TD #5 : Equation Logistique

TD #5 : Equation Logistique
16 décembre 2008
En dynamique des populations, le modèle de Verhulst est un modèle de croissance proposé par Pierre
François Verhulst vers 1840. Ce modèle imagine que le taux de natalité et le taux de mortalité sont
des fonctions affines respectivement décroissante et croissante de la taille de la population. Autrement
dit, plus la taille de la population augmente, plus son taux de natalité diminue et son taux de mortalité
augmente. Verhulst pose d’autre part que, lorsque les populations sont de petites tailles, elles ont tendance
à croître.
Le même modèle est utilisable pour des réactions autocatalytiques, dans lesquelles l’augmentation
des individus touchés est proportionnelle à la fois au nombre d’individus déjà touchés et au nombre
d’individus qui peut encore être touchés.
Le but de ce TD est d’étudier ce modèle très simple, mais dont le comportement peut devenir surprenant. Plus précisément, on va étudier le comportement de la suite définie par la relation de recurrence :
un+1 = µ · un · (1 − un )
Dans la constante µ se cachent les constantes des fonctions affines sus-mentionnées. On supposera
toujours que u0 ∈]0; 1[. Le but de ce TD est le suivant : vous ne disposez pas (encore) de tous les outils
mathématiques pour étudier cette suite. C’est d’ailleurs bien compliqué dans certains cas. L’idée est donc
d’utiliser Maple pour découvrir les résultats, et pour visualiser le comportement de la suite.
La première étape donc TD est donc très probablement de programmer une fonction qui fournit les
premiers points de la suite (un )n≥0 , pour voir ce qui se passe.
En plus, la fonction pointplot pourra être bien utile pour visualiser graphiquement les phénomènes.
Notez qu’il faut charger le “package” plots, avec la commande with(plots) ; pour pouvoir utiliser la
fonction pointplot.
1. Pour quelles valeurs de µ la suite est-elle bornée ? Par quelle borne ? Démontrez le (par récurrence).
2. Supposons que la suite converge. Quelle(s) est/sont la/les limite(s) possible(s) ?
3. On fixe 0 < µ < 1. La suite converge-t-elle ? Si oui, vers quelle limite ? Demontrez-le, et pour cela,
faites une observation sur le rapport un+1 /un .
4. On voudrait étudier le cas où µ ≥ 1. La suite converge-t-elle ? Vers quelle limite ?
5. Pour le démontrer, on aimerait bien reprendre la même technique. Observez le rapport un+1 /un .
Peut-on conclure de cette manière ?
6. Pour contourner ce problème, on considère la suite xn = un − `, où ` désigne la limite positive de
(un )n≥0 . Que peut-on dire du rapport xn+1 /xn ? Pour quelles valeurs de µ peut-on démontrer la
convergence ?
7. La suite converge-t-elle si µ > 4 ?
8. La suite converge-t-elle si µ = 3 ?
9. On s’intéresse maintenant au cas où 3 < µ < 4. La suite converge-t-elle (on ne cherchera pas à le
démontrer) ? Pour quelles valeurs de µ la suite admet-t-elle deux valeurs d’adhérence (une valeur
d’adhérence est la limite d’une suite extraite convergente) ? Donnez une expression mathématique
de ces valeurs d’adhérence.
10. Tracez le diagrame de bifurcation de la suite logistique. C’est-à-dire un graphe où µ est en abscisse,
et qui montre les valeurs d’adhérence de (un )n≥0 . On pourra donc avoir plusieurs points avec la
même abscisse. Que se passe-t-il autour de µ = 3.85 ?
11. And now for something completely different. On considère la suite à valeurs complexes définie par
zn+1 = zn2 + c, et z0 = 0. On s’intéresse aux valeurs de c pour lesquelles le module de la suite ne
tend pas vers +∞. Démontrer que si |zn | > 2, alors la suite divergera. En déduire une procédure
qui teste si pour une valeur de c donnée la suite diverge ou pas. Tracez l’ensemble des points c pour
lesquels la suite ne diverge pas.
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