Calcul intégral.

Calcul intégral.
15 décembre 2008
2
Table des matières
I
Intégrales multiples
1
Rappels sur l’intégrale définie des fonctions d’une variable.
1.1 Motivations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Cas des fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Définitions de l’intégrale de Riemann. . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Fonctions intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Linéarité de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Positivité de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Intégrales et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Formule de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Primitives et intégrales. Théorème fondamental de l’intégration.
1.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Primitives d’une fonction continue . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Primitives usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Trois techniques de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Primitives de fraction rationnelles . . . . . . . . . . . .
2
5
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Intégrales doubles.
2.1 Intégration sur les rectangles de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Motivations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Définitions de l’intégrale double au sens de Riemann. . . . . .
2.1.3 Quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Intégration des fonctions continues (par morceaux). Liens avec
les intégrales itérées et Théorème de Fubini. . . . . . . . . . .
2.2 Intégration sur les autres sous-ensembles de R2 . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Théorème de Fubini. Domaines de Fubini. . . . . . . . . . . .
2.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Exemples de changement de variables classiques. . . . . . . .
3
7
7
7
8
9
10
10
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10
10
11
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11
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13
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17
17
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18
19
20
20
20
22
23
23
4
TABLE DES MATIÈRES
2.3.2
Changement de variables ”affines”. . . . . . . . . . . . . . .
23
Première partie
Intégrales multiples
5
Chapitre 1
Rappels sur l’intégrale définie
des fonctions d’une variable.
1.1
Motivations.
Coment mesurer l’aire d’une surface quelconque du plan ?
On sait calculer les aires délimitées par des figures géométriques simples : rectangles, triangles. Par suite, on sait aussi déterminer l’aires des surface qu’il est possible de découper en un certain nombre de rectangles (et/ou de triangles, comme un
trapèze par exemple ). Le lecteur admettra sans difficulté les règles suivantes, qu’il
utilise quotidiennement (. . .) pour calculer des aires :
– Règle 0 L’aire d’un point ou d’un segment est nulle.
– Règle 1 L’aire d’un rectangle est A = L.`, où L et ` sont les longueurs de 2
côtés consécutifs du rectangle.
– Règle 2 Si S1 et S2 sont deux surfaces dont on peut mesurer l’aire telles que
S1 ⊂ S2 alors A(S1 )2 A(S2 ).
– Règle 3 Si S1 et S2 sont deux surfaces disjointesSdont on peut mesurer l’aire,
S on
peut également mesurer l’aire de leur reunion S1 S2 . On a alors : A(S1 S2 ) =
A(S1 ) + A(S2 ).
Exercice 1.1.0.1. Calculer l’aire d’un trapèze connaissant sa hauteur et les longueurs
de ses deux côtés qui sont parallèles.
Exercice 1.1.0.2. Si S1 et S2 sont deux surfaces dont
S on peut mesurer l’aire, et si on
peut mesurer celle de leur intersection on a : A(S1 S2 ) = A(S1 ) + A(S2 ) − A(S1 ∩
S2 ).
1.1.1
Cas des fonctions positives
Nous nous intéressons ici à des surfaces particulières, dont l’un des ”bords” est
la courbe représentative d’une fonction f : [a, b] → R que l’on supposera dans un
premier temps à valeurs positives sur [a, b]. On veut mesurer l’aire situé sous le graphe
7
8CHAPITRE 1. RAPPELS SUR L’INTÉGRALE DÉFINIE DES FONCTIONS D’UNE VARIABLE.
de f c’est à dire l’aire de la surface S = {(x, y) ∈ R2 , a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)} (cf.
figure ci-dessous).
L’idée est de découper la surface S en un certain nombre n de “petits” rectangles,
on obtient une approximation de l’aire de S en faisant la somme des aires de ces rectangles. Il est clair que plus le nombre n de rectangles est grand, plus ils sont petits plus
l’approximation est précise.Il y a beaucoup de manière de faire un tel découpage de S
en rectangles, nous allons en décrire une particulière.
1.2
Définitions de l’intégrale de Riemann.
Soit n un entier strictement positif. On considère une subdivision de l’intervalle
[a, b] et n sous-intervalles de même longueur b−a
n . On pose donc
xj = a + j
b−a
, j = 0 . . . n,
n
(en particulier x0 = a et xn = b).
On recherche sur le j−ième intervalle la borne supérieure Mj et la borne inférieure
mj de la fonction f . On note
n
I−
=
n−1
X
(xj+1 − xj )mj
j=0
et
n
I+
=
n−1
X
(xj+1 − xj )Mj
j=0
Ces sommes sont appelées sommes de Darboux.
