Comatrice et matrice inverse.

Comatrice et matrice inverse.

Dénition 1.
Soit
A ∈ Mn,n (K),
a1,1
 ..
 .

A=
 ai,1
 .
 ..
an,1
···
a1,j
···
a1,n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
···
ai,j
···
.
.
.
.
.
.
.
.
.
···
an,j
est le déterminant obtenu en remplaçant la j-ème colonne de
i-ème ligne où l'on place
···
A par




ai,n 
,
. 
. 
.
an,n
(i, j)
le cofacteur-
···
a1,j−1
0
a1,j+1
···
···
···
···
ai−1,j−1
ai,j−1
ai+1,j−1
0
1
0
ai−1,j+1
ai,j+1 · · ·
ai+1,j+1
···
···
···
an,j−1
0
an,j+1
···
..
.
..
.
..
.
..
.
A
noté
une colonne ne contenant que des
Cofi,j (A)
0
sauf à la
1.
En développant ce déterminant par rapport à la j-ème colonne on obtient :
a1,1
..
.
ai−1,1
ai,1
ai+1,1
.
..
an,1
de
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
a1,n a1,1
.. ..
. .
ai−1,n a
ai,n = (−1)i+j i−1,1
ai+1,1
ai+1,n .
..
.. . an,1
an,n
Cofi,j (A) =
···
a1,j−1
a1,j+1
···
···
···
ai−1,j−1
ai+1,j−1
ai−1,j+1
ai+1,j+1
···
···
···
an,j−1
an,j+1
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
a1,n .. . ai−1,n ai+1,n .. . an,n ..
.
..
.
Le déterminant de droite n'ayant plus que n − 1 lignes et n − 1 colonnes.
a1,1
 .. 
..
 . 
.
 


Pour un vecteur colonne X =  xi  considérons le déterminant Dj (X) = ai,1
 . 
.
..
 .. 
an,1
xn

x1

la linéarité par
rapport à la j-ème colonne donne :
···
a1,j−1
x1
a1,j+1
···
ai,j−1
xi
ai,j+1 · · ·
..
.
..
.
···
an,j−1
xn
an,j+1
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
a1,1 · · · a1,j−1 1
a1,1 · · · a1,j−1 0
a1,j+1
· · · a1,n a1,j+1
..
..
..
..
..
..
..
.. ..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
ai,n +· · ·+xi . ai,1 · · · ai,j−1 1 ai,j+1 · · ·
Dj (X) = x1 . ai,1 · · · ai,j−1 0 ai,j+1 · · ·
.
.
..
..
..
..
..
.. ..
..
..
..
..
..
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
an,1 · · · an,j−1 0
an,1 · · · an,j−1 0
an,j+1
· · · an,n an,j+1
... a1,1 · · · a1,j−1 0
a1,j+1
· · · a1,n ..
..
..
..
..
..
.. .
.
.
.
.
.
. ai,n = x1 .Cof1,j + · · · + xi .Cofi,j + · · · + xn .Cofn,j
+xn . ai,1 · · · ai,j−1 0 ai,j+1 · · ·
.
.
.
.
.
.
.. ..
..
..
..
..
..
. an,1 · · · an,j−1 1
an,j+1
· · · an,n Soit donc :
Dj (X) =
n
X
xi .Cofi,j
···
..
.
..
.
···
(1)
i=0
Maintenant,
a1,1 · · ·
..
..
.
.
• Si l'on prend pour X la j-ème colonne de A on a : Dj (X) = ai,1 · · ·
.
..
..
.
an,1 · · ·
n
n
P
P
Or dans ce cas d'après (1), Dj (X) =
ai,j .Cofi,j donc :
ai,j .Cofi,j
i=0
i=0
a1,j
···
ai,j
···
an,j
···
..
.
..
.
..
.
..
.
= det(A)
a1,n .. . ai,n = det(A)
.. . an,n (2)
···
..
.
a1,n .. . ai,n ,
.. . an,n a1,n .. . ai,n +
.. . an,n • Si l'on prend
pour X
a1,1 · · ·
..
..
.
.
Dj (X) = ai,1 · · ·
.
..
..
.
an,1 · · ·
la k-ème colonne de A, avec k 6= j , celle-ci apparaîtra deux fois dans Dj (X) et :
a1,k
···
a1,k
···
ai,k
···
ai,k
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
···
an,k
an,k
..
.
..
.
···
a1,n .. . ai,n = 0 mais alors d'après (1) :
.. . an,n n
P
ai,k .Cofi,j = 0
(3)
i=0
On va interpréter (2) et (3) en termes de produit de matrices, dénissons d'abord la comatrice de A :
Dénition 2.
On appelle comatrice de A et on note
Com(A)
la transposée de la matrice des cofacteurs de
A
pécisément :

c1,1
 ..
 .

Com(A) = 
 cj,1
 .
 ..
cn,1
···
c1,i
···
c1,n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
···
cj,i
···
.
.
.
.
.
.
.
.
.
···
cn,i
···
• (2) donne alors :
n
P




cj,n 

. 
. 
.
cn,n
avec
cj,i = Cofi,j (A)
ai,j .cj,i = det(A) donc
i=0
• (3) donne :
n
P
i=0
cj,i .ai,k =
n
P
i=0
n
P
i=0
ai,k .cj,i = 0 pour tout couple d'entiers (j, k) avec j 6= k , j ∈ J1; nK et k ∈ J1; nK.
On peut regrouper les deux cas en écrivant :
(j, k) du produit Com(A).A on a :
cj,i .ai,j . = det(A) pour tout entier j ∈ J1; nK
n
P
i=0
cj,i .ai,k = δjk det(A) et comme
Com(A).A = det(A).Id(n,n) et si : det(A) 6= 0 on a : A−1 =
n
P
cj,i .ai,k est le terme d'indices
i=0
1
.Com(A)
det(A)