Introduction - Astrophysique sur Mesure

Transcription

Ecole Doctorale d’Astrophysique d’Ile de France 2001-2002
S TRUCTURE
INTERNE
& S ISMOLOGIE
Benoı̂t Mosser
Observatoire de Paris
I./ INTRODUCTION
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Table des matières
0
Préambule
0.1 Structure interne & Sismologie
0.2 Aspects pratiques . . . . . . .
0.3 Plan du cours (4 fascicules) . .
0.4 Références . . . . . . . . . . .
0.5 Données physiques . . . . . .
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4
4
5
5
6
6
1
Structure interne
1.1 Quelques repères historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Informations sur la structure interne . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
2
Ordres de grandeur
2.1 Température . . . . . . .
2.2 Pression . . . . . . . . .
2.3 Longueurs . . . . . . . .
2.4 Caractérisation du milieu
2.5 Echelles de temps . . . .
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9
10
11
13
15
16
3
Objets froids
3.1 Froid? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Etude de l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Cas semi-relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
23
27
4
Objets chauds
4.1 Equilibre hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Viriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
30
30
5
Le fluide parfait
5.1 Le fluide parfait de fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Gaz de photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
31
35
6
Annexe : équations d’état, compléments
6.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Approche “chimique” : minimisation de l’énergie libre . . . .
6.3 Approche “physique” : développement en fugacité . . . . . . .
36
36
38
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Liste des figures
1
2
3
4
5
6
Comte de Buffon . . . . . . . . . . .
J. Verne : voyage au centre de la Terre
Marche au hasard . . . . . . . . . . .
Relation masse-luminosité . . . . . .
Sir Isaac Newton . . . . . . . . . . .
Relation masse-rayon . . . . . . . . .
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8
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4 . . . . . . . . . . . S TRUCTURE
INTERNE
& S ISMOLOGIE . . . . . . . . . . . 2001-2002
Liste des tableaux
1
2
3
4
5
6
7
Données physiques . . . . . . . . .
Ordre de grandeur de la température
Ordre de grandeur de la pression . .
Comparaison des termes de pression
Echelle de temps collisionnelle . . .
Echelle de temps dynamique . . . .
Le fluide parfait . . . . . . . . . . .
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6
11
12
13
20
21
35
0. Préambule
0.1. Structure interne & Sismologie
Voici la 5ème version des notes de cours “Structure interne & Sismologie”
présenté aux étudiants aux étudiants de l’Ecole Doctorale d’Astrophysique
d’Île de France et plus spécialement à ceux du DEA d’Astrophysique de
l’Université Paris 6.
Ces notes de cours présentent :
Une analyse de problèmes génériques : mode de transport de l’énergie,
stabilité d’un astre, grandeurs physiques caractéristiques obtenues par analyse
dimensionnelle...
Une description des ingrédients et outils pour construire un modèle de
structure interne.
Une mise en évidence de l’efficacité de l’analyse sismique... ce n’est pas tous
les jours qu’en astrophysique on mesure couramment des grandeurs à 10
près, et qu’on en déduit des résultats quantifiables à mieux que 10 près.
Des éléments de réflexion, p.ex. : que veut dire adiabatique, dans enveloppe
adiabatique, évolution adiabatique, onde adiabatique... ? en quoi un réseau
mondial de sites d’observation est-il indispensable à l’observation d’un
phénomène temporel ?
Un examen de situations actuelles, à l’heure où “vole” le satellite d’observation solaire SoHo (projet NASA+ESA comprenant à bord 3 manips d’héliosismologie),
et où se prépare le projet COROT (petite mission du CNES : COnvection, ROtation et Transits planétaires).
Malgré le volume (en 4 fascicules : Introduction, Structure interne, Sismologie,
Observation) et quelques 180 pages, ces notes restent incomplètes 1, et parfois (trop) peu rédigées, pour traiter un sujet important – la structure interne
des astres – entièrement renouvelé par un outil nouveau – la sismologie, formidablement développée pour le soleil, encore balbutiante pour les étoiles et
planètes géantes.
Enfin, dans le cadre de la restructuration des études post-doctorales, ce cours
essaie d’aborder les divers aspects ci-dessus mentionnés dans l’esprit du
DEA d’astrophysique de l’Université Paris 6 : une grande part sera dévolue
aux aspects pratiques, instrumentaux et observationnels. Les aspects trop
techniques (trop théoriques, trop numériques, trop n’importe quoi qui se
1. Des compléments seront apportés dans le cadre des cours de 2ème année de l’école doctorale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
termine en -ique, physique exceptée) seront uniquement brièvement introduits
puis laissés de côté.
0.2. Aspects pratiques
Une introduction par le signe ne fait que participer à la respiration du cours.
En gros, ce symbole marque un changement d’idée.
Ce signe dénote un point plus important, ou ardu, ou suspect...
?! Cette mise en forme de questions-réponses introduit des éléments de
réflexion simples à traiter, dans la mesure où les questions peuvent être résolues
en un très petit nombre d’étapes (en général une seule). Il reste ensuite un peu
de place pour apporter les éléments de réponse, avant de se précipiter sur la
solution donnée en note de bas de page 2
La marge droite est généreuse...
0.3. Plan du cours (4 fascicules)
1. Introduction :
Généralités & rappels de physique qui, évidemment, sont utiles pour les
chapitres suivants
– introduction
– analyse dimensionnelle et grandeurs caractéristiques
– équations d’états : objets froids, objets chauds
2. Structure interne
Tout ce qu’il faut connaı̂tre pour construire un objet
– lois physiques
– transport de l’énergie
– modèles de structure interne
– contraintes observationnelles
– cas particuliers : Jupiter, Soleil
3. Sismologie
De la structure interne au spectre d’oscillations, et problème inverse
– rappel d’hydrodynamique
– propagation d’une onde sonore
– grandeurs physiques caractéristiques
– théorie asymptotique
– spectres théoriques
– problème inverse
2. Et bien-sûr ces questions peuvent servir d’entraı̂nement pour l’examen !
... afin de vous
laisser de la
place
pour
prendre
des
notes
6 . . . . . . . . . . . S TRUCTURE
INTERNE
& S ISMOLOGIE . . . . . . . . . . . 2001-2002
– quelques cas particuliers
4. Observations sismiques
Où l’on boucle le cours : présentation des techniques instrumentales utilisées
en sismologie, traitement du signal et analyse des données, et retour en terme
