Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 4

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Daniel Alibert – Cours et Exercices corrigés – Volume 4
1
Daniel ALIBERT
Étude locale des fonctions dérivables. Développements
limités
Objectifs :
Savoir chercher si une fonction d'une variable réelle est dérivable en un
point. Calculer sa dérivée, et dans certains cas ses dérivées d'ordre
supérieur.
Pour les calculs de limites, savoir utiliser, et quand utiliser, les techniques
suivantes : fonctions dérivées, développement limité.
Savoir interpréter graphiquement les premiers termes d'un développement
limité.
Savoir utiliser un logiciel de calcul (Maxima) pour atteindre les objectifs
précédents.
2
Organisation, mode d'emploi
Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu, dans son format
comme dans son contenu, en vue d'un usage pratique simple.
Il s'agit d'un livre d'exercices corrigés, avec rappels de cours.
Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet,
il doit au contraire l'accompagner en fournissant des exemples illustratifs,
et des exercices pour aider à l'assimilation du cours.
Ce livre a été écrit pour des étudiants de première et seconde années des
Licences de sciences, dans les parcours où les mathématiques tiennent une
place importante.
Il est le fruit de nombreuses années d'enseignement auprès de ces
étudiants, et de l'observation des difficultés qu'ils rencontrent dans l'abord
des mathématiques au niveau du premier cycle des universités :
- difficulté à valoriser les nombreuses connaissances mathématiques dont
ils disposent lorsqu'ils quittent le lycée,
- difficulté pour comprendre un énoncé, une définition, dès lors qu'ils
mettent en jeu des objets abstraits, alors que c'est la nature même des
mathématiques de le faire,
- difficulté de conception et de rédaction de raisonnements même simples,
- manque de méthodes de base de résolution des problèmes.
L'ambition de cet ouvrage est de contribuer à la résolution de ces
difficultés aux côtés des enseignants.
Ce livre comporte quatre parties.
3
La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats qui
sont utilisés dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni
démonstration, ni exemple.
La seconde est intitulée "Pour Voir" : son rôle est de présenter des
exemples de toutes les définitions, et de tous les résultats de la partie
précédente, en ne faisant référence qu'aux connaissances qu'un étudiant
abordant le chapitre considéré a nécessairement déjà rencontré (souvent
des objets et résultats abordés avant le baccalauréat). La moitié environ de
ces exemples sont développés complètement, pour éclairer la définition ou
l'énoncé correspondant. L'autre moitié est formée d'énoncés intitulés
"exemple à traiter" : il s'agit de questions permettant au lecteur de réfléchir
de manière active à d'autres exemples très proches des précédents. Ils sont
suivis immédiatement d'explications détaillées.
La troisième partie est intitulée "Pour Comprendre et Utiliser" : des
énoncés d'exercices y sont rassemblés, en référence à des objectifs. Ces
énoncés comportent des renvois de trois sortes :
(☺) pour obtenir des indications pour résoudre la question,
( ) lorsqu'une méthode plus générale est décrite,
( ) renvoie à une entrée du lexique.
Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie
3 - 2. Au cours de la rédaction, on a souvent proposé au lecteur qui
souhaiterait approfondir, ou élargir, sa réflexion, des questions
complémentaires (QC), également corrigées de façon détaillée.
La quatrième partie, "Pour Chercher", rassemble les indications, les
méthodes, et le lexique.
Certains livres d'exercices comportent un grand nombre d'exercices assez
voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l'étudiant
4
en mathématiques. Ce n'est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à
traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent
des aspects variés d'une question du niveau du L1 L2 de sciences pour
l'éclairer de diverses manières et ainsi aider à sa compréhension.
Le lecteur est invité, à propos de chacun d'entre eux, à s'interroger sur ce
qu'il a de général (on l'y aide par quelques commentaires
Table des matières
1 A Savoir ........................................................................... 7
1-1 Dérivation des fonctions d'une variable réelle 7
1-2 Dérivations successives des fonctions........... 10
1-3 Développements limités ................................ 12
1-4 Développements asymptotiques .................... 15
1-5 Étude locale des fonctions ............................. 16
2 Pour Voir ....................................................................... 20
2-1 Dérivation des fonctions d'une variable réelle20
2-2 Dérivations successives des fonctions........... 28
2-3 Développements limités ................................ 31
2-4 Développements asymptotiques .................... 40
2-5 Étude locale des fonctions ............................. 43
3 Pour Comprendre et Utiliser .......................................... 57
3-1 Énoncés des exercices ................................... 57
3-2 Corrigés des exercices ................................... 72
3-3 Corrigés des questions complémentaires .... 121
4 Pour Chercher .............................................................. 129
4-1 Indications pour les exercices ..................... 129
4-2 Méthodes ..................................................... 136
4-3 Lexique ........................................................ 139
5
6
1
7
A Savoir
Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales définitions et les
principaux énoncés utilisés. Vous devrez vous référer à votre cours pour
les démonstrations.
Vous trouverez des exemples dans la partie 2*Pour Voir.
1-1 Dérivation des fonctions
d'une variable réelle
Définition
Soit x0 un réel, et f une application définie sur un intervalle ouvert centré
en x0, à valeurs dans R.
On dit que f est dérivable en x0 si le quotient :
f(x) − f(x0 )
x − x0
admet une limite lorsque x tend vers x0, en restant différent de x0.
Cette limite est la dérivée de f en x0, notée f'(x0).
df
Une autre notation usuelle pour la dérivée de f en x0 est
(x0 ).
dx
Une formulation équivalente est la suivante : il existe un réel a, et une
application définie sur un intervalle ouvert centré en 0, tendant vers 0 en
0, notée ε, telles que l'égalité suivante soit vérifiée, pour |x – x0| assez petit
:
f(x) = f(x0) + (x – x0) a + (x – x0) ε(x – x0).
Le réel a est la dérivée de f en x0.
On dit souvent, par abus, que "l'expression f(x)" est dérivable.
8
Si f est définie sur un intervalle de la forme ]t , x0], on dit que f est
f(x) − f(x0 )
dérivable à gauche en x0, si le quotient
admet une limite
x − x0
lorsque x tend vers x0, avec x < x0.
Cette limite est la dérivée à gauche de f en x0, notée fg' (x 0 ).
On définit de manière analogue la dérivée à droite.
Si f est dérivable pour tout x d'un ensemble I, on dit que f est dérivable
sur I. L'application qui à x de I associe f'(x) est l'application dérivée de f,
ou la dérivée de f.
Proposition
Si f est dérivable en x0, alors f est continue en x0.
Proposition
Soient f et g des fonctions dérivables en x0.
1) Pour tout couple de réels (α, β), la combinaison linéaire α.f + β.g est
dérivable en x0, et :
(α.f + β.g)'(x0) = α.f'(x0) + β.g'(x0).
2) Le produit f.g est dérivable en x0, et :
(f.g)'(x0) = f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0).
Proposition
Soit f une application définie au voisinage de x0.
Soit g une application définie au voisinage de f(x0), composable avec f.
Si f est dérivable en x0, et g dérivable en f(x0), alors l'application composée
g o f est dérivable en x0, et :
(g o f)'(x0) = g'(f(x0))f'(x0).
9
Proposition
Soient I et J, des intervalles de R, et f : I --. J une application continue
bijective. On note f −1 l'application réciproque, de J dans I.
Si f est dérivable en x0, élément de I, et si f'(x0) est différent de 0, alors f −1
est dérivable en f(x0), et sa dérivée en f(x0) est :
'
1
f −1 (f (x 0 ))=
.
f' (x0 )
( )
Les dérivées des fonctions usuelles sont à connaître, ainsi que leur
domaine de définition :
fonction
dérivée
domaine
n-1
n
x → n.x
si n < 0, x ≠ 0
x→x ,n∈Z
si n ≥ 0, R
1
x → log(x)
x→
x
(logarithme naturel)
x>0
x
x
R
x→e
x→e
x → sin(x)
x → cos(x)
R
En application de ce tableau et des résultats précédents (dérivation d'une
fonction composée), on obtient un autre tableau de formules de dérivation
à connaître :
forme des fonctions
dérivée
u
u' v − uv'
v
v2
u'
log(u)
u
u
u
e
u' e
x
ax , a > 0
log(a)a
x → xα, α ∈ R
x → α.xα−1, x > 0 si α ∈ N
10
1-2 Dérivations successives
des fonctions
Définition
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert I.
Soit f' sa fonction dérivée, également définie sur I.
Soit a un point de I. Si f' est dérivable en a, on dit que f est deux fois
dérivable en a, et la dérivée de f' en a est la dérivée seconde de f en a,
notée f"(a).
On définit ainsi de proche en proche la dérivée n-ième de f au point a par
:
(
)
'
f ( n) (a) = f (n −1) (a).
d nf
(x 0 ).
dx n
Noter que l'existence de la dérivée n-ième en a suppose l'existence des
dérivées d'ordre inférieur sur un intervalle ouvert centré en a, et pas
seulement en a.
Si la dérivée n-ième d'une application existe sur un intervalle ouvert I,
on dit que f est n fois dérivable sur I. Si de plus la dérivée n-ième est
continue sur I, on dit que f est n fois continûment dérivable sur I, ou de
classe Cn sur I. On écrira souvent f ∈ Cn(I).
Si la fonction f est n fois dérivable sur I, quel que soit n, on dit qu'elle
est indéfiniment dérivable, ou encore de classe C∞.
La dérivée n-ième d'une somme de fonctions est la somme des dérivées
n-ièmes de chacune.
Autre notation :
11
Proposition
Formule de Leibniz.
Soient f et g des fonctions n fois dérivables en x0. Le produit fg est
dérivable n fois également et :
k =n
(fg)( n) (x 0 ) = ∑ Ckn f ( k) (x 0 )g (n −k ) (x0 ).
k= 0
Dans cette formule, on convient que f(0) désigne f.
Rappel. Le symbole C kn désigne le coefficient du binôme :
C kn =
k!(n − k)!
.
n!
12
1-3 Développements limités
Théorème
Formule de Taylor-Young.
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I.
Soit x0 un élément de I. On suppose que la dérivée n-ième en x0 existe.
Il existe une fonction h → ε(h), définie sur un intervalle ouvert centré en
0, tendant vers 0 lorsque h tend vers 0, telle que l'égalité suivante soit vraie,
pour x appartenant à un intervalle ouvert centré en x0 contenu dans I :
n
f(x) = f (x0 ) + ∑
k=1
(x − x 0)
k
k!
f ( k) (x 0 ) + (x − x0 ) ε(x − x 0 ).
n
Définition
Soit I un intervalle ouvert, et x0 un élément de l'adhérence de I, c'est-à-dire
un point de I ou une de ses extrémités. Soit f : I → R, une fonction.
On dit que la fonction polynôme de x :
P(x – x0) = a0 + a1(x – x0) + … + an(x – x0)n
est un développement limité à l'ordre n de f en x0 si l'expression f(x) –
P(x – x0) est de la forme (x – x0)nε(x – x0), la fonction h ∞ ε(h) tendant
vers 0 lorsque h tend vers 0.
P est la partie régulière du développement, et (x – x0)nε(x – x0) en est
le reste, ou terme complémentaire.
La formule de Taylor-Young fournit un développement limité pour les
fonctions qui en vérifient les hypothèses.
Proposition
Si P existe, il est unique.
13
Proposition
Si f et g admettent des développements limités à l'ordre n en x0, de parties
régulières P et Q, alors :
1) Pour tout couple de réels, (α, β), la combinaison linéaire α.f + β.g admet
un développement limité à l'ordre n en x0, dont la partie régulière est la
combinaison linéaire α.P + β.Q des parties régulières des développements
de f et de g.
2) Le produit fg admet un développement limité à l'ordre n en x0, dont la
partie régulière s'obtient en tronquant au degré n le produit PQ.
(C'est-à-dire en ne conservant que les monômes en (x – x0)k, k ≤ n).
Proposition
Si f admet un développement limité en x0, de partie régulière P, et
y0 = lim(f(x)) en x0, et si g est une fonction composable avec f qui admet
un développement limité en y0, de partie régulière Q, alors on obtient un
développement limité de gof en x0 en substituant P(x – x0) à y dans
Q(y – y0), et en tronquant le polynôme obtenu au degré convenable (c'està-dire significatif compte tenu des termes complémentaires)
Proposition
Soit f : [a , b]→ R, continue.
On suppose que f admet en x0 ∈ [a , b] un développement limité à l'ordre
n, de partie régulière P(x – x0).
Soit F : [a , b] → R une primitive de f. Alors F admet un développement
limité à l'ordre n + 1 en x0, dont la partie régulière est obtenue en calculant
la primitive de P(x – x0) égale à F(x0) en x0.
14
formulaire
Les développements suivants en 0 sont à connaître parfaitement.
On figure ci-dessous la partie régulière de chaque développement limité.
fonctions
x → (1 + x)α
(ci-dessous deux cas
particuliers)
développements
xk
1+ ∑
α(α – 1)…(α − k + 1)
k =1 k!
1
1+ x
x a 1+ x
1 − x + x + …+ (−1) x
n
1
1
1
5 4
1 + x − x2 + x3 −
x
2
8
16
128
4
2
xa
x → sin(x)
x → cos(x)
x→e
x
x → log(1 + x)
ordre
n
x−
n n
2p+1
x3 x5
p x
+
+ …+ (−1)
3! 5!
(2p + 1)!
cos(x) = 1 −
x2 p
x2 x4
+
+ … +( −1) p
2! 4!
(2p)!
x2
xn
+ …+
2!
n!
2
xn
x
x−
+ …+ ( −1)n+1
2
n
1+x +
n
2p + 2
2p + 1
n
n
15
1-4 Développements asymptotiques
Il s'agit de généraliser l'écriture de développements limités à différents
cas :
Fonction non bornée au voisinage de x0.
Développement au voisinage de l'infini.
Définition
Soit x0 un réel et f une fonction définie sur un voisinage épointé ( ) de
ce point, non nécessairement bornée sur ce voisinage épointé.
On appelle développement asymptotique d'ordre n de f au voisinage de x0
i =n
une fonction rationnelle de la forme ∑ a i (x − x 0 ) , où p et n sont des
i
i =p
entiers relatifs (p ≤ n), vérifiant :

i= n
i
−n 
lim f(x) − ∑ a i (x − x0 )  (x − x 0 )  = 0.
x −> x 0 
i= p


Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle non borné.
On appelle développement asymptotique d'ordre n de f à l'infini une
i =n
−i
fonction rationnelle de la forme ∑ a i x , où p et n sont des entiers relatifs
i =p
(p ≤ n), vérifiant (cas de +∞) :

i= n

i n
lim f(x) − ∑ a i x  x  = 0.
x −> +∞ 
i= p
 
16
1-5 Étude locale des fonctions
La dérivée permet dans certains cas de résoudre des problèmes de limites
(on en a vu un exemple dans le volume 3, à propos de la recherche
d'équivalents).
Proposition
Règle de l'Hôpital
Soit a un réel, et soient f et g des fonctions définies sur un intervalle ouvert
centré en a, continues en a. On suppose f et g dérivables sur un voisinage
épointé ( ) de a, g non nulle sur un voisinage épointé de a, enfin :
f(a) = g(a) = 0.
Alors si le rapport :
f' (x)
g' (x)
a une limite finie en a, le rapport :
f(x)
g(x)
a également une limite finie, et :
 f( x) 
 f' (x) 
 = lim 
.
x −>a  g(x) 
x−>a  g' (x) 
lim 
x ≠a
x ≠a
Corollaire
Si f est continue en a, dérivable sur un voisinage épointé (
a une limite finie en a, alors f est dérivable en a, et :
lim (f' (x)) = f' (a)).
) de a, et si f'
x −>a
x ≠a
La dérivée en un point donne également des informations sur le
comportement d'une fonction au voisinage de ce point (étude locale).
17
Dans un calcul de limite, on peut toujours remplacer une fonction par
son développement limité s'il existe au point considéré.
Le premier terme non nul du développement limité d'une fonction, s'il
existe, est un équivalent de la fonction.
Cela permet d'obtenir des informations géométriques sur le graphe de la
fonction.
Proposition
Soit f : R→ R, dérivable en x0, admettant en x0 un maximum local ou un
minimum local. Alors f'(x0 ) = 0 .
Soit f une application définie sur un intervalle I.
On rappelle que le graphe G de f (ou courbe représentative) est le sousensemble du plan R2 formé des couples (x , f(x)), x étant un point
quelconque de I.
Soit x0 un point de I, et M(x0) le point de G d'abscisse x0. Une droite
passant par M(x0) a une équation de la forme :
y = f(x0) + a.(x – x0),
a désignant le coefficient directeur. Notons cette droite D(a).
Définition
Soit M(x) le point de G d'abscisse x. On dit que D(a) est tangente à G si la
fonction :
x ∈ I, x→ distance(M(x), D(a))
est négligeable devant la fonction :
x→ distance(M(x), M(x0))
quand x tend vers x0 dans I.
18
M(x)
M(x0)
x0
x
Proposition
Soit f une fonction dérivable en un point x0. La droite D(f'(x0)) est la
tangente à G en x0.
Proposition
Soit f une fonction admettant un développement limité au voisinage d'un
point x0.
1) Si ce développement est à l'ordre 1 :
f(x) = a0 + a1 (x – x0) + (x – x0)ε(x – x0)
la droite d'équation y = a0 + a1 (x – x0) est la tangente au graphe de f au
point d'abscisse x0.
2) Si ce développement est à l'ordre 2 :
f(x) = a0 + a1 (x – x0) + a2(x – x0)2 + (x – x0)2ε(x – x0)
la position du graphe est donnée par le signe de a2 (si a2 ≠ 0).
Si a2 > 0, le graphe est au-dessus de sa tangente.
Si a2 < 0, la courbe est au-dessous de sa tangente.
19
Définition
Une droite D est asymptote à G lorsque x tend vers l'infini si, quand x tend
vers l'infini, la distance du point de G d'abscisse x à la droite D tend vers
0.
Proposition
Soit f une fonction admettant un développement asymptotique en +∞ de la
a
ε(x)
forme suivante : f(x) = a −1 x + a 0 + 1 +
.
x
x
La droite d'équation y = a −1x + a0 est asymptote à la courbe représentative.
Si a1 > 0, la courbe est au-dessus de son asymptote.
Si a1 < 0, la courbe est au-dessous de son asymptote.
Les mêmes considérations s'appliquent également en –∞.
2
20
Pour Voir
Dans cette partie, on présente des exemples simples des notions ou
résultats abordés dans la partie précédente. Ils sont suivis de questions très
élémentaires pour vérifier votre compréhension.
2-1 Dérivation des fonctions d'une variable réelle
"On dit que f est dérivable en x0 si le quotient
f(x) − f(x 0 ) admet une limite lorsque
x − x0
x tend vers x0, en restant différent de x0."
exemple 1
Si f est l'application définie par :
3
f(x) = x − x + 2 ,
on vérifie facilement qu'elle est dérivable en 1, et même en tout point a :
f(x) − f(1) x 3 − x + 2 − 2
=
x −1
x −1
x(x − 1)
=
x −1
= x,
(ce calcul est fait pour x ≠ 1), donc :
 f(x) − f(1)
= 1.
lim 
x −1 
x→1
x ≠1
21
Plus généralement :
3
3
 f(x) − f(a)  x − x + 2 − a + a − 2
=
 x−a 
x−a
=
x 3 − a3 − x + a
x−a
=
(x − a)(x + ax + a ) − (x − a)
x−a
2
2
= x 2 + ax + a 2 − 1,
d'où :
 f(x) − f(a) 
2
= 3a − 1.
lim 

x
−
a
x→ a
x ≠a
On voit que le calcul est long, même dans un cas simple, d'où l'intérêt de
méthodes et de formules générales.
exemple 2
(à traiter)
Soit g l'application "valeur absolue". Est-elle dérivable en 0, en 0,5 ?
# réponse
En 0.
Il s'agit d'étudier la limite de l'expression
x
, quand x tend vers 0, en étant
x
différent de 0. On distingue deux cas :
x
si x > 0,
= 1, donc la limite à droite existe et vaut 1,
x
x
si x < 0,
= – 1, donc la limite à gauche existe et vaut – 1.
x
22
Ces deux limites partielles étant différentes, on conclut que g n'est pas
dérivable en 0.
En 0,5, et plus généralement en a ≠ 0.
x−a
Dans ce cas, pour étudier la limite de
, on peut supposer x du même
x −a
signe de a, puisque x – a peut être supposé aussi petit que l'on veut.
On conclut que g est dérivable, de dérivée 1 si a > 0, et de dérivée – 1 si
a < 0.
"Une formulation équivalente est la suivante : il existe un réel a, et une application définie
sur un intervalle ouvert centré en 0, tendant vers 0 en 0, notée ε, telles que l'égalité
suivante soit vérifiée, pour |x – x0| assez petit :
f(x) = f(x0) + (x – x0) a + (x – x0) ε(x – x0)."
exemple 3
Prenons l'exemple de l'application définie par f(x) = x2 + x + 1.
Étudions la dérivabilité en 0 :
f(x) − f(0) = x2 + x + 1 − 1
( x + x + 1 − 1)( x + x + 1 + 1)
=
( x + x + 1 + 1)
2
2
2
=
x2 + x + 1− 1
( x + x + 1 + 1)
=x
2
(x
1
2
+ x2
1
) ( x + x + 1 + 1)
+ x +1 +1
2
.
Or
(x
1
2
)
+ x +1 +1
tend vers

