VALEUR ABSOLUE

C HAPITRE III
VALEUR ABSOLUE
1 Valeur absolue et distance
Définition 1 :
Pour tout réel x, on appelle valeur absolue de x et on note |x| le réel défini par : |x| =
x si x ≥ 0
−x si x < 0
√
√
√
√
√
√
Exemple : | 2 − 3| = −( 2 − 3) = 3 − 2
Définition 2 :
La distance entre deux réels x et y est la distance, sur la droite numérique, entre les points
d’abscisses x et y. On la note d(x ; y).
Exemple :
Sur la droite numérique, soient A, B, C et D les points d’abscisses respectives −1, 1, 2 et 5.
A O
B
C
D
−1 0
1
2
5
d(0 ; −1) = OA = 1 ; d(0 ; 1) = OB = 1 ; d(2 ; 5) = CD = 3 ; d(−1 ; 2) = AC = 3.
Propriété 1 :
Pour tous réels x et y, on a : |x − y| = d(x ; y)
En particulier |x| = d(x ; 0)
2 Propriétés
Propriété 2 : Soient x et y deux réels.
(1) |x| = 0 ⇐⇒ x = 0.
(2) | − x| = |x|.
(3) |x|
√ = |y| ⇐⇒ x = y ou x = −y.
(4)
x2 = |x|.
Propriété 3 : Soient x et y deux réels.
(1) |xy|
= |x| × |y|.
|x|
(2) yx = |y|
(y 6= 0).
(3) |x + y| ≤ |x| + |y| (inégalité triangulaire).
Démonstration : Pour (1), il suffit d’écrire l’expression de |xy| suivant les signes de x et y et de
comparer avec l’expression de |x| × |y|.
On fait de même pour (2). (à faire en exercice) Démontrons le (3) :
Pour cela comparons les carrés des expressions positives |x + y| et |x| + |y|
|x + y|2 = (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 . D’autre part, (|x| + |y|)2 = |x|2 + 2|x||y| + |y|2 = x2 + 2|xy| + y2
Or, pour tout x, x ≤ |x|. Donc : |x + y|2 ≤ (|x| + |y|)2
La fonction racine carrée étant croissante sur R+ , on en déduit : |x + y| ≤ |x| + |y|
1
3 Équations et inéquations avec valeur absolue
Propriété 4 : Soient x
(1) |x| = r ⇐⇒
(2) |x| ≤ r ⇐⇒
(3) |x| > r ⇐⇒
un réel et r un réel positif ou nul.
x = r ou x = −r.
−r ≤ x ≤ r.
x > r ou x < −r.
Démonstration :
Sur la droite numérique, soient M, N et P les points d’abscisses respectives x, r et −r.
P
O
N
r
−r
0
d(0 ; −r) = r d(0 ; r) = r
(1) Dire que |x| = r revient à dire que d(x ; 0) = r, soit OM = r. Le point M se trouve donc soit en
P, soit en N, c’est-à-dire x = r ou x = −r.
(2) Dire que |x| ≤ r revient à dire que d(x ; 0) ≤ r, soit OM ≤ r. Le point M décrit donc le segment
[PN], soit −r ≤ x ≤ r.
(3) Dire que |x| > r revient à dire que d(x ; 0) > r, soit OM > r. Le point M décrit donc la droite
(PN) privée du segment [PN], soit x > r ou x < −r.
4 Valeurs approchées
Définition 3 :
Soient a et x deux réels et α un réel strictement positif. On dit que a est une valeur approchée
(ou approximation) de x à α près si |x − a| ≤ α.
Exemple : On sait que 3, 141 ≤ π ≤ 3, 142.
Si on prend le réel 3, 1415 comme valeur approchée de π, alors il vient :
−0, 0005 ≤ π − 3, 1415 ≤ 0, 0005 ⇐⇒ |π − 3, 1415| ≤ 5 × 10−4 .
3, 1415 est une valeur approchée de π à 5 × 10−4 près.
5 Fonction valeur absolue
Définition 4 :
On appelle fonction valeur absolue la fonction f définie sur R telle que f : x 7−→ |x|
Remarque :
La fonction valeur absolue est une fonction affine par morceaux. En effet, f(x) =
Représentation graphique de la fonction valeur absolue :
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
-1
2
1
2
3
4
x si x ≥ 0
−x si x < 0