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Mathématiques - ECS1
1
Ce qu’il n’est pas possible de ne
pas savoir faire en arrivant en
prépa
Lycée La Bruyère
30 avenue de Paris
78000 Versailles
c 2013, Recueil d’exercices de prérentrée.
1 Révisions
La liste d’exercices de ce document a pour but de consolider les techniques de calcul
que vous êtes censés maîtriser à l’issue de la Terminale. Ces exercices doivent être faits
à la main sans aide d’aucune machine quelle qu’elle soit, ni d’aucun formulaire ! Si vous
bloquez sur certaines questions calculatoires, il est impératif de revoir la partie de votre
cours correspondante.
D’autres questions nécessitent un peu de recherche mais sont largement abordables
avec les connaissances de Terminales seules.
Seule la dernière partie sur les relations entre ensembles empiète sur une partie du
programme de première année et demande de bien manipuler les quantificateurs et le vocabulaire ensembliste, néanmoins elle reste accessible à votre niveau.
1.1
1.1.1
Logique
Test 0.
(1) Une maman dit à son fils : « Les élèves bons en maths sont de bons élèves. » Son fils
lui dit alors : « Je suis un bon élève donc je suis bon en maths. » Que pensez vous de
l’affirmation du fils ?
(2) Parmi les personnes possédant un ordinateur, certains ne sont pas des mathématiciens.
Les non-mathématiciens qui vont à la piscine tous les jours n’ont pas d’ordinateur.
Peut-on affirmer que certains possesseurs d’ordinateurs ne vont pas à la piscine tous
les jours ?
(3) Les habitants d’une certaine île sont divisés en deux groupes : le groupe de ceux
qui disent toujours la vérité, et le groupe de ceux qui mentent tout le temps. Vous
rencontrez une personne sur cette île qui vous dit :« Je mens toujours. » Est ce un
habitant de l’île ?
(4) Quelle question peut-on poser à un habitant de l’île de la question précédente pour
savoir s’il possède un crocodile ou non ?
2
1.2
1.1.2
Calculs algébriques
3
Test 1. La vitre brisée.
Une vitre a été brisée par l’un des cinq frères d’une famille. Lorsqu’on les interroge,
voici ce que chacun répond :
— John : « C’est soit Henry, soit Thomas, »
— Henry : « Ni Ernest, ni moi n’avons brisé la vitre »
— Thomas : « Henry et John mentent, »
— David : « Non, deux de mes frères parmi John, Henry et Thomas mentent et l’autre
dit vrai, »
— Ernest : « Non, David, ce que tu dis n’est pas vrai. »
On décide d’appeler leur père, un homme honnête, qui ajoute que deux de ses fils
mentent toujours et que les trois autres sont honnêtes.
Qui a brisé la vitre ?
1.1.3
Test 2. Identifiez le caissier.
Une organisation comporte un patron, un adjoint, un caissier, un porte-parole, un avocat conseil et un sténographe. Les noms des employés par ordre alphabétiques sont : M.
Brun, M. Courant, Mlle Gonord, Mme Jones, Mlle Léonard et M. O’Connor.
Identifiez le caissier sachant que :
— l’adjoint est le petit-fils du patron,
— le caissier est le gendre du sténographe,
— le porte-parole est la demi-sœur de Mlle Gonord,
— M. Brun est célibataire,
— M. Courant a 25 ans,
— M. O’Connor est le voisin du patron.
1.1.4
Test 3. Question de poids.
Bob dit « Je suis plus riche que Ken et Ken est plus riche que Max. » A son tour, Ken
dit « Max est plus riche que moi et Max est plus riche que Bob. » Max affirme « Ken est
plus riche que moi, et Bob et moi sommes aussi riches l’un l’autre. »
En supposant qu’à chaque fois, le moins riche des deux ne ment pas, rangez Bob, Ken
et Max dans l’ordre croissant de leurs richesse.
1.2
1.2.1
Calculs algébriques
Test 1. Opérations algébriques, proportionnalité.
(1) Simplifier les expressions suivantes : a = 6 − 1 × 2 + 3 × 0 − 6 : 2 ;
b = (6 − 1) × (2 + 3) × 0 − (6 : 2); c = 6 − (1 × 2) + 3 × ((0 − 6) : 2).
4
Révisions
(2) Simplifier les expressions suivantes :
(3) Simplifier les fractions suivantes :
3
2
1
3
3
2
+
− 45 ; (−6)(−3) − 8(−2);
7
4
−2
√
(4) Simplifier les expressions suivantes :
;
32 ;
6
15
+2×
1
4
p
−
3
10
2
3
3
;
(−3)2 ;
1 1
2+3
1
2
√
5
−1
+
5 2
6−9
4
3
−
2
7
(−2)(−8);
+ (−1)2 (−1)−3 .
.
√
( 18)3 .
(5) Le nombre n! est défini comme le produit des n premiers entiers consécutifs avec la
convention 0! = 1. On a donc n! = 1 × 2 × 3 × · · · × (n − 1) × n lorsque n ∈ N∗ . On le
prononce factorielle n.
Calculez : 2!, 3!, 4!, 5!,
(6) Calculez :
7!−6!
4!
6!
5! , 2!3̇! , 2!4̇!
7!
4! .
et
2!4!8!
.
(4!)2 ˙(3!)3
(7) Ecrire le nombre suivant à l’aide de factorielles :
1×3×5×7
2×4×6
(8) Un produit coûte 25 euros. On applique une réduction de 20%.
