Démonstration 05

Démonstration 05
→
Soit t une translation de vecteur u .
• Soient A et B deux points distincts et soient A' = t(A) et B' = t(B) leurs images par la translation t.
→
→
On a A'B' = AB , donc A' ≠ B'
Si C est un point de la droite (AB), alors A, B et C sont alignés.
Comme une translation conserve l'alignement, on en déduit que A', B' et C' = t(C) sont alignés.
Donc C' appartient à la droite (A'B').
NB : ce raisonnement ne prouve pas que l'image de la droite (AB) est la droite (A'B'), mais seulement que l'image de
la droite (AB) est contenue dans la droite (A'B').
Il faut encore démontrer que tout point de la droite (A'B') est l'image d'un point de la droite (AB).
Soit N un point de la droite (A'B').
→
Soit u le vecteur de la translation t .
→
Soit t' la translation de vecteur - u .
(t' est la translation réciproque de t)
On a t'(A') = A et t'(B') = B
Soit M l'image de N par la translation t'.
D'après la démonstration précédente, N étant sur la droite (A'B'),
son image M est sur la droite (AB).
t' étant la translation réciproque de t, on a N = t(M) .
On a donc démontré que si N est un point de la droite (A'B'), alors
N est l'image par t d'un point M de la droite (AB).
→
u
On en déduit que l'image de la droite (AB) par la translation t est la droite (A'B')
• Soit (d) une droite. Considérons A et B deux points distincts de (d). (d) est alors la droite (AB).
On sait que l'image de la droite (AB) est la droite (A'B') avec A' = t(A) et B' = t(B).
→
→
De plus A'B' = AB . Donc les droites (AB) et (A'B') sont parallèles.
On en déduit que l'image de la droite (d) est une droite (d') parallèle à (d).
• Soit (d) une droite passant par A. Considérons B un point de (d) distinct de A. (d) est alors la droite (AB).
On sait que l'image de la droite (AB) est la droite (A'B') avec A' = t(A) et B' = t(B).
→
→
De plus A'B' = AB . Donc les droites (AB) et (A'B') sont parallèles.
On en déduit que l'image de la droite (d) est la droite (d') passant par A' et parallèle à (d).
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1èreS − Translations − Homothéties − Démonstrations
Soit h une homothétie de rapport k.
• Soient A et B deux points distincts et soient A' = h(A) et B' = h(B) leurs images par l'homothétie h.
→
→
On a A'B' = k AB . Comme k est non nul, on a A' ≠ B'
Si C est un point de la droite (AB), alors A, B et C sont alignés.
Comme une homothétie conserve l'alignement, on en déduit que A', B' et C' = h(C) sont alignés.
Donc C' appartient à la droite (A'B').
NB : ce raisonnement ne prouve pas que l'image de la droite (AB) est la droite (A'B'), mais seulement que l'image de
la droite (AB) est contenue dans la droite (A'B').
Il faut encore démontrer que tout point de la droite (A'B') est l'image d'un point de la droite (AB).
Soit N un point de la droite (A'B').
Soit O le centre de l'homothétie h .
Soit h' l'homothétie de centre O et de rapport 1 .
k
(h' est l'homothétie réciproque de h)
On a h'(A') = A et h'(B') = B
Soit M l'image de N par l'homothétie h'.
D'après la démonstration précédente, N étant sur la droite (A'B'),
son image M est sur la droite (AB).
h' étant l'homothétie réciproque de h, on a N = h(M) .
On a donc démontré que si N est un point de la droite (A'B'), alors
N est l'image par h d'un point M de la droite (AB).
On en déduit que l'image de la droite (AB) par l'homothétie h est la droite (A'B')
• Soit (d) une droite. Considérons A et B deux points distincts de (d). (d) est alors la droite (AB).
On sait que l'image de la droite (AB) est la droite (A'B') avec A' = h(A) et B' = h(B)
→
→
De plus A'B' = k AB . Donc les droites (AB) et (A'B') sont parallèles.
On en déduit que l'image de la droite (d) est une droite (d') parallèle à (d).
• Soit (d) une droite passant par A. Considérons B un point de (d) distinct de A. (d) est alors la droite (AB).
On sait que l'image de la droite (AB) est la droite (A'B') avec A' = h(A) et B' = h(B)
→
→
De plus A'B' = k AB . Donc les droites (AB) et (A'B') sont parallèles.
On en déduit que l'image de la droite (d) est la droite (d') passant par A' et parallèle à (d).
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1èreS − Translations − Homothéties − Démonstrations
Soit r une rotation d'angle α.
• Soient A et B deux points distincts et soient A' = r(A) et B' = r(B) leurs images par la rotation r.
On a A'B' = AB. Comme AB est non nul, on a A' ≠ B'
Si C est un point de la droite (AB), alors A, B et C sont alignés.
Comme une rotation conserve l'alignement, on en déduit que A', B' et C' = r(C) sont alignés.
Donc C' appartient à la droite (A'B').
NB : ce raisonnement ne prouve pas que l'image de la droite (AB) est la droite (A'B'), mais seulement que l'image de
la droite (AB) est contenue dans la droite (A'B').
Il faut encore démontrer que tout point de la droite (A'B') est l'image d'un point de la droite (AB).
Soit N un point de la droite (A'B').
Soit O le centre de la rotation r .
Soit r' la rotation de centre O et d'angle -α .
(r' est la rotation réciproque de r)
On a r'(A') = A et r'(B') = B
Soit M l'image de N par la rotation r'.
D'après la démonstration précédene, N étant sur la droite (A'B'),
son image M est sur la droite (AB).
r' étant la rotation réciproque de r, on a N = r(M) .
On a donc démontré que si N est un point de la droite (A'B'), alors
N est l'image par r d'un point M de la droite (AB).
On en déduit que l'image de la droite (AB) par la rotation r est la droite (A'B')
• Soit (d) une droite. Considérons A et B deux points distincts de (d). (d) est alors la droite (AB).
On sait que l'image de la droite (AB) est la droite (A'B') avec A' = r(A) et B' = r(B)
On en déduit que l'image de la droite (d) est une droite (d') passant par A' = r(A).
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On sait que ( AB ,A'B') = α [2π]
L'angle que forment les droites d et d' est donc égal à l'angle de la rotation.
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1èreS − Translations − Homothéties − Démonstrations