À propos de la droite d`Euler

À propos de la droite d'Eu 1er
Maurice Garançon
UQAM
Voici une autre démonstration qui fait intervenir l'homothétie.
Dans son article «Sur la droite d'Euler» (Envol n° 93), Christian
Boissinotte proposait une jolie démonstration de l'alignement des points d'intersection des médianes, hauteurs et médiatrices d'un triangle. La méthode
utilisée était de la géométrie analytique pure.
Je présente ici une autre démonstration, qui me semble intéressante parce
qu'elle fait intervenir l'homothétie. Elle est basée sur la propriété de l'homothétie de transformer une droite en une droite parallèle.
Nous savons que dans un triangle AABC les médianes sont concourantes
en un point G et que ce point est situé aux deux tiers de chaque médiane à
partir des sommets. Par exemple, pour la médiane [BM^]
on a
BG
BMb
2
BG
.
= - ou encore que
= 2.
3
GMb
De plus, puisque G est entre B et Mj,, on peut aussi écrire cette relation
sous la forme GB = 2 GM (*)
Nous savons aussi que les médiatrices sont concourantes en im point K
B
Mb . H
Considérons
l'homothétie de centre G et de rapport -2. Par définition, cette homothétie transforme un point P en un point P' de sorte
que ^ = -2GP
En particulier, en vertu de (*), cette homothétie envoie le milieu d'un côté
quelconque du triangle AABC sur le sommet opposé. Pour le point Mj^ on a
donc Hq .2
= B. D'autre part, une homothétie transforme une droite en une
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droite parallèle, donc la médiatrice D de [AC] est transformée en une droite L
qui lui est paraUèle et qui passe par B. Puisque D est perpendiculaire à [AC],
L sera perpendiculaire à [AC]. Finalement, L est la hauteur issue de B,
puisqu'eUe est perpendiculaire à [AC] et qu'elle passe par B. Nous avons donc
prouvé que l'homothétie H^j .g transforme la médiatrice d'un côté du triangle
en la hauteur issue du somrnet opposé.
Le point K, intersection des médiatrices, sera donc transformé en un point
N, qui sera sur les trois hauteurs. Ain^les hauteurs sont concourantes et de
plus, puisque H^ .g (K) = N, GN = -2GK. Les trois points K, G, N sont donc
alignés et G est aux deux tiers de [NK] en partant de N.
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