Lorsque f est à valeurs positives et que l’on peut mesurer l’aire A(S) de la surface
S, on doit avoir
n
I−
≤ A(S) ≤ I+
En effet le réel (xj+1 − xj )mj est par exemple l’aire du rectangle dont l’un des
côtés est le segment [xj , xj+1 ] et dont la hauteur est mj . Il est clair que l’encadrement
ci-dessus est d’autant plus précis que le nombre n de rectangles est grand.
Voici donc la définition naturelle de l’aire de cette surface. On utilise les notations
introduites jusque là :
Définition 1.2.0.1. Soit f une fonction bornée sur un intervalle [a, b].
n
On dit que f est intégrable (au sens de Riemann) sur [a, b] lorsque les suites I−
et
n
I+ convergent vers une même limite I. Ce nombre est appelé l’intégrale de la fonction
f sur l’intervalle [a, b]. On le note
Z
I=
b
f (t)dt.
a
1.2. DÉFINITIONS DE L’INTÉGRALE DE RIEMANN.
9
On a la propriété : , si de plus f est à valeurs positives, alors l’aire de la surface S
et égale à l’intégrale de la fonction f sur l’intervalle [a, b].
Exemple 1.2.0.2. Soit f la fonction constante égale à k ≥ 0 sur l’intervalle [a, b]. La
surface S = {(x, y) ∈ R2 , a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)} n’est autre qu’un rectangle dont
deux côtés consécutifs ont pour longueur b − a et k. Cette fonction est donc intégrable
sur [a, b] et l’on a
Z b
f (t)dt = k(b − a)
a
Exemple 1.2.0.3. On considère maintenant la fonction f : x 7→ x sur l’intervalle
[0, 1]. On pose x0 = 0, x1 = 1/n, x2 = 2/n, . . . xk = k/n, . . . , xn = 1. Puisque
f est croissante, on a mj = sup{f (x), x ∈ [xj , xj+1 ]} = f (xj ) = xj = j/n et
Mj = sup{f (x), x ∈ [xj , xj+1 ]} = f (xj+1 ) = (j + 1)/n. On a donc
σn =
et Σn =
n−1
X
(xj+1 − xj )mj =
n−1
X
j=0
j=0
n−1
X
n−1
X
(xj+1 − xj )Mj =
j=0
j=0
1j
nn
1 j+1
n n
Le lecteur montrera facilement que σn = n(n−1)
et que σn =
2n2
est intégrable sur cet intervalle avec
Z 1
1
f (t)dt = .
2
0
n(n+1)
2n2 ,
et donc que f
Bien entendu, ce résultat ne doit pas vous surprendre : même si on l’a calculé de
manière plutôt compliquée, il s’agit de déterminer l’aire d’un triangle !
Exercice 1.2.0.4. Il est encore plus amusant de calculer ainsi l’aire de la surface délimitée
par la parabole x 7→ x2 , pour x ∈ [−1, 1] par exemple. Le lecteur pourra ainsi retrouver le résultat qu’a énoncé Archimède : cette aire vaut 4/3 de l’aire du triangle inscrit.
Il faut noter que la méthode d’Archimède consiste à découper la surface en triangles,
plutôt qu’en rectangles, mais l’idée de Riemann est la même que celle d’Archimède !
1.2.1
Fonctions intégrables
On voit aisément que les fonctions en escalier sont intégrables : on peut en effet
choisir la subdivision de telle sorte que les sommes de Darboux soient constantes,
égales à la somme des aires des rectangles dessinés par la courbe.
La propostion suivante, que nous admettrons, donne une autre classe bien plus importante de fonctions intégrables :
Proposition 1.2.1.1. Soit f une fonction continue sur l’intervalle I = [a, b]. Alors f
est intégrable sur [a, b].
Voici enfin une classe plus générale de fonctions intégrables qui regroupe les deux
classes précédentes :
10CHAPITRE 1. RAPPELS SUR L’INTÉGRALE DÉFINIE DES FONCTIONS D’UNE VARIABLE.
Définition 1.2.1.2. Un fonction f est dite continue par morceaux sur l’intervalle [a, b]
s’il existe une subdivision finie {a = x0 , x1 , . . . , xn = b} de cet intervalle, telle que
f soit continue sur chaque sous-intervalle ouvert ]xj , xj + 1[ et admette une limite à
gauche et à droite en chaque xj pour tout j ∈ {0, . . . , n − 1} et tout j ∈ {1, . . . , n}
respectivement.
