Seconde 1 Exercices sur la géométrie dans l`espace : E4
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Seconde 1 2007 2008 Exercices sur la géométrie dans l'espace : E4. page n ° 1 E4 Savoir prouver un parallélisme. P 183 n ° 31. 1. ABD est un triangle. I est le milieu de [ AB ]. L est le milieu de [ AD ]. D'après le théorème des milieux, ( IL ) // ( BD ). BCD est un triangle. J est le milieu de [ BC ]. K est le milieu de [ CD ]. D'après le théorème des milieux, ( JK ) // ( BD ). Or deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles. Donc ( IL ) // ( JK ). De la même façon, I milieu de [ AB ] et J milieu de [ BC ] entraîne ( IJ ) // ( AC ). K milieu de [ CD ] et L milieu de [ AD ] entraîne ( KL ) // ( AC ). Donc ( IJ ) // ( KL ). 2. ( IL ) // ( JK ) et ( IJ ) // ( KL ). Donc les droites ( IL ) et ( JK ) sont coplanaires et sans point commun. Or si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, alors c'est un parallélogramme. Donc IJKL est un parallélogramme. P 183 n ° 33. SABCD est une pyramide de sommet S et de base ABCD. ( MN ) // ( BC ). ( MNP ) est un plan contenant la droite ( MN ). ( ABCD ) est un plan contenant la droite ( BC ). Le plan ( MNP ) coupe la droite ( CD ) en un point R. P est un point de l'arête [ AB ]. Donc P appartient aux plans ( MNP ) et ( ABCD ). Donc l'intersection des plans ( MNP ) et ( ABCD ) est la droite ( PR ). D'après le théorème du toit, la droite ( PR ) est parallèle aux droites ( MN ) et ( BC ). Seconde 1 2007 2008 Exercices sur la géométrie dans l'espace : E4. P 183 n ° 34. 1.ABCD est un parallélogramme. Donc ( AD ) // ( BC ). Or par hypothèse, ( MN ) // ( BC ). Et si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Donc ( AD ) // ( MN ). 2.a ) P est sur la droite ( AN ). A est un point du plan ( SAB ). N est un point de l'arête [ SB ] donc N est un point du plan ( SAB ). Donc la droite ( AN ) est une droite du plan ( SAB ). Ainsi P est un point du plan ( SAB ). P est sur la droite ( DM ). D est un point du plan ( SDC ). M est un point de l'arête [ CD ] donc M est un point du plan ( SDC ). Donc la droite ( DM ) est une droite du plan ( SDC ). Ainsi P est un point du plan ( SDC ). b ) S appartient à l'intersection des plans ( SAB ) et ( SDC ). P appartient à l'intersection des plans ( SAB ) et ( SDC ). Donc l'intersection des plans ( SAB ) et ( SDC ) est la droite ( SP ). c ) ABCD est un parallélogramme. Donc ( AB ) // ( CD ). SAB est un plan contenant la droite ( AB ). SDC est un plan contenant la droite ( CD ). SAB et SDC sont deux plans sécants. D'après le théorème du toit, leur intersection est parallèle aux droite ( AB ) et ( CD ). Donc ( SP ) // ( AB ) // ( CD ). P 183 n ° 35. 1a ) Par M, on trace la parallèle à la droite ( CD ) qui coupe ( BD ) en J. Donc ( MJ ) // ( CD ). MIJ est un plan contenant ( MJ ). ( ACD ) est un plan contenant ( CD ). I est un point du plan ( MIJ ). I est un point de la droite ( AC ). Donc I est un point du plan ( ACD ). Le plan ( MIJ ) coupe ( AD ) en N. Donc N est un point des plans ( MIJ ) et ( ACD ). Ainsi la droite ( IN ) est l'intersection des plans ( ACD ) et ( MIJ ). D'après le théorème du toit, la droite ( IN ) est parallèle aux droites ( MJ ) et ( CD ). b ) Par M, on trace la parallèle à la droite ( AB ) qui coupe ( AC ) en I. Donc ( MI ) // ( AB ). MIJ est un plan contenant ( MI ). ( ABD ) est un plan contenant ( AB ). J est un point du plan ( MIJ ). J est un point de la droite ( BD ). Donc J est un point du plan ( ABD ). Le plan ( MIJ ) coupe ( AD ) en N. Donc N est un point des plans ( MIJ ) et ( ABD ). Ainsi la droite ( JN ) est l'intersection des plans ( ABD ) et ( MIJ ). D'après le théorème du toit, la droite ( JN ) est parallèle aux droites ( IM ) et ( AB ). 2. Dans le quadrilatère IMJN, on a ( IN ) // ( MJ ) et ( JN ) // ( IM ). Donc le quadrilatère ( IMJN est un parallélogramme. page n ° 2