fonction valeur absolue

Fonction Valeur Absolue
Table des matières
1
fonction valeur absolue
1.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
4
1
1.1
fonction valeur absolue
activité
−5
−4
−3
−2
−1
O
I M
0
1
x
2
3
4
Le point mobile M a pour abscisse x sur la droite graduée (OI)
Compléter le tableau de valeurs suivant où d(x) = OM = distance
entre O et M :
√
√
x
−3 −2 −1 −0, 5
0
1
2
3
10 − 10
OM = d(x)
1. on pose : |x| = x si x ≥ 0, |x| = −x si x < 0 (|x| = "valeur absolue" de x)
un tableau de valeur de la fonction valeur absolue à 0, 1 près :
x
−5 −4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
5
f (x) = |x|
y
2. tableau de variations de la fonction valeur absolue :
valeur de x
...
+∞
variations de f (x) = |x|
la fonction valeur absolue : x 7−→ f (x) = |x|
est ...
sur ...
est ...
sur ...
3. tableau de signes de la fonction valeur absolue :
valeur de x
...
+∞
4
3
2
1
signe de f (x) = |x|
|x| = 0 ⇐⇒ ...
|x| > 0 ⇐⇒ ...
−5 −4 −3 −2 −1
|x| < 0 ⇐⇒ ...
|x| est ...
sur ...
4. la courbe de la fonction valeur absolue est une ...
5. extremums de la fonction valeur absolue pour x ∈ ] − ∞ ; +∞ [ :
x
0
1
2
3
4
sur ] − ∞ ; +∞ [, le minimum de la fonction valeur absolue est ...
atteint pour ...
il
est
sur ] − ∞ ; +∞ [, le maximum de la fonction valeur absolue est ...
atteint pour ...
il
est
6. équations et fonction valeur absolue
la résolution de l’équation |x| = 4 donne graphiquement : ...
la résolution de l’équation |x| = 4 donne algébriquement : ...
la résolution de l’équation |x| = −2 donne graphiquement : ...
la résolution de l’équation |x| = −2 donne algébriquement : ...
7. inéquations et fonction valeur absolue
la résolution de l’inéquation |x| < 3 donne : ...
la résolution de l’inéquation |x| > 3 donne : ...
la résolution de l’inéquation |x| < −3 donne : ...
la résolution de l’inéquation |x| > −3 donne : ...
1.2
à retenir
définition 1 : (fonction valeur absolue)
La fonction "valeur absolue" associe à tout nombre réel
x∈R
✎
|x| = x si x ≥ 0
le nombre noté |x| ("valeur absolue de x") tel que :
|x| = −x si x < 0
✍
exemples :
|6| = 6 ;
| − 6| = −(−6) = 6
;
|1 −
√
2| = −(1 −
√
2) = −1 +
√
☞
✌
2
propriété 1 : (sens de variation)
valeur de x
−∞
+∞
variations de f (x) = |x|
0
y
+∞
+∞
ց
ր
0
la fonction valeur absolue : x 7−→ f (x) = |x|
est décroissante pour x ∈ ] − ∞; 0 ]
4
est croissante pour x ∈ ] 0; +∞ ]
3
démonstration : (laissée en exercice )
2
propriété 2 : (signe)
valeur de x
variations de f (x) = |x|
−∞
+
0
0
+∞
+
1
la fonction valeur absolue est positive sur R
la fonction valeur absolue s’annule pour x = 0
x
démonstration : (laissée en exercice )
propriété 3 : (équations)
−5 −4 −3 −2 −1
Quel
que soit le réel k ∈ R

 si k > 0 alors |x| = k ⇐⇒ x = k ou x = −k (deux solutions )
si k = 0 alors |x| = 0 ⇐⇒ x = 0
(une solution )

si k < 0 alors |x| = k ⇐⇒ x ∈ {}
(aucune solution )
démonstration : (laissée en exercice )
exemples :
|x − 5| = 8 ⇐⇒ x − 5 = −8 ou x − 5 = 8 ⇐⇒ x = −3 ou x = 13
8
|2x − 8| = 0 ⇐⇒ 2x − 8 = 0 ⇐⇒ x = = 4
2
|x − 7| = −1 n’a aucune solution
propriété 4 : (inéquations)
Quel
que soit le réel k > 0
|x| < k ⇐⇒ −k < x < k
|x| > k ⇐⇒ x < −k ou x > k
démonstration : (laissée en exercice )
exemples :
|x − 5| < 8 ⇐⇒ −8 < x − 5 < 8 ⇐⇒ −3 < x < 13
|x − 5| > 8 ⇐⇒ x − 5 < −8 ou x − 5 > 8 ⇐⇒ x < −3 ou x > 13
0
1
2
3
4
1.3
exercices
exercice 1 :
1. résoudre l’équation |x − 8| = 3
2. on sait que, dans un repère orthonormé (OIJ) : A(8; 0), M (x; 0) et AM = 3
déterminer la (les) valeur(s) possible(s) pour x