Proposition 1.2.1.3. Toute fonction f continue par morceaux sur [a, b] y est intégrable.
Son intégrale sur [a, b] est alors égale à la somme des intégrales de f sur chaque sousintervalle oû elle est continue.
1.3
Quelques propriétés
Soit f et g deux fonctions intégrables sur l’intervalle [a, b] et λ un réel. Les propriétés qui suivent s’obtiennent facilement à partir des axiomes et de la définition
précédentes pour les fonctions à valeurs positives.
1.3.1
Relation de Chasles
Soit c ∈ [a, b], on a
Z
b
Z
f (t)dt +
a
c
Z
c
f (t)dt =
b
f (t)dt
a
Cette dernière égalité porte le nom
R a de relation de Chasles pour les intégrales. Elles
permettent au passage de définir b f (t)dt pour a < b. On doit en effet avoir
Z
a
Z
f (t)dt = −
b
f (t)dt
b
a
ce que l’on pourra considérer comme une définition.
1.3.2
Linéarité de l’intégrale
Proposition 1.3.2.1. La fonctions f + λg est intégrable sur [a, b] et on a
Z
b
Z
b
(f + λg)(t)dt =
a
Z
f (t)dt + λ
a
1.3.3
Positivité de l’intégrale
1.3.4
Intégrales et inégalités
b
g(t)dt
a
Proposition 1.3.4.1. Si pour tout x ∈ [a, b] on a f (x) ≤ g(x), alors :
Z
b
Z
f (t)dt ≤
a
b
g(t)dt
a
1.4. FORMULE DE LA MOYENNE
11
Par exemple si m et M sont respectivement un minorant et un majorant de f sur
l’intervalle [a, b], on a
Z
b
f (t)dt ≤ M (b − a)
m(b − a) ≤
a
1.4
Formule de la moyenne
Soit f une fonction intégrable sur l’intervalle [a, b], alors il existe un réel c ∈]a, b[
tel que
Z b
1
f (t)dt
f (c) =
b−a a
1.5
Primitives et intégrales. Théorème fondamental de
l’intégration.
Nous donnons dans ce paragraphe une interprétation plus calculatoire de la notion
d’intégrale. Le lecteur doit avoir à l’esprit que c’est essentiellement cet aspect des
choses qui lui sera utile.
1.5.1
Définition
Définition 1.5.1.1. Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. On dit que la
0
fonction dérivable
R F est une primitive de f sur I si , pour tout x ∈ I on a F (x) = f (x).
On note F = f .
Si une fonction admet une primitive sur un intervalle, elle en admet plusieurs. La
proposition suivante montre cependant que ces primitives diffèrent entre elles d’une
constante.
Proposition 1.5.1.2. Si F et G sont deux primitives d’une même fonction f sur un
intervalle I alors il existe un réel C tel que pour tout x de I on ait F (x) = G(x) + C.
Par exemple la fonction x 7→ ln x est une primitive sur ]0, +∞[ de la fonction
x 7→ 1/x, de même que la fonction x 7→ ln(3x) puisque ln(3x) = ln x + ln3. Par
contre x 7→ ln x est la seule primitive de x 7→ 1/x ]0, +∞[ qui s’annule en x = 1.
1.5.2
Primitives d’une fonction continue
Proposition 1.5.2.1. Soit f une fonction
continue sur un intervalle I = [a, b]. On
Rx
définit sur I la fonction A : x 7→ a f (t)dt. Cette fonction A est continue, dérivable
sur I et c’est une primitive de f sur cet intervalle ; c’est la seule qui s’annule en a.
La formule de la moyenne fournit un moyen très simple de calcul de l’intégrale
d’une fonction lorsqu’on en connait une primitive. On a en effet la
12CHAPITRE 1. RAPPELS SUR L’INTÉGRALE DÉFINIE DES FONCTIONS D’UNE VARIABLE.
Proposition 1.5.2.2. Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b]. Si F est une
primitive quelconque de la f sur [a, b], alors on a
b
Z
f (t)dt = F (b) − F (a) =: [F ]ba
a
Rx
Démonstration. La fonction G : x 7→ a f (t)dt est une primitive de f sur [a, b] ; les
fonctions F et G diffèrent donc d’une constante C. Or G(a) = F (a) + C = 0 donc
C = −F (a) et G(b) = F (b) + C = F (b) − F (a).
