Triangle rectangle et cercle circonscrit

Maths 4e!
prgm 2007
Triangle rectangle et cercle circonscrit
1. Cercle circonscrit à un triangle quelconque (rappel)
Théorème : Les médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point équidistant des
sommets du triangle ; c’est le centre du cercle circonscrit au triangle.
2. Cercle circonscrit à un triangle rectangle
Théorème : Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le
milieu de l’hypoténuse.
Conséquences : si un triangle est rectangle, alors le rayon
de son cercle circonscrit mesure la moitié de son
hypoténuse ;
de plus le rayon issu du sommet de l’angle droit est aussi
la médiane relative à l’hypoténuse.
Exemple : ABC est un triangle quelconque ; AH
est la hauteur issue de A. Montrer que les cercles
de diamètres [AB] et [AC] sont sécants en H.
Solution : On sait que H est le pied de la hauteur
issue de A donc les triangles ABH et ACH sont
rectangles en H. Or l’hypoténuse d’un triangle
rectangle est aussi le diamètre de son cercle
circonscrit. Par conséquent les cercles de
diamètres [AB] et [AC] passent par H.
3. Cercle circonscrit de diamètre un côté du triangle
Théorème : Si l’un des côtés d’un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit,
alors ce triangle est rectangle au sommet opposé à ce côté ;
ce côté est l’hypoténuse du triangle rectangle.
Exemple : A est un point du cercle (C) de centre O ; (AO)
recoupe (C) en B ; soit M un point de (C) distinct de A et de
B. Montrer que pour tout point M de (C) le triangle ABM est
rectangle en M.
Solution : [AB] est un diamètre de (C) ; par suite le cercle
(C) est circonscrit à ABM et a pour diamètre un des côtés
du triangle ABM], or si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l’un de
ses côtés, alors ce triangle est rectangle au sommet opposé à ce diamètre.
Donc le triangle ABM est rectangle en M (de même pour ABM’ et ABM’’, etc).
F.Bonomi!
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