1
f(x) − f(0) = x + x

2

(
1
en 0, d'où :
2
1
1
− +
2
x + x + 1 +1 2
Le deuxième terme du second membre :

1
1
x
− +

2
2
 x + x +1 +1
(
23
)
)
(
(

.
2

x + x +1 +1 
x
)


2

x + x +1 +1 
x
)
est bien de la forme voulue, x ε(x), avec ε tendant vers 0 en 0, donc
f'(0) =
1
.
2
exemple 4
(à traiter)
Il est parfois plus pratique d'utiliser cette propriété pour démontrer la
dérivabilité d'une fonction et calculer sa dérivée.
Vérifier, de cette manière, que l'expression suivante est dérivable en 0 :
x 2 + x cos(x) − x
2x − 3 +
2
x + x+ 4
et calculer sa dérivée.
# réponse
On forme d'abord la différence entre l'expression et sa valeur en a (ici,
a = 0) :
x 2 + x cos(x) − x
x2 + xcos(x) − x
2x − 3 +
− (−3) = 2x +
2
2
x + x+ 4
x +x+4
24
puis on essaie de mettre x – a (ici, simplement x) en facteur :


x 2 + x cos(x) − x
 2 + x + cos(x) − 1 .
2x +
=
x
2
2

x +x+ 4
x +x+4 
On étudie maintenant la limite en 0 du terme en facteur de x :
x + cos(x) − 1
2+
→ 2.
2
x +x+4
Si cette limite existe, l'expression est dérivable, et la limite est la dérivée.
(Comparer avec un calcul utilisant les formules usuelles de dérivation !)
On peut, plus directement, distinguer dans l'expression une "partie affine",
2x – 3, et une partie où x est en facteur d'une expression tendant vers 0,
x + cos(x) − 1
x
. On conclut alors que – 3 est la valeur en 0, et 2x la partie
2
x +x+4
linéaire, donc 2 la dérivée.
Ce n'est d'ailleurs que lorsque ce "repérage" formel est simple qu'on pourra
se dispenser du calcul usuel de la dérivée. On y reviendra plus tard dans le
cas des fonctions de plusieurs variables.
"Si f est définie sur un intervalle de la forme ]t , x0], on dit que f est dérivable à gauche
en x0, si le quotient
f(x) − f(x 0 ) admet une limite lorsque x tend vers x , avec x < x ."
0
0
x − x0
exemple 5
Reprenons l'exemple 2.
L'application valeur absolue n'est pas dérivable en 0, comme on a vu, mais
elle est dérivable à gauche, de dérivée – 1, et à droite, de dérivée 1.
exemple 6
(à traiter)
Soit r l'application définie par :
25
r(x) = (x − 1) x − 1.
Elle est définie pour x ≥ 1. Montrer qu'elle est dérivable à droite en 1.
Calculer la dérivée à droite en 1.
# réponse
Il suffit d'écrire :
(x − 1) x − 1 = 0 + 0(x − 1) + (x − 1) x − 1,
ce qui prouve la dérivabilité, puisque r(1) = 0. La dérivée est 0.
"Si f est dérivable en x0, alors f est continue en x0."
exemple 7
En particulier, si une application n'est pas continue, elle n'est pas dérivable.
Ainsi, l'application "partie entière" n'est dérivable en aucun point de Z.
Elle est toutefois dérivable à droite, de dérivée 0, en ces points.
exemple 8
(à traiter)
Inversement, une application peut être continue en x0 sans y être dérivable.
On a vu la valeur absolue en 0 (exemple 1).
Déterminer pour quelles valeurs de α, réel, l'application Lα, définie par les
expressions :
L α (x) = x −1 + x α log(x )
Lα(0) = 0,
est continue, respectivement dérivable, en 0.
# réponse
Si x tend vers 0, log(|x|) tend vers – ∞, x – 1 tend vers – 1. Le produit
α
x log( x ) tend vers 0 si et seulement si α > 0, et n'a pas de limite si α ≤ 0.
26
Conclusion : l'application Lα est continue pour α > 0.
Si on factorise Lα(x) + 1 – x par x, on obtient :
(
)
L α (x) + 1 − x = x x α−1 log( x ) .
Si α > 1, l'expression en facteur de x a bien une limite, sinon, elle n'a pas
de limite.
Conclusion : l'application Lα est dérivable en 0 pour α > 1, et L'α(0) = 0.
"Si f est dérivable en x0, et g dérivable en f(x0), alors l'application composée g o f est
dérivable en x0, et :
(g o f)'(x0) = g'(f(x0))f'(x0)."
exemple 9
Il se peut que g o f soit dérivable en un point sans que f le soit : ainsi
l'application "valeur absolue" n'est pas dérivable en 0, mais si g est
l'application "élévation au carré", l'application composée g o f :
x a x a ( x ) , est égale à g, donc dérivable en 0.
2
exemple 10
(à traiter)
Il se peut également que g o f soit dérivable sans que g le soit. Essayer de
construire un exemple.
# réponse
On peut penser à composer les deux applications précédentes :
(f o g)(x) = |x2| = x2, donc f o g = g est dérivable en 0.
Ici, f est dérivable à droite en 0, et g prend ses valeurs à droite de 0,
justement.
27
"Soient I et J, des intervalles de R, et f : I →J une application continue bijective. Si f est
dérivable en x , élément de I, et si f'(x ) est différent de 0, alors f -1 est dérivable en f(x ),
0
et sa dérivée en f(x0) est
(f )
−1 '
0
(f (x 0 ))= f' 1x . "
( 0)
0
exemple 11
Il n'est pas nécessaire de connaître l'expression de la réciproque de f en
fonction de la variable pour appliquer ce résultat.
Soit f définie sur [0 , +∞[ par :
4
3
2
f(x) = x + x + x + 1.
Elle est continue, et bijective (car strictement croissante), de [0 , +∞[ sur
[1 , +∞[. Elle est dérivable et sa dérivée ne s'annule pas. Sa fonction
réciproque est donc dérivable. Par exemple, au point 4 = f(1) :
1
1
1
−1 '
f
(4) =
=
= .
f' (1) 4 + 3 + 2 9
( )
exemple 12
(à traiter)
Vérifier que l'application g définie par g(x) = x |x| est continue et bijective
de R sur R. Son application réciproque est-elle dérivable sur R ? Quelle
est sa dérivée, lorsqu'elle existe ?
# réponse
En effet pour x > 0, g(x) = x2, donc est dérivable, et g'(x) = 2x n'est pas
nul. De même pour x < 0, g(x) = – x2, et g'(x) = – 2x. Comme g(0) = 0, on
voit que g est continue, et strictement croissante (signe de la dérivée), donc
bijective. Si on ne veut pas utiliser ce résultat, qui sera rappelé dans un
prochain volume, on peut procéder directement : si x et y vérifient
x |x| = y |y|, alors x et y ont le même signe, ou sont nuls tous les deux. Dans
le premier cas, supposons par exemple x et y positifs, on a x2 = y2, et x =
28
y toujours à cause du signe. On raisonne de même si x et y sont négatifs.
Donc g est injective.
Si z est un réel positif, il a une racine carrée positive, soit x, d'où g(x) = z.
Si z est un réel négatif, on raisonne de même, avec – z. On trouve que g
est bien surjective, donc bijective.
Enfin g est continue, comme on a vu plus haut, et dérivable pour x ≠ 0.
En 0, g est également dérivable, de dérivée 0 :
g(x) − g(0) x x
=
= x.
x−0
x
Donc g-1 est dérivable en dehors de g(0), soit 0 :
'
'
1
1
g −1 (y) =
, si y > 0, g−1 (y) =
, si y < 0.
2 y
2 −y
( )
( )
2-2 Dérivations successives des fonctions
Soit a un point de I. Si f' est dérivable en a, on dit que f est deux fois dérivable en a, et la
dérivée de f' en a est la dérivée seconde de f en a, notée f"(a). On définit ainsi de proche
(
)
'
en proche la dérivée n-ième de f au point a par f (n) (a) = f (n− 1) (a).
exemple 13
La fonction f définie par :
f(x) =
1
1 + x2
est indéfiniment dérivable sur R.
En effet elle est dérivable, car quotient de fonctions dérivables, et :
−2x
'
f (x) =
2.
1+ x 2
(
)
On écrira cette égalité sous la forme :
'
2
f (x) = −2x × f(x) .
29
Il en résulte, par récurrence, que f est dérivable à l'ordre n pour tout n.
En effet, c'est vrai pour n = 1, comme on l'a vu, et si f est n fois dérivable,
f' aussi d'après la relation ci-dessus, donc f est n + 1 fois dérivable.
exemple 14
(à traiter)
Vérifier que, dans l'exemple ci-dessus, on a la relation :
2 '
(1 + x )f (x) + 2x × f(x) = 0
et en déduire une relation entre f"(x), f'(x), f(x).
Calculer f"(0).
# réponse
La première relation est facile à déduire de l'expression de f'(x). On peut
la dériver :
2
(1 + x ) f ′′(x) + 4xf ′(x) + 2f(x) = 0.
On trouve f"(0) = – 2f(0) = – 2.
"Soient f et g des fonctions n fois dérivables en x0. Le produit fg est dérivable n fois
également et :
k =n
( fg )(n) (x0 ) = ∑ Cnk f (k) (x 0 )g(n− k) (x 0 ). "
k =0
exemple 15
Les fonctions exponentielle et cosinus sont indéfiniment dérivables, donc
leur produit également, et la formule ci-dessus donne :
k =n
(exp(x) cos(x))( n) = ∑ C kn exp(x)(k ) cos(x)(n − k) ,
k =0
soit :
k =n
π
2
(exp(x) cos(x))( n) = ∑ C kn exp(x) cos(x +(n - k) ),
k =0
k =n
30
π
2
(exp(x) cos(x))( n) = exp(x) ∑ C kn cos(x+ (n - k) ).
k =0
exemple 16
(à traiter)
Déterminer la valeur en 0 de la dérivée d'ordre n de la fonction g définie
par :
2
g(x) = e x .
On calculera g'(x) en fonction de g(x), puis on utilisera la formule de
Leibniz.
# réponse
Pour la dérivée :
2
g ′(x) = 2xe x = 2xg(x).
D'où :
g( n +1) (x) = (2xg(x))( n) ,
k= n
= 2 ∑ C kn (Id )(k )( x)g( n − k ) (x),
k =0
( n)
= 2xg
(x) + 2ng (n −1 ) (x).
Pour la valeur en 0, il vient :
( n+1)
( n−1)
g
(0) = 2ng
(0 ).
Donc :
Si n est impair, g(n)(0) = 0, puisque g'(0) = 0.
Si n est pair, n = 2p, g(2p)(0) = 2(2p – 1)g(2p – 2)(0), d'où :
g
( 2p)
(0) = 2(2p − 1)g
(2 p−2)
31
(0 )
= 2(2p − 1)2(2p − 3)g(2 p−4) ( 0)
= 2p (2p − 1)(2p − 3)…3.1.g(0)
= 2p (2p − 1)(2p − 3)…3.1.
2-3 Développements limités
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Soit x0 un élément de I. On suppose
que la dérivée n-ième en x0 existe. Il existe une fonction h ∞ ε(h), définie sur un intervalle
ouvert centré en 0, tendant vers 0 lorsque h tend vers 0, telle que l'égalité suivante soit
vraie, pour x appartenant à un intervalle ouvert centré en x0 contenu dans I :
n
f(x) = f (x0 ) +
∑
(x − x 0 )k
k!
f (k) (x0 ) + (x − x0 ) ε (x − x0 ).
n
k=1
exemple 17
Pour les fonctions polynômes, la formule de Taylor, à un ordre supérieur
ou égal au degré du polynôme, conduit à une égalité (sans terme ε(h)) :
n
f(x) = f (x0 ) + ∑
k =1
(x − x 0)
k
k!
f ( k) (x 0 ).
exemple 18
(à traiter)
Écrire la formule de Taylor en 0, à l'ordre 6, pour la fonction g de l'exemple
16.
32
# réponse
A partir de la valeur des dérivées successives en 0, on trouve :
2
x2
x4
x6 3
e x = 1+ .2 + .2 2.3 +
2 .5.3 + x 6 ε(x),
2
4!
6!
= 1+ x 2 +
4
6
x
x
+
+ x6 ε(x).
2
6
On dit que la fonction polynôme de x :
P(x – x0) = a0 + a1(x – x0) + … + an(x – x0)n
est un développement limité à l'ordre n de f en x0 si l'expression f(x) – P(x – x0) est de
la forme (x – x0)nε(x – x0), la fonction h --. ε(h) tendant vers 0 lorsque h tend vers 0."
exemple 19
Si f est définie par :
f(x) = 1 + x + x 2 +
x2 (cos(x) − 1)
,
2
1+ x
2
alors 1 + x + x est son développement limité à l'ordre 2 en 0.
(cos(x) − 1)
En effet, il est clair que
tend vers 0 quand x tend vers 0.
2
1+ x
exemple 20
(à traiter)
2
Vérifier, dans l'exemple précédent, que 1 + x + x
développement limité à l'ordre 3.
est également le
33
# réponse
Il faut s'assurer que l'on peut "mettre x3 en facteur" dans le terme :
x 2 (cos(x) − 1)
2
1+x
l'autre facteur tendant vers 0. C'est-à-dire vérifier que
(cos(x) − 1)
2
x 1+x
tend
(cos(x) − 1)
a pour limite la
x
dérivée de cos en 0, c'est-à-dire – sin(0), qui vaut bien 0.
vers 0 quand x tend vers 0. Or le quotient
"Si P existe, il est unique."
exemple 21
Ainsi, si la formule de Taylor s'applique à une fonction, les coefficients du
développement limité sont égaux aux coefficients de la formule de Taylor,
ce qui donne un calcul de la valeur des dérivées successives de cette
fonction au point considéré.
1
, le développement
Si f est la fonction étudiée à l'exemple 13, f(x) =
1 + x2
limité en 0 est le suivant (formulaire) :
1
2
4
p 2p
+ x2p ε(x).
2 = 1− x + x + … + (−1) x
1+x
Comme cette fonction est indéfiniment dérivable, on déduit les valeurs de
ses dérivées en 0 :
f(2p+1)(0) = 0,
( 2p)
p
f
(0) = (−1) (2p)!
Le calcul est ici nettement plus facile par cette méthode que par un calcul
des dérivées successives de f.
34
exemple 22
(à traiter)
Attention toutefois que ce raisonnement suppose la formule de Taylor
utilisable. Il ne permet pas de démontrer l'existence d'une dérivée d'ordre
supérieur à 1. Vérifier que la fonction définie par :
1
h(x) = 2 − x + x 2 − x 3 sin  , si x ≠ 0, h(0) = 2,
 x
a un développement limité à l'ordre 2 en 0, mais n'est pas dérivable deux
fois en 0.
# réponse
2
On voit bien que 2 − x + x est le développement limité à l'ordre 2,
1
3
puisque le terme x sin  est bien de la forme x2ε(x), ε(x) tendant vers
x
0 en 0.
La fonction h est dérivable en 0 :
h(x) − h(0)
1
2
= −1 + x − x sin  ,
x
x
h′(0) = −1.
Elle est également dérivable en dehors de 0 :
 −1
1
1
h ′(x) = −1 + 2x − 3x 2 sin  − x 3 2  cos 
x 
 x
 x
1
1
2
= −1 + 2x − 3x sin  + x cos .
x
x
En 0, h' n'est pas dérivable :
h ′(x) − h ′(0)
1
1
= 2 − 3xsin   + cos  ,
x
x
x
et cette expression n'a pas de limite en 0, puisque les deux premiers termes
ont une limite et le troisième n'en a pas.
35
"Pour tout couple de réels, (α, β), la combinaison linéaire
α.f + β.g admet un développement limité à l'ordre n en x0, dont la partie régulière est la
combinaison linéaire α.P + β.Q des parties régulières des développements de f et de g."
exemple 23
Le développement limité à l'ordre 4 de cos(x + 1) en 0 s'écrit de la manière
suivante :
cos(x + 1) = cos(x)cos(1) − sin(x)sin(1),
= (1 −
x2 x4
x3
+
+ x4 ε(x)) cos(1) − (x −
+ x4 ε(x))sin(1),
2
4!
3!
x2
x3
x4
cos(1) + sin(1) +
cos(1) + x 4 ε(x).
= cos(1) − xsin(1) −
2
3!
4!
Remarquer sur cet exemple l'abus d'écriture usuel qui consiste à noter de
la même manière les différents termes complémentaires (ε(x)), abus qu'il
faut s'entraîner à utiliser. Remarquer également l'écriture du DL
(développement limité) de sin(x) à l'ordre 4 à partir de la formule standard.
exemple 24
(à traiter)
Écrire le DL à l'ordre 3 en 0 de ex+1.
# réponse
Il suffit de remarquer que ex+1 = e.ex, d'où :
x 2 x3
e x+1 = e(1+ x +
+
+ x3ε(x))
2
6
= e + ex + e
2
3
x
x
+ e + x3 ε(x).
2
6
36
"Le produit fg admet un développement limité à l'ordre n en x0, dont la partie régulière
s'obtient en tronquant au degré n le produit PQ."
exemple 25
Il faut s'entraîner à ne pas écrire les termes superflus.
Écriture du DL de l'expression exsin(x) à l'ordre 3 :
x 2 x3
ex = 1 + x +
+
+ x 3ε(x),
2
6
x3
sin(x) = x −
+ x 3ε(x),
6



x3
x2 x3
e x sin(x) =  1+ x +
+
+ x 3ε(x)  x −
+ x 3ε(x)
2
6
6



= x + x2 −
x3 x3
+
+ x 3ε(x)
6
2
= x + x2 +
x3
+ x 3ε(x).
3
Remarquer que, comme le DL de sin(x) est divisible par x, on aurait pu se
contenter d'écrire le DL de ex à l'ordre 2.
exemple 26
(à traiter)
Écrire le DL de l'expression
cos( x)
en 0, à l'ordre 4.
1−x
37
# réponse
C'est un produit :
cos(x)
 1 
= cos(x)
 1− x 
1−x

x2 x4

= 1 −
+
+ x4 ε(x) 1 + x + x2 + x3 + x 4 + x 4 ε(x)
2
4!