— Quel est le prix de ce produit après réduction ?
Quelques mois après, une hausse de la TVA entraîne une augmentation de 20% du
prix de ce produit.
— Quel est le prix après les deux variations du prix ?
1.2
Calculs algébriques
5
(9) On suppose que le prix du pain double tous les six ans. Par quel facteur le prix du pain
est-il multiplié en trois ans ? Et en vingt ans ?
(10) Une quantité A est inversement proportionnelle à une quantité B. Si on double B,
quelle est l’évolution en pourcentage de A ?
(11) Développez (x + a)2 et (x − a)2
(12) Développez (x + a + b)2 et (x + a − b)2 .
(13) Complétez les pointillés : x2 − 6x − 7 = (x − 3)2 + . . .
(14) Complétez les pointillés : 3x2 − 8x −
1
3
= 3(x − 43 )2 + . . .
6
Révisions
(15) En interprétant x2 − 73 x comme le début d’une identité remarquable, complétez les
pointillés :
3x2 − 7x + 4 = . . . (x − . . .)2 + . . .
(16) Soit a et c deux réels non nuls. En interprétant x2 + ba x comme le début d’une identité
remarquable, complétez les pointillés :
ax2 + bx + c = a(x − . . .)2 −
...
.
4ac
(17) Simplifier l’expression suivante :
x−2 x4
x−3
p
|4x − 3y|
(18) On pose x = −3 et y = 8. Calculer
3x
(4 × 3)−6 × 8
(19) Simplifier les nombres suivants
;
93
(4 × 3)10 + 49
;
84
(20) Simplifier lorsqu’elles sont définies, les expressions :
(xy)4
,
x2 y3
(x3 )−2 ,
8−2
4−4
!4
(3x)3 y−2
2x4 y−1
1.2
(21) Simplifier, lorsqu’elle est définie, l’expression
Calculs algébriques
7
x2 − 16
.
x−4
(22) Développer, simplifier et réduire l’expression (2a − 1)2 − (a − 3)(2a + 1).
(23) Simplifier en réduisant au même dénominateur, lorsqu’elle est définie, l’expression
x
1
x−1 + x .
√
√
(24) Développer et simplifier l’expression (a − b 3)2 (a + b 3)2 (le plus rapidement possible !) .
(25) Factoriser l’expression (2x − 1)(x + 3) − x(2 − 4x).
1.2.2
Test 2. Equations du premier et second ordre, polynômes
(1) Résoudre dans R l’équation : 3x − 7 = 1 − 5x
8
Révisions
(2) Résoudre dans R l’équation : 3x2 − 7x + 4 = 0.
(3) Factoriser l’expression 3x2 − 7x + 4.
(4) Un rectangle a une aire de 20m2 et un périmètre de 18m.
Déterminer sa longueur et sa largeur ?
(5) Exprimer le polynôme P(x) de degré 3 dont les racines sont −1, 2 et 4 et tel que
P(0) = 8.
1.2.3
Test 3. Ordre, inégalités, inéquations, valeur absolue.
(1) Ranger dans
(sans l’aide de la calculatrice) les nombres suivants
√ l’ordre décroissant
9
− 35 , − 2, 22
π, 23
7 ,
8 ,
−5
(2) Lequel des deux nombres
√
√
√
√
6 + 10 ou 5 + 12 est le plus grand ?
1.2
(3) Montrer que si a < b alors a <
2a+b
3
et
a−4b
3
Calculs algébriques
9
< −b.
(4) Pour quelles valeurs de x a-t-on 3x + 2 > 1 ? ( donner une réponse sous forme d’intervalle)
(5) Résoudre l’inéquation : 5x + 2 > 2x − 7 ( donner une réponse sous forme d’un intervalle).
(6) Résoudre l’inéquation : 2x+1
x+3 < 3 ( donner une réponse sous forme d’un intervalle ou
d’une réunion d’intervalles).
10
Révisions
(7) Résoudre l’inéquation : x(x + 2) < (2x − 1)(x + 2) ( donner une réponse sous forme
d’un intervalle ou d’une réunion d’intervalles).
√
(8) Simplifier
x2 .
(9) Résoudre l’équation : |3x − 7| = 8.
(10) Résoudre l’équation : |3x − 7| = |−2x + 1|.
1.2
Calculs algébriques
11
(11) Quels sont les nombres réels x tels que x2 ∈ [2, 9] ?
(12) Complétez la phrase suivante : les nombres réels x tels que |x − 3| ≤ 6 sont les nombres
appartenant à l’intervalle . . . .
(13) Complétez la phrase suivante : les nombres réels x tels que |3x + 1| < 2 sont les
nombres appartenant à l’intervalle . . . .
(14) Complétez la phrase suivante en remplaçant a et b par les valeurs correspondantes : les
nombres réels x appartenant à l’intervalle [2, 6] sont les nombres x vérifiant |x − a| ≤
b.
(15) Pour quelles valeurs de x a-t-on 3x2 − 2x > 1 ? ( donner une réponse sous forme d’un
intervalle ou d’une réunion d’intervalles)
(16) Résoudre l’inéquation : |3x − 7| < 2 ( donner une réponse sous forme d’un intervalle
ou d’une réunion d’intervalles).
12
Révisions
(17) Résoudre l’inéquation : |2x − 5| ≥ 3 ( donner une réponse sous forme d’un intervalle
ou d’une réunion d’intervalles).