de structure interne
– analyses temporelle et spatiale
– outils d’analyse sismique
– différentes méthodes d’observations
– analyse des résultats solaires
– premiers résultats astérosismiques
– projets spatiaux
0.4. Références
Ouvrages généraux sur lesquels se base ce premier chapitre
– Forestini M. 1999, Principes fondamentaux de structure stellaire. Gordon and
Breach Science Publishers.
– Landau L. et Lifschitz E. 1958, Thermodynamique . Editions Mir
– Landau L. et Lifschitz E. 1958, Mécanique des fluides. Editions Mir
– Mihalas D., Mihalas B. 1984, Foundations of radiation hydrodynamics ,
Oxford University Press.
– Schatzman E., Praderie F. 1990, Les étoiles, InterEditions/Editions du CNRS.
0.5. Données physiques
cste de gravitation
constante de Planck
constante de Boltzmann
nombre d’Avogadro
célérité de la lumière
rayon de Bohr
masse du proton
masse du neutron
masse de l’électron
Rydberg
constante de Stefan-Boltzmann
TAB . 1 – Données physiques
"#
! ()*" %$
&' " + -.//0/12 , 5/"
3"4 (194
687 (<;"*1 9
68: //1 68= ()" 4
>@? -.0" 2
A
kg .m .s
J.s J.K mol
m.s
m
kg
kg
kg
eV W.m .K $
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1. Structure interne
1.1. Quelques repères historiques
B.C Terre
D Lorsque la Terre était plate : ce cours n’aurait pas eu lieu... on s’interrogeait
sur ce qui se passe au bord du disque terrestre, pas à l’intérieur !
D Rotondité de la Terre : quelques “évidences”
– V E : Anaxagore (Athènes) : l’ombre terrestre projetée sur la Lune est
circulaire
– III E : Erathostène de Cyrène : mesure du rayon, 5000 stades entre Syène
(Assouan) et Alexandrie, 7 F 12’ GIH0JK1L = 44 000 km
D 1749 : Buffon, Théorie de la Terre
– La création du système solaire suite au choc entre le Soleil et une comète
conduit à une Terre initialement chaude
– Relief et érosion dus à l’eau
– Mesure de l’âge de la Terre, déduite de son refroidissement, comparé
à celui d’un boulet de canon (officiellement : 75 000 ans, officieusement 3
millions d’années)
F IG . 1 – Georges Louis Leclers, comte de Buffon, 1707-1788. Naturaliste
et honnête homme ; il s’intéressa entre autres au refroidissement
de boulets de plomb, pour une analogie avec l’histoire du
refroidissement de la Terre
M C
Soleil
D Question énergétique abordée au XIX E siècle
– Vie sur le Soleil : problématique non exclue encore au XIX E , le soleil
n’étant considéré que comme une Terre en plus chaud
D L’intérieur du Soleil et la physique nucléaire :
– C’est en 1926 qu’Eddington conçoit le mécanisme de conversion de
l’hydrogène en hélium, mais le lien avec la source énergétique solaire n’est
pas encore fait
– 1937, Goldschmidt : l’hydrogène est l’élément le plus abondant de
l’univers
– 1938, Bethe & Weizäcker, explication de la machine Soleil, avec entres
autres la découverte du cycle CNO
terre
nourricière, terre
végétale, terre
émergée;
centre
du
monde, monde
immobile
Expérience !
8 . . . . . . . . . . . S TRUCTURE
INTERNE
& S ISMOLOGIE . . . . . . . . . . . 2001-2002
F IG . 2 – Voyage au centre de la Terre (Jules Verne)
– 1950... chaı̂ne p-p, réaction 3 NO C
PQ Quelques remarques hors champ physique
R Enfer souterrain
– L’enfer, au gré des cultures et des civilisations, est le plus souvent situé
dans les entrailles de la Terre; tantôt chaud, parfois froid (en Grèce ancienne :
vaste caverne souterraine)
R “Voyage au centre de la Terre”, Jules Verne, 1864
– Vulgarisation soignée des recherches alors menées
– chaleur centrale, Refroidissement, ‘naissance’ de la vie...pas mal d’ingrédients
sont présents, qui dénotent souvent une bonne perception de la description physique de ces phénomènes.
R Que signifient?
– “aller au fond des choses”
– un “esprit profond”
– un “puits de science”
– un “être superficiel”
1.2. Informations sur la structure interne
R Presque toutes les informations que l’on peut avoir sur des paramètres de
la structure interne d’un corps sont des “information intégrées”, au sens que
l’observable physique résulte d’une sommation sur tout l’objet :
observable S
TUTUTWVYX[Z]\%^_ _ _ `bacd^
VYX[Z]\%^_ _ _ `
alors que le terme
n’est lui pas directement observable
– Aucune observable physique de ce type ne peut fournir d’information
détaillée sur la structure interne d’un corps ! elle ne donne accès qu’à une
moyenne sur le volume de l’objet (cette moyenne étant souvent spatialement
pondérée de façon très défavorable).
e Mais on verra comment l’information sismique peut fournir, plus facilement
que d’autres, une information locale de la structure interne.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
g.h3i f loi de Kepler (pb à 2 corps)
Rappel de la 3 f loi de Kepler : j1
k n
lmo
r#sUtvpuxq wv
k t
– fournit la masse totale d’un système double
ky
– en présence d’autres observables, peut fournir la masse de chacune des
composantes
z h i
Théorème de Gauss
i Un corps sphérique est équivalent, du point de vue gravitationnel, à un point
matériel de masse équivalente.
La symétrie sphérique empêche de voir la structure !
{ du point de vue gravitationnel : soleil creux | soleil plein | objet ponctuel
| trou noir de masse identique
}h Luminosité, magnitude absolue
– Grandeur énergétique intégrée sur tout le corps
– Energie électromagnétique produite dans les régions les plus centrales,
puis processée à la mode “corps noir” 3
~ h i
Champ
magnétique
i
i Description dipolaire, quadrupolaire... multipolaire | description globale
Origine mal comprise difficulté de faire le lien avec la structure interne
La présence d’un champ magnétique dénote un intérieur conducteur (pas un
aimant permanent 4)
– Soleil : plasma d’hydrog ène
– Terre : noyau de fer
– Jupiter : hydrogène métallique
2. Ordres de grandeur
{ Le but de ce chapitre est de montrer comment, avec les mains et aussi un peu
de physique, on peut rapidement obtenir des ordres de grandeur corrects pour
certaines variables.
On s’intéresse dans un premier temps à des variables thermodynamiques
intensives, température et pression, au sein d’un objet. Plusieurs notions
abordées dans un premier temps brièvement seront ensuite détaillées dans le
chapitre ‘Equation d’état’.
3. Un photon émis au centre du Soleil, met environ 10 ans pour sortir, après de multiples
processus d’absorption et réémission, sous forme de photons essentiellement visibles, qui
n’apportent plus d’information directe sur ce qui se passe précisément à l’intérieur.
4. Cf. l’existence du point de Curie
10 . . . . . . . . . . S TRUCTURE
INTERNE
& S ISMOLOGIE . . . . . . . . . . 2001-2002
?! Pourquoi ne s’intéresse-t-on pas aux variables extensives? 5
On aborde ensuite des variables de temps et d’espace.
2.1. Température
Où l’on cherche à obtenir une estimation rapide de la température centrale au
sein d’un objet autogravitant.