(
)
1

 1
 1 1 
= 1 + x + x 2  1 −  + x 3  1−  + x 4 
− + 1 + x 4 ε(x)
2
2
24 2
=1 + x +
x 2 x3 13x 4
+
+
+ x 4 ε(x).
2
2
24
"Si f admet un développement limité en x0, de partie régulière P, et y0 = lim(f(x)) en x0,
et si g est une fonction composable avec f qui admet un développement limité en y0, de
partie régulière Q, alors on obtient un développement limité de gof en x0 en substituant
P(x – x0) à y dans Q(y – y0), et en tronquant le polynôme obtenu au degré convenable."
exemple 27
Écriture du développement limité en 0 à l'ordre 4 de l'expression :
1
.
1 − sin(x)
1
En préliminaire, on écrit les DL de sin(x), et de
. (formulaire) :
1−x
3
x
sin(x) = x −
+ x 4 ε(x),
6
1
= 1+ x + x 2 + x 3 + x4 + x4 ε(x).
1−x
1
On substitue la partie régulière du DL de sin(x) dans le DL de
.
1−x
38
On obtient :
2
3
4


1
x3  
x3 
x3  
x3 
= 1+  x −  +  x −  +  x −  +  x −  + x 4 ε(x).
1 − sin(x)

6 
6

6 
6
On développe et on ordonne, en n'écrivant que les termes de degré au plus
4:
1
x3
x3
= 1+ x −
+ x2 − 2x + x3 + x 4 + x 4 ε(x).
1 − sin(x)
6
6
On obtient enfin :
1
5x 3 2x 4
=1 + x + x 2 +
+
+ x 4 ε(x).
1 − sin(x)
6
3
exemple 28
(à traiter)
Cela s'applique au cas où une fonction est un polynôme.
2
3
Écrire le DL à l'ordre 3 en 0 de 1 + x + x + x .
# réponse
Un DL préliminaire :
1
1
1
1 + x = 1 + x − x2 + x3 + x3 ε(x).
2
8
16
D'où :
(
) (
)
2
1
1
1
x + x 2 + x3 − x + x2 + x3 + x3 + x3ε(x).
2
8
16
1
1
1
1
1
1
1 + x + x 2 + x3 = 1 + x + x2 + x3 − x2 − 2x3 + x 3 + x3 ε(x),
2
2
2
8
8
16
1
3
5
1 + x + x 2 + x3 = 1 + x + x2 + x3 + x 3ε(x).
2
8
16
Remarquer qu'il est utile de savoir calculer des expressions comme
(a + b +c)2, (a + b)3…
1 + x + x 2 + x3 = 1 +
39
"On suppose que f admet en x0 ∈ [a , b] un développement limité à l'ordre n, de partie
régulière P(x – x0). Soit F : [a , b] --. R une primitive de f. Alors F admet un
développement limité à l'ordre n + 1 en x0, dont la partie régulière est obtenue en calculant
la primitive de P(x – x0) égale à F(x0) en x0."
exemple 29
Écriture du DL à l'ordre 4 de Arctan(x).
1
La dérivée est
, dont le DL à l'ordre 3 est facile à calculer :
1 + x2
1
= 1− x2 + x 3ε(x),
1 + x2
d'où :
x3
Arc tan(x) = Arctan(0) + x −
+ x 4 ε(x),
3
= x−
3
x
+ x4 ε(x).
3
En effet, Arctan(0) = 0.
Bien noter qu'en intégrant on gagne un ordre.
exemple 30
(à traiter)
Écrire un DL à l'ordre 5 de log(1 + x 2 ).
# réponse
2x
. Le DL à l'ordre 4 s'obtient en multipliant
1 + x2
1
par 2x le DL à l'ordre 3 de
. Ensuite il suffit d'intégrer :
1 + x2
En dérivant on obtient
40
 1 
2x 
 = 2x 1 − x 2 + x 3ε(x) ,
 1 + x2 
(
)
= 2x − 2x 3 + x 4ε(x),
log(1 + x 2 ) = x 2 −
x4
+ x 5ε(x).
2
Bien entendu, on peut aussi substituer x2 à x dans le DL de log(1 + x) à
l'ordre 3 en 0, puis tronquer à l'ordre 5.
2-4 Développements asymptotiques
"Soit x0 un réel et f une fonction définie sur un voisinage épointé de ce point, non
nécessairement bornée sur ce voisinage épointé. On appelle développement asymptotique
i=n
d'ordre n de f au voisinage de x0 une fonction rationnelle de la forme
∑ ai (x − x0 )
i
i= p
où
p
et
n
sont
des
entiers
relatifs
(p
≤
n),
vérifiant

i= n
i
−n 
lim  f(x) − ∑ ai (x − x 0 ) (x − x0 )  = 0. "

x −> x 0 

i= p

exemple 31
1
à l'ordre 1 au
x − 3x + 2
voisinage de x0 = 1. On multiplie par (x – 1) pour obtenir une fonction
développable au sens usuel, que l'on développe à l'ordre 2 :
x −1
1
−1
=
=
= − 1 − (1− x) + (1 − x) 2 + (1− x)2 ε(x − 1) .
2
x − 3x + 2 x − 2 1+ (1 − x)
x −1
= −1 + (1− x) − (1 − x)2 + (1− x)2 ε(x − 1).
2
x − 3x + 2
On obtient donc le développement asymptotique à l'ordre 1 :
Écriture d'un développement asymptotique de
2
(
1
1
=−
−1 − (x −1) + (x − 1)ε(x −1).
x −3x + 2
x −1
2
)
41
exemple 32
(à traiter)
Écrire le développement asymptotique en 0, à l'ordre 2, de
1
.
x + x2
# réponse
On met
1
en facteur, puis on développe de manière usuelle :
x
1
1
1
1
×
= 1− x + x 2 − x 3 + x3 ε(x) ,
2 =
x+x
x 1+ x x
(
)
d'où :
1
1
− 1+ x − x 2 + x 2 ε(x).
2 =
x+x
x
On appelle développement asymptotique d'ordre n de f à l'infini une fonction rationnelle
i=n
de la forme
∑ ai x −i où p et n sont des entiers relatifs (p ≤ n), vérifiant (cas de +∞) :
i= p
i= n

 
lim  f(x) − ∑ ai x i  x n  = 0.
x −> +∞ 
i= p
 
exemple 33
1
, et de développer par rapport à h, pour h tendant
x
vers 0 (à droite si x --. +∞, à gauche si x --. – ∞).
Écriture du développement asymptotique d'ordre 1 en +∞ de :
Il suffit de poser h =
2
2
x + 1 − x − 1.
Ici h =
42
1
est positif :
x
x2 + 1 − x2 − 1 =
1
+1 −
h2
( 1+ h
1
−1
h2
)
=
1
×
h
=
1 
h2
h2

× 1+
−1 +
+ h 2 ε(h)
h 
2
2

2
− 1 − h2
= h + hε(h)
=
1 1 1 
+ ε
.
x x  x
exemple 34
(à traiter)
Écrire le développement asymptotique de la fonction précédente en – ∞.
# réponse
1
2
est négatif, donc h = −h.
x
Le développement est donc :
Ici, h =
x2 + 1 − x2 − 1 = −
1 1  1
+ ε
.
x x  x
43
2-5 Étude locale des fonctions
"Soit a un réel, et soient f et g des fonctions définies sur un intervalle ouvert centré en a,
continues en a. On suppose f et g dérivables sur un voisinage épointé de a, g non nulle
sur un voisinage épointé de a, enfin f(a) = g(a) = 0. Alors si le rapport
finie
en
a,
le
rapport
f(x)
g(x)
a
également
une
f'(x)
a une limite
g' (x)
limite
finie,
et
 f(x) 
 f'(x) 
lim 
= lim 
."
x −> a  g(x) 
x− > a  g' (x) 
exemple 35
On utilisera cet énoncé quand le rapport des dérivées est plus simple que
celui des fonctions.
Étude du rapport :
log(x)
,
x −1
lorsque x tend vers 1, par valeurs supérieures.
Les conditions sont vérifiées, donc on peut regarder le quotient des
dérivées :
1
2 x −1
x
=
.
1
x
2 x −1
Ce quotient a pour limite 0 en 1.
log(x)
Donc la limite de
en 1 existe et vaut 0.
x −1
44
exemple 36
(à traiter)
Déterminer la limite de l'expression :
x 2 − 3x + 2
sin(xπ)
lorsque x tend vers 1.
# réponse
On est bien dans les conditions d'application de ce résultat, donc on étudie
le quotient des dérivées :
2x − 3
.
π cos(xπ)
−1
1
En 1, la limite existe, et c'est
= .
π cos(π) π
"Si f est continue en a, dérivable sur un voisinage épointé de a, et si f' a une limite finie
en a, alors f est dérivable en a, et lim ( f'(x)) = f'(a)). "
x −> a
x ≠a
exemple 37
Pour f définie par :
1
f(x) = x 2 sin  , si x ≠ 0, f(0) = 0,
x
on voit que la dérivée existe pour x ≠ 0, et vaut :
 1
 1
f ′(x) = 2x sin   − cos  ,
 x
 x
donc la limite en 0 n'existe pas. Pourtant f'(0) existe et vaut 0 :
f(x) − f(0)
1
= x sin  → 0.
x
x
45
Ne pas utiliser de "réciproque" à cet énoncé.
exemple 38
(à traiter)
Faire la même étude pour :
f(x) = x 3 sin
 1
 x  , si x ≠ 0, f(0) = 0.
# réponse
Dans ce cas, f'(x) existe, par un calcul direct, en x différent de 0 :
 1
1
f ′(x) = 3x 2 sin  − xcos  .
 x
x
Cette expression tend vers 0 en 0, donc f'(0) existe et vaut 0.
"Soit f : R --. R, dérivable en x0 , admettant en x0 un maximum local ou un minimum
local. Alors f'(x0 ) = 0 ."
exemple 39
3
2
On étudie la fonction définie par f(x) = 2x − 3x . Sa dérivée est
2
f ′(x) = 6x − 6x. La dérivée s'annule pour x = 0, et x = 1. Ce sont les seuls
points susceptibles d'être extremum local.
3
f(0) = 0, et si x < 0, x3 < 0, donc f(x) < 0. Si 0 < x < , f(x) < 0. Donc
2
il y a bien un maximum en 0.
f(1) = – 1. On a :
3
2
2
2x − 3x + 1 = (x − 1) (2x + 1),
1
donc f(1) > – 1 si 2x + 1 > 0, c'est-à-dire sur ]–
, +∞[. On a bien un
2
minimum local.
NB : dans les deux cas, ce n'est pas un extremum absolu.
46
exemple 40
(à traiter)
La réciproque est fausse. Trouver un contre-exemple.
# réponse
On en rencontre souvent, par exemple f(x) = x3, en 0.
Il suffit de trouver une dérivée qui s'annule sans changer de signe.
"Soit M(x) le point de G d'abscisse x. On dit que D(a) est tangente à G si la fonction x ∈
I, x → distance(M(x), D(a)) est négligeable devant la fonction
x → distance(M(x), M(x0)), quand x tend vers x0 dans I."
exemple 41
Soit G la parabole, graphe de la fonction "carré", c(x) = x2.
L'équation d'une droite D(m) passant par le point M(1) = (1, 1) est de la
forme :
y = 1 + m(x − 1).
La distance d'un point (x, x2) à cette droite est donnée par :
x2 − 1 − m(x − 1)
1 + m2
La distance de ce point à (1, 1) est :
2
2
.
2
(x − 1) + (x − 1) .
Le quotient est :
x 2 − 1 − m(x − 1)
(x − 1) 2 + (x2 − 1)2 1 + m 2
=
=
47
x − 1 x + 1− m
x − 1 1 + (x + 1) 2 . 1+ m 2
x + 1− m
1 + (x + 1)2 . 1+ m 2
.
Sa limite en 1 est :
2−m
.
5. 1+ m2
Elle n'est nulle que pour m = 2. La tangente est la droite d'équation :
y = 1 + 2(x – 1).
exemple 42
(à traiter)
Vérifier que la droite d'équation y = x – 1 est tangente au graphe de la
fonction x → log(x).
# réponse
Il faut d'abord trouver un ou des points d'intersection :
log(x) = x – 1.
Il est clair que x = 1 est une solution de cette équation.
Cherchons si la droite est tangente au graphe au point (1, 0). Il faut étudier
le quotient :
log(x) − x + 1
.
2 (x − 1)2 + log(x) 2
log(x) − x + 1
2 (x − 1)2 + log(x) 2
=
log(x)
−1
x −1
2
log(x) 
2 x − 1 (1 + 
 x −1 
=
log(x)
−1
x−1
.
2
 log(x) 
2 (1 +
 x−1 
48
x −1
log(x)
a pour limite 1 quand x tend vers 1.
x −1
On déduit que le quotient ci-dessus tend bien vers 0.
On sait que le quotient
Soit f une fonction dérivable en un point x0. La droite D(f'(x0)) est la tangente à G en x0.
exemple 43
On le vérifie bien dans l'exemple 41 : la dérivée de la fonction "carré" en
1 vaut bien 2, donc la tangente en (1, 1) est la droite d'équation
y – 1 = 2(x – 1).
exemple 44
(à traiter)
Procéder de même pour l'exemple 42.
# réponse
La dérivée du logarithme en 1 est bien 1 : la tangente en (1, 0) a pour
équation y = x – 1.
49
"Dans un calcul de limite, on peut toujours remplacer une fonction par son développement
limité s'il existe au point considéré."
exemple 45
C'est un usage principal de l'outil "développement limité".
Il permet en particulier d'étudier certaines "formes indéterminées" lorsque
le recours aux équivalents n'est pas simple (sommes de fonctions).
Étude de l'expression :
1 + x + x 2 − 1 + x − x2
x2
lorsque x tend vers 0.
Calcul préliminaire : DL des deux termes du numérateur. Il faut connaître
(formulaire) le DL de 1 + t , t tendant vers 0, puis substituer l'expression
voulue.
Une des difficultés est qu'il n'est pas toujours facile de prévoir à quel ordre
calculer ces DL intermédiaires : il est sans intérêt d'obtenir in fine un DL
dont la partie régulière est nulle. Il est également sans intérêt et coûteux en
temps de déterminer trop de termes.
Ici, on calculera un DL à l'ordre 2 du numérateur pour voir s'il est possible
de simplifier avec le dénominateur. On rappelle que :
1
1
1 + t = 1+ t − t 2 + t 2 ε(t).
2
8
En substituant :
50
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
2
2
1
1
x + x2 − x + x2 + x + x2 ε(x + x2 )
2
8
1
1
1
3
1
= 1+ x + x 2 − x2 + x2 ε(x) = 1+ x + x 2 + x 2 ε(x).
2
2
8
2
8
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1 + x − x = 1+ x − x − x − x
+ x − x ε(x − x )
2
8
1
1
1
1
5
= 1+ x − x 2 − x2 + x2 ε(x) = 1+ x − x 2 + x 2 ε(x).
2
2
8
2
8
On obtient donc :
1
3 2  1
5 2
2
1 + x + x − 1 + x − x  + x ε(x)
2
2
1+x +x − 1+x− x
2
8
2
8
=
x2
x2
= 1 + ε(x).
La limite existe et vaut 1.
1 + x + x 2 = 1+
exemple 46
(à traiter)
Étudier la limite de l'expression suivante lorsque x tend vers 0 :
2
e x − cos(x)
.
x4
# réponse
On cherche un DL à l'ordre 4 du numérateur. Les DL à utiliser sont ceux
de l'exponentielle (à l'ordre 2) et du cosinus (à l'ordre 4)(formulaire) :
x2
x
+ x 2 ε(x),
e =1 + x +
2
2
4
x
x
cos(x) = 1 −
+
+ x 4 ε(x).
2 24
D'où le DL de l'expression :
51
x4
x2 x 4
3 2 11 4
− 1+
−
+ x 4 ε(x)
x + x + x 4 ε(x)
2
2 24
2
24
=
4
x
x4
3
11
= 2 +
+ ε(x).
24
2x
Cette expression tend vers +∞ quand x tend vers 0.
1 + x2 +
"Le premier terme non nul du développement limité d'une fonction, s'il existe, est un
équivalent de la fonction."
exemple 47
Ainsi, dans les exemples précédents on a obtenu des équivalents des
numérateurs :
1 + x + x 2 − 1 + x − x2 ~ x 2
e
x2
− cos(x) ~
3 2
x
2
On pourrait en déduire :
 1 + x + x 2 − 1 + x − x2  2
lim 
= .
x2
x→ 0
e − cos(x)
 3
exemple 48
(à traiter)
Chercher un équivalent en 0 de l'expression :
sin(x) – log(1+x) – x2.
# réponse
Écrire les DL en 0 des trois termes, à l'ordre au moins 2, 3 par exemple :
sin(x) = x −
52
x3
+ x 3ε(x),
6
log(1+ x) = x −
x2 x3
+
+ x3 ε(x),
2
3
x 2 = x 2.
L'expression a donc le développement suivant :
x3 x2 x3
−
+
−
− x 2 + x3 ε(x)
6
2
3
d'où un équivalent :
x2
sin(x) – log(1+x) – x2 ~ − .
2
"Soit f une fonction admettant un développement limité au voisinage d'un point x0. Si ce
développement est à l'ordre 1, f(x) = a0 + a1 (x – x0) + (x – x0)ε(x – x0), la droite
d'équation y = a0 + a1 (x – x0) est la tangente au graphe de f au point d'abscisse x0.
exemple 49
Soit f l'application définie par :
f(x) = 1 + x + xsin(x).
Écriture de l'équation de la tangente en (0, f(0)) au graphe de f.
On trouve facilement le DL à l'ordre 1 de f en 0 :
f(x) = 1 + x + xε(x).
L'équation de la tangente est donc :
y = 1 + x.
Remarquer qu'il n'est pas nécessaire de calculer une dérivée.
53
exemple 50
(à traiter)
Déterminer l'équation de la tangente en (0, g(0)) au graphe de l'application
g donnée par :
x + x2
g(x) =
.
1 + x + 2x 2
# réponse
Le développement limité à l'ordre 1 est :
x + x2
= x + x 2 1 − x − 2 x 2 + xε ( x )
2
1 + x + 2x
= x + x ²ε ( x ).
(
)(
)
Donc la tangente a pour équation y = x.
(Comparer avec le calcul de g'(0)).
"Si ce développement est à l'ordre 2 :
f(x) = a0 + a1 (x – x0) + a2(x – x0)2 + (x – x0)2ε(x – x0),
la position du graphe est donnée par le signe de a2 (si a2 ≠ 0).
Si a2 > 0, le graphe est
au-dessus de sa tangente.
Si a2 < 0, le graphe est au-dessous de sa tangente."
exemple 51
On peut reprendre l'exemple 49 :
f(x) = 1 + x + xsin(x).
1 + x + xsin(x) = 1 + x + x(x + xε (x)) = 1 + x + x + x ε(x).
2
La courbe est au-dessus de sa tangente.
2
54
Pour ne pas recommencer le calcul, on déterminera souvent non seulement
la partie du premier degré, mais également le premier terme non nul qui
suit.
exemple 52
(à traiter)
Dans l'exemple 50, étudier la position de la courbe par rapport à sa
tangente.
# réponse
Le développement à l'ordre 2 de g(x) est le suivant :
x + x2
2 
2
2
2 = x + x  1− x + 2x + x + 2x
1 + x + 2x
( ) (
)(
) + x 2ε(x)
= (x + x2 )(1 − x − 2x2 + x2 + x2 ε(x))
2
= x + x2 − x2 + x2 ε(x)
2
= x + x ε(x).
Comme on le voit, le terme de degré 2 est nul, on n'obtient donc pas de
renseignement sur la position.
Généralisant l'énoncé précédent, on cherche le premier terme non nul de
degré supérieur à 1 : on remarque que, comme x est en facteur au
numérateur, il suffit de calculer l'autre DL à l'ordre 2, ce qui a déjà été fait
ci-dessus.
x + x2
2 
2
2 2
+ x 2 ε(x)
2 = x + x  1− x + 2x + x + 2x

