Cours de Mathématiques semestre 1 - Pagesperso

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COURS DE MATHÉMATIQUES
SEMESTRE 1
Jean-Marie De Conto
Université Grenoble Alpes
IUT1 – Département Mesures Physiques
2
Me contacter: sans hésiter
• À l’IUT…
• Au laboratoire: Laboratoire de Physique Subatomique et de Cosmologie
(LPSC), 53, avenue des Martyrs
• [email protected]
• 04 76 28 40 98
• http://jmdeconto.pagesperso-orange.fr/ pour les supports de cours
• http://maths.tetras.org/ pour les TDs (Guillaume Laget)
Me supporter: beaucoup
Maths S1, métrologie et capteurs S1, mécanique S2, métrologie S3 , chaîne
de mesure S4
Ce que je fais d’autre: de la physique et d’autres cours
Calcul, conception, construction et mise au points d’accélérateurs de
particules: théorie, simulation, calcul numérique, instrumentation,
expérimentation.
D’autres cours hors IUT, direction de thèses, comités scientifiques…
3
Conseils
• