TSTMG Chapitre 1 Pourcentages et indices

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CHAPITRE 1
INDICES ET TAUX D'EVOLUTION
I. PROPORTIONS ou POURCENTAGES :
1) Définition :
Une proportion est le rapport entre le nombre d'éléments de la partie qui nous
intéresse par le nombre total d'éléments. C'est un nombre décimal compris entre 0 et 1
ou un pourcentage compris entre 0% et 100%.
2) Exemple :
Dans un lycée, il y a 368 filles et 450 garçons.
On voudrait connaitre le pourcentage de filles et de garçons dans ce lycée.
Pour connaitre la proportion de filles dans l'établissement, il faut d'abord calculer le
nombre total d'élèves du lycée. 368 + 450 = 813. Il y a 813 élèves dans ce lycée.
368
La proportion de filles est donc
 0,45.
813
Pour que ce soit plus facile à interpréter, on transforme ce nombre en pourcentage en
multipliant par 100. On dira donc qu'il y a 45% de filles dans cet établissement.
Pour trouver le pourcentage de garçons, on peut procéder de la même manière
ou dire que le total représente 100% donc le pourcentage de garçons est donné par
100 – 45 = 55. Il y a 55% de garçons dans cet établissement.
3) Remarque :
Pour calculer p % d'une quantité, on multiplie cette quantité par
p
.
100
Calculer 20% de 350€.
20
.
100
20
350  20
350 
=
= 70.
100
100
On multiplie 350 par
Année 2015–2016
70€ représentent les 20% de 350€.
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II. TAUX D'EVOLUTION :
1) Définition :
Une quantité évolue d'une valeur de départ ou valeur initiale VD vers une valeur d'arrivée
ou valeur finale VA.
VA – VD
Le taux d'évolution t de VD à VA est le quotient t =
.
VD
2) Remarques :
Le taux d'évolution peut être un nombre décimal positif ou négatif.
Si t est négatif, il s'agit d'une diminution.
Si t est positif, il s'agit d'une augmentation.
Le taux d'évolution peut s'exprimer en pourcentage. Il pourra alors dépasser 100%.
3) Exemples :
On sait qu'un article, qui coutait 28€, coute maintenant 35€.
On veut connaitre le taux d'évolution de ce produit.
Pour connaitre le taux d'évolution du produit, on applique la formule.
VA – VD 35 – 28
7
VD = 28 ; VA = 35 donc t =
=
=
= 0,25.
VD
28
28
On sait donc que le produit a augmenté de 7€ soit de 25%.
On sait que le nombre de naissances dans un pays est passé de 45 000 à 33 000.
On veut connaitre le taux d'évolution des naissances dans ce pays.
Pour connaitre le taux d'évolution des naissances, on applique la formule.
VA – VD 33 000 – 45 000
VD = 45 000 ; VA = 33 000 donc t =
=
 – 0,27.
VD
45 000
On sait donc que le nombre de naissances dans ce pays a diminué d'environ 27%.
4) Appliquer un taux d'évolution :
Faire subir à une quantité une évolution de taux t, c'est multiplier cette quantité par
le coefficient multiplicateur ( 1 + t ).
La température d'une pièce est de 28°C. Elle augmente de 25%.
Quelle est la température après l'augmentation ?
Durant la nuit, la température baisse de 30%. Quelle sera la température au matin ?
25
= 7. La température a augmenté de 7°C.
100
La nouvelle température est donc 28 + 7 = 35°C.
25
25
On a fait le calcul suivant : 28 + 28 
= 28  ( 1 +
) = 28  ( 1 +0,25 )
100
100
Or le taux d'évolution de la température est de 0,25.
Donc on a bien appliquée la formule précédente : 28  ( 1 + t ) = 28  ( 1 + 0,25 ) = 35.
30
Diminuer de 30% c'est multiplier par ( 1 –
) = 1 – 0,30 = 0,7
100
Donc 35  0,7 = 24,5. La température au matin est donc de 24,5°C.
On calcule d'abord 25% de 28°C. 28 
Un article est soldé à 40%. En caisse, le prix de l'article est 60€. Quel était le prix avant les soldes ?
40
Diminuer de 40% c'est multiplier par ( 1 –
) = 1 – 0,40 = 0,6.
100
60
= 100 . L'article valait 100€ avant les soldes.
0,6
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III. EVOLUTIONS SUCCESSIVES :
1) Exemple :
Une quantité peut subir plusieurs évolutions successives, par exemple une augmentation
de 50% puis une diminution de 30% et en fin une augmentation de 10%.
On aimerait connaitre le taux d'évolution global.
A chaque étape, la nouvelle quantité est obtenue en multipliant la quantité précédente par
le coefficient multiplicateur ( 1 + t ) où t est le taux d'évolution entre les deux quantités.
Le premier taux d'évolution est t 1 = 0,50.
Le premier coefficient multiplicateur est donc ( 1 + 0,50 ).
Le second taux d'évolution est t 2 = – 0,30.
Le second coefficient multiplicateur est donc ( 1 – 0,30 ).
Le troisième taux d'évolution est t 3 = 0,10.
Le troisième coefficient multiplicateur est donc ( 1 + 0,10 ).