1 + x + 2x
( ) (
)(
)
= (x + x2 )(1 − x − x2 + x2 ε(x))
= x + x2 − x2 − x3 − x3 + x 3ε(x)
3
3
= x − 2x + x ε(x).
55
Il en résulte que la différence d'ordonnées, pour des points d'abscisse x,
situés respectivement sur le graphe et sur la tangente, est x3 + x3ε(x).
Cette différence change donc de signe selon le signe de x. On en conclut
que le graphe traverse la tangente au point de tangence.
"Soit f une fonction admettant un développement asymptotique en +∞ de la forme
a
ε(x)
suivante f(x) = a−1 x + a0 + 1 +
. La droite d'équation y = a −1x + a0 est
x
asymptote à la courbe.
x
Si a1 > 0, la courbe est au-dessus de son asymptote.
Si a1 <
0, la courbe est au-dessous de son asymptote."
exemple 53
On note f la fonction définie par :
f(x) =
1 + x + x2
.
2
1+ x
On détermine le comportement de cette fonction en +∞ et en – ∞.
1
Développement asymptotique (h = ) en + ∞ :
x
 1 1 
x 2  2 + +1
2
1+x +x
x
x  = x1+ h + h
=
1
1 + x2
1 + h2
x 2 +1
x


h2
= x 1 + h + h 2  1−
+ h 3 ε(h)
2


2
(
)


1
1
= x 1+ h + h 2 + h 3 + h 3ε(h)


2
2
= x +1 +
1 ε(1 x)
+
.
2x
x
La droite d'équation y = x + 1 est asymptote au graphe en +∞, le graphe
est au-dessus de l'asymptote.
En – ∞,
56
2
x = − x , et l'asymptote est y = – x – 1, au-dessous du graphe.
exemple 54
(à traiter)
Étudier de même à l'infini la fonction donnée par :
x 3 + x2 − x − 1
g(x) =
.
x2 + x + 2
# réponse
Tout d'abord, il faut déterminer un développement asymptotique.
En +∞ :
3
2
3
x 3 + x2 − x − 1 x 1 + h − h − h
=
2
2
2
x +x+ 2
x 1 + h + 2h
(
(
)
)
= x(1 + h − h 2 − h 3 )(1 − h − 2h 2 + h2 + h2 ε (h))
= x(1 + h − h 2 − h 3 )(1 − h − h 2 + h 2 ε(h))
= x(1 − 3h2 + h 2 ε(h))
3 1
+ ε (1 x ).
x x
L'asymptote en +∞ est la droite d'équation y = x, et le graphe est audessous de l'asymptote.
En – ∞, les calculs sont les mêmes, donc l'asymptote est la même, et le
graphe est au-dessus de l'asymptote.
=x−
3
57
Pour Comprendre
et Utiliser
3-1 Énoncés des exercices
Savoir reconnaître si une fonction est dérivable, calculer
sa dérivée, ses dérivées successives.
exercice 1
Soit a un réel et f une fonction définie sur un intervalle ouvert centré en a.
Pour h réel non nul tel que f soit définie sur [a – |h| , a + |h|], on note ms(h)
le quotient :
f(a + h) − f(a − h)
m s (h) =
.
2h
Si ms(h) a une limite lorsque h tend vers 0, on note cette limite f's(a), c'est
la dérivée symétrique en a.
1) Étudier l'existence et la valeur de f's(a) ( ) dans les cas suivants :
f(x) = |x|, a = 0,
1

f(x) = x sin  pour x ≠ 0, f(0) = 0, a = 0,
x
f(x) = E(x) (partie entière), a = 1.
2) Montrer que si f a une dérivée à gauche et une dérivée à droite en a,
alors la dérivée symétrique existe (☺). Exprimer sa valeur en fonction de
la dérivée à gauche et de la dérivée à droite en a.
3) Examiner la réciproque : si la dérivée symétrique existe, alors la dérivée
à gauche et la dérivée à droite existent (☺).
58
exercice 2
Existence et expression de dérivées.
Pour les fonctions définies par les expressions suivantes, on demande
d'étudier jusqu'à quel ordre ( ) elles sont dérivables, d'écrire l'expression
de leurs dérivées successives lorsqu'elles existent, ou d'en indiquer la
forme générale.
1
1) f(x) = x k sin  , si x ≠ 0, f(0) = 0. (☺) ( ).
x
2) f (x) = e
−1
x2
, si x ≠ 0, f(0) = 0. (☺) ( ).
exercice 3
Dérivation et équations différentielles.
Pour étudier l'expression de dérivées d'ordre ( ) supérieur à 1, il est
parfois plus facile de montrer que les dérivées successives ont entre elles
une relation algébrique, plutôt que de procéder à la dérivation directement.
Soit g la fonction définie par :
1
g(x) =
.
1 + x2
1) Calculer directement les 5 premières dérivées de g, et formuler une
conjecture concernant la forme de la dérivée d'ordre k quelconque :
dénominateur, degré, signe et valeur du coefficient dominant du
numérateur (☺).
2) Chercher des polynômes a(x) et b(x) tels que pour tout x réel :
a(x)g'(x) + b(x)g(x) = 0 (☺).
(On dit que g est solution de l'équation différentielle ( ) ay' + by = 0.)
En déduire que g est de classe C∞ ( ) ( ).
3) En dérivant l'expression a(x)y'(x) + b(x)y(x), démontrer que pour tout k
entier on a une relation du type suivant entre les dérivées successives :
59
k+ 2
y
d ky
d k+1 y
2 d
u(k) k + v(k)x k+1 + w(k)(1+ x ) k+ 2 = 0.
dx
dx
dx
où u(k), v(k), w(k) sont des réels (☺). Établir des relations de récurrence
entre (u(k), v(k), w(k)) et (u(k + 1), v(k + 1), w(k + 1)) ( ).
En déduire l'expression de u(k), v(k), w(k), en fonction de k.
4) En déduire la valeur de g(k)(0) selon la valeur de k (☺).
5) A l'aide de la relation démontrée ci-dessus, voir si la conjecture
formulée à la première question est vraie (☺) ( ).
exercice 4
Montrer que les fonctions définies par les expressions suivantes sont
indéfiniment dérivables ( ) ( ) sur leur domaine de définition, et écrire
la forme générale de leur dérivée d'ordre n.
1) g(x) = tan(x). Montrer que la dérivée d'ordre n est une expression
polynomiale en g(x), dont on précisera le degré, la parité, et le terme
dominant (☺) ( ).
2) h(x) = x3e–x (☺).
1
. (☺).
3) m(x) =
2
1−x
Savoir calculer un développement limité, ou
asymptotique. Utiliser les développements limités (DL),
ou asymptotiques, dans l'étude des limites.
exercice 5
Propriétés globales et développement limité.
1) On suppose que la fonction f est paire. Démontrer que les parties
régulières ( ) de ses développements limités en 0, d'ordre quelconque
(s'ils existent) sont des polynômes pairs (propriété analogue pour impair)
(☺).
60
2) Généraliser cette propriété pour un réel quelconque où f admet un
développement limité (☺).
3) Si une fonction est positive, que peut-on dire de son développement
limité ? (☺).
exercice 6
Quotient de DL ( ). Pour étudier un quotient de fonctions à l'aide de DL,
on doit savoir traiter le quotient de deux DL. Voici trois situations, en 0 :
a + bx + cx 2 + x2 ε(x)
2
2
1) Soit
un quotient. En posant u = x + x + x ε(x) ,
2
2
1+ x + x + x ε(x)
et en utilisant le DL de (1 + u)–1 quand u tend vers 0, calculer un DL de ce
quotient (☺).
2) Dans le cas suivant, se ramener à un calcul analogue au précédent (☺)
:
a + bx + cx 2 + x2 ε(x)
2 + x − 4x 2 + x 2 ε(x)
a + bx + cx 2 + x2 ε(x)
3) Enfin pour
, calculer un développement
2x − 4x2 + x2 ε(x)
asymptotique (☺).
exercice 7
Tableau de DL à calculer : expression - ordre - point où le DL est à
calculer (☺) ( ).
Attention : pour certains de ces cas, la bonne réponse est "il n'existe pas de
DL", ou "il n'existe pas de DL à l'ordre demandé". Dans ce dernier cas, on
cherchera s'il existe un DL d'ordre inférieur à celui demandé.
expression
1 + sin(x) (☺)
cos( x)
e
(☺)
log(x) (☺)
1
x 3 sin  , prolongé par 0 (☺)
x
e x cos(x) (☺)
3
x (☺)
3
x (☺)
3
2
x + x − x − 1 (☺)
2
log(x + x ) (☺)
cos(x) (☺)
−1
2
e x , prolongé par 0 (☺)
−1
ex,
x > 0 (☺)
log (1+ x ), x ≥ 0 (☺)
log (1+ x ), x ≥ 0 (☺)
3
x log(x), x > 0 (☺)
61
ordre
3
point
0
4
2
3
0
0
0
4
3
3
4
0
1
0
1
4
4
1
π
4
0
3
0
3
0
2
2
3
0
3
62
exercice 8
Écrire les développements asymptotiques suivants :
expression
x −1
(☺)
x+3
x2 − x + 3
(☺)
x3 − 1
tan(x) (☺)
x 3 + 2x − 1
(☺)
x +1
1
e x +x
2
(☺)
1
e
x+ 1+ x 2
ordre
3
point
+∞
2
1
3
π
2
3
–∞
3
+∞
2
–∞
(☺)
exercice 9
Recherche d'un équivalent à l'aide de développement limité. Il s'agit de
trouver le premier terme non nul du développement limité.
expression
point
2
0
4−x
cos( x) −
2 (☺)
4+x
x
x
0
2sin  −
 2  1 + x2 (☺)
2
1
2 log(x) + x − 4x + 3 (☺)
2
x tan(x) − sin(x) (☺)
0
63
exercice 10
Calcul de limites. Dans certains cas, la réponse peut être "il n'y a pas de
limite", ou "l'expression tend vers +∞, – ∞" ( ).
expression
point
x
1
x −x
(☺)
1 − x − log(x)
k
0
(cos(x))1 x , k réel positif, x > 0 (☺)
x
x
 log(1+ x)
(☺)
 log(x) 
+∞
log x + 1 + x 2
+∞
(
(
log x 2 + e x
)
)(☺)
2
1
(☺)
2 −
sin(x)
1 − cos(x)
0
ex + e− x − 2
(☺)
sin(x)( 1+ x − 1)
0
1
1−
x x
1
(☺)
(log(e + x))1 x (☺)
0
xe 1+ x
(☺)
(x + log(x))2
+∞


log(1 − x) − log x 2 − 1 −1 (☺)


–∞
tan(x)log(1 + cos(x)) (☺)
π2
64
Savoir interpréter le signe de la dérivée, les premiers
termes d'un développement limité, ou d'un développement
asymptotique pour l'étude locale d'une fonction ou de son
graphe.
exercice 11
Soit f une fonction dérivable sur R et a un réel.
1) On suppose f'(a) = 0. Donner des exemples des trois situations suivantes
:
f est strictement monotone ( ) sur un intervalle ouvert centré en a.
f est monotone sur un intervalle semi-ouvert [a , b[, et sur un intervalle
semi-ouvert ]c , a], de sens de variations différents.
Il n'existe aucun intervalle ouvert centré en a, ni d'intervalle semi-ouvert
comme ci-dessus, où f est monotone (☺).
2) On suppose f'(a) ≠ 0. Existe-t-il un intervalle ouvert centré en a sur
lequel f est monotone ? (☺).
3) Que peut-on dire sur ces différentes questions si, de plus, f' est continue
en a ? (☺).
exercice 12
Soit h une application de R dans R, dérivable, telle que h(0) = 0.
On suppose que pour tout x positif, h(x) ≥ x.
1) Donner des exemples de cette situation. Dans chaque cas, calculer h'(0).
2) Démontrer que h'(0) ≥ 1 (☺).
3) On suppose que le graphe de h est, au voisinage de (0, 0), au-dessus de
la droite d'équation y = x. Démontrer que cette droite est tangente au
graphe, et que, si h est deux fois dérivable, h"(0) ≥ 0 ( ).
65
exercice 13
On propose les développements limités suivants pour une même fonction
f, au voisinage de 0. Comme de coutume, ε(x) désigne ci-dessous une
expression tendant vers 0 en 0. On a utilisé l'abus d'écriture usuel, selon
lequel ε(x) ne désigne pas nécessairement la même expression dans
chacune des égalités écrites.
(1) f(x) = x + x2 + x2 ε(x),
(2) f(x) = 2x + 5x2 + x2 ε(x),
(3) f(x) = x + x2 ε(x),
(4) f(x) = −3x − x 2 + x 2 ε(x),
(5) f(x) = x + xε(x),
(6) f(x) = −3x + x 2 + xε(x),
(7) f(x) = 2x + ε(x),
(8) f(x) = 2x + xε(x),
2
2
(9) f(x) = x + x − x ε(x),
(10) f(x) = −3x + x 2 + x 3ε(x).
1) Certains de ces développements sont compatibles ( ) entre eux,
d'autres non. Former des familles de développements compatibles (☺).
2) Dans une famille de développements compatibles, préciser quelles
informations sont données par les différents développements, et classer la
famille par ordre croissant de précision du développement (☺) ( ).
3) On propose diverses représentations graphiques au voisinage de 0. On
y a fait figurer une branche de courbe, et la tangente à l'origine.
Établir, si possible, une correspondance entre chacun de ces dessins et une
des familles déterminées plus haut ( ). S'il reste des cas, proposer un
développement limité à l'ordre 2 en 0 compatible avec chacun d'eux (☺).
66
Figure 1
67
Figure 2
Figure 3
68
Figure 4
69
Figure 5
70
Figure 6
exercice 14
Représenter, au voisinage du point indiqué, l'aspect du graphe de la
fonction définie par l'expression ci-dessous : tangente, ou asymptote,
position par rapport à la tangente, ou à l'asymptote ( ).
Pour le premier cas, on admettra que l'intégrale a bien un sens, la fonction
à intégrer ayant une limite finie en 0.
expression
∫
x
0
 t2

2
 e sin (t)  dt (☺)
 1− 1 − t 2 


x2 − x
(☺)
sin(xπ)
point
0
1
x 2 − x −1 − x 2 − 2x − 1 (☺)
71
+∞
x2 − x 2 + 1
(☺)
x2 − 2
2
x 2 − x 2 +1
(☺)
x−2
+∞
x cos(x) − sin(x) (☺)
0
72
3-2 Corrigés des exercices
exercice 1-C
1) Si f(x) = |x|, le quotient est :
h − −h
.
2h
C'est donc 0, et la dérivée symétrique existe et est égale à 0.
1
Si f(x) = x sin  , le quotient est :
x

1
 1 
h sin  − − hsin
 h 
 − h 
.
2h
C'est encore 0.
Si f(x) = E(x), en 1, le quotient est :
E(1 + h) − E(1 − h)
.
2h
Si h > 0, il vaut :
1−0
.
2h
Si h < 0 :
0 −1
.
2h
Dans les deux cas, il n'y a pas de limite en 0.
2) L'hypothèse signifie que le quotient :
f(a + h) − f(a)
h
a une limite si h tend vers 0, en restant positif, et une limite
(éventuellement différente) si h tend vers 0 en restant négatif.
73
f(a + h) − f(a − h) f(a + h) − f(a) − (f(a − h) − f(a))
=
2h
2h
f(a + h) − f(a) f(a − h) − f(a)
=
+
.
2h
−2h
f ′ (a)
Supposons h positif : le premier quotient tend vers d , et le second vers
2
fg′ (a)
. Si h est négatif, c'est l'inverse. Il en résulte que dans ce cas la
2
dérivée symétrique existe et :
f ′ (a) + fg′ (a)
fs′(a) = d
.
2
(QC-1) Démontrer que si f est dérivable en a, la dérivée symétrique existe
et est égale à f'(a).
3) Examinons les cas particuliers traités en 1.
Pour le premier exemple, la dérivée symétrique existe, et les dérivées à
gauche et à droite aussi.
Pour le second, la dérivée symétrique existe. Pour la dérivée à droite par
exemple, il faut chercher si le quotient :
1
xsin   − 0
x
x
a une limite quand x tend vers 0. On sait que ce n'est pas le cas. Nous avons
donc un contre-exemple à la réciproque examinée. La réciproque est
fausse.
(QC-2) Donner une interprétation graphique de la dérivée symétrique, et
de son existence dans les deux premiers exemples.
☺ indications pour résoudre - méthode -
lexique
74
exercice 2-C
1) En dehors de 0, pour tout k, la fonction est dérivable, par composition
de fonctions indéfiniment dérivables. Le seul problème est en 0.
Si k = 0, la fonction n'est pas continue en 0. Si k = 1, elle est continue,
mais pas dérivable. Si k ≥ 2, la fonction est dérivable en 0 :
1
x k sin  − 0
 x
1
= x k −1 sin   → 0.
x
x
La dérivée est égale à 0.
Calculons f'(x) pour x ≠ 0 :
 1
1
1
f ′(x) = kx k−1 sin  + x k − 2  cos 
 x
 x
 x 
= kx
k−1
1
1
k −2
sin  − x cos  .
x
x
Si k = 2, cette expression n'a pas de limite en 0, puisque le premier terme
tend vers 0, et le second n'a pas de limite. En particulier f n'est pas deux
fois dérivable.
Si k ≥ 3, f est continûment dérivable en 0. La dérivée seconde en 0 est la
limite, si elle existe, du quotient :
1
1
kxk −1 sin   − x k− 2 cos 
x
x = kx k −2 sin 1  − xk −3 cos 1  .
 x
 x
x
Pour k = 3, cette expression n'a pas de limite en 0. La dérivée seconde
n'existe pas en 0. Pour k ≥ 4, f"(0) existe et vaut 0.
Essayons de généraliser. Il est utile de calculer quelques dérivées encore
pour pouvoir conjecturer une forme. Un logiciel peut nous aider :
lexique
75
Supposons, par hypothèse de récurrence, que la dérivée d'ordre p de f, en
dehors de 0, est de la forme :