Z
On utilise les notations
Z
f (x)dx ou
x
Z
f (t)dt (Attention : pas
x
f (x)dx) pour
désigner l’ensemble des primitives de la fonction f .
1.5.3
Primitives usuelles.
Voici une table des primitives qu’il faut connaı̂tre. L’intervalle où ces primitives
existent n’est pas précisé, c’est ua lecteur d’y réfléchir. On donne toutes les primitives
de la fonction : dans les formules ci-dessous C désigne un nombre réel quelconque.
f
F =
R
xα , pour α 6= −1
xα+1
α+1
+C
f
1
x+a
ln |x + a| + C
sin x
− cos x + C
cos x
sin x + C
eαx
eαx
α
+ C, pour α 6= 0
√ 1
1−x2
arcsin x + C
1
1+x2
arctan x + C
On en déduit par théorème de composition des dérivées, le tableau suivant :
1.6. TROIS TECHNIQUES DE CALCUL
1.6
1.6.1
13
f
F =
U 0 U α , pour α 6= −1
U α+1
α+1
R
f
+C
U0
U
ln |U | + C
U 0 sin U
− cos U + C
U 0 cos U
sin U + C
U 0 eU
eU + C
0
√U
1−U 2
arcsin U + C
U0
1+U 2
arctan U + C
Trois techniques de calcul
Intégration par parties
Il arrive que l’on ait à intégrer un produit de fonctions. Bien entendu le lecteur sait
que le produit de primitives n’est pas une primitive du produit. Plus précisément, pour
deux fonctions u et v dérivables, on a
(u.v)0 (x) = u0 (x).v(x) + u(x).v 0 (x)
On en déduit la formule d’intégration par parties :
Proposition 1.6.1.1. Soit u et v deux fonctions de classe C 1 sur [a, b]. On a
Z
b
0
u (x)v(x)dx =
[u(x)v(x)]ba
Z
−
a
b
u(x)v 0 (x)dx
a
Cette formule est évidement très utile lorsque l’une des deux intégrales est beaucoup plus simple à calculer que l’autre. Soit par exemple
Z
I=
π/2
x cos xdx
0
14CHAPITRE 1. RAPPELS SUR L’INTÉGRALE DÉFINIE DES FONCTIONS D’UNE VARIABLE.
On pose u(x) = x et v 0 (x) = cos x. On a alors u0 (x) = 1 et l’on peut prendre
v(x) = sin x (un autre choix de primitive est tout à fait possible mais ne change pas le
résultat du calcul). On obtient donc
π/2
I = [x sin x]0
Z
−
π/2
sin xdx =
0
π
π
π/2
− [− cos x]0 = − 1
2
2
Cette formule s’appplique aux intégrales des fonctions de la forme P (x) sin x,
P (x) cos x, P (x)ex , avec P (x) un polynome.
1.6.2
Changement de variable
La proposition qui suit est connue sous le nom de formule du changement de variable. Le lecteur doit noter que l’égalité ci-dessous peut être lue dans les deux sens, et
qu’elle sert autant dans l’un que dans l’autre.
Proposition 1.6.2.1. Soit f une fonction continue sur l’intervalle [a, b]. Soit aussi ui
une fonction continument dérivable de [α, β] dans [a, b] avec u(α) = a et u(β) = b).
On a
Z
Z
b
β
f (u(t))u0 (t)dt
f (x)dx =
a
α
Cette formule très utile est facile à prouver : si F est une primitive de f sur [a, b],
on a, pour tout t de [α, β]
(F ◦ u)0 (t) = F 0 (u(t)).u0 (t) = f (u(t)).u0 (t),
et il suffit d’intégrer :
Z
β
f (u(t))u0 (t)dt = [F ◦ u(t)]βα = F (u(β)) − F (u(α)) = F (b) − F (a)
α
ce qui prouve la proposition.
Avec les notations différentielles que l’on a déjà rencontrée, si x = u(t), on peut
du
dx
=
= u0 (t), ou, en ...
écrire
dt
dt
du = u0 (t)dt.
On peut donner un sens mathématique à ce petit calcul, mais pour l’instant on doit se
contenter d’y voir un moyen de retenir cette formule, voir de la mettre en pratique. En
effet, si l’on note u la variable notée x dans la formule ci-dessus (ce qui ne change
rien), on lit
Z b
Z β
f (u)du =
f (u(t))u0 (t)dt.
a
α
Voici des exemples oû l’on applique la formule du changement de variable dans
chacun des deux sens.
