Le polynôme charactéristique • Dé nition. Soit A∈Rn×n. Le

Le polynôme charactéristique
def:
Dénition. Soit A 2 Rnn. Le polynôme char(A) = det(X1n ¡ A) 2 R[X] est appellé
polynôme charactéristique de A.
Remarque. deg(char(A)) 6 n
Notation. Soit A 2 Rnn et I ; J f1; :::; ng. La matrice AI ^J est obtenue de A en
eaçant les lignes Ai avec i 2 I et les colonnes A j avec j 2 J.
Théorème. (Gabriel) Soit A 2 Rnn . On a
char(A) =X n + 1X n¡1 +2X n¡2 + + n¡1X + n
où p = (¡1) p
P
I f1;:::;ng
jI j=n¡p
det AI ^I
def: Pn
i=1
Dénition. La quantité tr(A) =
Aii est appellée trace de A.
Remarque. On a
1 = ¡tr(A)
n = (¡1)n det(A)
Caley-Hamilton: un théorème invraisemblable?
Dénition. Soient P := X n +c1X n¡1 + + cn¡1X + cn 2R[X] un polynôme réel et
A 2 Rnn une matrice. L'évaluation P^(A) de P en A est la somme
An +c1An¡1 + + cn¡1A + cn1n
On appelle une telle somme polynôme matriciel.
Théorème. (Caley-Hamilton) char(A) (A) = 0n.
????????????
Caley-Hamilton: application
En pratique on peut se servir de Caley-Hamilton pour calculer de manière ecace des
puissances de matrices. Soit
0
1
1 ¡1
0
A=@ ¡1
2 ¡1 A
0 ¡1
1
On a rg(A) =2 (Quiz: pourquoi?), donc det(A) = 0 (Quiz: pourquoi?).
Du coup le polynôme charactéristique de A est
char(A) =X 3 +1X 2 +2X + 3
avec
1 = ¡tr(A)
= ¡4
3 = ¡det(A)
= 0
On a d'autre part
2 = (¡1)2
X
det AI ^I
I f1;:::;3g
jI j=1
X
I =f1g;f2g;f3g
= det
= 3
Du coup A3 ¡ 4A2 + 3A = 0 ,
det AI ^I
I f1;:::;3g
jI j=3 ¡2
=
=
X
2 ¡1
¡1
1
det AI ^I
1 0
1 ¡1
+ det
+ det
0 1
0
1
0
1
5 ¡9
4
A3 = (4A ¡31)A= @ ¡9 18 ¡9 A
4 ¡9
5
Il est à noter que nous avons eectué une multiplication matricielle au lieu de trois... Cette
technique a sa pertinence lorsque n est susament grand.