1
 1 
x k − 2 p  P ( x ) sin   + Q ( x ) cos    .
x
 
 x 

Dans cette formule, P et Q désignent des polynômes, dépendant de p et de
k.
Par dérivation, on voit que cette formule est bien vraie également pour la
dérivée d'ordre p + 1.
Par ailleurs, elle est vérifiée pour p = 1, avec P(x) = kx2, Q(x) = – 1.
Il en résulte que si 2p + 2 ≤ k, la dérivée d'ordre p a pour limite 0 en 0,
donc f est p fois continûment dérivable partout. Si k = 2p +1, la forme de
lexique
76
la dérivée d'ordre p – 1, qui existe, montre que la dérivée d'ordre p en 0
existe encore (mais f(p) n'est pas continue en 0).
2) Ici encore, en dehors de 0 la dérivabilité s'obtient par composition.
On calcule quelques dérivées successives :
On peut, au vu de ces essais, formuler l'hypothèse de récurrence : la dérivée
−
1
x2
Q(x)
,
x3p
où Q est un polynôme ne s'annulant pas en 0. Par comparaison de
l'exponentielle avec la puissance, on en déduira que pour tout p la dérivée
d'ordre p existe et est égale à 0 en 0.
d'ordre p est de la forme : e
lexique
77
La formule précédente est vraie pour p = 1 (Q(x) = 2), et la récursivité se
vérifie par dérivation et réduction au même dénominateur.
(QC-1) Interpréter géométriquement ce résultat.
exercice 3-C
1) Maxima calcule :
On observe que le dénominateur est (1 + x2)n+1. Le numérateur est un
polynôme de degré n, de même parité que n, de coefficient dominant de
valeur absolue (n+1)!, et de signe alterné.
2) On trouve facilement a(x) = 1 + x2, b(x) = 2x, par exemple en dérivant
l'égalité :
g(x)(1 + x2) = 1.
lexique
78
On en déduit par récurrence que g est de classe C∞, puisque si g est n fois
continûment dérivable, alors g' aussi donc g est n + 1 fois continûment
dérivable.
3) En continuant à utiliser la méthode de dérivation de l'égalité ci-dessus,
comme le suggère l'énoncé, on trouve d'abord sur quelques exemples :
On peut conjecturer les relations suivantes entre les coefficients :
u(k + 1) = u(k) + v(k),
v(k + 1) = 2 + v(k),
w(k) = 1.
On établit facilement ces relations en dérivant l'expression :
k+ 2
d ky
d k+1 y
y
2 d
+
v(k)x
+
w(k)(1+
x
)
k
k+1
k+ 2 = 0.
dx
dx
dx
et en identifiant à :
u(k)
lexique
79
k +3
y
d k+1y
d k+ 2 y
2 d
u(k + 1) k +1 + v(k + 1)x k+ 2 + w(k + 1)(1+ x ) k+ 3 = 0.
dx
dx
dx
Sachant que u(0) = 2, v(0) = 4, on déduit d'abord que v(k) = 2k + 4, puis
que u(k) – u(k – 1) = 2k + 2 = 2 (k + 1), d'où :
u(k) – u(0) = 2 ( (k + 1) + k + (k – 1) + … + 2), d'où
u(k) = (k + 1)(k + 2).
(QC-1) Retrouver ce résultat par la formule de Leibniz.
4) Pour x = 0, on obtient :
(k + 1)(k + 2)g(k)(0) + g(k+2)(0) = 0,
g(k+2)(0) = – (k + 1)(k + 2)g(k)(0).
Or g'(0) = 0, et g(0) = 1, donc si k est impair, g(k)(0) = 0, et si k est pair,
g(k)(0) = (– 1)k/2k! (cf. exemple 21).
5) La relation à utiliser est :
( k)
( k+1)
2
(k +2)
(k + 1)(k + 2)g (x) + (2k + 4)xg
(x) + (1 + x )g
(x) = 0.
On en tire g(k+2)(x) en fonction des dérivées précédentes :
−(k + 1)(k + 2)g( k) (x) − (2k + 4)xg( k+1)(x)
(k +2)
=g
(x),
2
(1 + x )
d'où par récurrence, si on suppose une forme :
(−1) k (k + 1)!x k + (termes de degré inférieur à k)
( k)
g (x) =
,
(1+ x2 )k +1
g (k +2 ) (x) =
−
−(k + 1)(k + 2) (−1)k (k +1)!x k + (degré inférieur à k)
×
(1+ x 2 )k +1
(1 + x 2 )
(2k + 4)x (−1) k +1 (k + 2)!x k +1 + (degré inférieur à k +1)
×
(1 + x 2 )
(1+ x 2 ) k +2
lexique
g (k +2 ) (x) =
−
(−1)k +1 (k + 2)!x k (k +1) + (degré inférieur à k)
(1+ x 2 ) k+ 2
(−1)k +1 (k + 2)!x k +2 (2k + 4) + (degré inférieur à k + 2)
(1+ x 2 ) k +3
g( k+ 2) (x) =
g
80
( k+ 2)
k +1
(−1)
(k + 2)!x
k+ 2
[(k + 1) − (2k + 4)] + (deg inf à k + 2)
2 k +3
(1+ x )
(x) =
k +1
(−1)
g( k+ 2) (x) =
(k + 2)!x
k+ 2
[− k − 3] + (deg inf à k + 2)
2 k +3
(1+ x )
(−1)
k +2
k +2
(k + 3)!x
+ (deg inf à k + 2)
.
2 k+ 3
(1 + x )
La forme conjecturée est donc vérifiée par récurrence.
exercice 4-C
1) La dérivée est g'(x) = 1 + tan(x)2 = 1 + g(x)2. Donc si g est dérivable à
l'ordre p, g' aussi, donc g est dérivable à l'ordre p + 1. Par récurrence, on
déduit que g est indéfiniment dérivable. La dérivée première est un
polynôme de degré 2 en g, pair, de terme dominant 1.
On peut calculer quelques dérivées pour préciser une conjecture sur la
forme de la dérivée n-ième. C'est faisable "à la main".
Le recours à Maxima donne les résultats suivants :
lexique
81
On peut donc énoncer la conjecture suivante : la dérivée n-ième de g est
un polynôme en g, de degré n + 1, de parité égale à celle de n + 1, de
coefficient dominant égal à n!
Cet énoncé se prouve par récurrence : si g(n)(x) = P(g(x)), P étant un
polynôme ayant les propriétés données ci-dessus, alors :
g(n+1)(x) = (1 + tan(x)2)P'(g(x)).
La parité de P' est différente de celle de P, donc égale à la parité de n + 2.
La parité de (1 + g(x)2) est 2, donc (1 + g(x)2)P'(g(x)) est un polynôme en
g(x) de parité égale à celle de n + 2. Si le degré de P est n + 1, celui de P'
est n, et celui de (1 + g(x)2)P'(g(x)) est n + 2.
Enfin, si le terme dominant de P est n!Xn+1, celui de P' est (n + 1)!Xn, et
celui de (1 + X2)P'(X) est (n + 1)!Xn+2. La conjecture est donc prouvée par
récurrence.
2) L'expression proposée est un produit de fonctions C∞, dont les dérivées
ont une expression simple, on a donc recours à la formule de Leibniz. La
dérivée n-ième de l'expression x3 est 0 si n > 3, la dérivée n-ième de
l'exponentielle de – x est (– 1)ne-x, d'où :
h (n )(x) = x3 (−1)n e − x + n3x 2 (−1)n−1 e − x
n(n − 1)
n(n − 1)(n − 2)
+
6x(−1)n −2 e − x +
6(−1)n −3 e −x
2
2×3
n
3
−x
2
= (−1) (x − 3nx + 3n(n − 1)x − n(n − 1)(n − 2))e .
3) Calculons m'(x) :
lexique
82
1
x
2 −3 2
m ′(x) = − (−2x)(1− x )
=
.
2
(1 − x2 )3 2
La fonction m vérifie donc la relation différentielle :
m'(x)(1 – x2) – x m(x) = 0.
Les polynômes, et leurs inverses quand ils sont définis, étant indéfiniment
dérivables, on vérifie comme plus haut par récurrence que m est
indéfiniment dérivable sur ]– 1 , 1[.
Quelques calculs suggèrent la forme de la dérivée :
On peut donc écrire que la dérivée n-ième de m est de la forme :
Pn (x)
2n +1 ,
(1 − x2 ) 2
où Pn(x) est un polynôme de degré n, de terme dominant n!, de parité égale
à celle de n.
lexique
83
Pour calculer Pn(x), nous allons utiliser la technique de la relation
différentielle. En dérivant n fois la relation écrite plus haut, on obtient, par
la formule de Leibniz :
2
( n+1)
(n )
2
( n−1)
(1 − x )m
(x) − (2n + 1)xm (x) − n m
(x) = 0
et en supposant par récurrence que les dérivées d'ordre n et n – 1 sont de
la forme précédente, on obtient :
m ( n+1) (x) = (2n + 1)x
Pn (x)
+ n2
(
2n+1)
2
+1
[
]
2
(1 − x )
(
)
Pn−1 (x)
[(2n−1) 2 ]+1
1− x2
(
)
(2n + 1)xPn (x) + n 2 1 − x 2 Pn−1 (x)
=
2 [(2n +3) 2 ]
1− x
(
Le numérateur :
)
(
)
(2n + 1)xPn (x) + n 2 1− x 2 Pn−1 (x)
est bien un polynôme. Par hypothèse de récurrence, son terme dominant
est :
(2n + 1)n! xn+1 – n2(n – 1)! xn+1 = (2n + 1 – n)n! xn+1 = (n + 1)! xn+1.
L'hypothèse concernant le terme dominant est bien vérifiée. On vérifie de
même facilement celle concernant la parité du polynôme.
(QC-1) Donner la valeur de m(n)(0) en fonction de n.
(QC-2) Si l'on reprend la forme ci-dessus de la dérivée (n – 1)-ième,
maintenant prouvée, on peut, par dérivation, obtenir une équation
différentielle vérifiée par le polynôme numérateur. En déduire
explicitement ce polynôme.
lexique
84
exercice 5-C
1) Le fait qu'une fonction f soit paire s'écrit :
∀ x, f(x) = f(– x).
Si cette fonction a un développement limité, à l'ordre n, en 0, il existe un
polynôme P, de degré au plus n, et une fonction ε de limite 0 en 0, vérifiant
:
∀ x, |x| assez petit ⇒ f(x) = P(x) + xnε(x).
Cette relation est également valable pour – x, donc :
∀ x, |x| assez petit ⇒ f(– x) = P(– x) + (– x)nε(– x),
∀ x, |x| assez petit ⇒ f(x) = P(– x) + xn(– 1)nε(– x).
Or la fonction x ∞ P(– x) est une fonction polynôme de degré au plus n et
la fonction x → (– 1)nε(– x) tend vers 0 en 0. Il en résulte que P(– x) est
un développement limité à l'ordre n de f en 0. Comme le développement
limité est unique, on obtient bien :
∀ x, |x| assez petit ⇒ P(– x) = P(x).
Les fonctions polynômes x → P(– x), et x → P(x) coïncident pour une
infinité de valeurs de x, donc elles sont égales. Le polynôme P est bien
pair. On procède de même pour le cas où f est impaire.
2) La propriété précédente est une propriété de symétrie qu'on peut
généraliser. Si a est un réel, et si f admet un développement limité en a,
alors si pour tout h réel, f(a + h) = f(a – h), la partie régulière P du
développement limité au voisinage de a :
f(x) = P(x – a) + (x – a)kε(x – a)
est un polynôme pair.
On peut énoncer une propriété analogue si, pour tout h :
f(a + h) = – f(a – h).
3) Si f est une fonction positive, alors pour tout x réel, f(x) ≥ 0.
Peut-on en conclure que si P est la partie régulière d'un DL de f, par
exemple en 0, on doit avoir P(x) ≥ 0 pour tout x (suffisamment petit) ?
On peut faire un essai :
lexique
85
Il est clair que cet énoncé est faux.
(QC-1) Énoncer une propriété du premier terme non nul d'un DL.
exercice 6-C
1) Le changement de variable proposé conduit au calcul suivant :
a + bx + cx 2 + x 2 ε(x)
1 + x + x 2 + x 2ε(x)
(
) (
= (a + bx + cx 2 + x 2ε(x))(1 − x + x 2 ε(x))
)(
)
2


= a + bx + cx 2 + x 2ε(x)  1 − x + x 2 + x 2ε(x) + x + x 2 + x 2ε(x) + x 2 ε(x) 


= a + (b − a)x +(c − b)x 2 + x 2ε(x).
(QC-1) Chercher le DL à l'ordre 2 de tan(x) en 0.
2) Pour le second cas, il suffit de mettre le terme constant du numérateur
en facteur, pour se ramener au cas précédent :
lexique
86
a + bx + cx 2 + x 2 ε(x)
2 + x − 4x 2 + x 2 ε(x)
=
(
1
a + bx + cx 2 + x 2ε(x)
2

) 1−  x2 − 2x2  +  x2 − 2x2 
2

+ x 2 ε(x)



x 9x 2
 1− +
+ x 2ε(x)
2
4


4c − 2b + 9a 2
a 2b − a
x+
x + x 2 ε(x).
= +
2
4
8
=
(
1
a + bx + cx 2 + x 2ε(x)
2
)
(QC-2) Chercher le DL à l'ordre 2 de tan(x + 1) en 0.
3) Pour cette troisième expression, on mettra en facteur au dénominateur
le terme de plus bas de gré non nul, pour se ramener au premier cas :
a + bx + cx 2 + x 2 ε(x) 1
=
2x
2x − 4x 2 + x 2 ε(x)
1
=
2x
1
=
2x
a
=
2x
×
a + bx + cx 2 + x 2 ε(x)
1 − 2x + xε( x)
(
)
× a + bx + cx 2 + x 2ε(x) (1 + 2x + xε(x))
× (a + (b + 2a )x + xε(x))
+
b + 2a
+ ε(x).
2
exercice 7-C
1) 1+ sin(x) , en 0
On développe d'abord sin(x) à l'ordre 3 (formulaire) :
sin(x) = x −
x3
+ x 3ε(x).
6
On développe également 1+ u en 0 (formulaire) :
lexique
1+ u = 1+
= 1+
87
1
 1  1 u2  1   1   3 u3
u +   − 
+   −  − 
+ u 3ε(u)
 2  2 2  2   2   2  6
2
1
u2 u3
u−
+
+ u 3ε(u).
2
8 16
D'où par substitution :
2
3
1
x3  1 
x3 
1 
x3 
1+ sin(x) = 1+  x −  −  x −  +  x −  + x 3ε(x)
2
6  8
6
16 
6
= 1+
x 1 2 1 3 1 3
− x + x − x + x 3ε(x)
2 8
16
12
et, enfin :
1+ sin(x) = 1+
1
1
1
x − x 2 − x 3 + x 3 ε(x).
2
8
48
On peut vérifier ce résultat, qu'il faut savoir établir à la main, à l'aide de
Maxima.
2) e cos(x) , en 0
D'abord le développement de cos(x) à l'ordre 4 (formulaire) :
lexique
88
Il s'agit de développer une expression de la forme e1+u, u tendant vers 0.
On met e en facteur, et un développe eu. Comme u contient x2 en facteur,
il suffit d'écrire un DL à l'ordre 2 de eu :
On peut maintenant substituer à u la partie correspondante du DL de
cos(x), c'est-à-dire −
x2 x4
+
+ x 4 ε(x).
2 24
On obtient :
e cos(x)


 x2 x4  2



−
+

 x 2 x 4  2 24 

= e1 −
+
+
+ x 4 ε(x)
2 24
2






 x2 x4 x4

= e1 −
+
+
+ x 4 ε(x) 
2 24 8


= e−e
x2
x4
+e
+ x 4 ε(x).
2
6
Par Maxima : (%e désigne la constante d'Euler e)
3) log(x), en 0
Lorsque x tend vers 0, log(x) tend vers l'infini, il n'existe donc pas de
développement limité de log(x) en 0.
 1
 x
4) x 3 sin  , en 0
On ne peut pas utiliser les développements du formulaire pour ce cas.
Cherchons si la formule de Taylor s'applique : si on note f la fonction
définie par cette expression, on peut se reporter à l'exercice 2. La fonction
f est une fois dérivable, de dérivée 0 en 0, mais pas deux fois dérivable en
lexique
89
0. On ne peut donc appliquer la formule de Taylor pour obtenir un
développement limité d'ordre 3.
On remarque que :
 1
x 3 sin 
 x
→0
2
x
quand x tend vers 0, donc f(x) est de la forme x2ε(x). Il existe donc un
développement limité à l'ordre 2, égal à 0, pour f(x), en 0. Il en résulte que
s'il existait un développement limité à l'ordre 3, la partie polynôme de
degré inférieur ou égal à 2 de ce développement serait 0. Ce
développement serait donc de la forme :
 1
x 3 sin  = a3x 3 + x 3 ε(x),
 x
donc :
 1
x 3 sin 
 x
3
x
aurait une limite en 0, ce qui n'est pas le cas.
Conclusion, le développement limité demandé n'existe pas. Il existe un
développement limité d'ordre 2, égal à 0.
x
cos(x )
5) e
, en 0
Il faut calculer le DL à l'ordre 4 de cos(x), puis, par la méthode vue à
l'exercice précédent, celui de
x
, enfin substituer dans le DL à l'ordre
cos(x)
4 de eu. Les calculs sont les suivants (cos(x) est dans le formulaire) :
lexique
90
Donc :
e
x
cos( x )

 1
2 1 
3
x3
x3
x3
4
4
4





=1 +  x +
+ x ε(x) +  x +
+ x ε(x) +  x +
+ x ε(x)
2
2
6
2

 2


4 
4
1 
x3
x3
4
4



+ x+
+ x ε(x)  +  x +
+ x ε(x) ε(x).
24 
2
2



En réduisant et en ne conservant que les termes de degré 4 au plus :
e
x
cos(x )
=1 + x +
= 1+ x +

