Une construction élémentaire de l`exponentielle complexe M.

Une construction élémentaire de l’exponentielle complexe
Une construction élémentaire de l’exponentielle complexe
M.-H. Dehon, lycée Mohamed V, Casablanca
La formule d’Euler exp x = lim (1 + x/n)n peut être inversée dans le domaine réel ; on obtient ainsi le
n→∞
logarithme népérien : ln y = lim n(y 1/n − 1) pour tout y > 0. On peut définir la fonction arctangente
n→∞
par une formule analogue qui est beaucoup moins souvent signalée dans la littérature bien qu’elle soit plus
claire du point de vue géométrique ; elle permet d’inverser l’exponentielle complexe et de définir le nombre
π par des moyens élémentaires. C’est ce que détaillera le présent exposé, sur la base des seuls résultats
suivants :
toute suite croissante et majorée de nombres réels est convergente ;
tout réel positif admet une racine carrée ;
pour qu’une suite de nombres complexes converge, il suffit qu’elle soit de Cauchy.
Aucun résultat de nature topologique n’est requis, pas même la notion de continuité (on reconnaı̂tra
toutefois le théorème des valeurs intermédiaires en filigrane dans la démonstration de la proposition 20 ou
une propriété de convergence localement uniforme dans les propositions 3 et 12).
Un tel exposé, présenté éventuellement sous forme de problème, pourrait être bénéfique en première année
d’université ou en classe de mathématiques supérieures : tout en manipulant utilement les suites et en
exerant son intuition pourvu qu’on veuille agrémenter l’exposé des figures qui lui manquent, on est conduit
à réfléchir une première fois à ce qui fonde toute l’analyse mathématique. On appréciera ensuite d’autant
mieux les progrès conceptuels et techniques qu’apportent des moyens plus élaborés. Il paraı̂t de toute façon
malencontreux d’attendre d’avoir absorbé tout le calcul différentiel et intégral, la théorie des équations
différentielles ordinaires ou celle des groupes topologiques pour songer à définir avec rigueur la fonction
sinus ou l’argument d’un nombre complexe.
Il existe de nombreuses façons d’établir la surjectivité locale de l’exponentielle complexe et d’introduire le
nombre π ; on consultera à ce sujet avec grand profit le traité classique de Hardy dont la première édition
date de 1908 ([1], chap. IX et X) et un exposé très documenté de Remmert ([2], chap. 5). Dans [3] figurent
d’intéressants renseignements, joliment illustrés, sur la genèse de l’exponentielle et des fonctions circulaires.
Pour une construction standard concise, voir par exemple [4], chap. 8. On ne saurait d’autre part trop
recommander le texte récent et plus disert de Godement ([5], chap. IV), texte à la fois savoureux et
riche de perspectives. On trouvera un exposé détaillé de la construction de l’exponentielle et des fonctions
circulaires à partir des séries d’Eisenstein dans [6], chap. 1 par exemple. Ces textes sont tout à fait lisibles
au niveau du premier cycle universitaire ou des classes préparatoires.
[1] G. H. Hardy, A Course of Pure Mathematics, Cambridge, 1994.
[2] Numbers, Springer, 1991.
[3] E. Hairer, G. Wanner, Analysis by Its History, Springer, 1996.
[4] W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.
[5] R. Godement, Analyse mathématique I, Springer, 1998.
[6] P. L. Walker, Elliptic Functions, Wiley, 1996.
Proposition 1 (Inégalité de Bernoulli) Pour tout réel non nul x > −1 et pour tout entier n > 1,
(1 + x)n > 1 + nx.