(18) Soit
tel que
√ 0 < t < 1. Ranger dans l’ordre croissant les nombres suivants :
√ t un nombre
t, t, t2 , t3 , t t
(19) Soit a, b, c trois nombres réels avec a , 0.
On suppose que pour tout réel x, ax2 + bx + c ≥ 0. Etablir que b2 − 4ac ≤ 0.
(20) Etablir quelque soient les réels x et y, l’inégalité x2 + xy + y2 ≥ 0.
1.2.4
Test 4. Logarithme, exponentielle, sinus, cosinus
(1) Définir, pour x > 0, le nombre ln x.
(2) Simplifier les nombres suivants : e5 ln 2 ,
2 ln 4 − 3 ln 2,
ln(2 +
√
3) + ln(2 −
√
3)
1.2
Calculs algébriques
(3) Simplifier pour n ∈ N l’expression ln((n + 1)!) − ln(n!)
(4) On suppose que a2 + b2 = 7ab. Etablir l’égalité ln
(5) Deux nombres x et y sont reliés par y =
√
1 + e2x .
Exprimer x en fonction de y.
(6) Deux nombres x et y sont reliés par y = ln(e x + 1).
Exprimer x en fonction de y.
(7) Deux nombres x et y sont reliés par y =
Exprimer x en fonction de y.
e x − e−x
.
e x + e−x
a+b
3
= 21 (ln a + ln b).
13
14
Révisions
(8) Exprimez y en fonction de x sachant que ln(ey − e x ) = y + ln 2 − ln(ey + e x )
x
(9) Sachant que 2 ln(x − 2y) = ln x + ln y, déterminer .
y
(10) Résoudre dans R∗ l’équation : (ln x)2 − 4 ln x − 5 = 0.
1.2
Calculs algébriques
(11) Résoudre dans ]1, +∞[ l’inéquation : ln(1 + x) < 2 ln(x − 1)
5π
(12) Donner les valeurs de cos( 7π
3 ) et de sin( 4 )
(13) On donne cos t =
(14) Exprimer
√
q
2
3.
Calculer cos 2t − sin t sin 2t.
2(1 − cos 2x) en fonction de sin x
15
16
Révisions
(15) Résoudre dans R l’équation : cos x + 2 sin(x) =
7
2
(16) Résoudre dans R l’équation : cos x + cos2 (3x) = 2 + sin2 x
1.2.5
Problèmes.
(1) Une droite D coupe la courbe d’équation xy = 1 en deux points A et B. Elle coupe les
axes du repère orthonormé en C et D. Montrer que AC = BD.
(2) Des nombres a et b sont les racines de l’équation x2 − px + q = 0. De quelle équation
sont solutions les nombres a + b1 et b + 1a ?
1.2
Calculs algébriques
17
(3) Déterminer trois entiers en progression géométrique dont la somme est 21 et la somme
des inverses est
7
12 .
(4) On allume deux bougies en même temps. L’une se consume en quatre heures et l’autre
en cinq heures. Après combien de temps, le rapport de leur longueur sera-t-il de
(
(5) Résoudre le système
x2 + y2 + x + y = 8
xy + x + y = 5
1
3
?
18
Révisions
(6) Une certaine opération, affine, appliquée à x donne y. La même opération appliquée à
y donne 3x2 . Déterminer y.
(7) Une carte indique l’emplacement d’un trésor quelque part le long d’une route droite.
Quatre villes A, B, C, D sont raccordées dans cet ordre par cette route. La carte indique :
— Depuis A, parcourir la moitié de la distance à C.
— Parcourir ensuite, un tiers de la distance ‘a D.
— Le trésor est alors situé au quart de la distance qui vous sépare de B.
On donne AB = 6 kms, BC = 8 kms et le trésor est à mi-chemin entre A et D. Quelle
distance sépare les villes C et D ?
1.3
Géométrie
19
(8) On dispose de deux sabliers, l’un de sept minutes et l’autre de onze minute. Un œuf
à la coque nécessite quinze minutes de cuisson. Comment pouvez vous procéder pour
cuire un œuf à l’aide de ces deux sabliers uniquement ?
(9) Un immeuble comporte vingt étages. L’ascenseur de cet immeuble est doté de deux
boutons uniquement. L’un fait monter de treize étage et l’autre fait descendre de huit
étage. Ces boutons ne fonctionnent pas s’il n’y a pas assez d’étages à monter ou
descendre. Vous êtes au 13-eme étage. Comment atteindre le 8-eme étage ?
1.3
1.3.1
Géométrie
Test 1. Nombres complexes
(1) Quelles sont les coordonnées des points P et Q et des vecteurs ~u et ~v ?
20
Révisions
P
~u
~v
Q
(2) Mettre sous forme a + ib les nombres complexes
3 − 5i
et (2 + i)3 .
1+i
(3) Représenter les nombres suivants dans le plan complexe : z1 = (2 + i)3 ,
z2 =
3 − 5i
1+i
1.3
(4) Mettre sous la forme trigonométrique les nombres complexes :
√
√
6−i 2
(6) Calculer le module et un argument de u =
et v = 1 − i.
2
u
.
v
21
√ 1−i
√
2
et (1+i 3)−2 .
1+i
(5) Quel est le module du nombre complexe −1 + 32 i ?
En déduire le module et un argument de w =
Géométrie
22
Révisions
(7) Résoudre dans C l’équation z2 + 2z + 2 = 0.
π
(8) Faire le produit du nombre complexe de module 2 et dont un argument est par le
3
−5π
nombre complexe de module 3 et dont un argument est
.
