DS°2 ( le 18/09/2010) PB 1 : IMAGES ET NOYAUX ITÉRÉS (d`après

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PSI* 10-11
– DS N°2 –
DS°2 ( le 18/09/2010)
PB 1 : IMAGES ET NOYAUX ITÉRÉS (d’après INA 1994)
Notations valables pour tout le problème :
• n désigne un entier supérieur ou égal à 2 et E est un espace vectoriel de dimension n sur R .
• f est un endomorphisme de E .
• On pose f 0 = IdE (application identique de E ) et, pour tout entier k supérieur ou égal à 1 , on pose
f = f ◦ f k−1 .
k
PARTIE A :
Le but de cette partie est de démontrer que, pour tout endomorphisme f de E , il existe un entier p qui
vérifie :
¨
1¶p¶n
(1)
E = Ker f p ⊕ Im f p
1. Dans cette question, f est un endomorphisme bijectif de E . Donner une valeur de p satisfaisant (1).
Justifier la réponse.
2. Exemple 1 :
Dans cette question, n = 3 , E est l’espace vectoriel R3 rapporté

4

l’endomorphisme représenté dans cette base par la matrice A = −2
−4
à une base
 (e1 , e2 , e3 ) et f est
−1 5

−1 −1
1 −5
a) Déterminer une base de Ker f et une base de Im f . Peut-on choisir p = 1 ?
b) Déterminer une base de Ker f 2 et une base de Im f 2 . Justifier l’égalité E = Ker f 2 ⊕ Im f 2 .
3. Exemple 2
Dans cette question, n = 4 , E est l’espace vectoriel R4 rapporté à une base (e1 , e2 , e
3 , e4 ) , m est un para
0 −1 0
0


0
0
0 m
mètre réel et f est l’endomorphisme représenté dans cette base par la matrice Am = 

1 0 −m −1
0 1
0
0
a) Déterminer une base de Ker f et une base de Im f . Peut-on choisir p = 1 ? On discutera selon les
valeurs de m .
b) Déterminer le plus petit entier p vérifiant (1).
4. Étude du cas général
Dans cette question, on suppose que l’endomorphisme f n’est pas bijectif.
(
Ker f k ⊂ Ker f k+1
a) Soit k un entier naturel, justifier :
Im f k ⊃ Im f k+1
b) Pour tout entier naturel k , on note ak la dimension de Ker f k . Montrer que la suite (ak ) est
croissante.
c) Soit F l’ensemble des entiers naturels k tels que ak = ak+1 . Montrer que F est un ensemble non
vide.
d) En déduire l’existence d’un entier p , supérieur ou égal à 1, qui vérifie les deux conditions :
pour tout entier k vérifiant 0 ¶ k ¶ p − 1 , on a : Ker f k 6= Ker f k+1 et Ker f p = Ker f p+1 .
Problèmes – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval
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7 octobre 2010
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e) Montrer que pour tout entier k supérieur ou égal à p , on a Ker f k = Ker f p .
f) Déduire de ce qui précède l’égalité : E = Ker f p ⊕ Im f p .
Dans toute la suite du problème, p désigne le plus petit entier vérifiant (1) et on admet que c’est celui qui a
été obtenu à la question 4 de la partie A.
PARTIE B :
Dans cette partie, on étudie deux cas particuliers.
1.
a) On suppose p = n . Montrer que f n est l’endomorphisme nul. Quelle est la dimension de Ker f ?
b) Un exemple
Dans cette question, n = 3 , E est l’espace vectoriel R3 rapporté
à une base

 (e1 , e2 , e3 ) et f est
1
0 −1


l’endomorphisme représenté dans cette base par la matrice −1 −2 3 
0 −1 1

f (ǫ1 ) = 0

f (ǫ2 ) = ǫ1
Déterminer une base (ǫ1 , ǫ2 , ǫ3 ) de E telle que :

