Probabilités conditionnelles - Math

Terminale STMG
Probabilités conditionnelles
1
Introduction par les fréquences en ligne et en colonne
Activité :
Dans une agence de voyage, on observe les réservations destinations suivantes :
En famille
En couple
Total
Europe
200
600
Reste du monde
50
350
Total
1. Recopier et compléter le tableau.
2. On choisit au hasard une fiche de réservation parmi l’ensemble. On admet que toutes les
fiches ont la même probabilité d’être choisies (on parle d’équiprobabilité).
On note A l’événement ”la réservation est pour une famille” et Ā l’événement contraire
de A.
On note B l’événement ”la réservation est pour l’Europe” et B̄ l’événement contraire de
B.
Calculer les probabilités P (A) et P (B).
3. (a) Sachant que la fiche de réservation est pour une famille (parmi les fiches destinées
aux familles), calculer la probabilité que la fiche de réservation destinée à l’Europe.
On note PA (B) cette probabilité.
(b) De la même manière, rédiger une phrase qui exprime les probabilités PA (B̄), PĀ (B)
et PĀ (B̄) ; puis les calculer.
(c) Recopier et compléter l’arbre suivant :
P
( ) = :::
P A
A
b
B
b
B
b
B
b
B
b
P
A (B ) = :::
P
A (B ) = :::
b
A
( ) = :::
A (B ) = :::
b
P A
P
A (B )
= :::
4. (a) Interpréter par une phrase l’événement A ∩ B. Calculer sa probabilité P (A ∩ B).
(b) Que pouvez-vous dire du produit P (A) × PA (B) ?
S.Mirbel
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Définition :
Soit une probabilité définie sur un ensemble E. Soient A et B deux événements non vides de
E. La probabilité conditionnelle de B sachant A (ou B parmi A), notée PA (B), est donnée
par :
PA (B) =
P (A ∩ B)
P (A)
(1)
ce qui équivaut à :
P (A ∩ B) = P (A) × PA (B)
2
(2)
Lecture sur l’arbre pondéré
P (A)
A
PA (B )
b
B : P (A \ B ) = P (A) PA (B )
b
B : P (A \ B ) = P (A) PA (B )
b
B : P (A \ B ) = P (A) PA (B )
b
B : P (A \ B ) = P (A) PA (B )
b
PA (B )
b
P (A)
A
PA (B )
b
PA (B )
Propriété 1 :
La somme des probabilités à chaque noeud de l’arbre est 1 :
P (A) + P (Ā) = 1
PA (B) + PA (B̄) = 1
PĀ (B) + PĀ (B̄) = 1
Propriété 2 :
La somme des probabilités des intersections au bout de l’arbre est 1 :
P (A ∩ B) + P (A ∩ B̄) + P (Ā ∩ B) + P (Ā ∩ B̄) = 1
S.Mirbel
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Exemple - exercice :
Compléter l’arbre de probabilité suivant et vérifier vos résultats des probabilités des
intersections :
P
A (B ) = 0; 4
b
B
b
B
b
B
b
B
( ) = 0; 8 A
P A
b
P
A (B ) = :::
P
A (B ) = :::
b
A
( ) = :::
: P (A \ B
) = P (A) PA (B
) = :::
: P (A \ B ) = P (A) PA (B ) = :::
b
P A
P
S.Mirbel
: P (A \ B ) = P (A) PA (B ) = :::
A (B )
= 0; 3
: P (A \ B
) = P (A) PA (B
) = :::
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3
Formule des probabilités totales :
Activité :
Dans une classe, on s’intéresse aux personnes qui pratiquent un sport suivant le sexe :
On choisit au hasard une personne de la classe et on note :
F l’événement la personne est un fille et S l’événement la personne pratique un sport.
P
F (S ) = 0 ; 3
b
B
b
S
b
S
b
S
( ) = 0; 4 F
P F
: P (F
\
S
) = P (F ) PF (S ) = 0; 12
b
P
F (S) = 0; 7
P
F (S ) = 0; 9
b
: P (F
F
( ) = 0; 6
\ ) =
S
( ) PF (S) = 0; 28
P F
: P (F \ S ) = P (A) PA (B ) = 0; 54
b
P F
P
F (S) = 0; 1
: P (F \ S) = P (F ) PF (S) = 0; 06
Calculer la probabilité de l’événement S.
Soient une probabilité P sur un événement E et A et B deux événements non vides de E.
On considère l’arbre de probabilité suivant :
P (A)
A
PA (B )
b
B : P (A \ B ) = P (A) PA (B )
b
B : P (A \ B ) = P (A) PA (B )
b
B : P (A \ B ) = P (A) PA (B )
b
B : P (A \ B ) = P (A) PA (B )
b
PA (B )
b
P (A)
A
PA (B )
b
PA (B )
Théorème :
En remarquant que B est la réunion des événements disjoints (ou incompatibles) A ∩ B,
Ā ∩ B, c’est à dire B = (A ∩ B) ∪ (Ā ∩ B), on a :
P (B) = P (A ∩ B) + P (Ā ∩ B)
S.Mirbel
(3)
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Exercice :
En reprenant l’activité, avec P (S) = 0, 66 :
P
( ) = 0; 4
P F
F (S ) = 0 ; 3
b
B
b
S
b
S
b
S
F
\
S
) = P (F ) PF (S ) = 0; 12
b
P
F (S) = 0; 7
P
F (S ) = 0; 9
b
: P (F
F
( ) = 0; 6
: P (F
\ ) =
S
( ) PF (S) = 0; 28
P F
: P (F \ S ) = P (A) PA (B ) = 0; 54
b
P F
P
F (S)
= 0; 1
: P (F \ S) = P (F ) PF (S) = 0; 06
1. Calculer de deux manières P (S̄).
2. En revenant à la définition des probabilités conditionnelles, calculer PS (F ).
3. Recopier et compléter l’arbre pondéré contraire de probabilités :
P
( ) = 0; 66S
S (F ) = :::
b
F
b
F
b
F
b
F
P S
b
P
b
S (F ) = :::
S ( ) = :::
P F
S
( ) = :::
b
P S
S ( ) = :::
P F
S.Mirbel
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