♣ Démonstration par récurrence. ♣
x n x −n 1+
et
1−
sont adjacentes.
n
n
n>|x|
n>|x|
n+1
x n −1
1 + x/(n + 1)
est croissante ; il suffit en effet de vérifier que 1+x/n
≤
♣ La suite 1+
n
1 + x/n
n>|x|
Proposition 2 Pour tout réel x, les suites
1
Une construction élémentaire de l’exponentielle complexe
−1
1 + x/(n + 1)
1
x
x
et
= 1−
·
, donc la proposition 1 perpour tout n > |x| ; or 1+x/n
= 1−
n+x
1 + x/n
n+1 n + x
x n x −n met de conclure. De même, la suite 1−
est positive croissante, donc la suite 1−
n
n n>|x|
n>|x|
n
1
+
x/n
n
décroissante. On achève la démonstration en notant que 1 − x2 /n ≤ 1 − x2 /n2 = −n ≤ 1
1 − x/n
pour tout n > |x|. ♣
x n
. La fonction ainsi définie sur R est appelée
Pour tout x ∈ R, on pose : exp x = lim 1 +
n→∞
n
exponentielle (réelle). L’image de 1 est notée e.
xn n
Proposition 3 Si (xn )n≥1 est une suite réelle de limite x, alors lim 1 +
= exp x.
n→∞
n
n
n
1 − x2n /n2
|xn |
1
n ≤
♣ Pour n assez grand,
suivant l’inégalité
< 1 et donc 1 + xn ≤ 1 + xn /n = n
1 − xn
1 − xn /n
de Bernoulli, ce qui montre la proposition
dans le cas particulier où x = 0. Le cas général en résulte parce
x − x n n
n
n
n
1 + x/n . ♣
que 1 + xn /n = 1 +
1 + x/n
Proposition 4 Pour tous réels x et x , exp(x + x ) = (exp x)(exp x ).
n n xx n
♣ On écrit 1 + x/n 1 + x /n = 1 + x + x +
n et l’on utilise la proposition précédente. ♣
n
Proposition 5 L’exponentielle réelle est strictement positive et strictement croissante.
x n ♣ Pour tout réel x, la suite
1+
est strictement positive croissante, donc exp x > 0 (on peut
n
n>|x|
n
aussi remarquer que (exp x)(exp(−x/2))2 = 1). Si x > 0, alors 1 + x/n > 1 pour tout entier n ≥ 1,
donc exp x > 1 ; il s’ensuit que la fonction exp est strictement croissante. ♣
n
n
Proposition 6 Pour tout réel y > 0, les suites 2n 1− 2 y −1 n≥0 et 2n 2 y−1 n≥0 sont adjacentes.
n+
1 2n+
1 2n+
1
1
n
1
y+1 ·2n+1 2
y−1 ; si 0 < y < 1, alors 0 <
y+1 < 1
♣ Pour tout n ≥ 0, 2n 2 y−1 =
2
2
1 2n+
n
n
1
n
y +1 et 2n 2 y −1 > 0 ;
et 2n 2 y −1 < 0 ; si y = 1, alors 2n 2 y −1 = 0 ; si 1 < y, alors 1 <
2
n
la suite 2n 2 y − 1 n≥0 est donc décroissante quel que soit y > 0. En remplaant y par y −1 , on en déduit
n
que la suite 2n 1 − 2 y −1 n≥0 est croissante pour tout y > 0. Les deux suites ont même limite ; en
n
n
effet, du fait que la suite 2n 2 y − 1 n≥0 est décroissante positive si y ≥ 1, il résulte que lim 2 y = 1
n→∞
n
n
n
pour tout y > 0 ; il reste à remarquer que 2n 2 y − 1 = 2 y · 2n 1 − 2 y −1 . ♣
Proposition 7 L’exponentielle réelle est surjective sur R∗+ .
n
♣ Soit y > 0. On pose xn = 2n 2 y − 1 pour tout n ≥ 0. D’après les propositions 6 et 3, x = lim xn
n→∞
2n
2n
existe et exp x = lim 1 + xn /2n
; or 1 + xn /2n
= y pour tout n ≥ 0, donc exp x = y. ♣
n→∞
L’application de R∗+ sur R réciproque de l’exponentielle est appelée logarithme (népérien) et notée ln.