L’énergie d’interaction gravitationnelle d’une étoile de masse et rayon
s’exprime, d’après l’analyse dimensionnelle :

On peut alors estimer la température centrale d’un corps condensé, en
supposant valide l’équation d’état du gaz parfait classique.
– Chaque particule possède une énergie cinétique de translation moyenne :
o8
D’où l’énergie cinétique totale de l’objet (collection de
o
particules) :

Lors de la phase d’effondrement ayant conduit à l’objet condensé, on
suppose conservée l’énergie mécanique 6.

– Initialement :
?! A justifier 7

– Finalement : Y .
Donc, partant d’une énergie mécanique totale nulle, on arrive à une énergie
cinétique microscopique potentiellement très importante, car l’énergie interne
gravitationnelle ne peut être que très négative puisque c’est une énergie de
liaison, apparue lors de la contraction de l’objet.
5. Parce qu’elles sont extensives !
6. On verra plus loin que c’est en fait faux à un facteur 1/2 près
7. Nuage interstellaire froid et très peu dense
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
– En supposant l’objet constitué de particules de masse atomique , on
déduit de ce qui précède la température centrale ¡ :
¢£
objet
§
(kg)
ª
¨8©
¨8©
estimée « Y
¥ § ¢ £ ª

(km)
¡o¤¦¥Y§ ª
¡ “vrai”
. . . . . . . . . . . . . . (K) . . . . . . . . . . . . . .
Soleil 2.10 ¬% 7.10 ® 1
Jupiter 2.10 ° ¯ 7.10 ± 1
Terre 6.10 %° ± 6.10 ¬ 56
2.10 ¯
2.10 ®
4.10 ®
1,58.10 ¯
2.10 ±
8.10 ¬
TAB . 2 – Ordre de grandeur de la température : comparaison entre l’estimation de la température centrale et la valeur donnée par les modèles.
?! Analyse de la Table 2 8
² Il est donc nécessaire de comprendre l’origine de ces désaccords... ce qui fait
bien-sûr l’objet de la suite du cours.
2.2. Pression
² Dans ce paragraphe, on s’interroge sur l’origine de la pression interne au
sein d’un corps condensé. Si ce corps est à l’équilibre, il faut bien un terme
de pression pour s’opposer à la gravitation... mais l’origine de ce terme peut
prendre diverses formes.
² Plusieurs notions sont très rapidement introduites, puis seront détaillées plus
loin.
² Unités courantes de pression : 1 bar = 10 ® Pa ; 1 Mbar = 10 ³³ Pa = 100 GPa
´ L’analyse dimensionnelle fournit un ordre de grandeur de la pression interne
à supporter au sein d’objet autogravitant et à symétrie sphérique :
µ
¡¶¤
¥
§ª
±
°
(1)
8. Ça a l’air de marcher pour le soleil, pas pour Jupiter ou la Terre ; c’est normal, puisque l’on
s’est appuyé sur l’équation d’état du GP, et que celle si ne s’applique pas dans Jupiter et la Terre,
comme on le voit dans ce qui suit
12 . . . . . . . . . . S TRUCTURE
objet
·
(km)
Soleil 2.10 Á%Â
Jupiter 2.10 ¼ Æ
Terre 6.10 ¼ ½
7.10 Ã
7.10 ½
6.10 Á
& S ISMOLOGIE . . . . . . . . . . 2001-2002
·¼
¹ estimée º»
¸ ½
¾
¸
(kg)
INTERNE
¹À¿ “vrai”
. . . . . . . . . . . . . . (Pa) . . . . . . . . . . . . . .
10 ÄÅÃ
10 ÄÅÁ
10 ÄÅ¼
2,5.10 ÄÅÃ
Ç 10 ÄÅÁÈ
7.10 ÄÄ
( È pas du tout précis, en l’absence de données sismiques...)
TAB . 3 – Ordre de grandeur de la pression : comparaison entre l’estimation
de la pression centrale et la valeur communément admise
?! Analyse de la Table 3 9
É.ÊPression
Ë
thermique
Terme de pression dû à l’énergie cinétique microscopique
– Au sein du gaz parfait classique, ce terme de pression s’exprime :
¹ÀÌ º-Í.ÎÏÐÑ<Ò
Ó Ê Ë
Pression de radiation
Terme de pression du gaz de photon
– La pression de radiation ¹ÀÔ[ÕÖ , due au gaz de photon à la température Ð ,
s’exprime par :
¹ÀÔ[ÕÖ ºØ×ÙvÚ Û8Ð ½ ºÝÙÀÜ Þ"Ð ½
W.m ¼ .K ½
Ü ä.åæ
åÃ ½ å
Î
La grandeur Þ s’exprime, comme chacun sait, par : ÞçºØ×"Ý
ÚÛ ºèé Û ÁëêìÏ Á .
ß
Ü
où
Ú
est la constante de Stefan-Boltzmann :
Ú
ºß.àáâã
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
íîYPression
ï
de dégénérescence électronique
Terme de pression due aux effets quantiques.
ð Dans un milieu 10 dilué, la statistique de Maxwell-Boltzman fait le lien entre
l’énergie cinétique des particules et la température ñ . Mais dans un milieu
dense, les particules interagissent entre elles en révélant leur nature quantique,
et obéissent aux statistiques de Fermi-Dirac ou Bose-Einstein selon leur nature.
– Ainsi, dans un milieu froid ou dense, les termes cinétiques peuvent devenir
négligeable et les interactions entre électrons, fermions, prépondérantes.
– La pression est alors dominée par la pression de dégénérescence òÀóëôöõ des
électrons (s’il y a des électrons)
– qui ne dépend plus de la température 11, mais seulement de la masse
volumique ÷ et des nombres de charge et de masse de l’espèce dominante :
P dég. détaillée
plus loin
ûìü
òÀóëôöõ¾ø(ùý ú
ôØþ#ÿ
÷
ý
où ÷ représente la charge, et ý la masse.
î Pression
ÿ
thermique pression de dégénérescence pression de radiation
÷
(kg/m )
Soleil 1,6.10
Jupiter 2.10 Terre 7,0.10
objet
ò
ñ
(K)
1
16
56
1,6.10
2.10
8.10
TAB . 4 – Comparaison des
dégénérescence
ò
òó
òÀóëôöõ
. . . . . . . . . . au centre (Pa) . . . . . . . . . .
2.10
1.10
ü
1.10
termes
2.10
ü
4.10
8.10
5.10
5.10
ü
8.10
de pression
1.10
–
–
cinétique ou de
ð Même le soleil n’est pas assez chaud pour être “soutenu”, au centre, par les
photons 12 (pression centrale dominée par la pression thermique).
ð L’analyse des données de la Table 4 montre que c’est la pression des électrons
qui est susceptible de soutenir Jupiter et la Terre.
2.3. Longueurs
.îDistance
ï
moyenne entre particules Comme son nom l’indique !
En fonction de la densité particulaire
particules d’une même espèce s’écrit :
ø
þ
, la distance moyenne séparant les
!#" 9. Ça marche, et pas que pour le soleil ; mais en fait, ça ne peut que marcher, puisque ces objets
existent ! autrement dit il faut bien expliquer leur équilibre
10. Ce milieu est le plus généralement un plasma
11. La température rend compte de l’agitation thermique ; mais si les effets quantiques
apparaissent, c’est que la densité de matière devient suffisament importante pour négliger dans
un premier temps l’agitation cinétique
12. La pression de radiation commence à jouer un rôle pour les étoiles plus massives qu’environ
5 masses solaires
14 . . . . . . . . . . S TRUCTURE
INTERNE
& S ISMOLOGIE . . . . . . . . . . 2001-2002
')(+Longueur
*
d’onde de Compton $&%
Longueur d’onde associée à l’énergie au repos d’une particule.
Pour une particule de masse :
,
1
$&%.-0,3/ 2
?! Retrouver cette expression, et montrer ce qui ne va pas 13
*
5 ( Longueur
d’onde thermique $&4
Longueur d’onde associée à l’énergie d’agitation thermique d’une particule
(on dit aussi longueur d’onde de de Broglie).
De la définition, on écrit :
1&6 4
$&4 -87:9<;
6
6
On distingue les cas classique ( 4>=@? 7:9A;CBD, ) et relativiste ( =E2 ). D’où
les expressions, avec introduction comme pour $&% d’un facteur FHG :
1
L N ,O/ 7:9A; cas classique
$&4I- JK 1 2
cas relativiste
KM 7:/9A;
T+( Distance
*
d’approche minimale $&PRQ S
Comme son nom l’indique, la répulsion étant assurée par l’interaction
électrostatique entre particules de même charge.
– On dérive cette distance de l’équation d’approche exprimant la conservation de l’énergie, dans un cas limite d’énergie totale nulle à grande distance :
U %RV.WYXZ- [
WYX\-^]`_Ca:bcHBDd#GfeHgihj-
Le terme potentiel traduit l’interaction électromagnétique :
.
Le terme cinétique est, dans le cas d’un milieu dégénéré, l’énergie de Fermi (cf.
chapitre “le fluide parfait de fermions”). D’où les deux expressions de
:
]`_CkHbcDBDh
$&PRQ S
$&PRQ Sl-
L C_ :7 9<cmkD; c
JK _CcmkDc
KM WYn
cas non dégénéré
cas dégénéré
L’expression de l’énergie de Fermi dépend du caractère classique ou relativiste
du gaz.
oqpsrEtvu:pswx:y , on s’attend à x:yztvu#woqp ; le facteur {|
13. D’après
conventionnelle
est d’origine
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
}Y~

cas classique
cas relativiste
2.4. Caractérisation du milieu

Des ordres de grandeurs précédemment établis, on peut dériver certains
critères permettant de caractériser le milieu. Ces différents critères seront
exprimés en fonction des grandeurs thermodynamiques et .

)<Dégénérescence

; nombre de Fermi

On mesure la dégénérescence du milieu en comparant la longueur d’onde
thermique à la distance moyenne entre particules, via le nombre de Fermi :

Y

E&

cas limite
cas totalement dégénéré

–
varie en fonction de la densité particulaire
comme :
R q¡

¢

et de la température

cas classique
cas relativiste
?! Retrouver ce qui précède, et déterminer les coefficients numériques des
égalités
¤ Effets
relativistes ; nombre d’Einstein £
On mesure l’importance des effets relativistes au sein du milieu en
comparant l’agitation du milieu (
dans le cas non dégénéré, mais
dans
le cas dégénéré) à l’énergie de masse (retranscrite par la longueur d’onde de
Compton). D’où le nombre d’Einstein :
&
£

