variance formulae

Intégrale stochastique
Plan
L’intégrale stochastique générale
Intégrale de Wiener
Exemples
Processus d’Itô
Formule d’Itô
Formule de Black & Scholes
Le processus B est un mouvement Brownien et
filtration naturelle.
1
FtB ,
t ≥ 0 est sa
1
L’intégrale stochastique générale
On cherche à définir
0
t
θs dBs
quand {θs , s ≥ 0} est un processus stochastique.
Définition 1.1 On dit que {θt , t ≥ 0} est un bon processus s’il est
(FtB )-adapté, càglàd, et si
t
E
θs2 ds < +∞
0
pour tout t > 0.
2
1.1
Cas des processus étagés
Ce sont les processus du type
θtn =
pn
θi 11]ti ,ti+1 ] (t)
i=0
où pn ∈ IN, 0 = t0 ≤ t1 . . . ≤ tpn et θi ∈ L2 (Ω, Fti , P ) pour tout
i = 0, . . . , pn . On définit
It (θn ) =
0
t
θsn dBs =
pn
i=0
3
θi (Bti+1 ∧t − Bti ∧t )
Propriétés:
E [It (θn )]
Var [It (θn )]
n
Les processus It (θ ) et
=
0
=
It2 (θn )
E
0
−
t
t
2
(θsn ) ds .
n 2
(θ
) ds sont des martingales.
s
0
4
1.2
Cas général
Si θ est un bon processus, il existe {θn , n ≥ 0} suite de processus
étagés telle que
E
0
t
(θs − θsn )2 ds
→ 0
quand n ↑ +∞. Il existe une v.a. It (θ) de carré intégrable telle que
2
E |It (θ) − It (θn )| → 0
quand n ↑ +∞. On pose
It (θ) =
0
pour tout t ≥ 0.
5
t
θs dBs
Propriétés:
E [It (θ)]
=
0
Var [It (θ)] = E
0
t
θs2 ds .
Linéarité :
It (a1 θ1 + a2 θ2 ) = a1 It (θ1 ) + a2 It (θ2 ).
Propriétés de martingale : Pour tout bon processus θ, les
processus
t → It (θ) et
t → It (θ)2 −
6
0
t
θs2 ds
sont des (FtB )-martingales continues.
2 B
E (It (θ) − Is (θ)) Fs
= E
t
s
θu2 du FsB .
Propriété d’isométrie : Pour tous bons processus ϕ, θ et tout
s, t ≥ 0, on a
E [Is (ϕ)It (θ)] = E
Le processus
0
It (θ)It (ϕ) −
est une (FtB )-martingale.
7
0
s∧t
θu ϕu du .
t
θu ϕu du
Proposition 1.2 Pour tout t ≥ 0 on a
t
1 2
Bs dBs = (Bt − t).
2
0
8
Il est possible de définir It (θ) sous la seule condition
t
θs2 ds < +∞ p.s.
0
Cependant, t → It (θ) n’est plus nécessairement une martingale.
Définition 1.3 Soit {Ft , t ≥ 0} une filtration et {Xt , t ≥ 0} un
processus (Ft )-adapté. On dit que X est une (Ft )-martingale
locale s’il existe une suite {τn , n ≥ 0} de (Ft )-temps d’arrêt telle
que
P [τn → +∞] = 1
et le processus X n : t → Xt∧τn est une martingale pour tout n ≥ 0.
Définition 1.4 On dit que {θt , t ≥ 0} est un bon processus local
s’il est càglàd, (FtB )-adapté, et si
t
θs2 ds < +∞ p.s.
0
9
pour tout t > 0.
Soit θ un bon processus local. On peut définir It (θ) pour tout
t > 0, qui est une martingale locale. De même, en prenant la même
suite de temps d’arrêt, on montre que le processus
t
θs2 ds
It (θ)2 −
0
est une martingale locale.
10
1.3
Le crochet
Définition 1.5 Si Z est une martingale locale continue , < Z >
est l’unique processus croissant continu (Ft )-adapté tel que
t → Zt2 − < Z >t soit une (Ft )-martingale locale.