L’exponentielle est l’unique isomorphisme de groupes ordonnés de (R, +) sur (R∗+ , ·) appliquant 1 sur e ;
soit en effet f un tel isomorphisme ; alors l’application ln ◦f est additive et ln(f (1)) = 1, donc ln ◦f induit
l’identité sur Q ; d’autre part, ln ◦f est croissante et il s’ensuit que ln ◦f est l’application identique de R.
Soit a > 0 ; pour tout réel x, on pose : ax = exp(x ln a).
Proposition 8 Pour tout x ∈ R, exp x = ex . Pour tous a, a ∈ R∗+ et tous x, x ∈ R, ax+x = ax ax ,
(aa )x = ax a x , (ax )x = axx . Pour a ∈ R∗+ \ {1}, la fonction x → ax est bijective de R sur R∗+ ,
décroissante si a < 1 et croissante si a > 1 ; pour x ∈ R \ {0}, la fonction a → ax est bijective de R∗+ sur
R∗+ , décroissante si x < 0 et croissante si x > 0.
♣ Les vérifications sont simples. ♣
2
Une construction élémentaire de l’exponentielle complexe
Pour tout y > 0 et pour tout entier n ≥ 2, y 1/n est
n-ième
l’unique racine
positive de y. Il résulte
des propositions 2 et 3 que les suites n 1 − y −1/n n≥1 et n y 1/n − 1 n≥1 sont adjacentes et que
ln y = lim n y 1/n − 1 pour tout y > 0.
n→∞
Proposition 9 Pour tout n ∈ N, on a :
ex
= +∞.
x→+∞ xn
lim
x n est croissante (à partir du
1+
n
n≥1
−n x
−n
n+1
−(n+1)
rang 1) pour x > −1 ; ainsi x e ≥ x (1 + x/(n + 1))
> (n + 1)
x pour tout x strictement
positif, n étant fixé dans N. ♣
♣ La démonstration de la proposition 2 montre que la suite
Proposition 10 L’exponentielle est dérivable sur R et est égale à sa dérivée.
♣ Pour tout réel h tel que |h| < 1, 1 + h ≤ eh ≤ (1 − h)−1 d’après la proposition 2, d’où l’encadrement
h ≤ eh − 1 ≤ h/(1 − h) ; on en déduit que pour tout x ∈ R, lim (ex+h − ex )/h = ex lim (eh − 1)/h = ex . ♣
h→0
R∗+
h→0
−1
Corollaire Le logarithme est une primitive sur
de x → x .
z n est de Cauchy.
Proposition 11 Pour tout z ∈ C, la suite
1+
n
n≥1
♣ Pour tous p, q entiers tels que 1 ≤ p ≤ q, on a :
q −k p −k k
q −k p −k k
q k q k
≤
− k p
− k p
z +
|z| +
k q
k z
k q
k |z| ,
0≤k≤p
p<k≤q
0≤k≤p
p<k≤q
q q p p
c’est-à-dire : 1 + z/q − 1 + z/p ≤ 1 + |z|/q − 1 + |z|/p , ce qui montre la proposition parce que
|z| n la suite réelle
1+
est convergente. ♣
n
n≥1
z n
. L’application ainsi définie sur C est appelée
Pour tout z ∈ C, on pose : exp z = lim 1 +
n→∞
n
exponentielle (complexe).
zn n
Proposition 12 Si (zn )n≥1 est une suite complexe de limite z, alors lim 1 +
= exp z.
n→∞
n
n
n
♣ Pour tout n ≥ 1, 1 + zn /n − 1 ≤ 1 + |zn |/n − 1 ; la proposition 3 permet donc de conclure dans
le cas où z = 0. Le cas général en résulte comme précédemment. ♣
Proposition 13 Pour tous complexes z et z , exp(z + z ) = (exp z)(exp z ).
♣ On procède comme dans le cas réel. ♣
Soit a > 0 ; pour tout complexe z, on pose : az = exp(z ln a).