6
√ 2013

 1 + i 3 
 .
(9) Simplifier le nombre complexe 
2
(10) Développer (z − eit )(z − e−it ).
1.3
Géométrie
23
π
π n
(11) Simplifier le nombre complexe : cos 2n
+ i sin 2n
où n ∈ N∗ .
1.3.2
Test 2. Géométrie analytique : équation de droite, équation de plan, distance.
(1) Quelle est la pente (le coefficient directeur) de la droite D d’équation 3y + 4x = 2 ?
(2) Déterminer une équation de la droite passant par les points de coordonnées (2, 3) et
(1, 5).
(3) Quelle est la distance entre
— les points de coordonnées (2, 3) et (5, −1) ?
— les points de coordonnées (127, 438) et (25, 438) ?
(4) Déterminer une équation de la droite passant par le point P de coordonnées (−5, −1)
et de pente 0.
(5) Déterminer une équation de la droite passant par le point P de coordonnées (−7, 3) et
de pente − 21 . La représenter.
24
Révisions
(6) Déterminer les points d’intersection de la droite d d’équation 12 x − 3y +
l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées.
1.3.3
1
3
Test 3. Géométrie analytique : calcul vectoriel.
(1) Exprimer le vecteur ~v (−2, 1) en fonction des vecteurs ~k (1, −2) et ~l (−2, 3).
= 0 avec
1.3
Géométrie
25
~ où ~u(−2, 3), ~v(−1, 2) et w
~ (−1, 4)
(2) Représenter le vecteur ~u + 2~v − w
(3) Les vecteurs ~u (−2, 1) et ~v (−1, 4) sont-ils colinéaires ?
(4) Les vecteurs ~u (−2, 3) et ~v ( 12 , − 34 ) sont-ils colinéaires ?
(5) Déterminer les réels a pour lesquels les vecteurs ~u (a, 1) et ~v (−6, a−5) sont colinéaires.
(6) Déterminer les réels a pour lesquels les vecteurs ~u (a, −1) et ~v (a + 1, a − 3) sont
colinéaires.
26
Révisions
(7) Donner un vecteur directeur de la droite D d’équation 3y + 4x = 2.
(8) Donner un vecteur normal à la droite D d’équation 2y + 3x − 2 = 0.
(9) Déterminer une équation de la droite d passant par (1, 1) et perpendiculaire à la droite
d’équation 4x + 5y − 9 = 0.
(10) Déterminer une équation du cercle de centre P(−1, 7) et de rayon 3.
(11) Déterminer le centre et le diamètre du cercle d’équation (x − 1)2 + (y + 1)2 = 7.
(12) Déterminer le centre et le diamètre du cercle d’équation x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0.
1.3
Géométrie
27
(13) Exprimer le vecteur ~v (−2, 3) en fonction des vecteurs ~i (1, 0) et ~j (0, 1).
(14) Exprimer le vecteur ~v (−2, 3) en fonction des vecteurs ~k (1, 1) et ~` (1, −1).
(15) Exprimer le vecteur ~v (−2, 3, −1) en fonction des vecteurs ~j (1, 1, 1), ~k (1, 1, 0) et
~` (0, 1, −1).
(16) Déterminer une équation du plan P passant par les points A(1, 0, 0), B(−1, 1, 0) et
C(−1, 0, 2)
(17) Déterminer une équation du plan P passant par (1, 1, 1) et dont un vecteur normal est
~u (−1, 2, 4)
28
Révisions
1.4
1.4.1
Fonctions, suites, limites, continuité
Test 1. Suites
(1) Pour tout n ∈ N, on pose un = n + (−1)n . Donner u17 .
(2) Pour tout n ∈ N, on pose un = n2 . Exprimer u2p et u2p+1 en fonction de p.
(3) Pour tout n ∈ N, on pose un =
n2 +6n−12
2n+6 .
Exprimer u p−3 en fonction de p.
(4) Pour tout n ∈ N, on pose un = 2n + 3n . Exprimer u2p en fonction de p.
(5) Pour tout n ∈ N, on pose un = 2n2 + 3n − 1. Exprimer u2p+1 − u2p en fonction de p.
(6) Pour tout n ∈ N, on pose un =
√
( 2)n
n! .
Exprimer
u2p+3
u2p−1
en fonction de p.
1.4
Fonctions, suites, limites, continuité
(7) Pour tout n ∈ N, on pose un = cos(nπ). Donner les valeurs de u2p et u2p+1 .
(8) Pour tout n ∈ N, on pose un = sin(n π2 ). Exprimer u2p et u2p+1 en fonction de p.
(9) Simplifier sin nπ et cos n π2 lorsque n est un entier ?
(10) On pose u0 = −3 et pour tout n ∈ N, un+1 = un + 1. Donnez u503 .
(11) On pose u0 = 5 et pour tout n ∈ N, un+1 = 23 un . Exprimez un en fonction de n.
(12) On pose u0 = 5 et pour tout n ∈ N, un+1 =
1
un .
Donnez u51 et u86 .
(13) On pose u0 = 3 et pour tout n ∈ N, un+1 = (un )2 . Exprimez un en fonction de n.
(14) Trouver une formule pour 1 + 2 + 3 + . . . + (p − 1) + p.
29
30
Révisions
(15) Calculer la somme : 1002 − 992 + 982 − 972 + 962 − 952 + . . . + 22 − 1.
(16) Calculer (très rapidement) la somme 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 21 + 23.
