélien) appartient à
l’algèbre de von Neumann de C(XL ) o Rn ;
Théorème (Formule de Shubin, J. Bellissard)
N (E) = τ µ (χ(−∞,E] (H))
Si E est contenu dans un saut spectral, alors χ(−∞,E] (H) est un
projecteur de C(XL ) o Rn ;
Le gap-labelling est la détermination de N (E) lorsque E est
contenu dans un saut spectral.
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Lien avec la K -théorie
Si A est une C ∗ -algèbre unitale,
2projecteurs
p0 ∈ Mn (A) et
p0 0
p1 0
p1 ∈ Mk (A) sont équiv. si
et
sont conjugués
0 0
0 0
dans MN (A) pour N ≥ n, k ;
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8 décembre 2011
11 / 16
Lien avec la K -théorie
Si A est une C ∗ -algèbre unitale,
2projecteurs
p0 ∈ Mn (A) et
p0 0
p1 0
p1 ∈ Mk (A) sont équiv. si
et
sont conjugués
0 0
0 0
dans MN (A) pour N ≥ n, k ;
Classes d’équivalences
: semi-groupe abélien pour
p0 0
[p0 ] + [p1 ] =
0 p1
La GNC ()
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8 décembre 2011
11 / 16
Lien avec la K -théorie
Si A est une C ∗ -algèbre unitale,
2projecteurs
p0 ∈ Mn (A) et
p0 0
p1 0
p1 ∈ Mk (A) sont équiv. si
et
sont conjugués
0 0
0 0
dans MN (A) pour N ≥ n, k ;
Classes d’équivalences
: semi-groupe abélien pour
p0 0
[p0 ] + [p1 ] =
0 p1
K0 (A) = {[p] − [q]}.
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11 / 16
Lien avec la K -théorie
Si A est une C ∗ -algèbre unitale,
2projecteurs
p0 ∈ Mn (A) et
p0 0
p1 0
p1 ∈ Mk (A) sont équiv. si
et
sont conjugués
0 0
0 0
dans MN (A) pour N ≥ n, k ;
Classes d’équivalences
: semi-groupe abélien pour
p0 0
[p0 ] + [p1 ] =
0 p1
K0 (A) = {[p] − [q]}.
Si A n’est pas unitale, soit A+ = A ⊕ C l’unitarisé de A (avec
(a, λ)(a0 , λ0 ) = (aa0 + λa0 + λ0 a, λλ0 )), alors
K0 (A) = ker K0 (A+ ) → K0 (C) ∼
=Z
(induit par A+ → C; (a, λ) 7→ λ) ;
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8 décembre 2011
11 / 16
Lien avec la K -théorie
Si A est une C ∗ -algèbre unitale,
2projecteurs
p0 ∈ Mn (A) et
p0 0
p1 0
p1 ∈ Mk (A) sont équiv. si
et
sont conjugués
0 0
0 0
dans MN (A) pour N ≥ n, k ;
Classes d’équivalences
: semi-groupe abélien pour
p0 0
[p0 ] + [p1 ] =
0 p1
K0 (A) = {[p] − [q]}.
Si A n’est pas unitale, soit A+ = A ⊕ C l’unitarisé de A (avec
(a, λ)(a0 , λ0 ) = (aa0 + λa0 + λ0 a, λλ0 )), alors
K0 (A) = ker K0 (A+ ) → K0 (C) ∼
=Z
(induit par A+ → C; (a, λ) 7→ λ) ;
Si τ est une trace sur A, alors τ ⊗ Trn est une trace sur Mn (A) et
p 7→ τ ⊗ Trn (p) induit une forme linéaire τ∗ : K0 (A) → R.
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8 décembre 2011
11 / 16
Le gap-labelling
Théorème (J. Bellissard)
Soit τ µ la trace induite par µ sur C(XL ) o Rn , alors le gap-labelling est
égal à τ∗µ (K0 (C(XL ) o Rn )).
La GNC ()
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12 / 16
Le gap-labelling
Théorème (J. Bellissard)
Soit τ µ la trace induite par µ sur C(XL ) o Rn , alors le gap-labelling est
égal à τ∗µ (K0 (C(XL ) o Rn )).
Conjecture (J. Bellissard)
Soit F l’ensemble des fréquences d’apparition des patchs de L et hFi
le sous-groupe de R engendré par F, alors
τ∗µ (K0 (C(XL ) o Rn )) = hFi.
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8 décembre 2011
12 / 16
Le gap-labelling
Théorème (J. Bellissard)
Soit τ µ la trace induite par µ sur C(XL ) o Rn , alors le gap-labelling est
égal à τ∗µ (K0 (C(XL ) o Rn )).
Conjecture (J. Bellissard)
Soit F l’ensemble des fréquences d’apparition des patchs de L et hFi
le sous-groupe de R engendré par F, alors
τ∗µ (K0 (C(XL ) o Rn )) = hFi.