Proposition 14 Pour tout z ∈ C, exp z = ez . Pour tous a, a ∈ R∗+ et tous z, z ∈ R, az+z = az az ,
z
(aa )z = az a , (az )z = azz .
♣ Les vérifications sont simples. ♣
Proposition 15 Soit z ∈ C. Le conjugué de ez est ez ; ez est non nul ; ez est de module 1 si et seulement
si z ∈ iR.
n n
♣ Pour tout n ≥ 1, 1 + z/n = 1 + z/n , d’où la première assertion. ez est inversible, d’inverse e−z .
Comme |ez |2 = ez+z = e2 z , la dernière assertion résulte de l’injectivité de l’exponentielle réelle. ♣
On définit les fonctions cosinus et sinus en posant pour tout ξ ∈ R : cos ξ = eiξ , sin ξ = eiξ . Les
propriétés de parité des fonctions cosinus et sinus, la relation cos2 + sin2 = 1 et les formules d’addition
résultent des propositions 13 et 15.
t
n
Proposition 16 Soit t un réel ; on définit la suite (tn )n≥0 par récurrence : t0 = t, tn+1 =
1
+
1 + t2n
n pour tout n. La suite 2 tn n≥0 est convergente.
♣ Pour tout n ≥ 0, tn a le signe de t et 2|tn+1 | ≤ |tn |. La suite 2n tn n≥0 est donc positive décroissante
si t ≥ 0 et négative croissante si t ≤ 0. ♣
3
Une construction élémentaire de l’exponentielle complexe
Pour tout t ∈ R, on pose : Arctg t = lim 2n tn , avec les notations de la proposition précédente. La fonction
n→∞
ainsi définie sur R est appelée arctangente. Pour tout w ∈ C \ R− , on appelle argument principal de w le
w
; il est noté Arg w. La fonction Arctg est impaire ; la fonction Arg est homogène de
réel 2 Arctg
|w| + w
degré 0.
Proposition 17 Pour tout t ∈ R, Arctg t = Arg(1 + it).
t
√
pour tout t ∈ R. ♣
1 + 1 + t2
1 + it 2
t
1 + it
√
Lemme 1 Soit t, t ∈ R ; alors t =
.
si et seulement si
=
|1 + it |
|1 + it|
1 + 1 + t2
♣ Chacune des conditions implique t et t ont même signe et que |t | < 1, ce que l’on suppose. Il suft
2t
√
fit alors de constater l’équivalence des conditions suivantes : (i) t =
; (ii) t =
;
1 − t2
1 + 1 + t2
1 + it 2
1 − t2
1
1 + it
√
; (ii) et (iii) impliquent
(iii)
=
;
la
condition
(ii)
exprime
que
=
|
2
1 + t2
|1
+
it
|1
+ it|
1+t
1 + it 2
1 + it
que · ♣
=
|1 + it |
|1 + it|
♣ Il résulte de la définition de Arctg que Arctg t = 2 Arctg
Proposition 18 Soit w un nombre complexe de module 1 distinct de −1 ; alors w = ei Arg w .
w
, ξ = Arg w ; on définit la suite (tn )
♣ On se ramène au cas où w > 0 et l’on pose t =
|w| + w
n
n
i(2n tn ) 2
i
= lim (1 + itn )2 ;
comme précédemment. D’après la proposition 12, e 2 ξ = lim 1 +
n
n→∞
n→∞
2 n
1 + it
2
i
n
2n
ξ
2
. D’après le lemme, la
en particulier, lim |1 + itn | = 1 et il vient donc : e = lim
n→∞
n→∞ |1 + itn |
1 + it 2n 1+w
1 + it
i
n
=
. Il reste à noter que
est constante et il s’ensuit que e 2 ξ =
suite
|1 + itn |
|1 + it|
|1 + w|
n≥0
1 + w 2
= w car ww = 1. ♣
|1 + w|
Pour tout w ∈ C \ R− , on appelle logarithme principal de w le nombre complexe Log w = ln |w| + i Arg w.