(17) Calculer (très rapidement) la somme 2 + 5 + 8 + 11 + . . . + 23 + 27.
(18) Donnez une formule pour 1 + q + q2 + . . . + qn−1 + qn en fonction de q et n.
(19) Calculer (très rapidement) la somme 1 + 2 + 22 + . . . + 27
(20) Simplifiez la somme −2 + 22 − 23 + . . . + 212 − 213 .
(21) Simplifiez la somme
√
√
√
√
2 − 2 + 2 2 − 4 + 4 2 + . . . − 64 + 64 2.
(22) Simplifier la fraction :
(2n)!(n + 1)!
.
(2n + 1)!(n − 1)!
1.4
(23) Simplifier la fraction :
1.4.2
Fonctions, suites, limites, continuité
31
2(n + 2)! − n!
.
(n + 1)(n + 1)!
Test 2. Fonctions
(1) Soit g la fonction définie par g(x) =
3x2 +2x−8
.
2x2 −x
— Quel est le domaine de définition de g ?
— Calculer g(2).
(2) Déterminer le domaine de définition des fonctions définies par les expressions sui√
vantes : f (x) = x(4 − x), g(x) = x(x22x−1
, h(x) = √ 5x 2 .
−2x+1)
1−2x
(3) Déterminer le domaine de définition des fonctions définies
par les expressions sui√
√
x−1
vantes : f (x) = ln |x| , g(x) = ln(1 − x), h(x) = √2−x
.
32
Révisions
(4) Représenter la fonction définie sur R par x 7→ x2 − x − 2.
(5) Soient f et g les fonctions définies sur R par f (x) = 7x − 4 et g(x) = 3x2 . Déterminer
les points d’intersection des courbes de f et de g.
1.4
Fonctions, suites, limites, continuité
(6) Représenter graphiquement la fonction définie sur R par f (x) =
√
x + 1.
(7) Représenter graphiquement la fonction définie sur R par f (x) = x2 − 1.
33
34
Révisions
(8) Représenter graphiquement la fonction définie sur R par f (x) =
√
x2 − 1.
(9) Représenter graphiquement la fonction définie sur R par f (x) = x |x|.
1.4
Fonctions, suites, limites, continuité
(10) Représenter graphiquement l’ensemble des points (x, y) tels que x + y ≥ 1.
(11) Représenter graphiquement l’ensemble des points (x, y) tels que x − y ≤ 1.
35
36
Révisions
(12) Représenter graphiquement l’ensemble des points (x, y) tels que y =
x + |x|
.
2
(13) Représenter graphiquement l’ensemble des points (x, y) tels que y =
|x| − x
.
2
1.4
1.4.3
Fonctions, suites, limites, continuité
37
Test 3. Limites
(1) Pour tout entier naturel n, on pose xn = n(3 − 52n ). Quelle est la limite de la suite (xn ) ?
(2) Pour tout entier naturel n, on pose xn = ln(1 − 21n ). Quelle est la limite de la suite (xn ) ?
(3) Pour tout entier naturel n, on pose xn =
3
n√
.
(1+ 2)n
Quelle est la limite de la suite (xn ) ?
(4) Pour tout entier naturel non nul n, on pose xn = n2 ln(1 −
la suite (xn ) ?
1
).
n2
Quelle est la limite de
38
Révisions
(5) Pour tout entier naturel n, on pose xn =
suite (xn ) ?
√
n+2−
√
(6) Pour tout entier naturel non nul n, on pose xn = 1 +
suite (xn ) ?
(7) Pour tout entier naturel n, on pose xn = (−1)n 2 −
(xn ).
(8) Pour tout entier naturel n, on pose xn =
(9) Etudier la limite lim
x→+∞
x3 + 1
x2 − x + 1
1
1
1
−
x→0 x 2 + x
2
!
(10) Etudier la limite lim
x2 + x
x→−1 (x − 2)(x + 1)
(11) Etudier la limite lim
(12) Etudier la limite lim
x→2
x3 + x2 − 5x − 2
x2 − 4
(−1)n
√
.
n n+1
n + 3. Quelle est la limite de la
ln 3 n
.
n
1
n+1
Quelle est la limite de la
. Etudier la limite de la suite
Etudier la limite de la suite (xn ).
1.4
(13) Etudier la limite lim
4x2 − 9
2x − 3
(14) Etudier la limite lim
x3 − 1
x−1
(15) Etudier la limite lim
xn − 1
où n ∈ N∗
x−1
x→ 32
x→1
x→1
sin x
(16) Etudier la limite lim ln
x→0
x
1
(17) Etudier la limite lim e− x2
x→0
(18) Etudier la limite lim
x→+∞
ln
√
x
x
(19) Etudier la limite lim x2 e−x
x→−∞
!
Fonctions, suites, limites, continuité
39
40
Révisions
1.5
Dérivation et intégration
(1) Etudier la limite lim
x−3 − 8−1
x−2
(2) Etudier la limite lim
ln( 2x )
x−2
x→2
x→2
ex − 1
x→0
x
(3) Etudier la limite lim
(4) Donnez une équation de la tangente au point d’abscisse 2 de la courbe représentative
de la fonction définie par f (x) = e2x−4
(5) Donnez une équation de la tangente au point d’abscisse 4 de la courbe représentative
de la fonction définie par f (x) = √1x
(6) En quels points la courbe représentative de la fonction définie par f (x) = x3 − 3x2 + 1
admet-elle une tangente de pente −3.