& ¥
¢ && ¥
¢

£
cas totalement dégénéré
Les effets relativistes sont mesurés par
£

cas classique
cas limite
cas relativiste
16 . . . . . . . . . . S TRUCTURE
& S ISMOLOGIE . . . . . . . . . . 2001-2002
INTERNE
¦
§
–
varie en fonction de la densité particulaire
comme :
® °¨ § ¯s¯s±±³ ²
¦ª©§R«s¨q¬¡
¨
cas dégénéré
?! Retrouver ce qui précède
´#µ·Gaz
¶ réel ; nombre de Coulomb
On mesure l’idéalité du milieu en comparant la longueur d’approche
minimum
à la distance moyenne entre particules, via le nombre de
Coulomb , dénommé aussi facteur de couplage :
¼
¸&¹Rº »
¼¾½ &¸ &¸ ¹R» º »
À ÁYÂ
¿ Ä½
¼
Ã
Ã
Ã
cas idéal
cas limite
cas non idéal
– varie en fonction de la densité particulaire
comme :
¼Å©§R«s¨q¬Æ
À Á § ¨ ¯s±³
¿Ç §·È ¯s±³
Ç cste
§
¨
cas dégénéré et non relativiste
cas dégénéré et relativiste
?! Retrouver ce qui précède
2.5. Echelles de temps
¶
Î)µ Echelle
de temps radiative ÉËÊÌÍ
(Kelvin-Helmholtz)
Mesure la difficulté des photons à s’extraire d’un objet
– On note la section efficace d’interaction d’un photon avec le milieu de
densité particulaire . Le libre parcours moyen d’un photon vaut :
Ï
§
ÐÑ½¡ÒÓ§<Ï<Ô È ¯
Ð
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
?! Proposer un schéma explicitant cette égalité 14
– Le processus de diffusion du photon est un processus de marche au hasard.
La distance à parcourir entre le lieu d’émission et celui de l’“échappement”, ie.
le rayon de l’étoile, se fait en étapes (Fig. 3), tel que :
Õ
Ö
Ö ×ÚÙÛÕjÜHÝßÞià
Ø
– D’où la durée moyenne nécessaire à l’échappement du “photon” (qui
d’ailleurs en a profité pour passer du domaine X au domaine visible) :
Ö Ý å Õ à
áËâãäZå ¾
æ
Ýæ
(2)
– On peut estimer la section efficace comme étant la section efficace
de Thomson, relié au rayon classique 15 de l’électron , en supposant que
l’opacité provient de la diffusion Thomson sur les électrons libres du plasma :
çmè
å ì ç èà åíìïîñò ð à æ à åíìïîYõôð à æ à î ò õô æ à åöì<÷ àDøùà
é å é&êë í
è à&ó
è ó
ó
÷
ù
où est la constante de structure
fine et ø la longueur d’onde réduite de
Compton de l’électron ( ú#ûü)ý úÿ
þ à m).
å ûü)ý úÿþ à m à ... est en fait ici une
La section efficace de Thomson,
é&êë mauvaise estimation, car l’opacité est dominée par l’ionisation et l’excitation
des éléments lourds, úÿþ fois moins nombreux que l’hydrogène, mais úÿ
þ fois
plus “efficace” : é ×^úÿþ#þ é&êë .
14. Lors du parcours , le photon balaye un volume , “volume libre moyen” où l’on ne trouve
qu’un particule, occupant un volume par particule par définition inverse de la densité particulaire
15. Rayon de l’électron défini par
uniformément chargée.
énergie d’interaction électrostatique d’une sphère
F IG . 3 – Simulation, qualitative, de l’extraction de l’énergie solaire par
processus radiatif : marche au hasard d’une série de photons
18 . . . . . . . . . . S TRUCTURE
INTERNE
& S ISMOLOGIE . . . . . . . . . . 2001-2002
?! Proposer une explication 16
*,+.- ! "$#%'&)( m %'&
/10 2"$#
34 m %'3 , /65 2"$#
&)7 m %'3 ,
8 0 2"$#%69
8
m, 5 :"$#%'3 m,
6;=<?>A@)BCD! "$# 9)9 s (10 000 ans 17 )
E On peut déduire de ce temps caractéristique <?>A@)B une information sur la
luminosité F de l’étoile en fonction de la masse G .
– On suppose que ce sont les photons qui transportent l’énergie produite au
centre, et assurent donc la luminosité en surface de l’étoile. L’équation d’état
du gaz de photons donne la densité d’énergie radiative H >A@)BIKJML,N
– On obtient un ordre de grandeur de la luminosité par le rapport entre
l’énergie radiative et la durée d’échappement d’un photon :
POQ>A@)BMRS<?>A@)B
F
8XW
N T
3
T JML N 8XW
F JML I
D U6V
1
D1U
V
&
V
8
On estime le libre
8 parcours en fonction des paramètres stellaires G et V .
– D’une part, 2Y / 6Z %69,[.\XR^]_ , et comme le paramètre rend compte
On en déduit :
uniquement
de la micro-physique en jeu, indépendamment des masse et rayon :
8
[
V
3SR G
– D’autre part, la température de l’étoile varie comme G
dimensionnelle donne en effet :
` [
G
V
3
Le gaz parfait ajoute :
D’où l’on tire :
` L
[
a
V . L’analyse
G &
N
V
[
a
et
R
G
Lb[
V
E On en déduit la dépendance de la luminosité F vis à vis de la masse G
de
l’objet 18 :
16. Les e c de ces éléments sont plus faciles à éplucher (éléments plus ionisables)
17. Cette très longue durée montre combien le soleil est “absorbant”, et son rayonnement a donc
le temps de devenir celui d’un corps noir
18. Par ailleurs, on peut tenir le raisonnement suivant : la luminosité dépend du gradient de
température (si d est uniforme, le flux de photons est équilibré !)
d
ef=gih dijlk
mon k g
Et on en déduit :
eKf
q
g
g p
f
d p
g i
m
p g j frq j
q
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
sutwvxzy6{
|
|~}
t.|
{
}
v
sut.|
Le long de la séquence principale, on observe :
{ {
On peut également comparer les températures centrale et d’équilibre :

flux intérieur
flux s’échappant
A)M
}
MX
La conservation du flux d’énergie conduit, avec A)
rapport des températures :
X
x
=