Par polarité, on peut définir le crochet de deux (Ft )-martingales
locales M et N en écrivant
< M, N >t =
1
(< M + N >t − < M >t − < N >t ) .
2
Le crochet < M, N > est aussi l’unique processus à variation finie
tel que le processus M N − < M, N > soit une martingale locale.
11
Enfin, la proposition suivante donne enfin de < M, N > une
importante construction trajectorielle :
Proposition 1.6 Soient M et N deux martingales locales
continues. Alors p.s. pour tout t ≥ 0,
< M, N >t =
lim
n→+∞
n
2
(Mtni − Mtni−1 )(Ntni − Ntni−1 )
i=1
où {tni , i = 0 . . . 2n } désigne la subdivision régulière sur [0, t].
< I(θ) >t =
0
t
θs2
ds
et
< I(θ), I(ϕ) >t =
0
t
θs ϕs ds.
On dit que deux martingales continues sont orthogonales si leur
crochet est nul, c’est-à-dire si leur produit est une martingale. Par
exemple, deux Browniens indépendants sont des martingales
orthogonales.
12
2
Cas particulier: Intégrale de Wiener
13
2.1
Définition
On note L2 (IR+ ) l’ensemble des (classes d’équivalence des)
fonctions boréliennes f de IR+ dans IR de carré intégrable,
+∞
2
c’est-à-dire telles que 0 |f (s)| ds < ∞.
C’est un espace de Hilbert pour la norme
∞
1/2
f 2 (s) ds
.
||f ||2 =
0
14
2.1.1
a. Fonctions en escalier
+∞
f (s)dBs = B(v) − B(u).
i=n
Soit f une fonction en escalier, f (s) = i=1 fi−1 11]ti ;ti+1 ] (s) on
Pour f = 11]u,v] , on pose
pose
0
0
+∞
f (s)dBs =
i=n
fi−1 (B(ti ) − B(ti−1 )) .
i=1
def
La variable aléatoire I(f ) =
+∞
f (s)dBs est une variable
+∞ 2
gaussienne d’espérance nulle et de variance 0 f (s)ds.
0
L’intégrale est linéaire : I(f + g) = I(f ) + I(g). Si f et g sont des
fonctions en escalier E(I(f ) I(g)) = R+ f (s) g(s) ds. Le processus I
est un processus gaussien, c’est une martingale.
15
2.1.2
b. Cas général
Si f ∈ L2 (IR+ ), il existe une suite fn de fonctions en escalier qui
converge (dans L2 (IR+ )) vers f , c’est-à-dire qui vérifie
∞
|fn − f |2 (x) dx →n→∞ 0.
0
Dans ce cas, la suite fn est de Cauchy dans L2 (IR+ ). La suite de
∞
v.a. Fn = 0 fn (s) dBs est une suite de Cauchy dans l’espace de
Hilbert L2 (Ω) (en effet ||Fn − Fm ||2 = ||fn − fm ||2 →n,m→∞ 0),
donc elle est convergente. On pose
∞
∞
def
f (s) dBs = lim
fn (s) dBs
I(f ) =
n→∞
0
0
la limite étant prise dans L2 (Ω).
On dit que I(f ) est l’intégrale stochastique (ou intégrale de
Wiener) de f par rapport à B.
16
2
Le sous-espace de L (Ω) formé par les v.a.
∞
0
f (s)dBs coı̈ncide
avec l’espace gaussien engendré par le mouvement Brownien.
17
2.2
Propriétés
• L’application f → I(f ) est linéaire
I(f + g) = I(f ) + I(g)
et isométrique de L2 (IR+ ) dans L2 (Ω)
f (s)g(s) ds.
E (I(f ) I(g)) =
IR+
• La variable I(f ) est une v.a. gaussienne centrée de variance
2
f
(s)ds appartenant à l’espace gaussien engendré par
+
IR
(Bt , t ≥ 0) et elle vérifie pour tout t
t
f (s)dBs =
f (s)ds .
