Leçon 7 Les homothéties et les translations

Leçon 7
Les homothéties et les translations
Exercice 1
Dans un repère orthonormal du plan (P) :
r
Nous voulons étudier une translation T de vecteur u (1 ; 3).
a) Soit M(x ; y), donner les coordonnées M’(x’ ; y’) image de M en fonction de x et de y.
b) Soit (D) d’équation y = 3x. Quelle est l’équation de l’image (D’) ?
c) Soit le cercle (C) d’équation x2 + y2 = 4. Quelle est l’équation de l’image (C’) ?
Nous voulons maintenant étudier une homothétie h de centre I(1 ; 2) et de rapport 3.Répondre
aux mêmes questions.
Exercice 2
Dans un repère orthonormal de (P), nous allons étudier la composée d’une translation et d’une
homothétie :
T translation de vecteur ur (1 ; 2) et h homothétie de centre O et de rapport 2.
Caractériser h oT. Cette transformation a-t-elle un point invariant ? Quelle est sa nature ?
Cette opération est-elle commutative ?
Exercice 3
Nous considérons deux cercles dans la situation ci-contre : (C1) de centre I et de rayon 1 et
(C2) de centre O et de rayon 5. Déterminer le ou les homothéties permettant de passer de (C1)
à (C2).
I
O
Exercice 4
Nous considérons l’application fk définie par :
∀ M ∈ (P), M a pour image M’ dans fk tel que : MM' = MA + k MB
k∈R
A et B étant deux points quelconques différents du plan (P).
Caractériser fk suivant les valeurs de k.
Nous demandons donc de réaliser une discussion en fonction de valeurs de k.
Correction
Exercice 1
r
r
r
a) Nous avons MM' = u ⇔ OM ' − OM = u et donc OM' = OM + u .
Si nous traduisons cela avec les coordonnées cela donne :
x’= x + 1
M’
y’= y + 3
b) Nous savons que l’image d’une droite dans une translation est une droite parallèle à la
première. Nous allons pouvoir vérifier ce théorème du cours sur cet exemple.
(D) y = 3x, nous allons employer une technique qui reviendra souvent quand nous
cherchons l’image d’un ensemble de points dont nous connaissons l’équation dans un
repère du plan ; nous exprimons x et y en fonction de x’ et y’ puis nous disons que la
relation donnée entre x et y va nous donner une relation entre x’ et y’ qui représentera
l’équation de l’ensemble des images.
(D) y = 3x, x = x’ − 1 et y = y’ − 3 donc nous aurons l’ensemble des images des points de
(D) qui se trouveront sur une courbe d’équation :
y’ − 3 = 3 (x’ − 1) soit (D’) y’ = 3x’ −3 + 3 donc (D’) y’ = 3x’. Nous avons ici un cas
particulier, le vecteur de la translation ayant la même direction que la droite (D),
(D’) = (D).
c) Pour l’image du cercle, nous allons procéder de même :
(C) x2 + y2 = 4 donne (x’ − 1)2 + (y’ − 3) = 4
soit un cercle de centre I(1 ; 3) et de même
développons l’équation, cela donne : x2 + y2 − 2x − 6y + 6 = 0.
rayon.
Si
nous
Nous pouvons faire la même chose avec l’homothétie h(I(1 ; 2),3).
Nous avons par définition, IM ' = 3 IM soit en utilisant Chasles et le point O :
OM' − OI = 3(OM − OI) ⇔ OM' = 3 OM − 2 OI .
En fait, nous avons un théorème qui généralise cet exemple :
Théorème
Si nous avons une homothétie h de centre I(a ; b) et de rapport k, k∈R*, alors M(x ; y) dans
un repère d’origine O, a pour image M’(x’ ; y’) et : OM ' = k OM + ( 1 − k )OI .
(La démonstration se fait comme dans l’exemple.)
Ici cela donne :
x’ = 3x − 2
M’
Nous exprimons x et y en fonction de x’ et y’
y’ = 3y − 4
cela donne : x =
x '+2
y'+4
et y =
3
3
Dans une homothétie, l’image d’une droite est une droite parallèle à la première.
et donc (D) y = 3x donne (D’)
y'+4
 x '+2 
= 3

3
 3 
 x '+2 
(D’) aura pour équation : y’ = 9 
 − 4 soit y’ = 3x’ + 2.
 3 
(D’) // (D) en effet, elles ont le même coefficient directeur 3.
Même technique pour le l’image (C’)du cercle (C) :
2
2
 x '+2 
 y'+4 
x + y = 4 donne pour (C’) 
 +
 = 4. Cette équation peut s’écrire :
 3 
 3 
(x’ − (−2))2 + (y’ − (−4))2 = 36.
2
2
Nous reconnaissons un cercle de centre O’(−2 ;−4) image de O par h et de rayon r’ = 3(r) = 6.