v

£,¤.¥
}
vS A)_wX v , au
}
Pour le soleil : X : ¡¢
¢
¢
?! Vérifier l’ordre de grandeur 19
19.
¦6§^¨ª©_«¬®$¯°o§o¬®^±²³µ´z¶ ; 1
· ¹¸ º»¼^½ ®^®
K et ·M¾ = 15.10 ¿ K
F IG . 4 – Relation masse-luminosité : unités de masse et de luminosité
solaires
20 . . . . . . . . . . S TRUCTURE
INTERNE
& S ISMOLOGIE . . . . . . . . . . 2001-2002
ÂÃÅÄ
Echelle de temps collisionnelle À?Á
Durée moyenne entre deux chocs d’une particule au sein du milieu.
– dépend du libre parcours moyen Æ et de la vitesse thermique ÇSÈÉ : À?Á_Ê
ÆSËSÇSÈÉ .
– GP d’hydrog ène : À?Á dépend de la température Ì du milieu, de sa densité
particulaire Í et du rayon de l’atome de Bohr ÎMÏ :
ÆÐÊÒÑAÓ
Ô1Í6ÎlÏSÕ Ö ×6Ø
et ÇSÈÉ.ÊÒÙ ÚMÛÜ1Ì,ËSÝÞ
Et donc :
À?ÁÊ
ß
ÚMÛÜ1Ì
ÝÞ
Ó
Ô1Í6Î ÏMÕ à
soleil Ì
Í
K m'
× á
Æ
m
intérieur 10 â 10 á Ï 3.10 ×6Ø)Ø
surface 10 ã 10 )Õ Õ 3.10 '
× á
ÇSÈÉ
À?Á
km.s ×6Ø
500
15
s
6.10 ×6Ø â
2.10 × â
TAB . 5 – Echelle de temps collisionnelle dans l’intérieur solaire
?! Commenter la valeur numérique de Æ dans l’intérieur solaire (Tab 5) 20
Ä
Pertinence de l’échelle de temps collisionnelle À?Á ? C’est l’échelle de temps
qui mesure les phénomènes suivants :
– équilibre cinétique
– équipartition de l’énergie
Ä
– équilibre d’ionisation, réaction chimique
Le transport de l’énergie peut-il avoir lieu par conduction ? On note äÁ le
nombre de collisions entre le centre et la surface, résultant d’un processus de
marche au hasard :
äÁæåèçêé
Õ
Ææë
et on obtient une estimation de l’échelle de temps de conduction : À?Á?ì)íoî~Ê
äÁQÀ?Á , d’où :
À?Á?ì)íoîÊ
ñ,ò.ó
À?Á?ì)íoîå
ß$ï
Õâ så
ß$ï
Õ
é
ÆÇSÈÉ
Øzð ans pour le soleil
20. ôKõ÷öoø ; les effets quantiques se font sentir, et donc la pression de dégénérescence
électronique n’est plus tout à fait négligeable
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
?! Conclure
û
üQEchelle
ý
de temps dynamique ù?ú , ou temps de chute libre
Pour un corps autogravitant de masse þ et rayon ÿ , l’analyse dimensionnelle impose :
où ù?ú
ÿþ est la masse volumique moyenne du corps.
objet
þ
ÿ
kg
km
Soleil 2.10 Jupiter 2.10 Terre 6.10 7.10 7.10 6.10 kg.m 1400
1400
6600
ù?ú
s
1600
1600
740
TAB . 6 – Echelle de temps dynamique pour différents objets
– Il est bien-sûr tout à fait licite
via la chute libre d’un corps, dans
þd’estimer
un champ gravitationnel ÿ supposé uniforme) :
'ù ú
bÿ soit ù?ú ÿ
þ
– Ou bien en s’intéressant à la propagation d’une perturbation mécanique,
qui par définition a lieu à la vitesse du son.
! "
$# #%
þ
F IG . 5 – Sir Isaac Newton, et comment il aurait découvert le concept
d’échelle de temps dynamique
22 . . . . . . . . . . S TRUCTURE
INTERNE
& S ISMOLOGIE . . . . . . . . . . 2001-2002
Or, comme &' représente l’énergie interne, on doit avoir &')(+*-,/.021 .
Et l’on retrouve donc toujours la même forme du temps dynamique (comment
d’ailleurs pourrait-il en être autrement, puisque l’on se contente de présenter
autrement la même physique appliquée au même corps?).
3 Cette échelle de temps donne la mesure de :
– la durée d’effondrement d’un corps sous sa seule gravité
– la période fondamentale des oscillations du corps
– également la période de révolution d’un satellite en orbite rasante
798
Echelle de temps thermique 465
3 Durée associée au renouvellement de l’énergie thermique d’un astre, perdue
du fait de sa luminosité : , l’énergie disponible étant l’énergie de liaison
gravitationnelle :
UWVYX pour le soleil, =
>A@CBED FHGJILK
J et :
465<;=?>:
@CBED FHG .M
W, d’où 465
@/FHGNKPO s C
@ QRD FHGTS
ans.
?! Qu’advient-il d’un corps qui n’a pas démarré de réactions nucléaires au
bout de 465 ? 21
`8
Echelle de temps nucléaire 46Z\[^]6_
3 Durée de vie maximale d’une étoile brûlant tout son hydrogène
46Z\[^]6_9;Yab,/c . 02:
UWVYX On suppose la luminosité solaire constante au cours de son évolution.
– La luminosité du soleil est entretenue par la réaction de fusion de
l’hydrogène en hélium, qui dégage une énergie de 0,007 dec . par nucléon de
masse d .
@gf 46Z\[^]6_ de l’ordre de 10 KK ans (surestimé d’un facteur 10 car suppose que
tout l’hydrogène a pu être brûlé).
3 Durée de vie du soleil ayant pour seule source d’énergie une réaction
chimique typique
64 ]ih^j kA;Almano02:
UWVYX avec an
@FHGTG kJ.mol p K , 46]ih^j k @FHGJI ans ...
21. Il ne les démarrera jamais ; mais qsr peut être très long, p.ex. pour une naine brune brûlant
tout doucement ( t sur plusieurs milliards d’année) son deutérium
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3. Objets froids
Ce chapitre aborde les notions suivantes :
u Apprendre à distinguer les propriétés d’un objet froid de celle d’un
objet chaud, ou, en termes plus techniques, apprendre à distinguer un milieu
dégénéré d’un milieu non-dégénéré.
u Etablir l’équation d’état du gaz parfait dans des conditions thermodynamiques plus vastes que ‘ vwxCygz|{ ’
3.1. Froid?
u
Un objet condensé est dit froid si la densité d’énergie cinétique microscopique (l’agitation thermique) ne joue qu’un rôle annexe dans sa structure.
u Sa densité maximale découle du principe d’exclusion de Pauli appliqué aux
électrons du nuage électronique.
u On examine donc les conditions d’équilibre de l’objet en supposant la
matière empilée de façon aussi compacte que possible.
3.2. Etude de l’équilibre
}
On examine les énergies d’interaction mécanique et électrostatique d’une
collection de ~ atomes d’hydrog ène. On suppose un empilement soit régi par
l’interaction gravitationnelle, soit par l’interaction électrostatique.

Empilement gravitationnel
On définit l’énergie mécanique du système par :
6 ~29 ~

– L’énergie cinétique est due aux ~ électrons de masse et de quantité de
mouvement moyenne
paires de noyaux (noyau de

– Le lien gravitationnel repose sur les ~

masse ) ; la distance moyenne entre 2 noyaux est de l’ordre de grandeur
du rayon de l’objet.
} Le rapport des masses entre le proton et l’électron est tel que l’on suppose
les premiers seuls en mouvement, et les seconds seuls massifs
u Le principe d’incertitude appliqué aux électrons conduit à :

H

– Les incertitudes
et
sont du même ordre de grandeur que les valeurs
et ; est la distance caractéristique entre électrons

24 . . . . . . . . . . S TRUCTURE
INTERNE
& S ISMOLOGIE . . . . . . . . . . 2001-2002
?! Expliquer pourquoi est a priori très différent de
22
P¡ £¢
On a donc :
– entre la variable spatiale , taille caractéristique microscopique, et la variable spatiale , taille caractéristique macroscopique, la relation d’empilement
s’exprime par :
¤
2¥| C¦¥
et
¤
– L’énergie d’interaction mécanique peut donc se réécrire en fonction de
?!
¤®
§¨ª¬© «2 ° ¯ ? 23
±
Le système à l’équilibre se cale dans l’état d’énergie minimale, déterminé
par la condition :
²
§² ¨ª¬© «
³µ´
Ceci conduit aux expressions :
º
À
ª
·
¾mº ¿ £¢ ¿
¸
À ª
·· §¨ª¬© « Á
¥Ã¾ ¿o£¢ Ä ºº ¿
·¹
£¢
¤ÆÅgÇ¼
º
¥
À ª
¾m¿ ¿
Ce qui se réécrit de façon plus concise :
£¢
¤»º½¼
¶··
¥ ÈNÉ º
¸
»
¤
½
Â
¼
À
··¹ §¨ª¬© « Á
¤ÆÅgÇ¼ ¥ ¾mÈN¿ É
¥ ÈNÉ
22. Il n’y a pas d’écrantage gravitationnel
ÍTÎÏ : Ï ËeÐÒÑ9ÓiÔPÕ\Ö ; ÊWËeÐÒÓiÔPÕ^ÍTÌ Î Ö :
23. ÊWËÌ
×mØÚÛsÙ Ü ËeÐ Þ½ÊTß Ý Ð|ÞÝ á ß Ýâ¦Ê Í ËeÐ Þ½ÊTß Ý Ð|ã ÔPÞ Õ Í á ß Ýâ
ÛWà Ð ÓiÔPÕ Ì
ÛWà
Ì
¶··
¤»º½¼
¥
¤»Â½¼
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Où äNå représente le “rayon de Bohr gravitationnel” :
éEê
äNåçæ më ì è íê ìoî
dont l’expression est décalquée de celle du rayon 24 de Bohr atomique :
éEê
ä¦ïAæðìoè î\ñ ê
(
?!
rapport
représente une distance
de l’ordre de
ñ êõôCDiscuter
ö2î ê ò÷Tø°ù2ï leavec
ö î æäNåóúTûò2üRä¦ý ï úH;þque
ÿ C et ú2ò÷Tø°ù2ïõæ ý úHþ SI)? 25
äNå
Empilement électrostatique
On peut se douter a priori que, pour un objet pas trop gros, l’empilement n’est
pas essentiellement régi par la gravitation. On s’intéresse pour celà à l’énergie
électrostatique de l’empilement.
L’énergie de liaison des électrons aux noyaux, est de l’ordre de Rydberg :
î î
ìoî½ñ
éRê
è
La dimension caractéristique du système est donnée par un empilement de
sphères dures dont le rayon vaut le rayon de Bohr ä¦ï :
éEê
ìoè î\ñ ê æ
ä¦ï
Bilan et équilibre
De ce qui précède,
on remarque le comportement différent de la taille
caractéristique
de l’objet selon l’interaction qui domine l’empilement :
empilement électrostatique :
empilement gravitationnel :
Æÿ
Et donc, lorsque l’objet est petit, les termes électrostatiques l’emportent sur
ceux gravitationnels.
24. Rappel : le rayon de Bohr
"!
peut être défini à partir des 2 égalités :
"!#$!&%()'
et
#+!-* ,. "!0/213* , *!
25. 4 , "!5%769:<8 ; , 6=>@?<AB%DCFE-GHJID4K%LCFE Gpc ; avec MN!O%7P3E km.s QSR /Mpc, on
voit que 4 correspond à “7.10 T km.s QSR ”... 4 est donc de l’ordre du “rayon de l’Univers” ;
"!0%OCFE QSR ! m et 4U%5CFEWV *XH m
26 . . . . . . . . . . S TRUCTURE
INTERNE
& S ISMOLOGIE . . . . . . . . . . 2001-2002
?! A illustrer par des exemples concrets
Des variations de Y avec Z , on déduit numériquement :
[
“petit” objet :
“grand” objet :
Y]\_^`abcdZbFef
Y]\
^`+ghiZjabFef
?! Représenter Y en fonction de Z en échelle log-log et estimer le nombre
Z correspondant au changement de régime 26
kl On en déduit qu’un objet froid a une taille maximale (Fig. 6).
m L’équilibre entre termes de liaison gravitationnels et termes de cohésion
électrostatiques conduit à l’égalité des estimations précédentes de la taille
caractéristique Y :
26.
npq<o rNsOtFuWvXw
F IG . 6 – Relation masse-rayon pour un objet froid
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
z
xyyy

