DS 2 1ES version 2

Devoir surveillé 2 Version 2
Nom Prénom :
Capacités testées : A (acquis) ; B (en cours) ; C (non acquis)
F1_2
F1_3
F2_1
T1_3
Résoudre une équation du second degré.
Résoudre une inéquation du second degré.
Connaître les variations des fonctions x ↦ √x et x ↦
x3 et leur représentation graphique.
Connaissant deux taux d’évolution successifs,
déterminer le taux d’évolution global.
Exercice 1 : Une entreprise produit de la farine de blé, x est le nombre de tonnes de farine fabriquée avec
0 ≤ x ≤ 60. Le graphique ci-dessous
dessous donne la courbe représentant la fonction coût total et la courbe
représentant la fonction recette totale.
Le coût de production de la fabrication de x tonnes de farine, exprimé
exprimé en euros, est donné par :
f(x) = 2x² + 10x + 900.
1°) Repasser en couleur la courbe correspondant à
f.
2°)
°) Lire graphiquement les quantités de farine que
doit produire l’entreprise pour que la production
soit rentable.
La production est rentable pour un nombre de
tonnes
onnes compris entre 10 et 45 car sur cet intervalle
la recette est supérieure au coût
3°)
°) Quels sont les frais fixes de la production de
farine (les frais indépendants de la masse de farine
produite) ?
900 € (correspond à f(0))
4°) Le prix de vente d’une tonne de farine est 120€.
120
Exprimer en fonction de x, la recette journalière de
l’entreprise notée R(x).
R(x)=120x
5°)
°) On note B la fonction bénéfice associée à la
vente.
Exprimer en fonction de x, le bénéfice de
l’entreprise noté B(x) et démontrer que
B(x) = -2x² + 110x - 900.
B(x)=R(x)-C(x)
C(x) et le calcul donne l’expression de
B(x)
6°) Pour quelle(s) masse de farine le bénéfice est-il
est
positif ? Justifier par le calcul.
B(x) est un trinôme dont le coefficient a est négatif.
B(x) est positif entre les racines qui valent ici 45 et
10. On retrouve bien les valeurs lues sur le
graphique
7°)
°) Pour quelle masse de farine le bénéfice est-il
est
maximum ? Justifier.
Le bénéfice est maximum au sommet de la parabole
correspondant à B(x) soit pour B(-b/(2a))
b/(2a)) ce qui
donne une masse de farine de 27,5
7,5 tonnes
8°) Calculer ce bénéfice maximal.
B(27,5)=612.5 €
Exercice 2 : La fréquence f de vibration d’une corde de guitare (en Hertz Hz) dépend de sa tension T (en
Newton N) suivant la formule : M = 10√N. La tension doit être supérieure à 350 N pour émettre un son et
inférieure à 850 N pour ne pas casser.
1°) Tracer dans un repère correctement choisi la courbe représentative de f.
y
500 Fréquence en Hz
400
300
200
100
0
100
200
300
400
500
600
Tension en N
700
800
x
2°) A l’aide de la courbe dire si le sol2 (198 Hz) peut être joué sur cette corde. Tracer ce qu’il faut sur la courbe
pour le montrer.
On constate que la tension de la corde pour un son de 198Hz est environ de 400 N ce qui rend donc cette note
possible
3°) Montrer par le calcul cette fois que le do2 (132 Hz) ne peut pas être joué sur cette corde.
132 = 10√N d’où T=132²/100=174,24 N ce qui n’est pas suffisant pour émettre le son
4°) En utilisant le sens de variation de f, donner un encadrement des fréquences possibles des sons émis par
cette corde.
De 350<T<850 on déduit puisque la fonction racine carrée est croissante sur cet intervalle que
10√350 < 10√N < 10√850
Ce qui donne un encadrement des fréquences entre 187Hz et 291Hz environ
Exercice 3 : Une action en bourse a rapporté t% en 2011 et 2 points de plus en 2012 soit
(t + 2)%. Le bilan sur les 2 années est une hausse de 5%.
1°) En posant « c » le coefficient multiplicateur associé à une hausse de t%, démontrer que le problème est
équivalent à l’équation c²+0,02c-1,05=0.
c=(1+t/100)
La hausse globale de 5% permet donc d’écrire (1+5/100)=(1+t/100)(1+(t+2)/100) soit 1,05=c(0,02+c) et
donc c²+0,02c-1,05=0
2°) Résoudre l’équation précédente.
Le discriminant vaut 0,02²-4(-1,05)=4,2004 positif strict donc deux racines
On trouve approximativement 1,0147 et -1,0347
3°) En déduire une valeur approchée du taux de rémunération en 2011 de cette action au centième près.
Seule la racine positive répond au problème puisque le bilan est une hausse de 5% et on trouve t=1,47%
environ.