(7) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = (x2 + 2x − 5)3
1.5
Dérivation et intégration
(8) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = (x3 − 3x)(2 − x2 )
(9) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) =
x4
1
− x2 + 1
(10) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) =
2x − 1
3x + 2
(11) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) =
x−2
x2 + 3
(12) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) =
x 2
1−x
√
x−1
(13) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = √
x+1
(14) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = xe−x
41
42
Révisions
(15) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = e x sin x
1 2
(16) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = e− 2 x
(17) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = e x sin x
(18) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = x ln(x) − x
(19) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = ln(1 + x2 )
3
(20) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = x 2
(21) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) =
sin x
x
(22) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = sin x ln x
(23) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = ln(sin x)
1.5
Dérivation et intégration
(24) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = 13 (sin x)3
(25) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) =
1
3
sin 3x
(26) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = x ln x − x
1.5.1
Test 3
Z
5
(1) Calculer
0 dx
−1
Z
2
(2) Calculer
(−2) dx
3
Z
2
(3) Calculer
(1 + x3 )dx
3
Z
(4) Calculer
1
2
(1 +
√
x)dx
43
44
Révisions
Z
2
(5) Calculer
(s2 +
1
Z
1
(6) Calculer
1
)ds
s2
(1 + x2 )2 dx
−1
Z
16
(7) Calculer
8
Z
a2 +1
(8) Calculer
a2 −1
Z
1
dt
1−t
3
t
dt
1 + 2t2
2
(10) Calculer
1
1
dt
1+t
3
(9) Calculer
Z
1
dx
x
(a > 1)
1.5
8
Z
Dérivation et intégration
45
2
x 3 dx
(11) Calculer
1
3
Z
(12) Calculer
2
x3 − 1
dx
x−1
(13) Une unité d’aire étant fixée, quelle est l’aire de la région D du plan définie par D =
{(x, y) | x ∈ [−1, 1], 0 ≤ y ≤ 1 − x2 }.
(14) Vérifier que t 7→
2
Z
(15) Calculer
0
3t2
t3
est une primitive de la fonction t 7→
3
1+t
(1 + t3 )2
x2
dx
(1 + x3 )2
(16) Vérifier que t 7→ ln |cos t| est une primitive de la fonction t 7→ tan t sur ] − π2 , π2 [.
π
4
Z
(17) Calculer
π
6
tan xdx.
46
Révisions
 2

t
si t ∈ [0, 1]



1
si
t ∈ [1, 5]
(18) Soit f la fonction définie sur [0, 6] par f (t) = 


 (t − 6)2 si t ∈ [5, 6]
Z 6
Calculer
f (s)ds.
0
Z
e
(19) Calculer
1
Z
ln t
dt
t
π
6
(20) Calculer
cos 2xdx
0
Z
π
3
(21) Calculer
(sin x)2 dx
0
Z
(22) Calculer
1
2
e−2t dt
0
Z
1
√
1 − t2 dt
(23) Déterminer géométriquement la valeur de l’intégrale
0
1.6
Probabilités
47
(24) La figure suivante représente la courbe représentative d’une fonction f .
y
→
j
→
0
On pose pour x > 0, F(x) =
x
i
Z
0
x
f (t)dt. Calculer F( 25 ).
(25) Sans les calculer, ranger les intégrales suivantes dans l’ordre croissant :
π
3
Z
π
4
1.6
1.6.1
π
3
Z
cos tdt,
π
4
π
3
Z
cos2 tdt,
π
4
π
3
Z
sin tdt,
π
4
cos2 t sin tdt,
Probabilités
Test 1. Probabilités élémentaires
(1) On lance un dé à six faces parfait et on observe la face qui apparaît. Décrire de manière
ensembliste les événements :
— A : « le numéro de la face est pair »
— B : « le numéo de la face est supérieur ou égal à 3 »
— C : « le numéro de la face est pair ou supérieur à 3 »
48
Révisions
(2) On lance un dé à six faces parfait et on observe la face qui apparaît. Quelle est la
probabilité d’observer un numéro pair ou supérieur à 3 ?
(3) On lance un dé à six faces parfait et on observe la face qui apparaît. Quelle est la
probabilité d’observer un numéro pair supérieur à 3 ?
(4) On lance une pièce équilibrée trois fois de suite.
1.6
Probabilités
49
(5) On tire une carte d’un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité que cette carte ne soit
ni un coeur, ni de couleur noire ?
(6) Parmi 100 étudiants, 30 font des maths, 20 de la physique et 10 font des maths et de
la physique. On sélectionne un étudiant au hasard.
Quelle est la probabilité qu’il fasse des maths ou de la physique ?
(7) On lance deux dés parfaits à six faces.
Quelle est la probabilité qu’une face portant le numéro 2 apparaît si la somme des
faces obtenues est de 6 ?
50
Révisions
(8) Dans un lot de 12 articles, quatre sont défectueux. On prélève au hasard trois articles
l’un après l’autre sans les remettre.
Quelle est la probabilité que les trois articles soient défectueux ?
(9) Trois colis contenant des ampoules sont expédiés à un service technique. Le premier
colis contient 10 ampoules parmi lesquelles quatre sont défectueuses. Le second colis
contient six ampoules parmi lesquelles une seule est défectueuse. Le troisième colis
contient huit ampoules parmi lesquelles trois sont défectueuses. Un agent sélectionne
un colis au hasard et prélève une ampoule.
Quelle est la probabilité que l’ampoule prélevée soit défectueuse ?