9
3

9

yyy{}|~

~
est la moyenne géométrique
:
– du rayon de Bohr électrostatique
~
– et de son équivalent gravitationnel
z
{
x

3

X

|~
~
?! Calculer la masse correspondant à cette taille maximale. Jupiter est-il un
objet particulier ? 27
S
Eléments lourds
On a jusqu’à présent uniquement considéré le cas de l’hydrogène, soit un
électron ionisé par atome. Un atome de masse atomique est susceptible de
fournir ¡ électrons. Si l’atome est totalement ionisé, son énergie électrostatique
varie alors comme ¡¢ . D’où les modifications :
yxyy
z
yyy{|

¡£ ¢
¤
¦

9
¥ 3

9 ¥

§ Application
Jupiter : essentiellement composé d’hydrog ène ¡&¨© ¨«ª
¬
j³3´"µ
¯®° ª± kg
³3´"µ

²

¶
ª± m
¤

Terre : essentiellement composée d’éléments lourds ; p.ex : Si,
¡&¨«ª"¹ .
¬

º®° ª± kg

®° ª±+FÂ » m

j¼
¼ ½¾½¾W¿ÁÀ
¶ ¾½ ½¾W¿ÁÀ
·¨
3.3. Cas semi-relativiste
27.
ÃÅÄ5Æ@ÇÈ9É3Ç"ÊWË¾ÌÎÍFÏÑÐOÒFÓWÔXÕ×ÖØÙÄ5ÒFÓWÔXÕÚ ÒFÓÛÏÜÑÄOÒFÓWÏÜ
kg càd la masse de Jupiter !
®$¸ ,
28 . . . . . . . . . . S TRUCTURE
INTERNE
& S ISMOLOGIE . . . . . . . . . . 2001-2002
ÝÞGros
ß
objet froid
Comme à croı̂t comme áOâ3ãä , arrive un moment où les électrons deviennent
relativistes : àæå©çæè3é , pour une quantité de matière áëê¾ì qui vérifie :
ç ðâ çæè
òñ
çæè-éíå(á ê¾3â ï
ì ãä î
– Il en découle une nouvelle expression pour á
áëê¾ì5åó
òñ
î
:
é
ðâ ô0õö
ç p
dont l’écriture est analogue à celle de l’expression classique précédemment
trouvée :
â
óù ð ô õö
ç â
î
áè÷ ø©å
ß
On réécrit áëê¾ì sous la forme :
áëê¾ì5å
ç ðâ
ó î òñ ôûú öõ
é
pour mettre en évidence la “constante de structure fine de la gravitation” :
ü9ý©þ
ÿ ò ñ ç ðâ
é
construite par analogie avec la constante de structure fine électrique :
ü è÷ þ
ò ñù
áëê¾ì5å
ü ý
D’où l’expression :
â
é
ú öõ
La constante ü9ý mesure l’interaction gravitationnelle par rapport à l’interaction
forte ; ü9ý þ
ä
ß – áëê¾ì est de l’ordre
de 2.10 , alors que ç vaut .
ú
ß Un objet froid et lourd... est une naine blanche
Le nombre áëê¾ì mis en évidence est appelé “nombre d’Avogadro stellaire”.
Ce nombre áëê¾ì de protons d’une étoile dépend :
– de la constante fondamentale ü9ý
– de l’équilibre qui conduit à áëê¾ì ü ý ä3ãâ
ú
Remarque : on a comparé çæè-é à l’expression
de à obtenue pour un objet lourd
gouverné par la gravitation. La comparaison pour un objet léger gouverné par
l’électrostatique, menée plus simplement
des énergies et non
! par
òñ comparaison
òñ
de à , eût conduit à : áçæè-é â å áçæè â càd " â é$# â å . Ce résultat est
òñ
ù
ù
en fait absurde, car â é$# â n’est ni plus ni moins que la constante de structure
ù
ü
fine électrique è ÷ , qui vaut 1/137 et non 1.
þ&% Un petit objet froid ne peut pas être relativiste.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
'(
Energie mécanique et équilibre
On considère une collection d’atomes (masse ) , charge * ) totalement ionisés.
Le terme cinétique est encore dû aux électrons, alors que l’interaction
gravitationnelle est dominée par les noyaux :
+-,/02. 14365 *879 :<;$=>;@?4AB0; =DCFEFGIH ;-J A 0 =>;DK JML 5 P O
) N ; Q A S R;
Z
5
:UT L V
* N GIHWYSX
avec :
et donc :
+-,/02. 1 [: N 365 * 79 :<;$=>;@?4AB0; =DC E GIH ;-J A 0 =>; K J\5^] )V;F*/_ Q P A Z R; :
HW
GIHW
L
X
+-,/02. 1>a `b: nul, càd après quelques calculs
L’équilibre est réalisé pour `
pas
difficiles ni très marrants :
e
df
cd
:
T
+-,/02. 1 T
5 *
P
h i g
i J hJi
ig J
gJ ; ;
g
g ;
A 0=
A 0=;
avec Tj) i ; 5 ; HW * _<C HW$kml a . Les équations précédentes préfèrent sensibleg
ment
. Mais croı̂t avec la quantité de matière 5 . Donc en distinguant
o
g
n
g
parmi ces grandeurs la variable extensive 5 , il apparaı̂t nettement une limite :
5
r 20 . s[t ; HW
q
T
p
g
et
r 02. s
T P WH ; * ; ) _ W k l _ W H ;
il s’agit
parler du nombre d’Avogadro stellaire
u
vIwyx iz ]{ * à ; a proprement
) W , pour une étoile de masse
r 02. s
T
iz
|}0~. s T r 20 . s ) A R 3 )* ; WDG kg
;
|

pour l’hydrogène : ) a *6T i , |
T , et pour un élément plus lourd :
i
) a * 3 P , et | T vP |
S
?! Calculer la taille caractéristique
de l’objet ; montrer que c’est la
Z
moyenne géométrique du rayon de Bohr
gravitationnel ; a A R; A 0 et de
Z
Q
X d’objet
la longueur de Compton électronique a A 0 = ; quelle classe
stellaire
X
retrouve-t-on ?

r .
Au delà de 02s , l’objet ne peut plus être stable en tant qu’astre autogravitant
froid soutenu par la pression de dégénérescence électronique.
30 . . . . . . . . . . S TRUCTURE
INTERNE
& S ISMOLOGIE . . . . . . . . . . 2001-2002
?! Quelle masse caractéristique pointe à l’horizon ? 28
4. Objets chauds
Chaud?
Objet soutenu par la pression cinétique !
4.1. Equilibre hydrostatique

Le gradient de pression seul suffit à contrebalancer le poids des couches
stellaires.
– structure statique
– ni terme de Coriolis, ni terme d’entraı̂nement, ni “vents”
– rôle du champ magnétique négligeable
grad -
4.2. Viriel

Implication directe de l’équilibre hydrostatique : il doit exister, via la pression
cinétique, une relation entre l’énergie interne thermique - et l’énergie interne
gravitationnelle
Energie thermique - versus énergie gravitationnelle
– Cas d’un astre obéissant à l’équation d’état du GP classique :