4
x3 1 2
1
1
x3
+ x + x 4 + x 3 + x 4 +  x +
+ x 4 ε(x) ε(x)
2 2
6
24
2


(
)
x 2 2 3 13 4
+ x +
x + x 4 ε(x).
2 3
24
lexique
91
6) 3 x , en 1
Le DL demandé n'est pas en 0, il est donc préférable de faire un
changement de variable pour faire apparaître une variable tendant vers 0.
On pose x = 1 + h, et il faut calculer un DL de 3 1+ h à l'ordre 3, pour h
tendant vers 0. C'est un DL du formulaire :
7) 3 x , en 0
Cette fonction n'est pas dérivable en 0, donc elle n'a pas de DL à l'ordre 1,
et pas non plus de DL à l'ordre 3.
8) x3 + x2 – x – 1, en 1
Il s'agit d'un polynôme, qui doit être écrit comme combinaison des
puissances de (x – 1). Le plus simple est encore de poser x = 1 + h, de
développer et d'ordonner selon les puissances croissantes de h = (x – 1) :
(1 + h)3 + (1 + h)2 – 1 – h – 1 = 1 + 3h + 3h2 + h3 + 1 + 2h + h2 – 2 – h,
= 4h + 5h2 + h3,
x3 + x2 – x – 1= 4 (x – 1) + 5 (x – 1)2 + (x – 1)3.
9) log(x + x2), en 1
On pose x = 1 + h :
log(x + x2) = log(1 + h + 1 + 2h + h2)
= log(2 + 3h + h2)
3
1
= log(2) + log(1+ h + h 2 ).
2
2
Il faut donc écrire le développement à l'ordre 4 de log(1 + u) pour u tendant
vers 0 (formulaire), puis substituer à u l'expression
3
1
h + h 2 , enfin
2
2
ordonner en ne conservant que les termes de degré au plus 4 :
lexique
10) cos(x), en
π
4
D'abord un changement de variable : x =
92
π
+ h. On calcule, par les
4
formules trigonométriques usuelles :
π

 π
 π
cos(x) = cos + h  = cos(h) cos  − sin(h) sin 
4

 4
 4
=
2
(cos(h) −sin(h) ).
2
Il suffit donc de faire la différence des développements de cos(h) et sin(h)
(formulaire).
On peut aussi, dans ce cas, utiliser la formule de Taylor directement.
−1
2
11) e x , prolongé par 0 , en 0
La formule de Taylor s'applique ici, et d'après l'exercice 2, on voit que
cette fonction a un DL à tout ordre, égal à 0.
lexique
93
−1
ex,
12)
x > 0 , en 0
Il faut essayer d'appliquer la formule de Taylor. La limite de la fonction en
0 existe et vaut 0, puisque, x étant positif,
−1
tend vers –∞. La dérivée en
x
dehors de 0 est :
1 −1x
e
x2
Par un raisonnement par récurrence, on montre que les dérivées
successives en dehors de 0 sont de la forme
−1
P(x) −1 x
e . Elles ont donc pour
xk
limite 0 en 0, donc e x , prolongé par 0, est dérivable à tout ordre, de
dérivée 0. La conclusion est la même que pour le cas précédent.
13) log(1 + x ) , en 0
La fonction n'est pas dérivable en 0, donc il n'y a pas de développement à
l'ordre 1. On peut cependant écrire un développement dans une autre
échelle que celle des monômes xk, celle des puissances fractionnaires xk/2
:
log(1 + x ) = x −
x x x
+
+ x xε
2
3
( x ).
14) log(1 + x ) , en 2
Ici, il faut commencer par le changement de variable :
x = 2 + h.

h
log(1 + 2 + h) = log 1+ 2 1 +  .
2

On écrit d'abord le développement du radical (formulaire), puis, après
avoir mis en facteur le terme constant à l'intérieur du logarithme, on
développe une forme log(1 + u) :
lexique
94
15) x 3 log( x). , en 0
Le logarithme n'a pas de développement. On peut essayer la formule de
Taylor : la fonction a pour limite 0 en 0. La dérivée première, pour x ≠ 0
est 3x 2 log(x) + x 2 . Elle a pour limite 0 en 0. La dérivée seconde pour x ≠
0 est 6x log(x) + 5x. Elle se prolonge encore par 0 en 0.
Par contre il n'y a pas de dérivée d'ordre 3 en 0, puisque le quotient :
6x log(x) + 5x
x
n'a pas de limite en 0.
Si un DL d'ordre 3 existe, il s'écrit :
x 3 log( x) = a3 x 3 + x 3ε(x).
Par simplification, cela impliquerait que log(x) a une limite finie en 0, ce
qui n'est pas le cas. Il n'y a pas de DL à l'ordre 3, mais il existe un DL à
l'ordre 2, qui est égal à 0.
exercice 8-C
1)
x −1
. , en +∞
x+3
1
x
On fait tout d'abord le changement de variable h = , h tend vers 0 par
valeurs positives :
x −1
1− h
=
.
x+ 3
1 + 3h
On développe d'abord la fraction, puis le radical :
lexique
95
1−h
= (1 − h)(1− 3h + 9h 2 − 27h 3 + h 3 ε(h))
1 + 3h
=1 − 4h +12h 2 − 36h 3 + h 3ε(h).
1− h
= 1 − 4h +12h 2 − 36h 3 + h 3ε(h)
1+ 3h
1
1
= 1 + −4h +12h 2 − 36h 3 + h 3ε(h) − −4h +12h 2 − 36h 3 + h 3ε(h)
2
8
3
1
+
−4h +12h 2 − 36h 3 + h 3ε (h) + h 3ε(h)
16
(
) (
(
)
= 1 − 2h + (6 − 2)h 2 + ( −18+12 − 4 )h 3 + h 3ε(h)
= 1 − 2h + 4h 2 −10h 3 + h 3ε(h).
On obtient donc :
x −1
2 4 10 ε(1/ x)
= 1− + 2 − 3 +
.
x+ 3
x x
x
x3
x2 − x + 3
, en 1
x3 − 1
Il faut d'abord changer de variable, h = x – 1 :
2)
x 2 − x + 3 1+ 2h + h 2 −1 − h + 3
3 + h + h2
=
=
x 3 −1
1 + 3h + 3h 2 + h 3 − 1 3h + 3h 2 + h 3



2 

1
h h 
1



= 1 + + 
h  3 3 
h2 
1 + h +


3 
2
3


h2 
h2 
1  h h2  
h2 
3
= 1 + +  1 − h −
+  h +  −  h +  + h ε(h) 

h  3 3 
3 
3  
3


lexique
)
2
96

2h 3
x2 − x + 3 1  h h2  
h2
2
3
3
=
1
+
+
+
h
+
−
h
+
h
ε(h)




1
−
h
−
h  3 3  
3
3
x 3 −1

2
2
3

1  h h 
h
2h
= 1 + +  1 − h +
−
+ h 3ε(h) 
h  3 3 
3
3

=

1  2h 2h 2 4h 3
1 −
+
−
+ h 3ε(h) .
h
3
9
3

D'où le développement asymptotique cherché :
x2 − x + 3
1
2 2(x − 1) 4(x − 1) 2
2
=
− +
−
+ (x −1) ε(x −1).
3
x −1
x−1 3
3
9
π
3) tan(x), en
2
π
Il faut d'abord faire un changement de variable, h = x − :
2


1
π
tan(x) = tan  h +  = −
.

2
tan(h)
Le développement de tan(h) en 0 est connu en général, sinon on le retrouve
par la formule de Taylor (facile ici) :
−
1
−1
−1
1
=
=
×
tan(h) h + 1 h 3 + h 4 ε(h) h 1+ 1 h 2 + h 3 ε(h)
3
3

−1  1 2
−1
h
=  1 − h + h 3ε(h) =
+ + h 2 ε(h).

h  3
h 3
D'où le développement asymptotique :
1
tan(x) = π
+
−x
2
π
2
2 +  x − π  ε(x − π ).

2
2
3
x−
lexique
4)
97
x 3 + 2x − 1
, en –∞
x +1
1
x
On fait d'abord le changement de variable h = , h tend vers 0 par valeur
négatives :
1 2
+ −1
1 + 2h 2 − h 3
1 1+ 2h 2 − h 3
h3 h
=
=
.
1
h2
h 2 + h3
1+h
+1
h
1
−1
= −x. Il faut développer le radical
Comme h est négatif,
2 =
h
h
x 3 + 2x −1
=
x +1
1+ 2h 2 − h 3
. La méthode est la même que dans le premier exemple :
1+h
développer le quotient, puis le radical. On obtient :
D'où le résultat :

x 3 + 2x −1
1
11
21
1  1 
= −x 1 −
+ 2−
+
ε  
x +1
 2x 8x
16x 3 x 3  x  
= −x +
5)
1
2
x
e +x ,
1 11
21
1  1
−
+
2 + 2 ε  .
2 8x 16x
x  x
en +∞
1
h
On pose, comme précédemment, x = . On doit développer :
lexique
e
1
x2 + x
98
2
h
1+h
=e
h tendant vers 0, par valeurs positives. L'exposant se développe en :
h2
= h 2 (1− h + hε(h)) = h 2 − h 3 + h 3ε(h).
1+h
D'où l'exponentielle :
eh
e
2 −h 3 +h3 ε(h )
1
x2 + x
= 1+
= 1 + h 2 − h 3 + h 3ε(h),
1
1
1  1
2 − 3 + 3 ε  .
x
x
x  x
1
2
6) e x+ 1+ x , en –∞
On pose :
1
x= .
h
L'exposant est à développer quand h tend vers 0 par valeurs négatives :
1
1
+
h
 1 2
1 +  
h
1
=
1
+
h
 1 2
 
 
h
=
h 2 +1
1
h
=
1 1 2
2
−
h +1 1 − h +1
h h


h 1 + h 2 +1 


=



1− h 2 +1 1 + h 2 +1 





h 1 + h 2 +1 


=
−h 2

1 
1
= − × 1 +1 + h 2 + h 3ε(h) 

h 
2
−2 h
=
− + h 2ε( h).
h 2
lexique
99
Il en résulte que l'exposant tend vers +∞, donc l'exponentielle aussi, donc
il n'existe pas de développement limité.
exercice 9-C
La difficulté est ici qu'on ne sait pas jusqu'à quel ordre il faut calculer les
développements limités. Il suffit d'obtenir un terme non nul.
4 − x2
1) cos( x) −
, en 0
4 + x2
Le développement du cosinus est dans le formulaire, à un ordre
quelconque.
Pour la fraction, on commence par la transformer en simplifiant par 4, puis
on développe :
x2
2
2
4


4−x
4 = 1 − x  1 − x + x + x 4 ε(x)
=


2
2


4+x
4 
4 16
x


1+
4
2
1−
= 1−
x2 x4
+
+ x 4ε(x).
2
8
4 − x2
On voit que la différence est d'ordre 4, un équivalent de cos( x) −
4 + x2
est donc :
x 4 x4
x4
−
=− .
24 8
12
Les graphes de ces deux fonctions sont donc très proches pour x petit.
2) 2sin
x
 x
 2  − 1 + x2 , en 0
Ici encore, le développement du sinus peut être facilement calculé à un
ordre quelconque :
lexique
100
Pour la fraction, il s'agit d'un calcul facile, également
La différence est donc d'ordre 3, équivalente à
23 3
x .
24
2
3) 2 log(x) + x − 4x + 3 , en 1
Ici, il faut d'abord faire un changement de variable : h = x – 1. Le
développement du logarithme est dans le formulaire, on obtient :


h2 h3
2 log(1 + h) + (1+ h)2 − 4(1 + h) + 3 = 2  h −
+
+ h 3ε( h) − 2h + h 2
2
3


2
= h 3 + h 3 ε(h).
3
2
Un équivalent en 1 est donc (x −1)3 .
3
2
4) x tan(x) − sin(x) , en 0
Les développements de base sont connus, il faut les combiner : Un
équivalent est
2 4
x .
3
exercice 10-C
1) forme
0
.
0
xx − x
, en 1
1 − x − log(x)
lexique
101
Le numérateur et le dénominateur tendent vers 0, on ne peut donc pas
conclure directement. Comme d'habitude on fait le changement de variable
x = 1 + h, h tendant vers 0.
Pour x x − x :
x x − x = e(1+ h) log(1 +h) −1 − h
= e(1+ h)(h +hε(h )) −1 − h
= eh +h
2
+ h2 ε( h)
−1 − h
= 1+ h + h 2 + h 2ε(h) +
Donc le numérateur est équivalent à
h2
−1− h.
2
3 2
h .
2
Pour 1 – x – log(x) :
1 – x – log(x) = – h – log(1 + h)
= – 2h + h ε(h).
Donc le dénominateur est équivalent à – 2h.
L'expression étudiée tend donc vers 0.
2) forme 1∞.
k
(cos(x) )1 x , en 0
Le cosinus tend vers 1, l'exposant vers +∞, donc on ne peut pas conclure
directement. En général, on étudie le logarithme de l'expression soit ici :
 x2

2
log1 −
+ x 2ε(x) − x
2
log(cos(x))


x 2 −k
=
~ 2k = −
,
k
k
x
x
0 x
2
donc si 2 – k > 0, la limite du logarithme est 0, si 2 = k, la limite est
enfin si 2 – k < 0, la limite est – ∞.
lexique
−1
,
2
102
k
k
Conclusion : si k < 2, (cos(x) )1 x tend vers 1, si k = 2, (cos(x) )1 x tend
vers
k
1
, et si k > 2, (cos(x) )1 x tend vers 0.
e
3) forme 1∞.
x
 log(1+ x)
, en +∞
 log(x) 
log(1 + x)
:
log(x)
 1
 1
log(x) + log 1 + 
ε 
log(1 + x)
 x
 x
1
=
= 1+
+
.
log(x)
log(x)
x log(x) x log(x)
On transforme d'abord
Le logarithme de cette expression donne donc :

 1 
1
ε  
ε 

 x 
x
1
1
log 1 +
+
+
,
=


x log(x) x log(x)
x log( x) x log(x)




et après multiplication par x :
 1
ε 
 log(1 + x) 
1
 x
x log 
=
+
,
log(x)
log(x)
log(x)


dont la limite est 0. Il en résulte que :
 log(1 + x)  x
lim 
 = 1.
x →+∞  log(x) 
4) forme
(
∞
.
∞
log x + 1 + x 2
x
(
log x 2 + e x
)
), en +∞
lexique
103
Pour comparer numérateur et dénominateur, on en cherche un équivalent
en +∞. Pour le numérateur :
 



1
1



log x + 1 + x 2  = log x  1+
+1


+1
 .
=
log(x)
+
log
1
+




x2
x2



 


1
Comme log 1 + 2 +1 tend vers log(2) et log(x) vers +∞, le second
x


terme est négligeable devant log(x), donc le numérateur est équivalent à :
x log(x).
Pour le dénominateur :
(
((
)
))
(
)
log x 2 + ex = log e x x 2e −x +1 = x + log x 2 e−x +1 .
Le dénominateur est donc équivalent à x. On obtient :


log x + 1 + x 2 


x log(x) log(x)
x
~
=
.
2
x
+∞
x
x
log x + e
(
(
)
log x + 1 + x 2
Il en résulte que
x
(
log x 2 + e x
)
)tend vers 0 en +∞.
5) forme ∞ – ∞.
2
1
, en 0
2 −
sin(x) 1 − cos(x)
Il faut chercher le premier terme non nul d'un développement
asymptotique de cette expression en 0.
Pour
2
:
sin(x) 2
lexique
104
2
2
2
1
2
1
=
= 2×
= 2
2
2
2
2



 x2

sin(x)
x
x  x
x3
1 −
+ x 2ε(x)
 x −
+ x 3ε(x)
1 −
+ x 2ε(x)
3


6
6





2 
x2

1+
+ x 2 ε(x) .
2
3
x 

1
Pour
:
1 − cos(x)
1
1
2
1
= 2
= 2×
4
2
1 − cos(x) x
x
x
x
−
+ x 4ε(x)
1−
+ x 2 ε(x)
2 24
12

2  x2
= 2 1 +
+ x 2ε(x) .
x  12

=
On obtient par différence :
 2  x2

2
1
2 
x2
2

 − 2 1 +
−
=
1+
+
x
ε(x)
+ x 2ε (x) 

2
2
3
sin(x) 1 − cos(x) x 
 x  12

2 2
+ ε(x).
= −
3 12
Donc :
 2
 1
1
lim 
= .
2 −
x →0  sin(x)
1− cos(x) 2
6) forme
0
.
0
ex + e− x − 2
, en 0
sin(x)( 1+ x − 1)
Pour lever cette indétermination, il faut chercher un équivalent du
numérateur et du dénominateur.
Pour le numérateur :
lexique
e x + e −x − 2 = 1 + x +
105
x2
x2
+ x 2 ε(x) +1 − x +
+ x 2ε(x) − 2
2
2
~ x2 .
0
Pour le dénominateur :
(
)0
sin(x) 1 + x −1 ~ x ×
Il en résulte que la limite de
x x2
=
.
2 2
ex + e− x − 2
en 0 est 2.
sin(x)( 1+ x − 1)
7) forme 1∞.
1
x 1− x ,
en 1
On fait d'abord le changement de variable h = x – 1. L'expression à étudier
devient :
1
−h
(1 + h) .
Comme on l'a dit, on étudie le logarithme :
1
1
− log(1 + h) ~ − h = −1.
h
0 h
1
e
La limite est donc .
8) forme 1∞.
(log(e + x))1 x , en 0
On étudie le logarithme de l'expression :
 x  1 
 x 
1
1 
log(log(e + x)) = log log(e) + log1 +   = log1+ log1 +  
 e  x 
 e 
x
x 
1 
x 1 x
~ log 1 +  ~
.
0x

e 0 x e
Donc :
lexique
1
lim (log(e + x))
1x
9) forme
x →0
∞
.
∞
106
.
= ee .
xe 1+ x
, en +∞
(x + log(x))2
Il faut chercher un équivalent pour le numérateur et le dénominateur.
Pour xe
1+x
:
xe
1+x
= xe
= xe
~ xe
∞
x 1+ 1x
x+1
x
2 x
= xe
(
ε(1 / x)
x 1+ 1 2x +
x
+ ε(1 / x)
)
x
.
Pour (x + log(x))2 : log(x) est négligeable devant x donc le dénominateur
est équivalent à x2.
Le quotient tend donc vers + ∞.
10) forme ∞ – ∞.


log(1 − x) − log x 2 − 1 −1 , en –∞


Il faut chercher un équivalent de l'expression, par calcul d'un
développement asymptotique :
lexique
107
 1
  1 
1 
log(1 − x) − log x 2 −1 −1 = log −x  1−   − log −x  + 1− 2  


x 
x 
 
 x
1
 1
1 
= log(−x) + log 1 −  − log(−x) − log + 1 − 2 
 x
x 
x
La limite est donc 0.
11) forme ∞ × 0.
tan(x)log(1 + cos(x)) , en
=
1
−1 1  1 
1  1 
+ ε  − log +1 + ε   
x x  x
x
x  x 
=
−2 1  1 
+ ε  .
x x  x
π
2
Comme cos(x) tend vers 0, log(1 + cos(x)) est équivalent à cos(x), donc
l'expression étudiée est équivalente à tan(x)cos(x), soit sin(x). la limite est
donc 1.
exercice 11-C
1) Les deux premiers cas sont souvent rencontrés :
f(x) = x3. Cette fonction est croissante sur R, sa dérivée s'annule en 0.
f(x) = x2. Cette fonction est décroissante sur ]– ∞ , 0], croissante sur [0 ,
+∞[, et sa dérivée s'annule en 0.
 1
 x
Le troisième cas est moins classique. Penser à la fonction x → sin   .
Cette fonction n'est pas dérivable en 0. Par contre la fonction :
1
x
x → x 2 sin  
est dérivable sur R, et sa dérivée s'annule en 0.
lexique
108
Montrons que la fonction n'est monotone sur aucun intervalle de la forme
]0 , b[, b > 0 : soit n un entier naturel non nul, sur l'intervalle :