E Bt
IR+
0
La propriété (2.1) est en fait une caractérisation de l’intégrale
18
(2.1)
stochastique au sens où si pour tout t, E(ZBt ) =
∞
Z=
f (s)dBs .
0
19
t
0
f (s)ds, alors
2.3
Processus lié à l’intégrale stochastique
t
De la même façon on définit 0 f (s)dBs pour f telle que
T
|f (s)|2 ds < ∞, ∀T , ce qui permet de définir l’intégrale
0
stochastique pour une classe plus grande de fonctions. On notera
L2loc cette classe de fonctions.
20
Théorème 2.1 Soit f ∈
L2loc
et Mt =
t
0
f (s)dBs .
a) Le processus M est une martingale continue, la v.a. Mt est
t 2
d’espérance 0 et de variance 0 f (s) ds.
b) Le processus M est un processus gaussien centré de
t∧s 2
covariance 0 f (u) du à accroissements indépendants.
t 2
2
c) Le processus (Mt − 0 f (s) ds , t ≥ 0) est une martingale.
d) Si f et g sont dans L2loc , on a
t∧s
t
s
E( 0 f (u)dBu 0 g(u)dBu ) =
f (u)g(u)du .
0
21
2.4
Intégration par parties
Théorème 2.2 Si f est une fonction de classe C 1 ,
t
t
f (s) dBs = f (t)B(t) −
f (s)Bs ds.
0
0
On peut aussi écrire cette formule
d(Bt f (t)) = f (t)dBt + Bt f (t)dt .
22
3
Exemples
23
3.1
Processus d’Ornstein-Uhlenbeck
Théorème 3.1 L’équation de Langevin
t
Vt = −
aVs ds + σBt + V0 ,
(3.1)
0
a pour unique solution
Vt = e−ta V0 +
t
0
e−(t−s)a σdBs .
(3.2)
On écrit l’équation (3.1) sous forme condensée
dVt + aVt dt = σdBt ,
V0 donné
les données du problème sont la variable aléatoire V0 , le Brownien
B et les constantes a et σ.
24
Proposition 3.2 Le processus V , appellé processus
d’Ornstein-Uhlenbeck est gaussien d’espérance et de covariance
E(Vt ) = e−ta V,
cov[Vs , Vt ] =
0
s
e−(s−u)a σ 2 e−(t−u)a du , s ≤ t
En particulier, si V0 est une constante (v = 0)
σ 2 −a(s+t) 2as
cov[Vs , Vt ] =
(e − 1)
e
2a
σ2
et Var(Vt ) =
(1 − exp −2at).
2a
25
En écrivant
Vs
Vs e(s−t)a
−sa
= e
V0 +
= e−ta V0 +
s
0
s
0
e−(s−u)a σdBu
e−(t−u)a σdBu
on en déduit, pour s ≤ t
−(t−s)a
Vt = Vs e
t
+
e−(t−u)a σdBu
s
ou encore
−ta
Vt+s = Vs e
+
0
t
u
e−(t−u)a σdB
défini par B
u = Bs+u − Bs est un MB
où le processus B
indépendant de Fs (donc de Vs ).
26
En particulier
E(f (Vt+s )|Fs ) = E(f (Vs e−ta + Y )|Fs ) = E(f (Vt+s )|Vs ) (dans cette
égalité Y est une v.a. indépendante de Fs ) ce qui établit le
caractère markovien de V .
Le calcul explicite peut se faire en utilisant que
E(f (Vs(x) e−ta + Y )|Fs ) = Ψ(Vs(x) )
(y)
avec Ψ(y) = E(f (ye−ta + Y )) = E(f (Vt
de l’équation de valeur initiale x, soit
t −(t−s)a
(x)
−ta
σdBs .
Vt = e x + 0 e
27
)) où V (x) est la solution
Proposition 3.3 La variable aléatoire
−at
0
t
Vs ds est une v.a.
et de variance
gaussienne, de moyenne V0 1−ea
σ2
σ2
1 − e−at
−at 2
− 3 (1 − e ) + 2 (t −
).