-

6
y¡¢m£¥¤&¦o $§Ÿ©bª$«©
avec la densité particulaire, qui apparaı̂t dans l’équation d’état du gaz parfait :
¬£¥¤&¦
d’où l’écriture
-®
¡¢ §Ÿ©bª«©
– Comme la pression, d’après l’équilibre hydrostatique, est définie par son
gradient :
µ·¶¹¸»¼¾º ½
« ¯
-±°m²\³ ©¥´
«©
©ª
28. Pour
– les électrons ne seront plus capables de soutenir l’étoile... masse
de Chandrasekhar ; les étoiles à neutrons sont soutenues par la pression de dégénérescence
neutronique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
il est nécessaire d’introduire un artifice de calcul qui permet d’estimer le lien
entre ¿
ÀVÁb¿Â et À : une intégration par parties, du terme de gradient multiplié
par ÃÄYÂbÅ .
Æ L’équilibre implique :
ÇÈ ¿ À
Ç È
4
Â¥Ó
Å
É ¿ Â ÃÄYÂ ¿ÂËÊ8Ì Î
É ÍÐÏmÑ\Â Ò ÃÄYÂbÔ¿Â
– D’une part, on retrouve l’énergie gravitationnelle :
Õ
ÇÈ
Â¥Ó
Ì Î
É ÍÐÏmÑ\Â Ò ÃÄYÂbÔ¿Â
Ç4È
ÊÖÌ É×ÏmÑ\Ò Â¥ÓØÂ ¿ Ñ\Ò Â¥Ó
Ê
– D’autre part, l’intégration par parties du gradient de pression donne :
êë
ÇÈ ¿ À
Ç4È
È
Å
$
Å
Þ
Ì ß É ÀÃÄYÂbÔ¿Â
É ¿ Â ÃÄYÂ ¿ÂËÊÚÙÛÀÝÜ ÃÄYÂ É \
Le terme tout intégré est nul au centre (Â¬Êáà ) ainsi qu’à la surface ( Àãâáà
On en déduit l’énergie thermique ä-å :
Ç È
ÌVæ-ä-åÊ¯Ìß É ÀçÃÄYÂ Ô ¿Â
è D’où la virialisation :
ÕÚé æ¥ä-åÚÊà
).
Que signifie cette équation du viriel?
Æ L’énergie interne thermique ne représente que la moitié de l’énergie interne
gravitationnelle : un bilan énergétique vers un état à l’équilibre hydrostatique
implique que la moyenne de l’énergie interne est perdue, par radiation
Æ Lors de la formation d’une étoile, il y a échauffement et obligatoirement
d’énergie par radiation, à parts égales : ä-åÊä-ìîíï
èperte
On peut écrire la loi de conservation de l’énergie :
è
äðÊ Õ4é ä-å é ä-ìîíïñÊà
une proto-étoile brille déjà, avant même d’avoir allumé ses réactions
nucléaires
è Entre 2 états à l’équilibre hydrostatique, une contraction du rayon implique
une perte d’énergie par radiation.
5. Le fluide parfait
è
Une équation d’état parfaite ne s’intéresse pas à la modélisation des termes
d’interaction entre particules 29.
5.1. Le fluide parfait de fermions
29. Ce sens est plus général que l’équation du gaz parfait étudiée en 1er cycle, qui correspond au
cas classique chaud
32 . . . . . . . . . . S TRUCTURE
INTERNE
& S ISMOLOGIE . . . . . . . . . . 2001-2002
òó&Approche
ô
statistique
On considère un gaz parfait de fermions : on peut mettre 2 particules par
ô
cellule
élémentaire 30 (6-D) de l’espace des phases õyö .
Analyse statistique, dans l’espace des phases. Le nombre de particules d ÷ ,
par unité de volume, ayant une énergie comprise entre ø et øùçúûø s’exprime
par :
úûýYþÿø
ú÷ãü
ù
ø
ù – dýYþÿø est le poids statistique, càd le nombre d’états possibles entre les
énergies ø et øùúûø .
, où est le potentiel
– est le facteur de dégénérescence : ü
chimique.
ø –B
ü ù "!# est le facteur d’occupation
?! Représenter Øþÿø à température nulle
ô
est implicitement défini par la condition de normalisation
÷^ü%$Mú÷^ü%$'( &
ô
úûýYþÿø
)
ù ø ù
*
Pour s’en aller plus en avant dans l’établissement de l’équation d’état du gaz
parfait de fermions (gaz de Fermi), il faut préciser les conditions physiques du
gaz.
ó Particules
ô
classiques ou relativistes
Lien entre la pression et la densité d’énergie cinétique +-,-üç÷./, .
La pression est un flux de quantité de mouvement, soit en moyenne :
0
30.
89
et non 8 :
9
!
ü
1 ÷32 4657
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
?! Que représente le facteur 1/3? 31
– Lien entre ce flux et la densité d’énergie cinétique :
;/<>=
?A@CB DFEHGJIKB DB/LNMPONBQ@CDB
RT S @VU-BW=
=
]
et donc
à
=_^
T S IXU
=[IKD
si
si
IVYZ@CD
IV\Z@CD
T
bdc <
cas classique
bd
S c <
cas relativiste
ef Particules dégénérées ou non
totalement dégénéré
fluide gh
non dégénéré
ikj =
j =on S
iqj Y
pour IJl3IXm
pour IJp3IXm
quelque soit I
S
r Le cas totalement dégénéré correspond plus simplement à stu
u =on .
Ywv , càd
x K
f Equation
y
d’état : gaz classique et non dégénéré
A l’énergie v correspond sans équivoque la quantité de mouvement I telle
T
que vz={I B}| @ . D’où la réécriture de la condition de normalisation :
~k=

T
I B I
'
X
v
) Qz G
G
s
t
u

S
T
I B

Q
IKB I
X ?QL '
T @

s tu
31. 3 est le nombre de dimensions spatiales
34 . . . . . . . . . . S TRUCTURE
INTERNE
& S ISMOLOGIE . . . . . . . . . . 2001-2002
?! D’où provient le facteur 2? 32
La condition de normalisation permet 33 de déterminer le facteur de dégénérescence
:
o J¡¢£¥¤¦¨§N© «¬ £¥¤
ª ¦

d’où la distribution de
Maxwell-Boltzmann
:¯ °

V®

– D’où les expressions de la pression et de la densité d’énergie cinétique,
tenant compte de : ¸-¹
¸-¹

¿
»º½¼
·¤ ·¤

et ¾
À
¸-¹

À ¡¢£
¡ ¢£

et ¾
... ce qui nécessite quelques lignes de calculs 34 , mais n’est pas trop surprenant !
ÁÃÂ Equation d’état : gaz dégénéré
·X
La
Ä condition de normalisation est triviale, avec tous les niveaux occupés de 0 à
ÇÆ
.
·XÄ
Autrement dit, Å
de 0 à , nul au-delà
¯Ê :
Èº
É º
ÎÍ
µ · © ·
· Ä¦

¯
Ë
Ì

ª ¦
À ª ¦

·XÄ
¶¤NÐ §N¦ ª Ð §N¦
À-Ï
Ï

¸-¹
D’où
Ä

D’où l’énergie de Fermi Ñ
correspondante Ä
¸-¹ Ñ :
D’où la densité d’énergie cinétique
µ

·KÄÕ
ÒÓ
gaz classique : ¸-¹
Ô ª Ö ¦
·X×Ä
ª ¦
gaz relativiste :
Ainsi que la pression :
ÒØ
Ø
Ø gaz classique :
Ó
gaz relativiste :
¸-¹

¾

¾
ÛÂ
Bilan : pression du fluide parfait
32. Terme de spin
33. Avec ÜÞßá
Ý àâ-ã
ä/å-æèçàâ¨éëê}àíìJî
34. Avec Ü ßá
Ý àòã
ä/å-æèçàâ¨éëê}àíìCóî
ï-ðNñ
ïð¨ô
¸-¹