On définit d’autre part le nombre π par la relation 12 π = Arg i. Des propositions 7, 13 et 18 découle le
résultat suivant.
Proposition 19 L’exponentielle complexe est surjective sur C∗ ; pour tout w ∈ C \ R− , un antécédent de
w est Log w ; π vérifie la formule d’Euler eiπ = −1.
|h|2
·
Lemme 2 Si h un nombre complexe de module < 1, alors |eh − 1 − h| ≤
1 − |h|
2
ξ
sin ξ
ξ
et − 1 ≤
si 0 < ξ < 1.
En particulier, | cos ξ − 1| ≤
1−ξ
ξ
1−ξ
n
n
♣ Soit h ∈ C. Pour tout n ≥ 1, 1 + h/n − (1 + h) ≤ 1 + |h|/n − (1 + |h|) (voir la démonstration
de la proposition 11), donc |eh − 1 − h| ≤ e|h| − 1 − |h|. Si |h| < 1, alors e|h| ≤ (1 − |h|)−1 d’après la
proposition 2 d’où le résultat. ♣
Proposition 20 Pour tout ξ ∈ ] − π, π[ , Arg eiξ = ξ.
♣ Soit α > 0 tel que la fonction sinus soit strictement positive sur l’intervalle ]0, α[ ; cela revient à supposer
que sin 12 ξ > 0 et cos 12 ξ > 0 pour tout ξ ∈ ]0, α[ . Soit ξ ∈ ] − α, α[ . Par définition, Arg eiξ = 2 Arctg t avec
1 + it 2
1 + eiξ 2
i
i
sin ξ
1 + it
t=
; comme
= e 2 ξ parce que
=
= eiξ = (e 2 ξ )2 , il vient que
1 + cos ξ
|1 + it|
|1 + eiξ |
|1 + it|
cos 12 ξ > 0. Soit la suite (tn ) définie comme dans la proposition 16 ; compte tenu du lemme 1, le même
i
sin 21n ξ
1 + itn
= e 2n+1 ξ et que tn =
calcul montre que
pour tout n ≥ 1. Il résulte alors du lemme 2
|1 + itn |
1 + cos 21n ξ
4
Une construction élémentaire de l’exponentielle complexe
que lim 2n tn = 12 ξ. Ainsi Arg eiξ = ξ si ξ ∈ ] − α, α[ .
n→∞
On déduit du lemme 2 que cos 12 ξ > 0 et sin 12 ξ > 0 si 0 < ξ < 1 ; la fonction sinus est donc strictement
positive sur ]0, 1[ . Soit alors α0 = sup {α > 0 | ∀ ξ ∈ ]0, α[ sin ξ > 0}. La fonction sinus est strictement
positive sur ]0, α0 [ . Par définition de α0 , il existe une suite (ξn ) à valeurs dans ] 12 α0 , α0 [ convergeant vers
1
1
1
1
1
2 α0 telle que cos ξn < 0 pour tout n ; comme cos ξn = cos 2 α0 cos(ξn − 2 α0 ) − sin 2 α0 sin(ξn − 2 α0 ), le
1
1
lemme 2 entraı̂ne que lim cos ξn = cos 2 α0 ; par conséquent, cos 2 α0 ≤ 0. En considérant une suite dans
n→∞
]0, 12 α0 [ tendant vers 12 α0 , on voit de même que cos 12 α0 ≥ 0. Ainsi cos 12 α0 = 0 et par suite sin 12 α0 = 1.
i
D’après la première partie de la démonstration, on obtient alors : α0 = 2 Arg e 2 α0 = 2 Arg i = π. Ce qui
permet de conclure. ♣
La démonstration précédente montre que cos ξ > 0 si ξ ∈ ] − 12 π, 12 π[ ; en utilisant la formule d’Euler
(proposition 19), on en déduit que cos ξ = 0 si ξ ∈ R \ 12 π + πZ . On définit la fonction tangente sur
sin ξ
.
