Lycée Louis-Le-Grand, Paris 2013/2014 MPSI 4

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
2013/2014
Programme des colles de la semaine 20 (31/03 – 05/04)
I. Calcul matriciel
1. Opérations sur les matrices
• Définition, notation Mn,p (K).
• Matrice canoniquement associée à f ∈ L(Kp , Kn ). Notation Mb.c. (f ). Pour l’instant, les matrices de f relativement à d’autres choix de bases n’ont pas été vues.
• Bijection ϕ : L(Kp , Kn ) −→ Mn,p (K).
• Définition de la loi interne +, et de la loi externe · sur Mn,p (K) par transfert de celle de L(Kp , Kn ). Structure
d’ev de Mn,p (K), isomorphe à L(Kp , Kn ).
• Base canonique de Mn,p (K), notation Ei,j . Dimension de Mn,p (K).
• Produit d’une matrice par une colonne, par transfert de l’opération d’évaluation f (x). Ainsi, par définition,
en identifiant un vecteur de K p avec la colonne de ses coordonnées dans la base canonique, f (x) = M X,
où M = Matb.c. (f ). Cette description amène de façon naturelle une description de M X comme combinaison
linéaire des colonnes de M .
• Description coefficient par coefficient du produit M X.
• Produit AB de deux matrices de format compatible, par transfert de la loi de composition. Description comme
combinaisons linéaires des colonnes de A. Compatibilité avec la définition de la multiplication par une colonne.
• Par définition même, Matbc (g ◦ f ) = Matbc (g)Matbc (f ). Pour l’instant, cela n’est vu que dans le cadre des
matrices relativement aux bases canoniques.
• Description coefficient par coefficient du produit matriciel.
• Description de AB comme combinaison linéaire des lignes de B.
• Propriétés du produit (par tranfert des propriétés de ◦)
• Non commutativité du produit, même pour des matrices carrées.
• Produit des éléments des bases canoniques.
• Pas encore de produits par blocs.
2. Matrices carrées
• Structure d’algèbre de Mn (K). Matrice identité In .
• Règles calculatoires issues de la structure d’anneau : factorisation de An − B n , In − An , formule du binôme.
Ne pas oublier l’hypothèse de commutativité de A et B.
• Notion de polynôme annulateur, polynôme minimal. Existence d’un polynôme annulateur, existence et unicité
du polynôme minimal (unitaire).
• Exemples de calculs de An , par la formule du binôme ou par l’utilisation d’un polynôme annulateur.
• Matrices diagonales, triangulaires (supérieures ou inférieures). Structures de sous-algèbres. Description du
produit de deux matrices diagonales ; Dn .
3. Noyau, image
• Noyau et image d’un matrice, par transfert de ces notions pour les AL canoniquement associées.
• Famille génératrice de l’image d’une matrice.
• Comment trouver facilement des vecteurs de Ker M en recherchant des relations entre les colonnes.
• Rang d’une matrice. Lien avec le rang de l’AL canoniquement associée.
• Rang d’une matrice échelonnée en lignes. Rang d’une matrice échelonnée en colonnes.
• Égalité rg( tM ) = rg(M ) dans le cas des matrices échelonnées.
4. Matrices inversibles
• Matrices inversibles, caractérisation par l’inversibilité à droite ou à gauche. Groupe linéaire GLn (K).
• Inverse d’un produit.
• Caractérisation des matrices triangulaires inversibles.
• Matrice de codage des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes. Interprétation matricielle des
opérations. Inversibilité desdites matrices, et expression de leur inverse. Validité de la méthode du pivot pour
la résolution des systèmes homogènes.
• Calcul de l’inverse par résolution d’un système.
• Calcul de l’inverse par utilisation d’un polynôme annulateur ayant un terme constant non nul.
• Calcul de l’inverse par la méthode du pivot, en appliquant les mêmes opérations à la matrice In .
• Formule d’inversion d’une matrice 2 × 2 par la comatrice.
5. Encore le pivot
• Conservation de l’image par opérations sur les colonnes ; conservation du noyau par opérations sur les lignes.
• Conservation du rang. Algorithme du pivot pour le calcul du rang.
• Calcul d’une base de l’image d’une matrice par pivot. S’adapte à une base d’un espace dont on connaît une
famille génératrice.
• Trouver un supplémentaire par la méthode du pivot.
6. Transposition
• Matrice transposée. Transposée d’un produit. Transposée d’un inverse.
• Conservation du rang par transposition.
• Matrices symétriques, antisymétriques.
II. Écriture d’une AL dans une base
Les élèves ont peu de pratique pour le moment.
1. Définitions et notations
• Colonne des coordonnées d’un vecteur. Matrice associée à une famille relativement à une base. Matrice associée
à une AL relativement à 2 bases.
• Formule d’évaluation matricielle
• Formule de composition
2. Changement de base, matrices équivalentes
2
• Matrice de passage PBB1 . Inversibilité.
• Effet d’un changement de base sur les coordonnées
• Formule de changement de base pour une AL
• Matrices équivalentes. C’est une relation d’équivalence.
• Toute matrice est équivalente à une matrice par blocs
Ir
0
0
0
!
• Classification des matrices équivalentes par le rang.
• Matrice extraite, rang d’une matrice extraite. Caractérisation du rang par les matrices extraites.
3. Matrice d’un endomorphisme, matrices semblables
• Changement de base pour un endomorphisme
• Matrices semblables. C’est une relation d’équivalence.
• Trace d’une matrice
• Linéarité de la trace, invariance par transposition
• Invariance de la trace par commutation interne
• La trace est un invariant de similitude
• Trace d’un endomorphisme.
4. Produit matriciel par blocs
• Interprétation vectorielle d’un découpage par blocs
• Formule de produit par blocs (démonstration non exigible)
• Exemple : matrices diagonales par blocs.