ÏÀ
ÏÀ

ÍÚ
Ô
Ù À ª ¦ Ð N§ ¦ Ö
× §N¦
µ
Í3Ú
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
fluide
non-dégénéré
totalement dégénéré
classique
õ¶ö÷ø
ùõú¨ûNü
relativiste
õ¶ö÷ø
ùõýFûNü
TAB . 7 – Equations d’état du fluide parfait
?! Comparer les compressibilités du fluide classique non-dégénéré ou
totalement dégénéré 35
?! Comparer les compressibilités du fluide totalement dégénéré classique ou
relativiste
5.2. Gaz de photons
þ Rappels
– Le photon est relativiste !
– Le photon obéit à la statistique de Bose-Einstein.
– Le potentiel chimique du gaz de photons – qui représente l’énergie
minimale à apporter pour ajouter une particule dans le gaz – est nul.
– Le photon possède 2 états de polarisation possibles.
ÿ Le nombre de photons dõ avec une quantité de mouvement comprise entre
et
s’exprime par :
õ "!#
ü
ö÷ø
Ceci s’exprime en terme de densité volumique d’énergie spectrale
:
35.
õ &% #
$
ü
ü
, avec
ö÷ø '()+*-, .0/ 132547698:(), .;/ 1=<>47698:(), .;/ 1=?47698:(@AB476 car ?C@D69EGFIH
36 . . . . . . . . . . S TRUCTURE
INTERNE
& S ISMOLOGIE . . . . . . . . . . 2001-2002
On retrouve la puissance rayonnée par un corps noir, par unité de surface, par
unité spectrale et par unité d’angle solide :
JCKL:MON9PRQTS WLVX U N P$YZ [ U [
Q ]^_a` bdZ c \ U Mef
JCK
g0i 0g i
S kmlon
S Pqpst r S LVU N;u"UvPxwyM{z
w|P~}dX0 b c3z Q [ Z [Po
– le facteur
Pxw \Q W .
d \> g0iI SI est à relier à la constante
de Stefan-Boltzmann
j
g5h
\
Ce terme
s’exprime en W m Hz sr .
La densité volumique d’énergie totale (
) vaut alors 36 :
– la pression de radiation correspondante est alors (sans oublier que le
photon est ... totalement relativiste) :
":B P \ S P \ wyM z
6. Annexe : équations d’état, compléments
j
Le but de cette annexe se limite à introduire dans les grandes lignes les
étapes nécessaires à l’obtention d’une équation d’état dans le cas des fluides
non parfaits. Pour en savoir plus, se référer p.ex. à Forestini 1999.
6.1. Notions de base
M
P

On s’intéresse au sort de
particules confinées dans un volume à
la température .
– L’ensemble thermodynamique dont
sont les variables naturelles
est l’ensemble canonique.
– Les particules sont caractérisées par un hamiltonien ; la fonction de
partition est donnée par la relation thermodynamique :
M

P
trace
`]^_¡ f bdc M£¢e
la trace étant prise sur tous les états quantiques du système.
– L’état thermodynamique du système est caractérisé par son potentiel thermodynamique, soit dans l’ensemble canonique, l’énergie libre de Helmholtz
(il s’agit de l’approche dite “chimique”, consistant en la minimisation de
l’énergie libre) :
¤
¤£L MONP f bdc M¦¥ §Ov¨ MO©

¤
36. Avec comme tout le monde sait ª9®
«¬ d¯B°±² ³´¶µ£·B¸"¹Dºo»T±·¼
relation qui relie la physique microscopique, exprimée par la fonction de
partition , à la physique macroscopique .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
½
¾ découle
de toutes les grandeurs
ÂVÃ ÅÇdÈdÉ=celle
Æ
Ä
Ê
¿¦À Á
):
ÂVÃ
Î À Ä Á ÏÑÐÓÒ ¾
Ò=ÔÖÕØ×=Ù Ú Û
ÂÄ VÃ ÏÑÐ9Ò ¾
Ü ÀÁ
Ê Õ{×=ÙÚ Ý
Ò
ÂVÃ
Þ À Ä Á Ð9Ò ¿;¿ ¾
Ò Õ{×=ÙÚ Ý
ÂVÃ ÐvÒ ¾
Ä
ß0à À Á
Ò5á à ÕÝ-Ú Û
De la connaissance de l’énergie libre
thermodynamiques du système (avec :
ËÌÌ
ÌÌ
pression :
ÌÌ
ÌÌ
entropie :
ÌÌ
ÌÍ
énergie interne :
pot. chimique :
½
Les dérivées secondes de l’énergie libre conduisent aux divers coefficients
thermodynamiques et thermoélastiques :
ËÌÌ â3ã
Ì
ÌÌ
ÌÌ â Û
ÌÌ
ÌÌ è
ÌÌ Ý
ÌÌ èTé
Ì
ÌÌ
ÌÌ ë
ÌÌÍ
íî
À
ïð
½
ÍË
Conditions de stabilité
stabilité mécanique :
stabilité thermique :
½
ÂäÃ
ÀÄ Á
ÂäÃ
ÀÄ Á
ÂäÃ
ÀÄ Á
ÂäÃ
ÀÄ Á
ÂäÃ
ÀÄ Á
ÂäÃ
ÀÄ Á
ÂäÃ
ÀÄ Á
Ð9ÒØå æ Î
Ò{å æçCÕ{Û
Ð9ÒØå æ ÎÊ ã
ÒØå æ Õ
Ð Ò ÞÊ ã
Ò Õ
è Ý+ê Îìë â Ê Û
ç
ÏÑÐÒ{å æÊ ç é
Ò{Îìå æ ë Õ
Ê èTé
ç
Ð9Ò Î Ä ÅÏ â â3ã í î
Û À
ÒçOÕØñ
âó
Û òô
è Ýòô
– pour en savoir plus, voir le cours de thermo de Landau & Lifshitz
On a l’habitude d’introduire les exposants adiabatiques, définis par :
ËÌÌ ïð
ÌÌ
ÌÌÍ ï;÷
ï;÷ ÏÅ
ï;ø ÏÅ
ÂVÃ
ÀÄ Á
ÂVÃ
ÀÄ Á
ÂVÃ
ÀÄ Á
Ð9Ò{å õö Î
Ò{å õö9çCÕ
Ð Ò{å õö ÎÊ
ÒØå õö Õ
Ð9ÒØå õö Ê
Ò{å õö9çØÕ
ad
ad
ad
et abondamment utilisés pour la construction des intérieurs stellaires.
38 . . . . . . . . . . S TRUCTURE
?! Montrer que
pour lui seulement
INTERNE
ù~úüûý7þ ÿþ
& S ISMOLOGIE . . . . . . . . . . 2001-2002
pour le gaz parfait classique non dégénéré, et
Ce dernier point justifie la définition de ces coefficients
û
?! Calculer les pour le rayonnement du corps noir
6.2. Approche “chimique” : minimisation de l’énergie libre
Ce paragraphe comme le suivant reste uniquement descriptif. Une présentation
plus détaillée est donnée pour le cas solaire dans le chapitre “II/ Structure
Interne”.
Approximations
Cette méthode (Graboske et al. 1971) suppose possible la factorisation de la
fonction de partition, càd
– le découplage des termes d’énergies cinétique et potentielle
ý7þ ÿ 9ý7þ ÿ +ú
d’où :
ÿ
!#"$&% ')(+*-,.0/(+% 10'32
ú
&% ')(+le
*-,.0/terme
(+% 10'32 idéal du GP rend compte des effets purement cinétiques,
où
du potentiel d’interaction
– l’approximation en potentiel de paires ; càd l’omission des interactions à
4657
objets :
ý7þ ÿ ú8
9;:&<
0
>
= – l’approximation de faible perturbation des niveaux d’énergie internes,
d’où :
!#"?&% ')(+*-,.0/(+% 10'32@&AB*-,C(+D3,E3.(+% 10'32
ú
yapuka exprimer les termes , et imaginer ensuite toutes les corrections à
rajouter pour une bonne description physique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
FGIH
A voir également
H Equilibre chimique
– Equation de Saha (loi d’action de masse)
Fluide complètement ionisé non parfait
– théorie de Debye-Hückel
6.3. Approche “physique” : développement en fugacité
J ne fait intervenir que des particules fondamentales (noyaux, électrons)
– il n’y a pas de contraintes sur le nombre de particules du système étudié,
et on utilise donc la grande fonction de partition K de l’ensemble grandcanonique (qui fait intervenir les potentiels chimiques et non les nombres de
particules comme variables indépendantes)
– développement en fugacité
– les états liés résultant des termes d’interactions à 2, 3, ... N corps
apparaissent comme résultat de la modélisation (alors qu’ils sont présupposés
dans la description chimique)
J voir le cours de structure interne du GdR “Structure interne des Etoiles et de
Planètes Géantes” (Aussois 1990)