1.6. TROIS TECHNIQUES DE CALCUL
• On veut d’abord calculer
Z
I=
15
1
Z
f (u)du =
1
p
1 − u2 du
0
0
On va simplifier grandement le calcul en posant u(t) = sin t. On a du = u0 (t)dt =
cos tdt et u(α) = 0 pour α = 0, u(β) = 1 pour β = π2 . La formule ci-dessus lue de
gauche à droite donne alors
π/2
Z
I=
p
1 − sin2 t cos tdt.
0
Or sur l’intervalle [0, π/2],
Z
I=
π
2
p
cos2 tdt =
0
1 − sin2 t = cos t, donc
1
2
Z
π
2
(1 + cos 2t)dt =
0
π/2
1
sin 2t
π
t+
= ·
2
2
4
0
On vient de calculer la surface d’un quart de disque de rayon 1, donné par l’équation
y 2 = 1 − x2 , avec x ∈ [0, 1]. Pour un disque de rayon R, on trouve de cette manière la
valeur de son aire : πR2 .
• Calculons maintenant l’intégrale
Z e
(ln(t))2
J=
dt
t
1
On reconnait facilement dans la fonction à intégrer une expression de la forme f (u(t))u0 (t)
avec u(t) = ln t (et donc u0 (t) = 1/t) et f (x) = x2 . On a u(1) = 0, u(e) = 1 et, en
lisant la formule de changement de variable de droite à gauche,
Z 1
1
J=
u2 du =
3
0
1.6.3
Primitives de fraction rationnelles
Lorsque f est une fraction rationnelle, il existe un procédé dit de décomposition
en éléments simples qui permet de trouver ses primitives. Rappelons d’abord que ces
primitives n’existent que sur chaque intervalle inclus dans l’ensemble de définition de
f . On donne maintenant une idée de ce procédé pour les fractions rationnelles du type
f (x) =
αx + β
·
+ bx + c
ax2
Il faut distinguer trois cas :
• Cas 1 : le dénominateur admet deux racines réelles distinctes x1 et x2 . Dans ce cas
on peut écrire
A
B
f (x) =
+
,
x − x1
x − x2
où A et B sont deux réels.
16CHAPITRE 1. RAPPELS SUR L’INTÉGRALE DÉFINIE DES FONCTIONS D’UNE VARIABLE.
• Cas 2 : le dénominateur admet une racine double x0 . Dans ce cas il existe A et B
dans R tels que
B
A
+
f (x) =
2
(x − x0 )
x − x0
• Cas 3 : le dénominateur ne s’annule pas : on écrit
f (x) = A
2ax + b
1
·
+B
b
2
ax + bx + c
(x + 2 )2 + ∆2
Chapitre 2
Intégrales doubles.
2.1
Intégration sur les rectangles de R2
2.1.1
Motivations.
De manière analogue au cas des fonctions d’une variable, nous nous intéressons
ici au calcul de certains volumes : volume situé sous le graphe d’une fonction f :
[a, b] × [c, d] → R que l’on supposera dans un premier temps à valeurs positives.
En fait, on veut mesurer le volume de la partie de R3 V = {(x, y, z) ∈ R3 , a ≤
x ≤ b, c ≤ y ≤ d, 0 ≤ z ≤ f (x, y)} (cf. figure ci-dessous).
L’idée est la même : découper V en n “petits” parallélépipèdes rectangles. On obtient une approximation du volume de V en faisant la somme des volumes de ces parallélépipèdes rectangles.
2.1.2
Définitions de l’intégrale double au sens de Riemann.
Soit f une fonction de deux variables définie et bornée sur un rectangle R = [a, b]×
[c, d] de R2 . Soient n et m deux entiers strictement positifs. On considère :
- une subdivision de l’intervalle [a, b] et n sous-intervalles de même longueur b−a
n ,
on écrit :
xi = a + i
b−a
, i = 0 . . . n, Ii = [xi−1 , xi ], i = 1 . . . n;
n
- une subdivision de l’intervalle [c, d] et m sous-intervalles de même longueur
on écrit :
yj = c + j
d−c
m ,
d−c
, j = 0 . . . m, Jj = [yj−1 , yj ], j = 1 . . . m.
m
On en déduit une subdivision du rectangle R = [a, b]×[c, d] en nm sous-rectangles
de même aire : Ri,j := Ii × Jj .
17
18
CHAPITRE 2. INTÉGRALES DOUBLES.