2a
a
a
28
3.2
Modèle de Vasicek
drt = a(b − rt )dt + σdBt .
La forme explicite de la solution est
rt = (r0 − b)e−at + b + σ
0
t
e−a(t−u) dBu .
L’égalité
rt = (rs − b)e−a(t−s) + b + σ
s
établit le caractère Markovien de r.
29
t
e−a(t−u) dBu , s ≤ t
(3.3)
• Si r0 est une constante, rt est une variable gaussienne de
−at
moyenne (r0 − b)e
+ b, et de variance
σ2
2a (1
− exp −2at).
• En particulier, ce n’est pas une variable positive.
• Le processus r est gaussien de covariance
Cov(rs , rt ) =
σ 2 −a(s+t) 2as
(e
2a e
− 1) pour s ≤ t.
30
Proposition 3.4 Pour tout s < t, l’espérance et le variance
conditionnelle de r sont
(rs − b)e−a(t−s) + b
σ2
vars (rt ) =
(1 − e−2a(t−s) )
2a
t
Proposition 3.5 La variable 0 rs ds est une variable gaussienne
E(rt |rs )
=
de moyenne
t
1 − e−at
rs ds) = bt + (r0 − b)
E(
a
0
σ2
1 − e−at
σ2
−at 2
et de variance − 3 (1 − e ) + 2 (t −
).
2a
a
a
31
On en déduit
E(exp −
s
t
1
ru du |Fs ) = exp(−M (t, s) + V (t, s)) .
2
32
Ces calculs sont utiles pour valoriser des zéro-coupons en finance :
si B(t, T ) est la valeur d’un ZC de maturité T , on a
T
B(t, T ) = E(exp −
ru du |Ft )
t
et
B(t, T )
=
1 − e−a(T −t)
exp b(T − t) + (rt − b)
a
2
2
−a(T −t)
σ
1−e
σ
−a(T −t) 2
) + 2 (T − t −
− 3 (1 − e
4a
2a
a
33
)
4
Processus d’Itô
Ce sont des processus écrits sous la forme
t
t
bs ds +
σs dBs
Xt = x +
0
(4.1)
0
où b est un processus FB
t -adapté tel que
t
|bs | ds < +∞ p.s.
0
pour tout t ≥ 0, et σ un bon processus local. On utilise la notation
formelle
dXt
X0
= bt dt + σt dBt
= x.
34
Le coefficient b s’appelle la dérive (ou le drift) du processus, et σ
son coefficient de diffusion.
35
Le processus
t → x +
0
t
bs ds
est la partie à variation finie de X, et le processus
t
σs dBs
t →
0
la partie martingale de X (c’est a priori une martingale locale). La
décomposition (4.1) du processus X est unique, au sens où si X
admet une autre décomposition
t
t
σ̃s dBs ,
Xt = x +
b̃s ds +
0
0
alors b ≡ b̃ et σ ≡ σ̃. En particulier, X sous la forme (4.1) est une
martingale locale si et seulement si b ≡ 0.
36
En fait, cette représentation des martingales locales dans une
filtration Brownienne est caractéristique, indépendamment de ce
que le processus soit a priori un processus d’Itô :
Théorème 4.1 [Théorème de représentation des
martingales locales] Soit B un mouvement brownien et M une
FtB -martingale locale continue. Alors il existe x ∈ IR et θ bon
processus local tel que
Mt = x +
0
t
θs dBs .
Ce théorème est extrémement important en Finance (marché
complet).
37
Si X 1 et X 2 sont deux processus d’Itô de décomposition
t
t
bis ds +
σsi dBs
Xti = x +
0
0
pour i = 1, 2, leur crochet est par définition le crochet de leurs
parties martingales. Autrement dit
1
2
1
2
< X , X > = < I(σ ), I(σ ) >=
0
38
t
σs1 σs2 ds.
5
Formule d’Itô
On se donne un processus d’Itô réel X de décomposition (4.1) et
une fonction f : IR → IR suffisamment régulière.