R \ 12 π + πZ par la formule tg ξ =
cos ξ
Proposition 21 Arctg induit une bijection croissante de R sur ] − 12 π, 12 π[ dont l’application réciproque
est la restriction de tg à ] − 12 π, 12 π[ .
♣ Soit 0 < t ≤ t ; les suites (tn )n≥0 et (tn )n≥0 sont définies comme dans la proposition 16 et convergent
2tn+1
2tn+1
respectivement vers Arctg t et Arctg t ; si tn ≤ tn pour un indice n, c’est-à-dire si
≤
2
2
1 − tn+1
1 − tn+1
(voir la démonstration du lemme 1), alors (tn+1 − tn+1 )(1 + tn+1 tn+1 ) ≥ 0 d’où tn+1 ≤ tn+1 , parce que
0 < tn+1 < 1 et 0 < tn+1 < 1 ; on conclut par récurrence que tn ≤ tn pour tout n ≥ 0 ; par suite,
Arctg t ≤ Arctg t . Comme la fonction Arctg est impaire, elle est croissante sur R.
1 + it
= ei Arg(1+it) = cos ξ + i sin ξ d’après les propositions 18 et 17, ce
Si t ∈ R et si ξ = Arctg t, alors
|1 + it|
qui implique que cos ξ > 0 et t = tg ξ. Ainsi tg ◦ Arctg est l’application identique de R ; en particulier, la
fonction Arctg est injective, donc strictement croissante.
t
t
√
√
; comme
< 1, on en déduit que
Soit t ≥ 0 ; on a vu que Arctg t = 2 Arctg
2
1+ 1+t
1 + 1 + t2
1
Arctg t < 2 Arctg 1 ; or 2 Arctg 1 = Arg i = 2 π par définition de l’argument et de π. Arctg applique donc
R dans ] − 12 π, 12 π[ .
Il reste à montrer que Arctg induit une surjection sur ]− 12 π, 12 π[ . Soit ξ ∈ ]− 12 π, 12 π[ . On sait que cos ξ > 0 ;
il s’ensuit que Arg(1 + tg ξ) = Arg eiξ ; les propositions 17 et 20 assurent alors que Arctg (tg ξ) = ξ. ♣
Proposition 22 a) Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques, de plus petite période positive égale à
2π.
b) ξ → cos ξ est positive sur [− 12 π, 12 π] et induit une bijection décroissante de [0, π] sur [−1, 1] ; ξ → sin ξ
est positive sur [0, π] et induit une bijection croissante de [− 12 π, 12 π] sur [−1, 1].
♣ Le signe des fonctions cosinus et sinus a été étudié dans la démonstration de la proposition 20 ; il
résulte alors de l’identité sin ξ − sin ξ = 2 cos 12 (ξ + ξ ) sin 12 (ξ − ξ) que la fonction sinus est strictement
croissante sur [− 21 π, 12 π] ; le sinus induit une surjection de [0, 12 π] sur [0, 1] ; soit en effet s ∈ [0, 1] ; on
√
√
pose ξ = Arg( 1 − s2 + is), de sorte que eiξ = 1 − s2 + is d’après la proposition 18 ; de plus, si s = 1,
s
ξ = Arg i = 12 π et si s < 1, alors ξ = Arctg √
selon la proposition 17, donc ξ ∈ [0, 12 π[ d’après
1 − s2
la proposition précédente ; on achève la démonstration de b) en utilisant l’identité cos ξ = sin( 12 π − ξ).
L’assertion a) est alors évidente. ♣
La proposition suivante est une conséquence immédiate du lemme 2.
Proposition 23 La fonction cos (resp. sin) est dérivable sur R, de dérivée − sin (resp. cos).
Corollaire La fonction Arctg est une primitive sur R de t →
5
1
.
1 + t2