1
1
, π

π
 + 2nπ − + 2nπ 

 2
2
la fonction est croissante, comme on le voit d'après le signe de sa dérivée
:
1
 1
2x sin  − cos   .
x
 x
(QC-1) le démontrer en comparant tan(X) et X/2.
De même, sur l'intervalle :




1
1
 3π
, π


+ 2nπ
+ 2nπ 
 2

2
la fonction est décroissante. En choisissant n assez grand, on peut faire en
sorte que ces deux intervalles soient contenus dans ]0 , b[, pour tout b > 0.
lexique
109
(QC-2) Démontrer que f n'est injective sur aucun intervalle centré en 0.
2) A partir du dernier exemple de la question précédente, on peut
construire un exemple où f'(a) ≠ 0, et f non monotone :
f (x) =
1
x
+100x 2 sin  .
x
2
on voit que f'(0) = 1/2. Pour x ≠ 0, la dérivée est :
f' (x) =
 1
 1
1
+ 200x sin  − 100 cos  .
 x
 x
2
Il est clair qu'elle prend des valeurs positives et négatives sur tout intervalle
centré en 0, donc f n'est pas monotone.
3) Si la dérivée est continue, dans la question 2, si f'(a) > 0, pour fixer les
idées, alors f'(x) > 0 sur un intervalle centré en a, donc f est strictement
croissante sur cet intervalle, donc injective. Dans la question 1, les deux
premiers cas correspondent à une dérivée continue. Le troisième cas à une
lexique
110
 1
 x
dérivée non continue en 0. Cependant, il suffit de choisir plutôt x 3 sin 
pour avoir les mêmes propriétés, avec une dérivée continue.
exercice 12-C
1) Exemples :
h(x) = x + x2, h'(0) = 1.
h(x) = 6x, h'(0) = 6.
h(x) = ex – 1, h'(0) = 1.
2) On peut écrire le taux d'accroissement, pour x > 0 :
h(x) − h(0) h(x)
=
≥ 1.
x −0
x
Or ce taux d'accroissement a une limite quand x tend vers 0, qui est h'(0).
Il en résulte que h'(0) ≥ 1.
3) Le même raisonnement, pour x < 0, conduit à h'(0) ≤ 1, donc h'(0) = 1.
La tangente a bien pour équation y = x. Si h est deux fois dérivable,
écrivons la formule de Taylor à l'ordre 2, en 0 :
h(x) = h(0) + x h ′(0) +
x2
h ′′(0) + x 2 ε(x),
2
soit, compte tenu de h(0) = 0, et h'(0) = 1 :
h(x) = x +
x2
h′′(0) + x 2 ε(x),
2
et comme h(x) ≥ x, on conclut que h"(0) ≥ 0.
(QC-1) Énoncer (et démontrer) une généralisation de cette propriété
géométrique.
lexique
111
exercice 13-C
1) Rappelons que, comme ε(x) désigne une fonction quelconque tendant
vers 0 en 0, tout terme de la forme xk, dans la même expression qu'un terme
de la forme xpε(x), avec p < k, n'apporte aucune information
supplémentaire : xk + xpε(x) = xp(xk–p + ε(x)) est encore de la forme xpε(x).
Le premier travail est de simplifier les expressions proposées en ne
conservant que les informations significatives :
(1) à (5) : pas de changement
(6) f(x) = –3x + xε(x)
(7) f(x) = ε(x)
(8) : pas de changement.
(9) supprimée car équivalente à (1)
(10) : pas de changement.
Ensuite nous appliquons la règle suivante : si deux DL sont du même ordre,
ils sont compatibles s'ils sont exactement identiques (unicité du DL). Si
deux DL ne sont pas de même ordre, ils sont compatibles si celui qui est
d'ordre plus élevé se réduit à l'autre par troncature à un degré moins élevé.
Dans un ensemble de DL compatibles entre eux, le plus précis est celui qui
est d'ordre le plus élevé. En appliquant ces principes, on forme les 5
familles suivantes :
(7) f(x) = ε(x)

(I) (5) f(x) = x + xε(x)

 (1) f(x) = x + x 2 + x 2 ε(x)
(7) f (x) = ε(x)

(II)(5) f (x) = x + xε(x)

(3) f (x) = x + x 2ε(x)
lexique
 (7)

(III) (8)

(2)
(7)

(IV) (6)

(4)
 (7)

(V) (6)

(10)
112
f (x) = ε(x)
f (x) = 2x + xε(x)
f (x) = 2x + 5x 2 + x 2 ε(x)
f (x) = ε(x)
f (x) = −3x + xε(x)
f (x) = −3x − x 2 + x 2 ε(x)
f(x) = ε(x)
f(x) = −3x + xε(x)
f(x) = −3x + x 2 + x 3ε(x)
2) Famille (I) : l'égalité (7) signifie que f(x) tend vers 0 quand x tend vers
0 ; l'égalité (5) signifie que la dérivée en 0 existe et vaut 1 ; le graphe de f
a pour tangente en (0, 0) la droite d'équation y = x ; enfin l'égalité (1)
montre que le graphe de f est situé au-dessus de sa tangente en 0. Si f est
deux fois dérivable en 0, alors f"(0) = 2.
Famille (II) : La formule (3) ne permet pas de conclure quant à la position
du graphe par rapport à sa tangente. Si f est deux fois dérivable en 0, f"(0) =
0.
Famille (III) : (7) et (8) signifient respectivement que f(x) tend vers 0 en
0, et que la tangente en (0, 0) au graphe de f est la droite d'équation y = 2x,
la dérivée f'(0) valant 2 ; (2) entraîne que le graphe est situé au-dessus de
la tangente en 0, et si f"(0) existe, f"(0) = 10.
Famille (IV) : (7) s'interprète comme ci-dessus ; (6) signifie que f est
dérivable en 0, et f'(0) = – 3, la tangente en (0 , 0) est la droite d'équation
y = – 3x ; (4) entraîne que le graphe est situé au-dessous de sa tangente en
(0, 0), avec f"(0) = – 2 si f est deux fois dérivable.
lexique
113
Famille (V) : l'interprétation est la même que pour la famille (IV), avec
cependant (10) qui implique que le graphe est au-dessous de sa tangente
en (0, 0), et f"(0) = 2 si f est deux fois dérivable en 0. Enfin, si f est trois
fois dérivable en 0, f"'(0) = 0.
3) La famille (I) est compatible avec la figure 2, la famille (II) avec la
figure 6, la famille (III) avec la figure 3, la famille (IV) avec la figure 1, la
famille (V) avec la figure 4.
Il reste la figure 5 :
Le graphe passe à l'origine, et la tangente est la droite d'équation y = – 3x,
donc le développement commence par – 3x. La courbe n'est pas du même
côté de la tangente pour x > 0 et pour x < 0, donc le terme en x2 est nul.
On peut donc proposer pour la figure 5 : f(x) = – 3x + x2ε(x).
lexique
114
exercice 14-C
Dans chaque cas, il faut déterminer la limite, le terme de degré 1 du
développement limité ou asymptotique, et le premier terme non nul
suivant.
1)
∫
x
0
 t2

2
 e sin (t)  dt , en 0
 1− 1 − t 2 


La limite en 0 est 0. On obtiendra un développement limité par intégration
2
d'un développement limité de
e t sin2 (t)
1 − 1− t2
:
 t3
2
3

1 + t + t ε(t)  t − + t ε(t)
2
6
e t sin2 (t)


=
2
4
2


t
t
1 − 1− t
1 − 1 − − + t 4ε(t)
2 8


(
2
2
)
2 4 4
t + t ε(t)
3
= 2
t
t4
+ + t 4 ε(t)
2 8
5
= 2 + t 2 + t 2ε(t).
6
t2 +
Par intégration :
∫
x
0
 t2

2
 e sin (t)  dt = 2x + 5 x 3 + x 3 ε(x).
 1− 1 − t 2 
18


D'où le graphe au voisinage de 0 :
lexique
115
lexique
116
x2 − x
, en 1
sin(xπ)
On fait le changement de variable usuel, x = 1 + h :
2)
(1+ h)h
(1+ h)h
x2 − x
=
=−
sin(πh)
sin(xπ) sin(π + πh)
(1 + h)h
=−
(πh)3
+ h 3ε(h)
πh −
6
 (πh) 2

1
= − (1+ h) 1+
+ h 2ε(h) 
6
π


=−

1
(πh)2
1 + h +
+ h 2 ε(h) .
π
6

1
π
1
π
Donc le point considéré est (1, − ), la tangente a pour équation y = − x
, et la courbe est située au-dessous de sa tangente.
lexique
117
3) x 2 − x −1 − x 2 − 2x − 1 , en +∞
On met x en facteur, et on développe en 1/x :

1 1
2 1 
x 2 − x −1 − x 2 − 2x − 1 = x  1 − − 2 − 1− − 2 
x x
x x 


 1 
ε  

1
1
1
1
1
1
 x
= x  1−
−
−
−1 + + 2 + 2 + 2 
 2x 2x 2 8x 2
x 2x
2x
x 




 1
ε 
1 3
 
= +
+ x .
2 8x
x
1
2
Le graphe présente une asymptote d'équation y = , et se situe au-dessus
de son asymptote.
x2 − x 2 + 1
, en 2
x2 − 2
On pose x = 2 + h :
4)
lexique
(
)
118
2 + h h +1 1 + h 2 + h 2
x 2 − x 2 +1
=
=
2
x −2
2 2h + h 2
h h+2 2
=
=
=
=
=
(
)
1
1 + h 2 + h2
×
h
2 2h
1+
2 2


1
h
1 + h 2 + h 2  1−
+ hε(h)
2 2h
 2 2



1 
1 
1 + h  2 −
 + hε(h)
2 2h 

2 2


1 
3
h + hε(h)
1 +
2 2h  2 2

1
3
+ + ε(h).
2 2h 8
(
)
Donc la fonction admet une asymptote verticale d'équation x =
La fonction tend vers +∞ si x > 2 , et – ∞, si x < 2 .
lexique
2.
5)
119
x 2 − x 2 +1
, en +∞
x−2
On effectue un développement asymptotique en 1/x :
x 2 − x 2 +1
=x
x−2
1−
2
1
+ 2
x
x
2
1−
x

2
1  2 4
1  1 
= x 1 −
+ 2  1 + + 2 + 2 ε  
x
x  x x
x  x 

 2 − 2 5 − 2 2 1  1 
+
+ 2 ε  
= x 1 +
x
x2
x  x 

= x + 2− 2 +
5 −2 2 1 1
+ ε  .
x
x  x
On voit que ce graphe a pour asymptote la droite d'équation :
y= x+2− 2
et est situé au-dessus de son asymptote.
lexique
120
6) x cos(x) − sin(x) , en 0
Un développement limité donne :


x2
x3
x cos(x) − sin(x) = x 1−
+ x 2 ε(x) − x +
+ x 3 ε(x)
2
6


=−
x3
+ x 3 ε(x).
3
On en déduit qu'au point (0, 0) le graphe a pour tangente la droite
d'équation y = 0, et se situe au-dessus si x < 0, et au-dessous si x > 0.
lexique
121
3-3 Corrigés des questions complémentaires
exercice 1-QC
(QC-1) C'est clair, puisque si f est dérivable en a, les dérivées à gauche et
à droite sont égales à f'(a). La formule précédente donne bien f ′(a) = fs′(a ).
(QC-2) Graphiquement, le quotient dont la limite est la dérivée symétrique
s'interprète comme la pente d'une droite. C'est la droite qui joint les points
du graphe de f d'abscisses a – h et a + h :
La dérivée symétrique, si elle existe est la pente limite de cette droite
variable.
Dans les deux premiers exemples, la fonction étant paire, la droite variable
dont on cherche la position limite est toujours parallèle à l'axe des
abscisses, d'où le résultat, indépendamment de l'existence d'une tangente
au graphe au point considéré.
exercice 2-QC
(QC-1) Graphiquement, le fait que la fonction soit négligeable devant
toute fonction puissance xp se traduit par un graphe "plat", c'est-à-dire plus
proche de sa tangente que toute fonction polynôme :
exercice 3-QC
(QC-1) Le produit g(x)(1 + x2) se dérive par la formule de Leibniz :
(g(x)(1+ x ))
2
(n )
k =n
=
∑
(
C kn g(x)(n −k ) 1 + x 2
)
( k)
k =0
et comme (1 +
x2)(k)
= 0 pour k ≥ 3, on obtient :
lexique
,
(g(x)(1+ x ))
2
(n )
122
k =2
=
∑
(
C kn g(x)(n −k ) 1 + x 2
)
( k)
k =0
(
)
= g(x)(n ) 1 + x 2 + ng(x)(n −1) 2x +
n( n −1)
g(x)(n −2 ) 2,
2
ce qui redonne bien la formule obtenue par récurrence.
exercice 4-QC
(QC-1) Pour x = 0, on obtient :
( n+1)
2 (n −1)
m
(0) = n m
(0),
Donc si n est pair, n = 2p,
m(2p)(0) = (2p – 1)2…32m"(0) = (2p – 1)2…32,
et si n est impair, n = 2p + 1,
m(2p+1)(0) = (2p)2…22m'(0) = 0.
(QC-2) Cette équation est, pour Pn-1 :
(1 – x2) P"(x) + (2n – 3)x P'(x) – (n – 1)2 P(x) = 0.
On trouve pour Pn :
(1 – x2) P"(x) + (2n – 1)x P'(x) – n2 P(x) = 0.
On peut résoudre cette équation en utilisant le fait que P est un polynôme.
Posons :
k
n
P(x) = a 0 + …+ a k x + … + a n x .
P ′(x) = a1 + …+ ka k x
k−1
+ …+ na n x
P ′′(x) = 2a 2 + …+ k(k − 1)a k x
k− 2
n−1
,
+ … + n(n − 1)a n x
L'équation s'écrit donc :
lexique
n− 2
.
123
2a 2 + …+ k(k − 1)a k x k −2 + … + n(n − 1)a n x n− 2 −
(a 2x 2 + …+ k(k − 1)a k xk + …+ n(n − 1)a nx n )+
(2n − 1)(a1x + … + ka k xk + …+ na n x n )−
n 2 (a 0 + … + a k x k + …+ a n xn )= 0.
Soit, en séparant les termes de degrés différents, pour les deux premiers :
2
2a 2 − n a 0 = 0
6a 3 + (2n − 1)a1 − n2 a1 = 0
6a 3 − (n − 1)2 a 1 = 0
pour les deux derniers :
−(n − 1)(n − 2)a n −1 + (2n − 1)(n − 1)a n−1 − n 2 a n−1 = 0
−a n−1 = 0
2
(− n(n − 1) + (2n − 1)n − n )a n = 0
0.a n = 0
et entre 3 et n – 2 (n > 4) :
2
(k + 2)(k + 1)a k+ 2 − k(k − 1)a k + (2n − 1)ka k − n a k = 0
2
(k + 2)(k + 1)a k+ 2 − (n − k) a k = 0
D'où :
ak =
(k + 2)( k + 1)
a k+ 2 .
(n − k)2
Supposons n pair.
Le terme an-1 étant nul, tous les termes de degré impair sont nuls, d'après
les relations précédentes.
Pour les termes de degré pair, on a les égalités :
lexique
124
n(n − 1)
a n,
22
(n − 2)(n − 3)
(n − 2)(n − 3) n(n − 1)
a n −4 =
a n− 2 =
×
a n,
2
4
42
22
n!
a0 =
an
[n(n − 2)(n − 4)…2]2
a n −2 =
et on sait que dans ce cas la valeur en 0 est :
a0 = (n – 1)2(n – 3)2…32,
donc on a bien an = n! et en général, pour k pair, k ≤ n – 2 :
n(n − 1)…(k + 1)
ak =
n!.
[2 × 4…(n − k)]2
Supposons n impair.
Ce sont maintenant tous les termes de degré pair qui sont nuls.
Pour les termes de degré impair, on procède comme dans le cas précédent,
en remarquant que le terme a1 du polynôme Pn est égal au terme constant
du polynôme Pn+1. Si n = 2p + 1, a1 = n2(n – 2)2…32, d'où an = n! et en
général, pour k impair, k ≤ n – 2 :
n(n − 1)…(k + 1)
ak =
n!
[2 × 4…(n − k)]2
exercice 5-QC
(QC-1) Si une fonction a un DL en un point, par exemple 0, et si cette
fonction est à valeurs positives, on a vu que la partie régulière du DL n'est
pas nécessairement un polynôme à valeurs positives. Par contre le premier
terme non nul est à valeurs positives. On le vérifie bien sur les exemples.
En général, soit f une fonction dont les valeurs sont de signe fixe,
admettant un DL en 0, dont le premier terme non nul est akxk :
f (x) = a k x k + … + a nx n + x n ε(x).
On écrit, plus simplement :
lexique
125
f (x) = a k x k + x k ε(x).
La fonction ε tend vers 0 en 0, donc pour x assez petit, |ε(x)| < |ak/2|.
Il en résulte l'encadrement :
−
ak
ak
≤ ε(x) ≤
,
2
2
donc si ak > 0 :
0<
ak
a
≤ ε(x) + a k ≤ 3 k ,
2
2
et si ak < 0 :
3
ak
a
≤ ε( x) + a k ≤ k < 0.
2
2
En résumé, pour x assez petit, ak + ε(x) est du signe de ak.
Comme f (x) = a k x k + x k ε(x), le signe de f(x) ne peut-être fixe que si le
signe de xk est fixe au voisinage de 0, c'est-à-dire si k est pair, donc xk
positif. Le signe de f(x) est donc celui de ak.
En résumé, si f(x) a un signe fixe, et f a un DL en 0 dont le premier terme
non nul est akxk, alors :
k est pair,
ak est du signe de f(x).
exercice 6-QC
(QC-1) C'est le quotient des DL de sin(x) et cos(x) :
x + x 2 ε(x)
x2
1−
+ x 2 ε(x)
2
 x2