f (ǫ3 ) = ǫ2
Écrire la matrice de f dans cette base et vérifier que p = 3 .
2. On suppose ici que p est supérieur ou égal à 2 et que l’on a de plus : Ker f p = E .
a) Montrer que pour tout entier k vérifiant 0 ¶ k ¶ p − 1 , on peut définir un sous-espace vectoriel, non
réduit au vecteur nul, supplémentaire de Ker f k dans Ker f k+1 .
b) En déduire l’existence d’une base de E dans laquelle f est représentée par une matrice triangulaire
supérieure dont tous les termes de la diagonale sont nuls.
c) On reprend l’exemple de la question 3 de la partie A, avec m = 0 .
Déterminer, par permutation des vecteurs e1 , e2 , e3 et e4 , une base dans laquelle la matrice de
l’endomorphisme associé à A0 a les propriétés définies à la question 2.b .
PARTIE C :
Le but de cette partie est la détermination de p lorsque f vérifie une certaine équation polynômiale.
a désigne un réel non nul et f est un endomorphisme de E qui vérifie :

f 6= aIdE


 f n−1 6= 0
(2)
n−1

◦ ( f − aIdE ) = 0

f
∀k ∈ N, (0 ¶ k ¶ n − 2) =⇒ f k ◦ ( f − aIdE ) 6= 0
1. Question réservée aux 5/2 Montrer que 0 et a sont des valeurs propres de f et que ce sont les seules.
2.
a) Montrer que pour tout entier naturel k , on a : Ker f k ∩ Ker( f − aIdE ) = {0} .
b) En déduire que Ker f n−1 et Ker( f − aIdE ) sont supplémentaires dans E (on pourra considérer leurs
dimensions et utiliser l’égalité f n−1 ◦ ( f − aIdE ) = 0 ).
3. On se propose ici de démontrer l’égalité p = n − 1 .
a) Supposant vérifiée l’hypothèse p < n − 1 , justifier qu’alors Ker f p et Ker( f − aIdE ) sont supplémentaires dans E . En déduire une contradiction avec (2).
b) Montrer que p ne peut être égal à n et conclure.
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PB 2 : GROUPES MULTIPLICATIFS DE MATRICES (d’après X 1986)
Toutes les matrices considérées dans ce problème sont à coefficients réels. On note M n(R) l’algèbre de
celles d’entre elles qui sont carrées à n2 éléments (n¾1) et, pour toute matrice A ∈ M n (R) , on identifie A
et l’endomorphisme de Rn qu’elle définit dans la base canonique de cet espace, ce qui autorise à considérer
l’image Im A et le noyau Ker A de la matrice. Pour tout exposant entier d¾1 on définit Ad par Ad = AAd−1 ,
avec A0 = In , matrice unité de l’algèbre M n (R) .
Pour toute matrice A ∈ M n (R) inversible, c’est-à-dire appartenant au groupe linéaire de GLn (R) , on note
A−1 l’inverse de A .
Question préliminaire : Démontrer que, si A et B sont deux matrices de M n (R) :
rg(AB) ¶ min(rg A, rg B)
Que peut-on dire si l’une des matrices A ou B est inversible ?
I
Dans cette partie, on considère un groupe multiplicatif G non réduit à {0} , et contenu dans M n(R) . On
souligne qu’en général G n’est pas un sous-groupe de GLn (R) et peut ainsi contenir des matrices de rang r < n .
Cependant toute matrice A ∈ G admet, pour la multiplication des matrices, un inverse dans G ; on notera A′
cet inverse. Autrement dit, il existe dans G un élément neutre E , éventuellement différent de In , et tel que,
pour tout A ∈ G , on ait AE = EA = A et AA′ = A′ A = E .
1. Montrer que tous les éléments de G ont le même rang r ¾ 1 .
2.
a) Montrer que Rn est la somme directe de Im E et de Ker E .
b) Montrer que si r < n , alors E est semblable
à une
matrice de la forme
Ir 0
0 0
où I r est la matrice unité de M r (R) .
Que vaut E si r = n ?
c) En déduire que, si r < n , toute matrice
A ∈ G est
semblable à une matrice de la forme
A1 0
0 0
où A1 ∈ GLr (R) .
Pour chaque entier r ∈ [[1, n]] , caractériser les groupes G de matrices de rang r à l’aide des sousgroupes de GL r (R) .
3.
a) Soit A une matrice non nulle de M n (R) . Établir l’équivalence des cinq propriétés suivantes :
(i) A appartient à un groupe multiplicatif G .
(ii) A et A2 ont le même rang.
(iii) A et A2 ont la même image.
(iv) A et A2 ont le même noyau.
(v) Rn est somme directe de Im A et Ker A
b) Donner, pour n = 2 , un exemple de matrice non nulle n’appartenant à aucun sous-groupe multiplicatif de M2 (R) .
c) Prouver que, pour que les cinq propriétés de I.3.a soient vérifiées par A , il faut et il suffit qu’il existe
une matrice X ∈ M n(R) telle que :
AX = XA , X2 A = X et A2 X = A .
d) Établir que dans ce cas la matrice X est unique.
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′
e) Comparer X à A′ et en déduire, avec les
notations
du I.2.c que A est semblable à
A−1
0
1
0
0
où A−1
1 est l’inverse de A1 dans GL r (R) .
4.
Pour A fixé, A′ dépend-il du groupe G auquel A appartient ?

