Ellipsoïde de John-Lœwner

Sandrine C ARUSO
Ellipsoïde de John-Lœwner
Références : Francinou - Gianella - Nicolas, Oraux X-ENS, algèbre 3
Alessandri
Théorème. Soit K un compact d’intérieur non vide de Rn . Il existe un unique ellipsoïde
de volume minimal contenant K.
Existence. Un ellipsoïde est défini par {x ∈ Rn , q(x) 6 1}, où q est une forme quadratique définie positive. Notons Q l’ensemble des formes quadratiques, Q+ l’ensemble
des formes quadratiques positives, Q++ l’ensemble des formes quadratiques définies
positives. Pour q ∈ Q++ , on note Eq = {x ∈ Rn ,P
q(x) 6 1} l’ellipsoïde associée. Dans
une base orthonormée adaptée, q s’écrit q(x) = ni=1 ai x2i avec ai > 0. Le volume de
Eq se calcule alors ainsi :
ZZ
Z
vol(Eq ) =
··· P
dx1 · · · dxn .
ai x2i 61
√
Faisons le changement de variable yi = ai xi (qui définit bien un C 1 -difféomorphisme).
Le jacobien de ce difféomorphisme est √a11···an . Notons D(q) = a1 · · · an . Le changement de variable donne alors
ZZ
Z
V0
1
p
dy1 · · · dyn = p
vol(Eq ) =
··· P
D(q)
D(q)
yi2 61
où V0 est le volume de la boule unité de Rn . Notre problème se ramène donc à maximiser
D(q) pour les q ∈ Q++ telles que ∀x ∈ K, q(x) 6 1. Pour cela, nous allons en fait
maximiser D(q) sur un ensemble un peu plus grand : soit
A = {q ∈ Q+ , ∀x ∈ K, q(x) 6 1}.
On munit Q de la norme N (q) = sup||x||61 |q(x)|. Montrons que A est un compact
convexe et non vide de Q (la convexité ne sera utile que dans la partie unicité). Comme
Q est un R-espace normé de dimension finie, pour montrer que A est compact, il suffit
de montrer qu’il est fermé et borné.
(convexe) Soient q, q 0 ∈ A et t ∈ [0, 1]. Pour tout x ∈ Rn , (tq + (1 − t)q 0 )(x) =
tq(x)+(1−t)q 0 (x) > 0 et pour tout x ∈ K, (tq +(1−t)q 0 )(x) = tq(x)+(1−t)q 0 (x) 6
t + (1 − t) = 1, donc tq + (1 − t)q 0 ∈ A.
(fermé) Soit (qn ) une suite d’éléments de A qui converge vers q ∈ Q. Pour tout x ∈ Rn ,
on a ||q(x) − qn (x)|| 6 N (q − qn ) ||x|| donc (qn (x)) tend vers q(x). En particulier,
q(x) = lim qn (x) > 0, et si x ∈ K, q(x) = lim qn (x) 6 1.
1
(borné) Comme K est d’intérieur non vide, si a ∈ K, il existe r > 0 tel que B̄(a, r) ⊂
K. Soit q ∈ A. Pour tout x tel que ||x|| 6 r, a + x ∈ K et par conséquent q(x + a) 6 1.
Par ailleurs, q(−a) = q(a) 6 1. On a donc, en utilisant l’inégalité de Minkowski,
p
p
p
p
q(x) = q(x + a − a) 6 q(x + a) + q(−a) 6 2,
et ainsi q(x) 6 4. Si, maintenant, on considère x tel que ||x|| 6 1, on a q(x) =
1
q(rx) 6 r42 d’après ce qui précède, et donc N (q) 6 r42 . Donc A est borné.
r2
(non vide) Le compact K est en particulier borné. Soit M tel que ∀x ∈ K, ||x|| 6 M .
2
Considérons q1 (x) = ||x||
; c’est une forme quadratique définie positive, et pour tout
M2
x ∈ K, q1 (x) 6 1 par construction. Donc q1 ∈ A.
L’application continue D atteint un maximum q0 sur le compact A. De plus, comme
la forme quadratique q1 définie ci-dessus est dans A et qu’elle est définie positive,
D(q0 ) > D(q1 ) > 0, et ainsi q0 est également définie positive. Ceci conclut la partie existence : l’ellipsoïde Eq0 convient.
Unicité.
Nous allons avoir besoin du lemme suivant :
Lemme. Soient A et B deux matrices symétriques définies positives, et α ∈ [0, 1]. Alors
det(αA + (1 − α)B) > (det A)α (det B)1−α .
De plus, si α ∈]0, 1[ et A 6= B, l’inégalité est stricte.
Démonstration. Par le théorème de réduction simultanée, il existe P ∈ GLn (R) et
D diagonale telles que A = P tP et B = P D tP . De plus, comme B est définie
positive, les coefficients de D, que l’on note λ1 , . . . , λn , sont strictement positifs. On
a det(αA + (1 − α)B) = (det P )2 det(αIn + (1 − α)D) et (det A)α (det B)1−α =
(det P )2 (det D)1−α , on est donc ramené au cas où A = In et B = D, car (det P )2 est
strictement positif. On a
n
Y
det(αIn + (1 − α)D) =
(α + (1 − α)λi )
i=1
d’une part, et d’autre part,
1−α
(det D)
=
n
Y
λ1−α
.
i
i=1
La fonction logarithme est strictement concave, donc pour tout
Pn i, ln(α + (1 − α)λi ) >
α
ln
1
+
(1
−
α)
ln(λ
)
=
(1
−
α)
ln(λ
).
On
en
déduit
que
i
i
i=1 ln(α + (1 − α)λi ) >
Pn
i=1 (1 − α) ln(λi ), puis en passant à l’exponentielle, l’inégalité recherchée. De plus,
si α ∈]0, 1[ et A 6= B, l’un des λi est différent de 1, et par stricte concavité de ln,
l’inégalité est stricte.
2
Revenons à la démonstration du théorème. Supposons par l’absurde qu’il existe une
forme quadratique définie positive q 6= q0 tel que D(q) = D(q0 ). Soient S et S0 des
matrices symétriques définies positives représentant respectivement q et q0 dans une
base orthonormée. Comme A est convexe, 21 (q + q0 ) ∈ A, et on a
1
1
1
1
D( (q + q0 )) = det( (S + S0 )) > (det S0 ) 2 (det S) 2 = det S0 = D(q0 ),
2
2
ce qui est absurde par maximalité de D(q0 ).
3