On recherche sur le Ri,j borne supérieure Mi,j et la borne inférieure mi,j de la
fonction f . Pout tout couple (i, j), on considère les deux parallélépipèdes rectangles
de base Ri,j :
+
- Pi,j
de hauteur Mi,j et
−
- Pi,j
de hauteur mi,j .
On note
X
n
I+
=
+
vol(Pi,j
)=
i = 1, · · · , n
j = 1, · · · , m
b−ad−c
n
m
X
Mi,j
i = 1, · · · , n
j = 1, · · · , m
et
X
n
I−
=
−
vol(Pi,j
)) =
i = 1, · · · , n
j = 1, · · · , m
b−ad−c
n
m
X
mi,j .
i = 1, · · · , n
j = 1, · · · , m
Ces sommes sont appelées sommes de Darboux.
Lorsque f est à valeurs positives et que l’on peut mesurer le volume de V, on doit
avoir :
n
n
I−
≤ vol(V) ≤ I+
Définition 2.1.2.1. Soit f une fonction bornée sur le rectangle R = [a, b] × [c, d].
n
n
On dit que f est intégrable (au sens de Riemann) sur R lorsque les suites I−
et I+
convergent vers une même limite I. Ce nombre est appelé l’intégrale de la fonction f
sur le rectangle R. On le note
ZZ
I=
f (x, y)dxdy.
R
Si de plus f est à valeurs positives, alors on a la propriété :
“ le volume de V égale l’intégrale de la fonction f sur R.”
2.1.3
Quelques propriétés
Soit f et g deux fonctions intégrables sur le rectangle R et λ un réel. Les propriétés
suivantes s’obtiennent à partir de la définition précédente.
Linéarité de l’intégrale
Proposition 2.1.3.1. La fonction f + λg est intégrable sur R et on a
ZZ
ZZ
ZZ
(f + λg)(x, y)dxdy =
f (x, y)dxdy + λ
g(x, y)dxdy
R
R
R
2.1. INTÉGRATION SUR LES RECTANGLES DE R2
19
Positivité de l’intégrale
ZZ
f ≥ 0 =⇒
f (x, y)dxdy ≥ 0
R
Intégrales et inégalités
Proposition 2.1.3.2. Si pour tout (x, y) ∈ R on a f (x, y) ≤ g(x, y), alors :
ZZ
ZZ
f (x, y)dxdy ≤
g(x, y)dxdy
R
R
Par exemple si m et M sont respectivement un minorant et un majorant de f sur R,
on a
ZZ
mAire(R) = m(b − a)(d − c) ≤
f (x, y)dxdy ≤ M (b − a)(d − c)
R
Formule de la moyenne
Soit f une fonction intégrable sur R, alors il existe c ∈ R tel que
ZZ
1
f (x, y)dxdy =: la moyenne de f sur R.
f (c) =
Aire(R) R
2.1.4
Intégration des fonctions continues (par morceaux). Liens
avec les intégrales itérées et Théorème de Fubini.
Nous donnons dans ce paragraphe une interprétation plus calculatoire de la notion
d’intégrale. Le lecteur doit avoir à l’esprit que c’est essentiellement cet aspect des
choses qui lui sera utile.
Soit f une fonction continue (par morceaux) sur un rectangle R = [a, b] × [c, d].
On définit :
[a, b] →
R
- pour tout y ∈ [c, d], la fonction fy :
qui est continue par
x
7→ f (x, y)
Rb
morceaux sur [a, b], donc intégrable sur [a, b] et son intégrale est a fy (x)dx =: F (y).
De plus l’application y 7→ F (y) est intégrable sur [c, d] (d’après les rappels vus dans
le chapitre précédent) ;
[c, d] →
R
- pour tout x ∈ [a, b], la fonction fx :
qui est continue par
y
7→ f (x, y)
Rd
morceaux sur [c, d] donc intégrable sur [c, d] et son intégrale est c fx (y)dy =: G(x).
De plus l’application x 7→ G(x) est intégrable sur [a, b].
Theorème 2.1.4.1. Soit f une fonction continue (par morceaux) sur un rectangle R =
[a, b] × [c, d] alors :
20
CHAPITRE 2. INTÉGRALES DOUBLES.
1. f est intégrable sur R et
2.
ZZ
Z
d
Z
Z
b
Z
c
a
!
d
fx (y)dy dx
fy (x)dx dy =
f (x, y)dxdy =
R
!
b
c
a
Exemple 2.1.4.2.
RR
Calculer R 2xy − 3y 2 dxdy, où R = [0, 1] × [1, 2].