Attention, dans la recherche de ces ensembles images, il faut envisager une réciproque, tous
les points de l’ensemble image conviennent-ils ? Ici, oui car nous avons procéder par
équivalence et aucune condition de calculs sur les coordonnées des images n’est intervenue
entraînant d’exclure des points.
Exercice 2
Etudions en premier h oT : la translation intervient ici en premier,
M(x ; y)
M1(x1 ; x2)
x1 = x + 1
M1
M2(x2 ; y2), nous aurons :
x2 = 2x1 = 2x + 2
puis M2
y1 = y + 2
y2 = 2y1 = 2y + 4
Cherchons s’il existe dans la transformation obtenue, un point invariant c’est-à-dire un point
qui a pour image lui-même :
h oT(I) = I ⇔ ceci revient à résoudre le petit système suivant :
Cherchons xI et yI tels que :
2xI + 2 = xI
ceci donne xI = −2 et yI = − 4, I(−
−2 ; −4) est donc invariant.
2yI + 4 = yI
Montrons alors que la composée est une homothétie
rapport 2. Pour tout point M, nous avons :
IM (x + 2 ; y + 4) , IM = OM − OI et après transformation,
(
(
)
)
IM '(2x + 2 + 2 ; 2 y + 4 + 4), IM ' = OM' − OI ,
IM'(2x + 4 ; 2 y + 8) , nous avons IM ' = 2 IM .
de
centre
I
et
de
Faisons maintenant T o h c’est-à-dire h agit en premier :
N(x ; y)
N1(x1 ; y1)
x1 = 2x
N2(x2 ; y2), nous aurons :
x2 = x1 +1 = 2x + 1
puis N2
N1
y1 = 2y
y2 = y1 + 2 = 2y + 2
Nous voyons que le résultat n’est pas le même, nous savons que l’opération composition n’est
pas commutative.
Cherchons s’il existe dans la transformation obtenue, un point invariant c’est-à-dire :
J tel que T o h(J) = J soit :
xJ = 2xJ + 1
yJ = 2yJ + 2
cela donne xJ = −1 et yJ = −2. Comme précédemment, nous pouvons montrer que JN 2 = 2 JN
JN 2 (2x + 2 ; 2 y + 4) et JN( x + 1 ; y + 2), JN 2 = 2 JN .
Dans ce cas, nous avons une homothétie de centre J et de rapport 2.
Exercice 3
Agrandissons la figure pour travailler, nous allons donner une solution purement vectorielle
sans repère.
Nous utilisons un rayon du petit cercle, il aura pour image un rayon parallèle du grand cercle.
Traçons dans le grand cercle un diamètre parallèle au rayon du petit cercle, en effet, il y a
deux solutions, soit le rayon image portera un vecteur de même sens (k positif) ou bien un
vecteur de sens contraire (k négatif) à celui porté par le rayon du petit cercle. Le rapport k sera
5 ou −5 en effet, nous avons le théorème suivant :
Théorème
Dans une homothétie de centre Ω et de rapport k, l’image d’un cercle (C1) de centre I et de
rayon r aura pour image un cercle (C2) de centre O et de rayon r’ tel que :
r’ = | k | r et ΩO = k ΩI .
Cas 1 : si k = 5, nous allons déterminer le centre Ω1 en écrivant que I a pour image O, soit
Ω1O = 5 Ω1I , ce qui nous donne en utilisant O par
5
OI
4
Cas 2 : si k = −5 alors nous allons trouver une deuxième homothétie et le deuxième centre Ω2
en écrivant que Ω 2 O = −5 Ω 2 I , ce qui nous donne :
exemple : − OΩ1 = 5 (OI − OΩ1 ) ⇔ 4 OΩ1 = 5 OI et donc OΩ1 =
− OΩ 2 = −5 (OI − OΩ 2 ) ⇔ − 6 OΩ 2 = −5 OI et donc OΩ 2 =
5
OI
6
Ω1
Ω2
Exercice 4
Nous avons un cas particulier à envisager :
k = 0, MM' = MA , ce qui montre que tout point M a pour image A.
Il s’agit, en quelque sorte d’un effondrement de (P) sur A.
Prenons k ≠ 0, nous avons l’idée d’utiliser le barycentre G de (A ; 1) et de (B ; k)
mais il faut 1 + k ≠ 0, donc regardons en premier le cas k = − 1
k = −1, MM' = MA − MB c’est-à-dire MM' = BA , les points A et B étant fixes, il s’agit ici
d’une translation de vecteur BA .
r
Si k ≠ −1, alors, nous utilisons G tel que GA + k GB = 0 .
MM' = MA + k MB devient en utilisant G
(
)
GM' − GM = GA − GM + k GB − GM soit
GM' − GM = GA − GM + k GB − k GM et donc GM' = − k GM
Nous avons une homothétie de centre G et de rapport −k
Remarque : si k = 1, G se trouve au milieu I de [AB], f1 sera dans ce cas une homothétie de
centre I et de rapport −1 c’est-à-dire une symétrie centrale de centre I.
(A vous de faire les figures des cas différents en prenant des valeurs particulières pour k)