Réflexion et transmission par un système plan

Electromagnétisme, TD n◦8, corrigé
Réflexion et transmission par un système plan
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1.1
Système à deux interfaces
Calcul de ρ et τ . Traitement antireflet
Champ incident : E0 ey exp[−i(kz + ωt)], k = ω/c = 2π/λ.
a) Résolution de l’équation de Helmholtz
Le champ Ei dans le milieu i (i = 1, 2 ou 3) vérifie
∆Ei + n2i
ω2
Ei = 0 ,
c2
avec ∆ = ∂ 2 /∂z 2 car les champs ne dépendent que de z.
Dans chaque milieu, la solution générale est de la forme [on omet la dépendance temporelle en
exp(−iωt)] :
Ei = E0 ey [ai exp(−ini kz) + bi exp(ini kz)] .
Il y a six coefficients (ai , bi ) à déterminer, il faut donc six conditions aux limites (CL).
On a deux CL à l’infini :
— champ incident connu dans le milieu 1 : a1 = 1
— pas de champ venant de z = −∞ dans le milieu 3 : b3 = 0.
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Par définition de ρ et τ , on a b1 = ρ et a3 = τ , donc les champs dans les différents milieux
s’écrivent :
E1 = E0 ey [exp(−ikz) + ρ exp(ikz)] exp(−iωt)
E2 = E0 ey [a exp(−in0 kz) + b exp(in0 kz)] exp(−iωt)
E3 = τ E0 ey exp(−inkz) exp(−iωt)
(1)
Il reste à écrire quatre CL, qui s’obtiennent en écrivant la continuité de Etg et Htg (ou Btg car
les milieux sont non magnétiques) aux interfaces z = 0 et z = −d. Le champ électrique étant
polarisé selon ey , on a Ei = Ei ey et écrire la continuité de Etg revient à écrire directement celle
de Ei .
En ce qui concerne Btg , on a pour chaque milieu rotEi = iωBi , et Ei = Ei (z)ey , d’où finalement
dEi
dEi
dz ex = iωBi . Ecrire la continuité de Btg revient donc à écrire la continuité de dz .
En écrivant les relations de continuité à partir des expressions (??), on obtient :
1+ρ = a+b
0
a exp(in kd) + b exp(−in0 kd) = τ exp(inkd)
−1 + ρ = −n0 a + n0 b
−n0 a exp(in0 kd) + n0 b exp(−in0 kd) = −nτ exp(inkd)
(2)
La résolution du système linéaire (??) conduit aux expressions suivantes des facteurs de réflexion
et de transmission :
r12 + r23 exp(2in0 kd)
ρ=
1 − r21 r23 exp(2in0 kd)
avec rij = (ni − nj )/(ni + nj ) (facteur de réflexion à l’interface i − j en incidence normale).
τ=
t12 t23 exp(in0 kd)
exp(−inkd)
1 − r21 r23 exp(2in0 kd)
avec tij = 2ni /(ni + nj ) (facteur de transmission à l’interface i − j en incidence normale).
b) Couche antireflet
Le facteur de réflexion ρ s’annule pour r12 = −r23 exp(2in0 kd).
Deux cas sont envisageables :
1er cas : exp(2in0 kd) = 1 et r12 = −r23 . La deuxième condition conduit à n = 1 et le système
étudié est alors une lame d’indice n0 entourée de vide ou d’air. Ce cas n’est pas intéressant du
point de vue de la couche antireflet !
√
2e cas : exp(2in0 kd) = −1 et r12 = r23 . La deuxième condition conduit à n0 = n, et la première
condition implique d = (2p + 1)λ/(4n0 ), où p est un entier. Dans le cas p = 0, on a donc montré
que l’on pouvait annuler la réflexion sur le substrat d’indice n en déposant à sa surface une
√
couche d’une matériau d’indice n0 = n et d’épaisseur d = λ/(4n0 ).
Remarquons que cet antireflet n’est parfait qu’en incidence normale, et pour la longueur d’onde
λ.
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c) Calcul en termes de rayons lumineux
Le champ réfléchi s’obtient en sommant les contributions des rayons ayant subi des réflexions
multiples aux interfaces 2-3 et 2-1, sachant qu’un aller-retour dans la couche correspond à un
déphasage de φ = 2n0 kd. On obtient donc directement :
2
ρ = r12 + t12 t21 r23 exp(iφ) + t12 t21 r23
r21 exp(2iφ) + ...
2 2
= r12 + t12 t21 r23 exp(iφ)[1 + r23 r21 exp(iφ) + r23
r21 exp(2iφ) + ...]
Le terme entre crochets est une série géométrique de raison q = r23 r21 exp(iφ), vérifiant |q| < 1,
et dont la somme vaut 1/(1 − q). On obtient donc finalement :
ρ=
2 + t t )r exp(iφ)
r12 + (r12
12 21 23
.
1 − r21 r23 exp(iφ)
2 +t t
En remarquant que r12
12 21 = 1, on retrouve bien le résultat du a).
Le même travail peut être fait pour calculer le facteur de transmission τ .
1.2
Réflexion totale frustrée
a)
Le champ incident dans le verre s’écrit :
Einc = E0 ey exp(iαx − iγ1 z − iωt)
avec α = n k sin θi et γ1 = (n2 k 2 − α2 )1/2 , Re(γ1 ) > 0 et Im(γ1 ) > 0. Dans le cas d’une onde
propagative dans le verre, on a bien sûr γ1 = n k cos θi .
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Le champ transmis dans le vide (milieu 2) s’écrit :
E2 = t E0 ey exp(iαx − iγ2 z − iωt)
avec γ2 = (k 2 − α2 )1/2 , Re(γ2 ) > 0 et Im(γ2 ) > 0. Le facteur de transmission de Fresnel en
incidence oblique vaut t = 2γ1 /(γ1 + γ2 ).
Dans le cas oùpn = 1.5 et θi = 45o , on a n2 sin2 θi > 1 de sorte que γ2 est imaginaire pur, et
s’écrit γ2 = ik n2 sin2 θi − 1 = iIm(γ2 ).
Le champ dans le milieu 2 est alors de la forme :
E2 = t E0 ey exp(iαx − iωt) exp[Im(γ2 )z] , z < 0 .
Le champ transmis décroît exponentiellement dans la direction z : c’est une onde évanescente.
Le facteur de réflexion à l’interface verre-vide vaut r = (γ1 − γ2 )/(γ1 + γ2 ). Dans le cas considéré
ici, γ1 est réel et γ2 est imaginaire pur, de sorte que |r| = 1. C’est le phénomène de réflexion totale.
Toute l’énergie de l’onde incidente est réfléchie dans le verre. Cependant, le champ transmis dans
le vide n’est pas nul, mais décroît exponentiellement.
b)
Le facteur de transmission τ du système s’obtient en généralisant le résultat du 1.1.a) au cas
de l’incidence oblique. En introduisant les composantes selon Oz des vecteurs d’ondes γ1 , γ2 et
γ3 = γ1 dans chacun des trois milieux, on obtient :
τ=
t12 t23 exp(iγ2 d)
exp(−iγ3 d)
1 − r21 r23 exp(2iγ2 d)
Si θi = 45o , on a γ2 = iIm(γ2 ) et r21 = r23 = exp(iΦ) (facteurs de réflexion égaux à 1 en module).
Le facteur de transmission du système s’écrit dans ce cas :
τ=
t12 t23 exp[−Im(γ2 )d]
exp(−iγ3 d) .
1 − exp(2iΦ) exp[−2Im(γ2 )d]
c) Lorsque d croît, on a en particulier :
|τ | ' |t12 t23 | exp[−Im(γ2 )d] .
Il y a donc un champ transmis dans le milieu inférieur (verre), dont le vecteur d’onde γ3 selon
z est réel (il s’agit d’une onde propagative), et dont l’amplitude décroît très rapidement avec
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l’épaisseur d. Une partie de l’énergie incidente dans le milieu supérieur est transmise : la réflexion
à la première interface verre-vide n’est plus totale. On parle de réflexion totale frustrée.
Vous pouvez observer cet effet en portant un verre rempli d’eau à votre bouche pour y boire.
En regardant votre pouce sous le verre, vous voyez vos empreintes digitales apparaître avec un
éclat brillant du fait de la réflexion totale à l’interface verre-air. En revanche, là où la peau est
en contact avec le verre, il y a réflexion totale frustrée. Si le verre est rempli d’eau très froide, il
y a condensation sur la face externe du verre. L’eau condensée remplit les creux entre la peau et
le verre, la réflexion totale disparait et les empreintes ne sont plus visibles.
Le phénomène de réflexion totale frustrée est l’analogue optique de l’effet tunnel (on parle
d’ailleurs d’effet tunnel optique). La barrière tunnel est ici la lame d’air d’épaisseur d. Historiquement, la réflexion totale frustrée (et donc l’effet tunnel !) était déjà connue de Newton.
Fondamentalement, il y a plus qu’une analogie : l’effet tunnel est un effet purement ondulatoire.
C’est vraiment le même phénomène que l’on retrouve en optique et en mécanique quantique,
cette dernière utilisant une description ondulatoire de la matière.
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