Calculer le volume délimité par le paraboloı̈de d’équation x2 + 2y 2 + z = 16 et les plans z = 0,
x = 0, x = 2, y = 0, y = 2.
2.2
Intégration sur les autres sous-ensembles de R2
Soit D un sous-ensemble de R2 contenu dans un rectangle R, autrement dit D est
borné (par exemple D est un disque, une courbe fermée ...).
2.2.1
Définitions
Définition 2.2.1.1. On appelle (fonction) indicatrice de D l’application notée 1ID :
R2 → R définie par :
1ID (x, y) = 1 si (x, y) ∈ D et 1ID (x, y) = 0 si (x, y) ∈
/D
Remarque 2.2.1.2. Pour tous les sous-ensembles de R2 autres que R2 et l’ensemble
vide, la fonction indicatrice n’est pas une fonction continue.
Définition 2.2.1.3. On dit qu’une fonction f : R2 → R définie sur D (et étendue si
besoin est par la fonction nulle sur R) est intégrable sur D si la fonction g(x, y) :=
1ID (x, y)f (x, y) est intégrable sur R au sens du paragraphe précédent et on pose :
ZZ
ZZ
f (x, y)dxdy =
1ID (x, y)f (x, y)dxdy
D
2.2.2
R
Propriétés.
Soit f et g deux fonctions intégrables sur le domaine D et λ un réel.
Linéarité de l’intégrale.
Proposition 2.2.2.1. La fonctions f + λg est intégrable sur D et on a
ZZ
ZZ
ZZ
(f + λg)(x, y)dxdy =
f (x, y)dxdy + λ
g(x, y)dxdy
D
D
D
2.2. INTÉGRATION SUR LES AUTRES SOUS-ENSEMBLES DE R2
21
Positivité de l’intégrale
ZZ
f ≥ 0 =⇒
f (x, y)dxdy ≥ 0
D
Intégrales et inégalités.
Si pour tout (x, y) ∈ D on a f (x, y) ≤ g(x, y), alors :
ZZ
ZZ
f (x, y)dxdy ≤
g(x, y)dxdy
D
D
Intégrale et aire.
ZZ
Aire(D) =
1dxdy
D
Formule de la moyenne.
Soit f une fonction intégrable sur D, alors il existe c ∈ D tel que
ZZ
1
f (x, y)dxdy =: la moyenne de f sur R.
f (c) =
Aire(D) D
Comme conséquence, si m et M sont respectivement un minorant et un majorant
de f sur R, alors on a
ZZ
mAire(D) ≤
f (x, y)dxdy ≤ M Aire(D)
D
Ensembles d’aire nulle.
De la formule précédente, on déduit que si D est un sous-ensemble de R2 de aire
nulle et f est une fonction continue (par morceaux) au voisinage de D alors
ZZ
f (x, y)dxdy = 0
D
2
Un sous-ensemble de R formé d’un nombre fini de morceaux de graphes de fonctions continues (y = h(x) ou x = k(y)) est d’aire nulle. Par exemple, un ensemble fini
est d’aire nulle, un cercle est d’aire nulle. Les sous-ensembles de R2 d’aire nulle sont
parfois appelés ensembles négligeables.
Additivité.
ZZ
ZZ
f (x, y)dxdy =
D1 ∪D2
D1
ZZ
f (x, y)dxdy+
D2
ZZ
f (x, y)dxdy−
D1 ∩D2
f (x, y)dxdy
22
CHAPITRE 2. INTÉGRALES DOUBLES.
2.2.3
Théorème de Fubini. Domaines de Fubini.
Theorème 2.2.3.1.
1. Soit D un sous-ensemble de R2 de la forme
a≤x≤b
2
D = {(x, y) ∈ R :
}
h1 (x) ≤ y ≤ h2 (x)
où h1 et h2 sont des fonctions continues sur l’intervalle [a, b].
2. Soit f une fonction continue (par morceaux) sur un rectangle contenant D.
Alors f est intégrable sur D et
ZZ
b
Z
Z
!
h2 (x)
f (x, y)dy dx
f (x, y)dxdy =
h1 (x)
a
D
Définition. Remarque
Un domaine D comme dans l’hypothèse 2 du théorème précédent est appelé domaine de Fubini. La majeure difficulté dans les calculs d’intégrales multiples consiste
à écrire un domaine D donné sous forme implicite ( c’est à dire sous la forme {(x, y) ∈
R2 : g(x, y) = 0}, par exemple un disque ) comme une réunion finie de domaines de
Fubini.