B1 B2
∈ M n (R) avec B1 ∈ GL r (R) et r < n . Montrer que B appartient à un groupe
a) Soit B =
0 0

C1 C2
′
multiplicatif de matrices et que B est de la forme
où on calculera C1 ∈ GL r (R) et C2 en
0 0
fonction de B1 et B2 .


1 2 1


b) Calculer A′ pour A = 2 4 2 ∈ M3 (R) .
1 0 0
II
Dans cette partie, on se fixe une matrice A ∈ M n (R) et on cherche les matrices X ∈ M n (R) vérifiant les
égalités
et X2 A = X
AX = XA
et telles que, de plus, il existe un entier i ¾ 0 pour lequel Ai+1 X = Ai .
1.
a) Établir que pour tout entier ℓ ¾ 0 on a Xℓ+1 Aℓ = X.
b) Soit Y une matrice de M n (R) qui commute avec A et qui vérifie les égalités Y2 A = Y et, pour un
entier j¾0 convenable, A j+1 Y = A j ; montrer que le produit Xm+1 Am+1 Y est commutatif pour m
entier assez grand. En déduire l’unicité de X.
c) Quelle est la matrice X dans chacun des deux cas Im A = Rn et Im A = Im A2 6= {0} ?
d) Quelle est la matrice X si A est nilpotente ?
2. Dans toute la fin de cette partie II, on suppose que A n’est pas nilpotente et n’appartient pas à GLn (R) .
a) Le résultat de cette question est admis : il a été démontré dans le Problème I ! !

Montrer que la suite Im Ak k∈N est stationnaire à partir d’un certain indice k et que Rn est somme
directe de Im Ak et de Ker Ak .
b) Soit s le rang de Ak . L’entier s peut-il être égal à 0 ou à n ? établir l’existence d’une matrice
R ∈ GLn (R) telle que :

−1
R
C1
AR =
0
0
N1

où C1 ∈ GLs (R) et N1k = 0 .
En posant :

C
C=R 1
0

0
R−1
0

0 0
et N = R
R−1
0 N1
calculer CN et NC , comparer A et C + N , ainsi que Im C et Im C2 .
c) En déduire l’existence de la matrice X, qu’on notera désormais A′′ , en comparant cette matrice à C′ .
La fin du problème est réservée aux 5/2 !
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d) Comparer les valeurs propres de A′′ à celles de A .
3. Soit p un polynôme à coefficients réels.
a) Quelles valeurs doivent avoir les polynômes matriciels p(C1 ) et p(N1 ) pour que p(A) = A′′ ?
b) Soit q1 le polynôme caractéristique de C1 . Montrer qu’il existe deux polynômes u et v d’une variable
ξ à coefficients réels tels que
u(ξ)q1 (ξ) + v(ξ)ξi+1 = 1 .
En déduire à l’aide de v l’expression d’un polynôme p tel que p(A) = A′′ .
c) Quelle relation y a-t-il entre q1 et le polynôme caractéristique q de A ? Décrire une méthode de
calcul de A′′ = p(A) et appliquer cette méthode au cas de

0

1
A=
0
0
⋆
⋆
⋆
0
0
1
0
⋆
⋆
⋆

0 0

0 0

0 −1
1 2
⋆
⋆
⋆
⋆
5/5
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