(10) L’ampoule prélevée se révèle défectueuse.
Quelle est la probabilité qu’elle provienne du premier colis ?
(11) On lance une pièce équilibrée trois fois de suite à pile ou face. On considère les événements :
— A : « le premier lancer donne face »
— B : « le deuxième lancer donne face »
— C : « deux faces à la suite sont observés »
1.6
Probabilités
51
Vérifier que A et B sont indépendants, puis que A et C sont indépendants mais B et C
ne le sont pas.
(12) Deux joueurs tirent indépendamment sur une cible. Le premier atteint la cible avec
probabilité 14 tandis que le second l’atteint avec probabilité 25 .
Quelle est la probabilité que la cible soit atteinte ?
(13) On tire deux boules successivement sans remise d’une urne en contenant six blanches
et cinq noires. Quelle est la probabilité d’obtenir une noire et une blanche ?
1.6.2
Test 2. Lois classiques
(1) Des courses entre trois chevaux A, B, C sont organisées. Les probabilités de remporter
une course sont de 12 pour A, 31 pour B et 16 pour C.
Les chevaux courent deux fois de suite et on s’intéresse aux vainqueurs des courses.
Décrire l’ensemble des résultats possibles et calculer les probabilités de chaque résultat possible.
52
Révisions
(2) On lance une pièce donnant pile avec probabilité
nombre de piles obtenues sur les six lancers.
Quelle est la loi de X ?
2
5
six fois de suite. On note X le
(3) On lance une pièce donnant pile avec probabilité 25 six fois de suite.
Quelle est la probabilité d’obtenir au moins quatre piles ?
(4) On lance une pièce donnant pile avec probabilité 25 six fois de suite.
Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un pile ?
(5) John lance six pièces à Pile ou Face. Marie fait de même mais avec cinq pièces seulement. Toutes les pièces sont équilibrées. Quelle est la probabilité que John obtienne
plus de faces que n’en a obtenu Marie ?
(6) On lance trois pièces équilibrées à Pile ou Face. On note Y le nombre de Piles obtenues. Calculer P(Y ≤ 2).
1.6
Probabilités
53
(7) On lance une pièce jusqu’à obtenir Pile la première fois mais en faisant au plus 10
lancers. La probabilité d’obtenir Pile est 73 . On note X le nombre de lancers effectués.
Déterminer les probabilités P(X = 1), P(X = 2), . . . , P(X = 10).
(8) Les réacteurs d’un avion ont une défaillance en cours de vol avec probabilité q = 1− p.
Les défaillances sont indépendantes les unes des autres. Le vol se termine bien si la
moitié des réacteurs fonctionnent. Pour quelles valeurs de p les quadriréacteurs sontils préférables aux biréacteurs ?
(9) A partir de 7h, les bus passent tous les quarts d’heure à un arrêt donné. Ils passent donc
à 7h, 7h15, 7h30, etc. Un usager arrive entre 7h et 7h30 à cet arrêt, l’heure d’arrivée
de l’usager suivant une loi uniforme sur cette période (donc sur [0, 30]). Quelle est la
probabilité que l’usager attende moins de cinq minutes ? Plus de 10 minutes ?
(10) La durée (en minutes) d’une conversation téléphonique suit une loi exponentielle de
1
paramètre λ = 10
. Quelqu’un passe juste devant vous à une cabine téléphonique.
Quelle est la probabilité d’attendre moins de dix minutes ? Et celle d’attendre entre 10
et 20 minutes ?
54
Révisions
1.7
1.7.1
Relations ensemblistes
Test 1. Relations entre ensembles.
(1) Pour chacune des relations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse :
#
#
#
"
!
"
"
11
9
3 7
7
3
5∈
, 6 , 4 ∈ −4, ,
−
∈ Z, − < −3, −
2
2
2 2
2
2
(2) Pour chacune des relations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse :
(
)
#
"
1
3 9
[1, 2] ⊂ {0, 1, 2, 3};
0, −1, , 1 ⊂ [−1, 1]; [−1, 4[⊂ − ,
2
2 2
(3) On note E l’ensemble {−1, 0,
elle est vraie ou fausse :
√
3, i, e}. Pour chacune des relations suivantes, dire si
√
−1 ∈ E, {i} ∈ E,
{0, e} ∈ E,
{0, 1} ⊂ E,
{−1, 0, 0, i, e,
3, e} = E
(4) Identifier précisément les ensembles suivants :
a
A = {n ∈ N|∃p ∈ N, n = 2p}; B = x ∈ R∃a ∈ Z, ∃b ∈ N∗ , x =
;
b
(
C = x ∈ R
)
x2
=1 ;
1 + 2x2
D = {n ∈ N | n2 est impair}
(5) Ecrire sous forme ensembliste :
— l’ensembles des entiers relatifs impairs,
— l’ensemble des nombres complexes dont les parties réelles et imaginaires sont des
rationnels.
1.7
Relations ensemblistes
55
(6) Décrire à l’aide d’une propriété les ensembles suivants :
A = {. . . , −64, −27, −8, −1, 0, 1, 8, 27, 64, . . .};
B = {1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, . . .}
(7) Soit T l’ensemble de la population, H celui des hommes, et F celui des femmes.
