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Mathématiques et Sciences Eco.
Les différents types de coûts
• les coûts fixes : par définition, c'est la valeur du coût total pour une production
nulle. On a par conséquent : C fixes  Ctotal (0)
La Recette
• les coûts variables : la relation Ctotal(q) = Cfixes + Cvariables (q)
donne Cvariables (q) = CTotal(q) - Cfixes.
La notion de coûts variables est très peu utilisée en mathématiques.
Recette = prix de vente à l'unité × quantité vendue.
Dans les modèles les plus simples, le prix de vente à l'unité est fixe quelque soit la
quantité vendue : si l'on note a le prix de vente d'un objet et q la quantité
vendue, on a alors R(q )  aq : la recette est alors une fonction linéaire de q, on
• le coût moyen ( pour une production q > 0 ) : Cmoyen (q ) 
Ctotal (q )
.
q
• le coût marginal : on utilise la dérivée du coût total comme approximation du
dit que la recette est proportionnelle à la quantité vendue, et sa représentation
graphique est une droite passant par l'origine du repère.
Attention, la recette est une droite passant par l'origine du repère seulement
lorsque le prix de vente à l'unité est fixe.
 (q) .
coût marginal, d'où la "définition" : Cmarginal ( q )  Ctotal
Bénéfice algébrique
Les coûts fixes se retrouvent en lisant l'ordonnée du point de la courbe de Ctotal q
situé sur l'axe des ordonnées ( point de "départ" donc de la courbe ).
La fonction Ctotal est toujours croissante donc si ce n'est pas visuellement le cas,
c'est que le modèle mathématique appliqué doit être rejeté.
On retiendra la relation : Bénéfice = Recette - Coût total,
qui s'écrit aussi : B(q )  R(q)  Ctotal (q) .
Un bénéfice algébrique négatif indique que l'entreprise perd de l'argent. Un
bénéfice nul indique que l'entreprise ne gagne rien et ne perd rien pour la
production considérée : la recette compense alors exactement le coût total .
Graphiquement
Le bénéfice est donné par l'écart lu verticalement entre les représentations
graphiques de la recette et du coût total. Le bénéfice algébrique est positif - donc
l'entreprise gagne effectivement de l'argent - lorsque la représentation
graphique de la recette est au-dessus de celle du coût total, et le bénéfice est
d'autant plus important que l'écart entre ces deux représentations graphiques est
important.
Cette approximation est justifiée pour des quantités q importantes.
Lectures graphiques à partir de la courbe du coût total
Attention, cette remarque sur le sens de variation ne concerne que le coût total :
pour le coût moyen et le coût marginal, on obtient le plus souvent des fonctions
décroissantes puis croissantes, et non une fonction toujours croissante comme
c'est le cas pour le coût total ).
Compléments : Soit M un point d'abscisse q se déplaçant sur la courbe du coût
total. On a donc M( q ; Ctotal(q) ). On peut montrer facilement que le coefficient
directeur de la droite (OM) est égal à Cmoyen(q). Par conséquent, en plaçant le point
M sur la courbe de Ctotal de telle façon que la droite (OM) soit la moins "pentue"
possible ( qu'elle" monte" le plus doucement possible ), alors l'abscisse d'un tel
point M rend minimal le coût moyen.
En admettant que la droite (OM) est alors tangente à la courbe en ce point M, on
peut montrer que le coût marginal est égal au coût moyen pour une telle
production.
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