La conjecture de Bellissard est vraie : Bellissard-Benedetti-Gambaudo,
Benameur-O, Kaminker-Putnam (2003).
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12 / 16
Index ex machina
A une situation géométrique, on associe une C ∗ -algèbre A
contenant notament le calcul pseudo-différentiel (d’ordre 0)
adapté ;
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8 décembre 2011
13 / 16
Index ex machina
A une situation géométrique, on associe une C ∗ -algèbre A
contenant notament le calcul pseudo-différentiel (d’ordre 0)
adapté ;
A une trace ou à une trace supérieure (cocycle cyclique) τ on
associe une forme linéaire
τ∗ : K0 (A) → C
permettant de produire des invariants de nature topologique ;
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13 / 16
Index ex machina
A une situation géométrique, on associe une C ∗ -algèbre A
contenant notament le calcul pseudo-différentiel (d’ordre 0)
adapté ;
A une trace ou à une trace supérieure (cocycle cyclique) τ on
associe une forme linéaire
τ∗ : K0 (A) → C
permettant de produire des invariants de nature topologique ;
On veut calculer ces invariants à l’aide d’une formule locale ;
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13 / 16
Applications
Etude des groupes du point de vue de leurs représentations,
principe de Mackey ;
La GNC ()
GNC/Math. Phys
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14 / 16
Applications
Etude des groupes du point de vue de leurs représentations,
principe de Mackey ;
Invariants pour les feuilletages ;
La GNC ()
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14 / 16
Applications
Etude des groupes du point de vue de leurs représentations,
principe de Mackey ;
Invariants pour les feuilletages ;
groupes fondamentaux : calcul de certain invariants en topologie
algébrique (conjecture de Novikov sur l’invariance homotopique
des hautes signatures) ;
La GNC ()
GNC/Math. Phys
8 décembre 2011
14 / 16
Applications
Etude des groupes du point de vue de leurs représentations,
principe de Mackey ;
Invariants pour les feuilletages ;
groupes fondamentaux : calcul de certain invariants en topologie
algébrique (conjecture de Novikov sur l’invariance homotopique
des hautes signatures) ;
Systèmes dynamiques topologiques, dynamique des pavages ;
La GNC ()
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14 / 16
Applications
Etude des groupes du point de vue de leurs représentations,
principe de Mackey ;
Invariants pour les feuilletages ;
groupes fondamentaux : calcul de certain invariants en topologie
algébrique (conjecture de Novikov sur l’invariance homotopique
des hautes signatures) ;
Systèmes dynamiques topologiques, dynamique des pavages ;
groupoides et application à la géométrie des supercordes ;
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14 / 16
Quelques problématiques de recherche
Calcul pseudo-différentiel sur les groupes et les feuilletages (M.T
Benameur, N. Prudhon) ;
La GNC ()
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8 décembre 2011
15 / 16
Quelques problématiques de recherche
Calcul pseudo-différentiel sur les groupes et les feuilletages (M.T
Benameur, N. Prudhon) ;
Formules locales de l’indice pour des feuilletages (M.T.
Benameur) ;
La GNC ()
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15 / 16
Quelques problématiques de recherche
Calcul pseudo-différentiel sur les groupes et les feuilletages (M.T
Benameur, N. Prudhon) ;
Formules locales de l’indice pour des feuilletages (M.T.
Benameur) ;
Calcul de la K -théorie d’algèbres associées à des groupes, à des
systèmes dynamiques et à des groupoïdes (H. Oyono Oyono, N.
Prudhon, J.L Tu) ;
La GNC ()
GNC/Math. Phys
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15 / 16
Quelques problématiques de recherche
Calcul pseudo-différentiel sur les groupes et les feuilletages (M.T
Benameur, N. Prudhon) ;
Formules locales de l’indice pour des feuilletages (M.T.
Benameur) ;
Calcul de la K -théorie d’algèbres associées à des groupes, à des
systèmes dynamiques et à des groupoïdes (H. Oyono Oyono, N.
Prudhon, J.L Tu) ;
Gap-labelling pour les quasicristaux (M.T. Benameur, H. Oyono
Oyono, J. Savinien) ;
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15 / 16
Quelques problématiques de recherche
Calcul pseudo-différentiel sur les groupes et les feuilletages (M.T
Benameur, N. Prudhon) ;
Formules locales de l’indice pour des feuilletages (M.T.
Benameur) ;
Calcul de la K -théorie d’algèbres associées à des groupes, à des
systèmes dynamiques et à des groupoïdes (H. Oyono Oyono, N.
Prudhon, J.L Tu) ;
Gap-labelling pour les quasicristaux (M.T. Benameur, H. Oyono
Oyono, J. Savinien) ;
K -théorie twistée, théorèmes de l’indice twistées et application à
la classification des D-branes en théorie des cordes (J.L Tu) ;
Géométrie spectrale des espaces de pavages (J. Savinien) ;
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15 / 16