Théorème 5.1 [Première formule d’Itô] Supposons f de classe
C 2 . Alors
f (Xt ) = f (x) +
0
t
1
f (Xs )dXs +
2
0
t
f (Xs )σs2 ds.
Si f est à dérivées bornées, et σ borné, le processus
t 1 t f (Xt ) − 0 f (Xs )bs ds − 2 0 f (Xs )σs2 ds est une martingale.
Cette formule s’écrit sous forme condensée
df (Xt )
1
= f (Xt )dXt + f (Xt )σt2 dt
2
39
1
f (Xt )bt + f (Xt ) σt2 dt + f (Xt )σt dBt
2
1 = f (Xt )bt dt + f (Xt ) d
Xt + f (Xt )σt dBt .
2
=
On utilise souvent la notation
1
df (Xt ) = f (Xt )dXt + f (Xt )dXt · dXt
2
avec la table de multiplication
dt
dBt
dt
0
0
dBt
0
dt
40
En particulier, t → f (Xt ) est un processus d’Itô de dérive
t
1
f (Xs )bs + f (Xs )σs2 ds
2
0
et de partie martingale
0
t
f (Xs )σs dBs .
Quand les dérivées sont bornées, l’intégrale stochastique
apparaissant dans la formule est une vraie martingale, et on en
déduit :
1
E f (Xs )bs + f (Xs )σs2 ds
E [f (Xt )] = E [f (X0 )] +
2
0
t 1
f (Xu )bu + f (Xu )σu2 du FsB
E f (Xt ) | FsB
= f (Xs ) + E
2
s
41
t
Théorème 5.2 [Deuxième formule d’Itô] Soit f une fonction
définie sur IR+ × IR de classe C 1 par rapport à t, de classe C 2 par
rapport à x. On a
t
t
t
1
ft (s, Xs )ds+
fx (s, Xs )dXs +
fxx
(s, Xs )σs2 ds.
f (t, Xt ) = f (0, X0 )+
2 0
0
0
On peut écrire cette formule sous forme différentielle :
1 ft (t, Xt ) + fxx
(t, Xt )σt2 dt + fx (t, Xt )dXt
df (t, Xt ) =
2
1 = ft (t, Xt )dt + fx (t, Xt )dXt + fxx (t, Xt )d
Xt .
2
1
(t, Xt )σt2 dt
=
ft (t, Xt ) + fx (t, Xt )bt + fxx
2
+fx (t, Xt )σt dBt
42
Exemple fondamental: Le mouvement brownien géométrique,
ou processus log-normal est défini par l’équation
t
t
Xs ds + σ
Xs dBs
Xt = x + µ
0
0
avec µ, σ ∈ IR. On montre que
2
Xt = x exp µt + σBt − σ t/2 .
Dans le cas où µ et σ sont des fonctions déterministes :
t
t
µ(s)Xs ds +
σ(s)Xs dBs
Xt = x +
0
Xt = X0 exp −
0
t
µ(s)ds +
0
0
43
t
1
σ(s)ds −
2
0
t
σ 2 (s)ds .
Théorème 5.3 [Troisième formule d’Itô] Soient X 1 et X 2
deux processus d’Itô issus de x1 (resp. de x2 ) de coefficient de
dérive b1 (resp. b2 ), de coefficient de diffusion σ 1 (resp. σ 2 ) et
portés respectivement par deux Browniens B 1 et B 2 corrélés avec
i
i
coefficient ρ. On suppose que b , σ sont
Bi
Ft -adaptés.
Soit f une
fonction de IR2 dans IR de classe C 2 à dérivées bornées. On a
t
t
f1 (Xs1 , Xs2 ) dXs1 +
f2 (Xs1 , Xs2 ) dXs2
f (Xt1 , Xt2 ) = f (x1 , x2 ) +
0
1
+
2
t
0
f11
(Xs1 , Xs2 )
0
1 2
2 2 1
2 1 2
1
2
ds
σs + 2 ρ f12 (Xs , Xs )σs σs + f22 (Xs , Xs ) σs
où fi désigne la dérivée par rapport à xi et fij
la dérivée seconde
par rapport à xj puis xi , i, j = 1, 2.
