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Ecole Supérieure d ’Ingénieurs
Léonard de Vinci
« Pricing d’options Monte Carlo dans le modèle
Black-Scholes »
Etudiant : Amarouch Saad / Belloin Louis
Colonna Andrea
Partie A : Prix de Call et Put Européens
Partie B : Pricing par Monte Carlo et réduction
Variance
Partie C : Pricing d’une option asiatique
Rapport
de Projet
Amarouch Saad
Belloin Louis
Colonna Andrea
ESILV S8
Rapport de Projet Pricing d’options Monte Carlo
Dans le modèle Black-Scholes
Introduction
Partie A : Prix du Call et Put Européens
1) Prix d’un Call dans le modèle de Black-Scholes
2) Prix d’un Put en utilisant la relation de parité Call-Put
3) Variation du prix des options en fonction de 4 paramètres (Vol, Strike, Spot, Time
To Maturity, taux r)
4) Delta et Gamma d’une option Vanille
Partie B : Pricing par Monte Carlo et réduction de variance
1) Estimation du prix d’une option Européenne par Monte Carlo
2) Graphique de convergence du prix d’un Call
3) Deux méthodes de réduction de variance
a) Méthode des variables de contrôle
b) Fonction de pricing Monte Carlo utilisant la méthode importance sampling
Partie C : Pricing d’une option Asiatique
1) Trajectoire du prix du sous-jacent en discrétisant l’intervalle [0,T]
2) Prix du Call asiatique
3) Prix du Put asiatique
Amarouch Saad
Belloin Louis
Colonna Andrea
ESILV S8
Introduction
Le but de ce projet est de bien assimiler les mécanismes des différentes méthodes de
pricing d’options à savoir Black-Scholes et Monte Carlo afin de prendre conscience
des avantages et inconvénients de chacune d’elles.
Pour ce faire, nous commencerons dans la première partie en donnant le prix d’un
Call et d’un Put Européen grâce à la méthode de B&S et à la parité Call-Put. Nous
étudierons par la suite la variation du prix de ces options en fonction de quelques
paramètres (strike, spot, volatilité, time to maturity, taux r). Enfin nous calculerons
le Delta et le Gamma de ces deux options.
La deuxième partie nous permettra d’approcher une nouvelle méthode de pricing :
Monte Carlo. Nous donnerons donc le prix d’une option Européenne en utilisant
cette méthode, et nous analyserons la convergence de ce prix pour une option Call
avec un Strike égal à 100. L’inconvénient de cet estimateur Monte Carlo est que la
variance peut être trop grande pour les options hors de la monnaie (OTM). On
s’intéressera donc à deux méthodes pour réduire la variance.
La troisième et dernière partie, va nous permettre de considérer une option exotique
à savoir l’option asiatique. Le prix d’une option asiatique découle du prix moyen du
sous-jacent dans un intervalle de temps déterminé.
Amarouch Saad
Belloin Louis
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Partie A : Prix du Call et Put Européens
Pour l’ensemble de nos réponses, on fixe les paramètres suivants :
1) Prix d’un Call dans le modèle de Black-Scholes
Pour calculer le prix d’une option Call, il nous suffit d’appliquer la formule de Black-Scholes. On
rappelle que le prix s’écrit sous la probabilité risque neutre :
En utilisant la diffusion du sous-jacent, avec W un mouvement Brownien standard :
La démonstration nous permet de retomber sur la formule B&S de l’option Call :
Avec N la fonction de répartition de la loi Normale et d1 et d2 donnés par :
En incrémentant cette formule on obtient :
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2) Prix d’un Put en utilisant la relation de parité Call-Put
Parité Call-Put :
En peut donc exprimer le prix d’une option Put en fonction d’un Call, du sous-jacent et d’un
montant en cash K actualisé sur la période.
On obtient ainsi le prix d’une option Put :
3) Variation du prix des options en fonction de 5 paramètres
Variation du prix des options en fonction de la volatilité :
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Variation du prix des options en fonction du temps avant la maturité :
Variation du prix des options en fonction du Spot :
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Variation du prix des options en fonction du Strike :
On remarque que le prix du Call et le prix du Put sont les mêmes quand le strike est a la
monnaie forward soit K=St.exp(r(T-t))
Le résultat est facile à démontrer, il suffit d’utiliser la parité Call Put.
Variation du prix des options en fonction du taux sans risque :
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4) Delta et Gamma d’une option Vanille
Pour trouver le Delta d’une option Call ou Put, il suffit de dériver la formule B&S du prix de
l’option par rapport au sous-jacent.
On obtient ainsi :
Delta d’un Call :
Delta d’un Put :
Pour trouver le Gamma d’une option Call ou put, il suffit de faire la dériver seconde du prix
B&S par rapport au sous-jacent.
Gamma D’un Call égal au Gamma d’un Put :
Delta et Gamma du Call
Delta et Gamma du Put
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Partie B : Pricing par Monte Carlo et réduction de variance
1) Estimation du prix d’une option Européenne par Monte Carlo
La méthode de Monte Carlo permet de calculer le prix d’une option en utilisant des procèdes
aléatoires.
Les différentes étapes pour le calcul du prix de l’option :
-
Simulation d’un alea Gaussien par la méthode de Box-Muller
-
Définition du payoff d’un Call et d’un Put
-
Simulation d’un grand nombre de prix du sous-jacent
-
Calcul du prix de l’option sous la probabilité risque neutre en utilisant comme prix du sousjacent la moyenne de l’ensemble de nos simulations.
En incrémentant la méthode avec 100 000 simulations, on obtient les résultats suivants :
Prix et écart-type du Call
Prix et écart-type du Put
2) Graphique de convergence du prix d’un Call et d’un Put
Convergence du prix d’un Call
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Convergence du prix d’un Put
3) Deux méthodes de réduction de variance
L’inconvénient de l’estimateur Monte Carlo est que la variance peut être trop grande
pour les options hors de la monnaie (OTM). Pour mieux comprendre ce phénomène,
considérons une option Call de strike K=150 et comparons la variance de l’estimateur
Monte Carlo par rapport à celle du Call de strike 100.
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a) Méthode des variables de contrôle :
b) Importance sampling
La réduction de variance avec la méthode dite d’importance sampling est flagrante. En effet
avec quatre fois moins de simulations, on obtient une variance réduite de 10 fois pour un même
strike K=150.
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Partie C : Pricing d’une option asiatique
Etape du Pricing d’une option asiatique :
-
Discrétisation de l’intervalle en N segments
-
Simulation d’un prix sur chacun des segments
-
Calcul de l’aire grâce à la méthode des trapèzes divisée par T
-
Calcul du payoff
-
Actualisation du payoff au taux sans risque
En répétant ces étapes un grand nombre de fois, on obtient le prix de l’option asiatique.
L’inconvénient est que le nombre de simulation est limité car il est multiplié par le nombre de
discrétisation.
1) Simulation de deux trajectoires de prix du sous-jacent en discrétisant
l’intervalle [0,T] avec un pas de 0.01
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2) Prix du Call asiatique
3) Prix du Put asiatique
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