= x + x 2 ε(x) 1 +
+ x 2 ε(x)
2


tan(x) =
sin(x)
=
cos(x)
(
)
= x + x 2 ε(x).
lexique
126
(QC-2) C'est le quotient des DL de sin(x + 1) et cos(x + 1) :
sin(x +1) sin(1) cos(x) + cos(1) sin(x)
=
cos(x +1) cos(1) cos(x) − sin(1) sin(x)


x2
+ x 2 ε(x) + cos(1) x + x 2 ε(x)
sin(1) 1−
2


=
2


x
cos(1) 1−
+ x 2 ε(x) − sin(1) x + x 2 ε(x)
2


tan(x +1) =
(
)
(
)
x2
sin(1) + x 2 ε(x)
2
=
.
x2
2
cos(1) − x sin(1) −
cos(1) + x ε(x)
2
sin(1) + x cos(1) −
On procède donc comme dans l'exercice : mise en facteur au dénominateur
de cos(1), puis utilisation de la formule de (1 + u)-1 :
x2
sin(1) + x 2 ε(x)
2
x2
cos(1) − x sin(1) −
cos(1) + x 2 ε(x)
2
2



x
x2
=  tan(1) + x −
tan(1) + x 2 ε(x)  1+ x tan(1) +
+ x 2 ε(x) + x 2 tan 2 (1)
2
2



sin(1) + x cos(1) −
(
)
= tan(1) + x 1+ tan 2 (1) +
D'où, enfin :
x2
− tan(1) + 2 tan(1) + tan(1) + 2 tan 3 (1) + x 2 ε(x).
2
(
(
)
) (
)
tan(x +1) = tan(1) + x 1 + tan 2 (1) + x 2 tan(1) + tan3 (1) + x 2 ε(x).
NB : dans ce cas, le recours à la formule de Taylor est beaucoup plus
efficace.
lexique
127
exercice 11-QC
(QC-1) Étudions la fonction définie par T(X) = tan(X) −
X
. Sa dérivée est
2
:
T ′( X) = 1+ tan2 (X) −
1 1
= + tan2 ( X).
2 2
Elle est donc strictement positive, donc T est croissante. Comme T(0) = 0,
on voit que T(X) ≥ 0 si X ≥ 0, et T(X) ≤ 0 si X ≤ 0.
Ici, X =
1
> 0, donc :
x
1
x
et comme cos  
1
sin 
1
x
≥
,
 1  2x
cos 
x
π
1 π
≥ 0, puisque − + 2nπ ≤ ≤ + 2nπ, on obtient bien :
2
x 2
1
 1
2x sin  − cos   ≥ 0.
x
 x
(QC-2) On remarque par exemple que f(x) = 0 a des solutions sur tout
intervalle centré en 0, puisqu'il suffit de prendre x =
1
, n étant un entier
2nπ
naturel non nul.
exercice 12-QC
(QC-1) On a donc vérifié ici que si une fonction h est deux fois dérivable
au point 0, et si son graphe a en commun avec la droite d'équation y = x le
point (0, 0), tout en étant situé au-dessus de cette droite, alors la droite est
la tangente, et la dérivée seconde en 0 est positive.
On peut généraliser ces diverses circonstances particulières :
Soit h une fonction dérivable en un point a. Soit D une droite passant par
le point (a, h(a)). On suppose que le graphe de h est entièrement situé d'un
lexique
128
même côté de D (variante : au voisinage de (a, h(a)), le graphe est situé
d'un même côté de D). Alors D est la tangente en (a, h(a)) au graphe de h,
et, si h"(a) existe, le signe de h"(a) est déterminé par le côté où se situe le
graphe : positif si le graphe est au-dessus de D, négatif dans le cas
contraire.
L'argument est essentiellement le même que celui développé dans
l'exercice : le taux d'accroissement est supérieur à la pente de la droite d'un
côté, et inférieur à cette pente de l'autre côté du point (a, h(a)), donc la
limite est égale à cette pente. La droite D est bien la tangente. La
considération du développement limité à l'ordre 2 permet de conclure sur
h"(a).
lexique
4
129
Pour Chercher
4-1 Indications pour les exercices (☺)
Le symbole (M) signifie que Maxima peut apporter une aide sur le point
considéré.
exercice 1-I
2) Reprendre la définition.
3) Utiliser les exemples de la première question.
QC-2) Un taux d'accroissement correspond à la pente d'une droite.
exercice 2-I
1) Séparer le cas x ≠ 0, du cas x = 0. Faire quelques essais (M) et formuler
une conjecture sur l'existence et la forme des dérivées.
2) Ici aussi, séparer les deux cas. faire quelques essais (M), et utiliser la
comparaison entre exponentielle et polynôme.
exercice 3-I
1) Calculer directement ces dérivées, à la main, ou à l'aide d'un logiciel
adapté au calcul formel (M). Ne considérer que les caractéristiques du
terme de plus haut degré du numérateur.
2) Procéder par identification, ou, mieux, en dérivant g(x)(1 + x2) = 1 (M).
3) Continuer à dériver (3 ou 4 dérivations) pour voir apparaître une forme
régulière. Examiner comment on forme u(k + 1), v(k + 1), w(k + 1) à partir
de u(k), v(k), w(k) (en dérivant). Puis résoudre ces relations de récurrence
(M).
4) Distinguer k pair de k impair.
lexique
130
5) Raisonnement par récurrence : si la forme conjecturée est valable pur
g(k) et g(k+1), alors voir qu'elle s'applique encore à g(k+2).
QC-1) 1 + x2 a des dérivées successives simples à calculer.
exercice 4-I
1) Faire quelques essais (M). Énoncer une conjecture, l'établir par
récurrence.
2) Penser à la formule de Leibniz.
3) Passer par une équation différentielle simple vérifiée par cette fonction,
pour prouver qu'elle est indéfiniment dérivable. Calculer quelques
dérivées pour voir quelle est leur forme (M).
QC-1) Distinguer n pair et n impair.
QC-2) Écrire une équation différentielle pour le polynôme numérateur. La
résoudre par identification.
exercice 5-I
1) Utiliser l'unicité du DL, et l'égalité f(x) = f(–x) pour tout x.
2) C'est une propriété de symétrie qu'il faut généraliser.
3) faire quelques essais avec des DL simples de fonctions positives (M).
QC-1) Le premier terme non nul d'un DL donne le signe.
exercice 6-I
1) Simple calcul : ne pas écrire de termes de degré supérieur à 2.
2) Mettre le terme constant du numérateur en facteur.
3) Mettre en facteur au dénominateur le terme de plus bas degré.
QC-2) Quotient ou formule de Taylor.
exercice 7-I
1) Développer le sinus, puis (1 + u)1/2, u étant le DL du sinus (M).
lexique
131
2) Développer d'abord le cosinus, puis e1+u = e.eu, 1 + u étant le DL du
cosinus (M).
3) En 0, log(x) n'a pas de limite…
4) Ne pas passer par le formulaire, mais par la formule de Taylor. Utiliser
l'exercice 2.
5) Après avoir calculé le DL de cosinus, calculer celui du quotient par la
méthode de l'exercice 4. Enfin, substituer dans la DL de eu (M).
6) Faire un changement de variable pour faire apparaître une variable
tendant vers 0 : x = 1 + h. Ensuite utiliser le formulaire (rappelons que les
formules qu'il contient sont à connaître par coeur) (M).
7) La fonction est-elle dérivable en 0 ?
8) Faire un changement de variable comme en 6) (M).
9) Ici également (M).
10) Ici également, x =
π
+ h. . Utiliser les formules trigonométriques
4
connues (M). Autre possibilité : utiliser la formule de Taylor.
11) Voir l'exercice 2, pour appliquer la formule de Taylor.
12) Analogue au précédent.
13) La fonction est-elle dérivable en 0 ?
14) Faire un changement de variable : x = 2 + h (M).
15) Le logarithme n'a pas de DL. Utiliser la formule de Taylor, si
possible…
exercice 8-I
1) Changer de variable : x = 1/h, h tendant vers 0, h > 0. Puis développer
le quotient (exercice 4), enfin le radical.
2) Changer de variable : x = 1 + h. Pour le quotient, utiliser la méthode de
l'exercice 4-3).
lexique
3) Changer de variable : x =
132
π
+ h. . Utiliser le DL de tan(h) en 0 (à établir
2
s'il n'est pas connu). Ensuite traiter le quotient comme dans l'exercice 4-3)
ci-dessus.
4) Changer de variable : x = 1/h. Attention : ici h est négatif, il faut en tenir
compte pour mettre h en facteur du radical.
5) Même changement de variable. Ici h est positif. Développer d'abord
l'exposant, puis substituer dans eu.
6) Changer de variable : x = 1/h. Ici h est négatif. Faire un développement
asymptotique de l'exposant. L'expression a-t-elle une limite finie ?
exercice 9-I
1) Le DL du cosinus, à un ordre quelconque est connu. Pour la fraction :
simplifier par 4. La développer à l'ordre 4 (M).
2) Le sinus est dans le formulaire. Développer la fraction à l'ordre 3 (M).
3) Changer de variable : x = h + 1. Le DL du logarithme est à prendre à
l'ordre 2 puisque le polynôme est de degré 2 (M).
4) Combiner deux DL connus. Développer à l'ordre 4 (M).
exercice 10-I
Dans tous les cas, voir qu'il s'agit d'une forme indéterminée. Repérer de
quel type.
1) Changement de variable x = 1 + h. L'expression xx est à transformer
sous forme d'exponentielle.
2) Étudier le logarithme de l'expression. Discuter selon les valeurs de k.
3) Étudier le logarithme de l'expression. Écrire (1 + x) = x (1 + 1/x).
4) Chercher séparément des équivalents du numérateur et du
dénominateur. Écrire :

x + 1+ x 2 = x 1 +


1
2 +1 
.
x

lexique
133
Écrire :
x2 + ex = ex (x2e-x + 1).
Revoir la notion de fonction négligeable devant une autre, et de fonctions
équivalentes (volume 3).
5) Chercher un développement asymptotique de chaque terme, et faire la
différence.
6) Chercher des équivalents du numérateur et du dénominateur, à l'aide de
développements limités.
7) Changement de variable x = 1 + h. Étudier le logarithme de l'expression.
8) Étudier le logarithme de l'expression. Écrire :
e + x = e (1 + x/e).
9) Chercher un équivalent du numérateur et un équivalent du
dénominateur.
Écrire :
e
1+x
=e
x 1+
1
x
puis développer le second radical.
Voir que log(x) est négligeable devant x.
10) Chercher un développement asymptotique.
Écrire :

1
1 − x = −x 1 − 

x
en pensant que x est négatif.
Écrire :
1
1 
x 2 −1 −1 = −x + 1 − 2  .
x 
x
Simplifier avant de calculer les développements.
11) Penser à un équivalent en 0 de log(1 + u).
lexique
134
exercice 11-I
 1
 x
1) Deux cas très courants. Pour le troisième, utiliser l'expression sin   .
Prouver soigneusement la non-monotonie.
2) Chercher un cas de fonction non monotone (dérivée de signe variable).
3) Dans le cas où f' est continue, si f'(a) ≠ 0, f'(x) est non nul sur un
intervalle centré en a (revoir pourquoi).
QC-1) Étudier les variations (dérivée).
QC-2) Voir par exemple f(x) = 0.
exercice 12-I
2) Passer par le taux d'accroissement à droite en 0.
3) Utiliser le taux d'accroissement à droite et celui à gauche.
Les hypothèses permettent d'appliquer la formule de Taylor à l'ordre 2.
exercice 13-I
1) Simplifier d'abord les DL proposés en ne conservant que les termes
significatifs. Un des DL est superflu car équivalent à un autre, le
supprimer. Quand des DL de même ordre sont-ils compatibles ? Quand
des DL d'ordres différents sont-ils compatibles ?
On trouvera 5 familles.
2) Préciser : la limite en 0, la tangente, la position par rapport à la tangente.
3) Ces éléments géométriques permettent de reconnaître les figures
correspondant aux différentes familles.
Il reste deux graphes. Procéder en sens inverse. Au vu de la figure,
proposer un terme constant (valeur en 0), un terme de degré 1 (pente de la
tangente), un terme de degré 2 (position par rapport à la tangente). Il n'y a
pas une réponse unique.
lexique
135
exercice 14-I
Dans chaque cas, il faut déterminer la limite, le terme de degré 1 et le
premier terme non nul suivant.
1) Intégrer un DL de l'intégrande.
2) Changer de variable : x = 1 + h.
3) Mettre x en facteur. Développer en h = 1/x.
4) Changer de variable : x = 2 + h.
5) Faire un développement asymptotique en 1/x.
6) Faire un DL à l'ordre 3.
lexique
136
4-2 Méthodes ( )
Mode d'emploi de cette partie : vous trouverez d'abord une liste de
méthodes de résolution des types de questions présentées dans ce
volume ; par commodité, on a précisé ensuite à propos de chaque
exercice où une méthode a été indiquée par ( ) le (ou les) numéro
de la méthode concernée. S'agissant d'un discours sur les
mathématiques, et non d'un discours mathématique, on trouvera
naturel qu'il utilise les abus de langage usuels, les raccourcis
allusifs, et de façon générale qu'il se rapproche d'un discours oral
qui pourrait être tenu devant les étudiants.
1-
2-
3-
Faire un raisonnement par récurrence. Pour démontrer qu'une
propriété P dépendant d'un entier n est vraie. (1) Supposer que la
propriété P est vraie, pour la valeur n – 1, montrer qu'elle est vraie
pour la valeur n (récursivité). (2) Démontrer que la propriété est
vraie pour n = 0, ou 1, plus généralement pour n0. On peut alors en
déduire que P est vraie pour tout n ≥ n0.
Établir l'existence, une inégalité, une valeur, pour une dérivée.
La dérivée est la limite d'un taux d'accroissement. On établira
souvent une relation sur le taux d'accroissement pour l'obtenir sur la
dérivée par "passage à la limite".
Étudier la dérivabilité d'une fonction définie "par morceaux".
Généralement le problème ne se pose qu'aux points de
raccordement, à étudier particulièrement. Utiliser la méthode
précédente. Penser aussi au cas où la fonction est continue et où sa
dérivée, définie en dehors d'un point par des considérations
générales, a une limite au point en question : cette limite est la valeur
de la dérivée en ce point.
lexique
4-
5-
6-
7-
8-
9-
137
Montrer qu'une fonction est indéfiniment dérivable. On peut
établir une relation entre la fonction et sa dérivée, et s'en servir dans
un raisonnement par récurrence.
Calculer une dérivée n-ème. On peut utiliser la formule de Leibniz
si la fonction est produit de deux fonctions dont la dérivation est
simple à calculer. On peut également essayer de procéder par
récurrence ( ) en établissant une relation entre des dérivées
successives.
Calculer le développement limité, ou asymptotique, d'un
quotient. Mettre le dénominateur sous la forme 1 + u, u étant une
expression tendant vers 0, puis utiliser le DL standard de (1 + u)–1.
Pour transformer le dénominateur, essayer de mettre en facteur le
terme le plus "grand" (celui devant lequel les autres sont
négligeables).
Calculer le développement d'une expression composée f(g(x)).
Calculer d'abord un DL de g(x), puis substituer ce DL à t dans le DL
correspondant de f(t).
Calculer un DL sans utiliser le formulaire. Dans certains cas, il
faut avoir recours à la formule de Taylor. C'est exceptionnel, aussi
cela demande à être bien examiné. On rencontrera le cas de
fonctions non composées de fonctions figurant dans le formulaire,
ou leurs primitives. On connaît quelques cas où il est aussi simple
d'utiliser la formule de Taylor car les dérivées successives sont
faciles à calculer (tan(x)). Penser aussi aux cas où le DL n'est pas en
0, et où le changement de variable ne donne pas de formule simple.
Calculer un développement en un point différent de 0. Dans tous
les cas, faire d'abord un changement de variable pour se ramener à
une variable tendant vers 0 : x – a, pour un DL en a, 1/x pour un
développement à l'infini.
lexique
10-
11-
1213-
14-
138
Chercher la limite d'un quotient d'expressions tendant vers 0,
ou vers l'infini. A l'aide de développement, ou d'autres techniques
(volume 3), chercher un équivalent du numérateur et du
dénominateur.
Chercher la limite d'une expression f(x)g(x). Généralement,
étudier le logarithme de l'expression. C'est en particulier le cas si
f(x) tend vers 1 et g(x) vers l'infini, ou f(x) et g(x) vers 0.
Chercher la limite d'un produit f(x)g(x), où f(x) tend vers 0 et
g(x) vers l'infini. Chercher des équivalents des deux expressions.
Chercher la limite d'une expression de la forme
f(x) – g(x)
où les deux tendent vers +∞. Chercher des développements des
deux expressions.
Déterminer des caractéristiques géométriques à partir d'un
développement. Il faut disposer de trois termes, les deux premiers
peuvent être nuls, le troisième ne doit pas l'être pour apporter une
information. Le terme de degré 0 donne la valeur (ou la limite) de
la fonction. Le terme de degré 1 donne la tangente (ou asymptote).
Le troisième terme est le premier terme de degré au moins 2 non
nul. Il donne la position du graphe de la fonction par rapport à la
tangente (ou asymptote).
Les méthodes dans les exercices :
ex. 1 : 2
ex. 4 : 1, 4, 5
ex. 8 : 6, 7, 8, 9
ex. 12 : 14
ex. 2 : 2, 3
ex. 6 : 6
ex. 9 : 6, 7, 8, 9
ex. 13 : 14
ex. 3 : 1, 4, 5
ex. 7 : 6, 7, 8, 9
ex. 10 : 6 à 13
ex. 14 : 14
lexique
4-3 Lexique (
139
)
C
Classe : une fonction f est de classe Ck sur un intervalle I si elle est k fois
dérivable sur I, et si sa dérivée k-ème est continue sur I. Elle est de
classe C∞ si elle est de classe Ck pour tout k.
Compatible : des développements sont compatibles s'ils peuvent être
différents développements de la même expression.
E
Équation différentielle : une fonction f est solution de l'équation
différentielle a(x) y' + b(x) y = c(x), où a, b, c sont des fonctions de
x, si pour tout x, on a l'égalité :
a(x) f'(x) + b(x) f(x) = c(x).
Une telle équation est dite du premier ordre. Elle est linéaire.
On peut également introduire des équations différentielles du second
ordre etc. linéaires ou non…
Dans tous les cas, ce sont des relations à vérifier entre une fonction
et certaines de ses dérivées.
I
Indéfiniment dérivable : une fonction f est indéfiniment dérivable si elle
est dérivable à tout ordre ( ). Elle est alors de classe C∞ ( ).
Injective : une application f est injective si f(x) = f(y) x = y.
M
Monotone : une fonction f monotone est une fonction croissante, (resp.
décroissante) : si x ≤ y, alors f(x) ≤ f(y), (resp. f(x) ≥ f(y)). Elle est
dite strictement monotone si elle est strictement croissante (resp.
strictement décroissante) : si x < y alors f(x) < f(y) (resp. f(x) > f(y)).
Dans ce cas elle est injective ( ).
lexique
140
O
Ordre de dérivabilité : une fonction f est dérivable à l'ordre p en un point
a si la dérivée f(p)(a) existe.
P
Partie régulière : la partie régulière d'un développement limité, ou
asymptotique est la partie polynomiale, ou fraction rationnelle
explicite, à l'exclusion du terme complémentaire ( ).
T
Terme complémentaire : dans un développement limité, ou
asymptotique, le terme complémentaire indique l'ordre de grandeur
des termes négligés. La notation usuelle est (cas d'un DL en 0)
xkε(x), où, par convention, ε(x) désigne "une expression tendant vers
0".
Terme dominant : le terme dominant d'un polynôme est le terme de plus
haut degré.
V
Voisinage épointé : soit a un réel, on dit qu'une propriété est vraie sur un
voisinage épointé de a, si elle est vraie sur un intervalle ouvert centré
en a, ]a – h , a + h[ (h > 0), sauf peut-être en a.
lexique

Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 4

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