44
Proposition 5.4 [Formule d’intégration par parties]
t
t
t
Xs1 dXs2 +
Xs2 dXs1 + ρ
σs1 σs2 ds.
Xt1 Xt2 = x1 x2 +
0
0
0
d(X 1 X 2 )t = Xt1 dXt2 + Xt2 dXt1 + d
X 1 , X 2 t .
45
6
Formule de Black & Scholes
On considère un marché financier comportant un actif dit sans
risque de taux constant r et de prix St0 = ert et un actif risqué dont
le prix S vérifie
dSt = b St dt + σ St dBt
soit
2
St = S0 exp σBt + (b − σ /2)t
On fixe un horizon T > 0 et on souhaite donner le prix d’un actif
financier qui versera h(ST ) à la date T .
Le cas d’un call Européen de maturité T et de strike K
correspond au cas h(x) = (x − K)+ .
46
On procède par duplication (hedging): on forme un portefeuille
constitué d’ α parts de l’actif sans risque (le montant de la richesse
investie dans cet actif est αert ) et de βt parts de l’actif risqué.
On va trouver un portefeuille auto-financant de valeur terminale
h(ST ). La valeur de ce portefeuille à la date t est
Vt = αt St0 + βt St .
La condition d’auto-financement se formalise par
dVt = αt dSt0 + βt dSt ;
soit
dVt = rVt dt + βt St ((b − r)dt + σdBt )
47
On suppose que la valeur du portefeuille à la date t est une fonction
déterministe du temps et de la valeur de l’actif risqué, soit V (t, St ).
En utilisant la deuxième formule d’Itô, on calcule
∂V
∂V
σ 2 St2 ∂ 2 V
(t, St ) dt
(t, St ) + b St
(t, St ) +
dVt =
∂t
∂x
2 ∂x2
∂V
+
σSt
(t, St ) dBt .
∂x
En identifiant avec la condition d’auto-financement,
∂V
(t, St )
σβt St = σSt
∂x
∂V
(t, St ),
soit βt =
∂x
ce qui entraı̂ne alors
∂V
∂V
σ 2 St2 ∂ 2 V
(t, St ) − rV (t, St ) = 0
(t, St ) +
(t, St ) +
rSt
∂x
∂t
2 ∂x2
avec pour condition terminale V (T, ST ) = h(ST ).
48
Comme St est une v.a. qui peut prendre toutes les valeurs de IR+ ,
on en déduit que V satisfait l’EDP
rx ∂V
∂x (t, x) +
∂V
∂t
(t, x) +
1 2 2 ∂2V
2 σ x ∂2x
(t, x) − rV (t, x) = 0
(6.1)
avec pour condition terminale V (T, x) = h(x).
Dans le cas d’un call européen h(x) = (x − K)+ , et pour σ > 0,
cette équation se résout alors en :
V (t, x) = xN (d1 ) − Ke−r(T −t) N (d2 )
49
où N est la fonction de répartition d’une v.a. gaussienne standard :
x
1
−u2 /2
√
e
du,
N (x) =
2π −∞
et avec les notations
1
1
√
ln xer(T −t) /K + σ 2 (T − t)
d1 =
2
2σ T − t
et
√
d2 = d1 −σ T − t.
La quantité
∂C
(t, St ) = N (d1 )
∂x
qui représente la couverture du marché, soit le nombre de parts de
l’actif sous jacent utilisées pour répliquer l’option s’appelle le Delta
de l ’option et représente aussi la sensibilité du prix de l option par
rapport au prix du sous jacent.
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Comme conséquence de la formule d’Itô appliquée aux EDS, on
verra plus tard une formule probabiliste pour le prix du call :
C(t, St ) = er(t−T ) E (ST − K)+ | Ft
lorsque le S a pour dynamique
dSt = rSt dt + σ St dBt .
Cette interprétation est fondamentale en Finance, et fait
intervenir un changement de probabilité.
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