corrigé

Université Pierre et Marie Curie
Licence de Mathématiques L1
LIM10
2011-2012
Devoir maison
à rendre pour le 15/05/12
Exercice 1.
a) Montrer que l’équation tan(x) = x admet une unique solution un dans l’intervalle
In =] − π2 + nπ; π2 + nπ[ et donner un équivalent simple de un .
b) Soit xn = π2 + nπ − un (distance du bord droit de l’intervalle In à la solution un ).
1
Exprimer tan(xn ) en fonction de un et en déduire que xn ∼ nπ
.
n→∞
Solution de l’exercice 1.
a) On étudie sur l’intervalle In la fonction f (x) = tan(x) − x. On montre qu’elle est
continue, strictement croissante (f 0 (x) = tan2 (x) > 0 si x 6= 0). Elle réalise donc une
bijection de In sur son image R (après calcul des limites). Comme 0 ∈ R l’équation
f (x) = 0 admet une unique solution, ce qui permet de conclure. On a
π
π
− + nπ ≤ un ≤ + nπ
2
2
un
π
π
+1≤
≤
+1
−
2nπ
nπ
2nπ
On a donc par le théorème d’encadrement limn→∞
un
nπ
= 1 soit un ∼ nπ.
b) On a
tan(xn ) = tan
π
2
− un
π
2
π
2
sin
=
cos
− un
1
1
cos(un )
=
=
=
sin(un )
tan(un )
un
− un
1
Ainsi tan(xn ) ∼ nπ
. On peut remarquer que un > nπ (car f (nπ) < 0) et donc 0 ≤
π
xn < 2 . On a donc xn = arctan(tan(xn )) et donc par composition limn→∞ xn = 0.
Or, lorsque u → 0, tan(u) ∼ u, donc
xn ∼ tan(xn ) ∼
1
nπ
Exercice 2.
a) Quel est le reste de la division euclidienne de X n + 1 par X 2 − 1 ?
b) Soit a un réel fixé. Donner la décomposition en produit de facteurs irréductibles dans
R[X] de
P (X) = X 2n − 2X n cos(a) + 1
Solution de l’exercice 2.
a) Le reste est de degré 2 et s’écrit aX + b. En évaluant l’écriture de la division euclin
n
et a = 1−(−1)
dienne en 1 et -1, racines de X 2 − 1 on obtient b = 3+(−1)
2
2
1
b) On obtient
P (X) =
n−1
Y
2
X − 2X cos
k=0
a 2kπ
+
n
n
+1
après avoir cherché les racines en passant par un polynôme bicarré, et en ayant
regroupé les facteurs irréductibles astucieusement 2 par 2.
Exercice 3.
a) Soit (p, q) ∈ N2 . Calculer
Z 2π
Ip,q =
eipx e−iqx dx ,
0
Z 2π
cos px sin qxdx ,
Kp,q =
cos px cos qxdx,
0
Z
2π
sin px sin qxdx.
Lp,q =
0
0
Z
2π
Z
Jp,q =
1
dx
pour n ≥ 1. Trouver une relation de récurrence sur In .
3 n
0 (1 + x )
c) Montrer que pour tout n ∈ N∗ ,
b) Soit In =
n
X
(2n+1 − 1)
Cnk
=
k+1
n+1
k=0
Indication : on écrira
1
k+1
comme une intégrale faisant intervenir xk
Solution de l’exercice 3.
a) Le calcul de Ip,q est immédiat : Ip,q = 2πδpq . Les formules d’Euler permettent d’en
déduire Jp,q = πδ|p|,[q| , Kp,q = 0 et Lp,q = π(δp,−q − δp,q ).
1
b) Une intégration par parties donne 3nIn+1 = (3n − 1)In + n .
2
Z 1
1
c) Il suffit d’utiliser
=
xk dx puis le binôme de Newton.
k+1
0
2