Première S Tout le chapitre 2 : LA FONCTION VALEUR ABSOLUE

Première S
Tout le chapitre 2 : LA FONCTION VALEUR ABSOLUE
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SOMMAIRE
I. VALEUR ABSOLUE ........................................................................................................................................ 2
I.1. DEFINITION ................................................................................................................................................... 2
I.2. NOTATION..................................................................................................................................................... 2
I.3. EXEMPLE ...................................................................................................................................................... 2
I.4. GENERALISATION ......................................................................................................................................... 2
II. DISTANCE ENTRE DEUX REELS.............................................................................................................. 2
II.1. DEFINITION .................................................................................................................................................. 2
II.2. EXEMPLE ..................................................................................................................................................... 2
III. EQUATION |X| = |Y|...................................................................................................................................... 2
III.1. DEFINITION ................................................................................................................................................ 2
III.2. EXEMPLE .................................................................................................................................................... 3
IV. LIEN ENTRE VALEUR ABSOLUE ET RACINE CARREE ................................................................... 3
IV.1. DEFINITION ................................................................................................................................................ 3
IV.2. EXEMPLE.................................................................................................................................................... 3
V. VALEUR ABSOLUE ET OPERATIONS ..................................................................................................... 3
V.1. MULTIPLICATION ......................................................................................................................................... 3
V.2. DIVISION ...................................................................................................................................................... 3
POUR Y NON NUL,................................................................................................................................................ 3
V.3. ADDITION : ATTENTION ........................................................................................................................... 3
SI X ET Y SONT DEUX REELS ALORS : |X + Y| |X| + |Y| APPELEE INEGALITE TRIANGULAIRE ................................. 3
VI. FONCTION VALEUR ABSOLUE............................................................................................................... 4
DEFINITION : ....................................................................................................................................................... 4
PROPRIETES :....................................................................................................................................................... 4
TABLEAU DE VARIATION ..................................................................................................................................... 4
VII. LIEN ENTRE VALEUR ABSOLUE – DISTANCE - INTERVALLE .................................................... 5
EXEMPLE : ....................................................................................................................................................... 5
CAS GENERAL :............................................................................................................................................... 5
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I. VALEUR ABSOLUE
I.1. Définition
Soit x un nombre réel, on appelle valeur absolue du réel x, la distance entre le nombre x et le
nombre zéro. C’est donc toujours un nombre positif.
I.2. Notation
On note : |x|
Autrement dit : |x| = distance (0 ; x) = distance (x ; 0)
I.3. Exemple
Exemple :
|3| = distance (0 ; 3) = 3
|-4| = distance (0 ; -4) = 4
|0| = 0
I.4. Généralisation
x étant un réel,:
|x| = x si x > 0
|x| = - x si x < 0
|x| = 0 si x = 0
Propriété :
Pour tout réel x, |x| = |- x|
Exemple : |2,3| = |- 2,3| = 2,3
II. Distance entre deux réels
II.1. Définition
Soit x et y deux nombres réels, la distance entre x et y, notée d(x ; y) est égale à |x – y|.
On a d(x ; y) = |x – y| = | y – x|
II.2. Exemple
La distance entre les nombres -3,4 et 4,2 est |4,2 – (-3,4)| = |-3,4 – 4,2| = 7,6
III. Equation |x| = |y|
III.1. Définition
Soit x et y deux nombres réels, |x| = |y| ⇔ x = y ou x = -y
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III.2. Exemple
|x| = 7 ⇔ x = 7 ou x = -7
IV. Lien entre valeur absolue et racine carrée
IV.1. Définition
Soit x un réel quelconque, x² = |x|
IV.2. Exemple
8²= |8| = 8
(- 9)²= |- 9| = 9
V. Valeur absolue et opérations
x et y sont deux réels,
V.1. multiplication
|xy|= |x|× |y|
Autrement dit, la valeur absolue du produit est égale au produit des valeurs absolues.
V.2. division
Pour y non nul,
⎪x⎪ |x|
⎪y⎪ =
⎪ ⎪ |y|
Autrement dit, la valeur absolue du quotient est égale au quotient des valeurs absolues.
V.3. addition : ATTENTION
Si x et y sont deux réels alors : |x + y| |x| + |y| appelée inégalité triangulaire
Il y a égalité lorsque les réels x et y ont même signe.
On peut modifier l'inégalité triangulaire en remplaçant y par -y. On a alors : |x - y| |x| + |y|
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VI. FONCTION VALEUR ABSOLUE
Définition :
La fonction valeur absolue est la fonction qui à tout réel x associe le réel |x|
la fonction valeur absolue est donc la fonction f définie sur par f(x) = |x|
La courbe représentative de cette fonction est la courbe d'équation y = |x|.
C'est une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Propriétés :
•
•
•
•
•
•
Cette fonction est strictement décroissante sur ]- ; 0] et strictement croissante sur [
0;+ [
La fonction valeur absolue est une fonction positive
C'est une fonction paire
Tout nombre réel strictement positif admet deux antécédents par cette fonction.
Un nombre strictement négatif n'admet pas d'antécédents par cette fonction.
0 admet un seul antécédent par cette fonction 0.
Tableau de variation
x
−∞
0
+∞
f(x)
0
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VII. LIEN ENTRE VALEUR ABSOLUE – DISTANCE - INTERVALLE
EXEMPLE :
x ∈ [-3 ; 3 ] ⇔ -3 ≤ x ≤ 3 ⇔ d(x ;0) ≤ 3 ⇔ |x| ≤ 3
CAS GENERAL :
x ∈ [a ; b] ⇔ a ≤ x ≤ b ⇔ d(x ;
a+b b – a
a+b b – a
)≤
⇔ |x |≤
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