Décrire en français les ensembles suivants :
— A = {x ∈ T | x ∈ H et x a un enfant}
— B = {x ∈ T | ∃y ∈ F, x est marié à y}
— C = {x ∈ T | ∃y ∈ T, ∃z ∈ T, y est fils de x et z est fils de y}
— D = {x ∈ T | x est fils de x}
— E = {x ∈ T | ∀y ∈ T, x est plus âgé que y}
(8) Simplifier les ensembles suivants :
"
# "
#
5
1 5
A = − ,0 ∩ , ;
4
8 4
B = [−3, 5] ∩ Z;
C = [−1, 1]∪]0, 2[;
D =] − ∞, 1] ∪ [−2, +∞[
56
Révisions
(9) Simplifiez les ensembles suivants :
"
#
3
A = [−1, 1] ∩ − , 2 ∩ [−2, 3];
2
"
7
B = [0, 1] ∪ [−2, 2] ∪ −3,
2
#
(10) On pose A = {n ∈ Z | n2 est impair } et B = {n ∈ N | ∃p ∈ Z, n = 2p}.
Identifier A ∪ B et A ∩ B.
1.7.2
Test 2. Langage mathématique
(1) Formuler en langage mathématique (à l’aide des quantificateurs et des symboles mathématiques) les phrases suivantes :
— L’entier n est le carré d’un entier.
— Le cercle unité possède un point à coordonnées rationnelles.
— Tout élément de l’ensemble A est élément de l’ensemble B.
— Les ensembles A et B ne sont pas disjoints.
— Tout réel positif est un carrée.
— L’équation f (z) = 0 ne possède pas de solution entière.
— La fonction f s’annule sur tout intervalle de longueur 2π.
— Tout intervalle ouvert de R contient un nombre rationnel.
— Les ensembles A et B sont distincts.
— La fonction f ne s’annule pas sur l’intervalle [a, b].
— Tout intervalle fermé de R d’amplitude 1 contient un nombre entier.
1.7
Relations ensemblistes
(2) Formuler en français les phrases mathématiques suivantes :
— ∀n ∈ N∗ ,
1
n
<N
— ∀n ∈ Z, ∃k ∈ Z, n(n + 1) = 2k
— ∃z ∈ C, z2 = −3
— ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, (x − y)(e x − ey ) ≥ 0
— ∀a ∈ C∗ , ∃z ∈ C, z5 = a.
— ∀n ∈ N, ∃xn > n, f (xn ) = 0
— ∀y ∈ [−1, 1], ∃t ∈ R, f (t) = y
— ∀x ∈ R, f (x) = 2
— ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, f (x) = f (y)
57
58
Révisions
(3) Décrire en français les ensembles suivants :
— A = {x ∈ R | cos x = 21 }
— B = {n ∈ Z | ∃a ∈ Z, ∃b ∈ Z, n = a2 + b2 }
√
— C = {z ∈ C | |z| = 2}
— D = {z ∈ C | ∃a ∈ R, z = a + ia}
— E = {a ∈ R | ∀x ∈ [−1, 1], f (x) ≤ f (a)}
(4) Reformulez les implications suivantes sous la forme « Si . . . alors . . . » :
— Toute fonction dérivable sur l’intervalle [a, b] est continue sur [a, b].
— La somme deux entiers impairs est un nombre entier pair.
— Je me fâche dès que je lis une bêtise.
— Le carré d’un nombre réel est positif.
1.7
Relations ensemblistes
59
— Je prends mon parapluie chaque fois qu’il pleut.
— Le produit de deux nombres négatifs est positif.
— Faire des maths me suffit pour être heureux.
— Toute suite croissante et majorée est convergente.
— Je progresserai pourvu que je travaille régulièrement.
— La dérivée d’une fonction dérivable et croissante est positive.
— Il est nécessaire de posséder un permis pour conduire.
— La fonction f ne peut s’annuler qu’en x = 0.
— Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles.
(5) Soit V l’ensemble des vaches, M le sous ensemble des vaches marrons, Q celui des
vaches agées de quatre ans et T celui des vaches tachetées de blanc.
Ecrire de manière symbolique (en utilisant les quantificateurs et les symboles ensemblistes) les phrases suivantes :
— Une vache au moins est marron.
— Toutes les vaches sont âgées de quatre ans.
— Une des vaches marrons est tachetée de blanc.
— Toute vache âgée de quatre ans est tachetée de blanc.
— Toute vache tachetée de blanc est âgée de quatre ans.
— Une des vaches âgée de quatre ans n’est pas tachetée.
— Aucune vache n’est marron.
60
Révisions
(6) Pour tout k ∈ N∗ , Fk =] 1k , 2 + 2k [. Identifier
\
Fk .
k∈N∗
(7) Pour tout k ∈ N∗ , Fk =] 1k , 2 − 2k [. Identifier
\
Fk .
k∈N∗
(8) Pour tout k ∈ N, Fk = [k, k + 1[. Identifier
[
Fk .
k∈N
(9) Pour tout k ∈ N∗ , Fk =] 1k , 2 − 2k [. Identifier
[
k∈N∗
Fk .
1.7
(10) Pour tout k ∈ N∗ , Fk =]k, k + 1[. Identifier
\
Relations ensemblistes
Fk .
k∈N
(11) Pour tout k ∈ N∗ , Fk =] − 1k , 1k [. Identifier
\
Fk .
k∈N
(12) Pour tout k ∈ N∗ , Fk = R\] − k, k[. Identifier
\
Fk .
k∈N
(13) Définir des ensembles Fk deux à deux distincts tels que
\
Fk = [0, 1]
k∈N
(14) Définir des ensembles Fk deux à deux distincts tels que
[
k∈N
Fk = [0, +∞[
61