La quantité de départ aura donc été multipliée par ( 1 + 0,50 ) ( 1 – 0,30 ) ( 1 + 0,10 ).
Ce produit correspond au coefficient multiplicateur global.
Le taux global sera donc T avec ( 1 + T ) = ( 1 + 0,50 ) ( 1 – 0,30 ) ( 1 + 0,10 ).
Donc T = ( 1 + 0,50 ) ( 1 – 0,30 ) ( 1 + 0,10 ) – 1 = 1,5 = 1,5  0,7  1,1 – 1 = 0,155.
La quantité de départ aura donc subi une augmentation globale de 15,5%.
2) Définition :
Si une quantité subit n évolutions successives de taux respectifs t1 , t2 , … , tn
Alors le taux d'évolution global T sera T = ( 1 + t1 ) ( 1 + t2 )….. ( 1 + tn ) – 1 .
3) Exemples :
On sait qu'un article, qui coutait 30€, a subi une augmentation de 15%, puis une diminution de 20%
pendant les soldes et enfin une diminution supplémentaire de 10% en deuxième démarque.
On veut connaitre le taux d'évolution global de ce produit.
Pour connaitre le taux d'évolution global du produit, on applique la formule.
T = ( 1 + t1 ) ( 1 + t2 ) ( 1 + t3 ) – 1 avec t1 = 0,15 ; t2 = – 0,20 et t3 = – 0,10.
T = ( 1 + 0,15 ) ( 1 – 0,20 ) ( 1 – 0,10 ) – 1 = – 0,172.
On sait donc que le produit a diminué globalement de 17,2%.
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IV. TAUX RECIPROQUE :
1) Exemple :
Pour les soldes, un prix a baissé de 30%.
On cherche quelle évolution lui faire subir pour revenir au prix initial.
Le taux d'évolution est t = – 0,30. Le coefficient multiplicateur est donc ( 1 – 0,30 ).
On veut que le taux d'évolution global soit de 0.
Il faut donc trouver t' tel que (1 – 0,30 ) ( 1 + t' ) = 1+ 0
1
1
1
donc 1 + t' =
=
donc t' =
– 1  0,43.
1 – 0,30
0,7
0,7
On doit donc augmenter le prix de 43% environ pour revenir au prix de départ.
On dit que 0,43 est le taux de l'évolution réciproque.
2) Définition :
Si une quantité subit une évolution de taux t ( t  – 1 ),
1
l'évolution réciproque a pour taux t' avec t' =
– 1.
1+t
3) Exemple :
Si une quantité subit une augmentation de 25%, le taux de l'évolution réciproque est
t' =
1
1
–1=
– 1 = – 0,2.
1 + 0,25
1,25
On en déduit qu'une diminution de 20% compense une augmentation de 25%.
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V. TAUX D'EVOLUTION MOYEN :
1) Exemple :
Une quantité a subi 9 évolutions successives. Le taux global d'évolution est de 15%.
On cherche le taux d'évolution moyen, c'est-à-dire le taux t M tel que 9 évolutions successives
de taux tM correspondent à une seule évolution de taux 0,15.
Le taux d'évolution global est T= 0,15. Le coefficient multiplicateur est donc ( 1 + 0,15 ).
On veut trouver le taux d'évolution moyen tM tel que ( 1 + t M ) ( 1 + tM )….. ( 1 + tM )=1,15
Il faut donc trouver tM tel que ( 1 + t M )9 = 1,15.
On va utiliser la calculette pour déterminer ( 1 + t M ).
Avec une TEXAS :
On en déduit donc que le taux d'évolution moyen est 0,016
donc une augmentation d'environ 1,6% pendant 9 ans correspond à une augmentation
globale de 15%.
9
1
Le nombre 1,016 est la racine 9 è de 1,15.On la note √1,15 ou (1,15)9 .
2) Définition :
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Soit a un réel positif.
Le réel positif x tel que xn = a est la racine nè de a.
𝟏
𝒏
On note x = 𝒂𝒏 ou x = √𝒂.
Avec la calculette on utilise le symbole ^ pour mettre à la puissance.
3) Remarques :
𝟏
2
 Si n = 2, x = 𝒂𝟐 = √𝑎 = √𝑎 . On retrouve la racine carrée habituelle.
 Pour déterminer la racine 4è de 5, on tape 5 ^ (1/4) à la calculette.
1
On vérifie que 54  1,495. Ce qui signifie que 1,495 4  5.
4) Taux d'évolution moyen :
Si une quantité subit n évolutions successives dont le taux global est T,
𝟏
alors le taux d'évolution moyen est tM = ( 𝟏 + 𝐓)𝒏 – 1.
Exemple : Une quantité augmente deux fois de 20% puis diminue une fois de 30%.
Quel est le taux d'évolution moyen de cette quantité ?
On calcule d'abord le taux d'évolution global
T = ( 1 + 0,20 )( 1 + 0,20 ) ( 1 – 0,30 ) – 1 = 0,008.
On calcule le taux d'évolution moyen sachant qu'il y a eu 3 évolutions.
1
1
tM = ( 1 + T)3 – 1 = ( 1 + 0,008)3 – 1  0,0027.
On en déduit que deux augmentations de 20% et une diminution de 30%
équivalent à trois augmentations de 0,27% environ.
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