Exemples.
Exemple 2.2.3.2.
ZZ
Calculer
(2xy + x)dxdy où D est le demi-disque unité supérieur de R2 .
D
Solution. On a D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1 et y ≥ 0}, écrivons D comme un domaine de Fubini.
Pour celà nous devons :
1. déterminer les variations de x (la valeur minimale m et la valeur maximale M de x sur D) on écrit
alors ml eqx ≤ M ;
2. x étant fixé, déterminer les variations de y en fonction de cette valeurs de x : on écrit g(x) ≤ y ≤
h(x).
√
Soit (x, y) ∈ D, on a : x2 + y 2 ≤ 1√⇔ y 2 ≤ 1 + x2 ⇔ y ≤ 1 + x2
car y ≥ 0. De plus, pour que la fonction 1 + x2 soit bien définie
[−1, 1].
 il faut et il suffit que x ∈ ff
−1 ≤ √
x≤1
2
}, c’est un
Par conséquent, le domaine D s’écrit D = {(x, y) ∈ R :
0 ≤ y ≤ 1 + x2
domaine de Fubini. On a donc, par le théorème de Fubini :
!
ZZ
Z
Z √
1+x2
1
(2xy + x)dxdy =
(2xy + x)dy
−1
D
Z
1
=
−1
Z
√
ˆ 2
˜ 1+x2
xy + xy 0
dx =
√
Car 2x 1 +
1
(x(1 + x2 )+x
−1
x2
dx =
0
»
„
«–1
p
3
1 2
1
1 2
1 + x2 )dx =
x + x3 +
(1 + x2 ) 2
2
3
2 3
−1
1
= U 0 U 2 a pour primitive
=
2
3
1
1 +1
2
1
U 2 +1 =
3
2
U2.
3
2.3. CHANGEMENT DE VARIABLES
2.3
23
Changement de variables
Rappels en une variable. Soit f une fonction continue sur l’intervalle [a, b] et une
bijection dérivable
[α = φ−1 (a), β = φ−1 (b)] → [a, b]
φ:
t
7→ x(t)
Alors on a :
Z
b
Z
φ−1 (b)
f (x)dx =
f (φ(t))φ0 (t)dt
φ−1 (a)
a
Theorème 2.3.0.3.
Hypothèses.
1. f est une fonction continue sur un domaine borné D de R2 ,
2. φ est un C 1 -difféomorphisme de ∆ dans D :
∆
→
D
φ:
(u, v) 7→ (x(u, v), y(u, v))
Conclusion. On a :
ZZ
ZZ
f (x, y)dxdy =
f (x(u, v), y(u, v))|JACφ(u, v)|dudv
D
∆
2.3.1
Exemples de changement de variables classiques.
2.3.2
Changement de variables ”affines”.
Proposition. Définition 2.3.2.1. L’application affine

→ D
 ∆
x(u, v) = a1 u + b1 v + c1
φ:
 (u, v) 7→
y(u, v) = a2 u + b2 v + c2
a b où ai , bi , ci sont des constantes réelles telles que 1 1 6= 0
a2 b2
de
∆
dans
D
=
φ(∆)
dont le déterminant jacobien est
est un C 1 -difféomorphisme
a1 b1 .
exactement a2 b2 Le passage en coordonnées polaires.
Proposition. Définition 2.3.2.2.
L’application

 ]0, R]×]0, 2π] → D(0, R) \ {(0, 0)} x(r, θ) = r cos θ
φ:
(r, θ)
7→

y(r, θ) = r sin θ
24
CHAPITRE 2. INTÉGRALES DOUBLES.
est un C 1 -difféomorphisme dont le déterminant jacobien est r.
De plus, si f est une fonction continue sur D(0, R) on a
ZZ
ZZ
f (x, y)dxdy =
f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ
D(0,R)
Z
[0,R]×[0,2π]
!
Z
=
Z
f (r cos θ, r sin θ)rdr dθ =
[0,2π]
[0,R]
!
Z
r
[0,R]
f (r cos θ, r sin θ)dθ dr
[0,2π]
Car les ensembles {0} × [0, 2π], [0, R] × {0} et {(0, 0)} sont d’aires nulles.
Exemples.
Exemple 2.3.2.3.
Calculer l’aire de D : le disque de centre 0 et de rayon R.
Solution : on a
!
ZZ
Z
Z
Z
Aire(D) =
1dxdy =
r
dθ dr =
D
[0,R]
[0,2π]
2πrdr = πR2
[0,R]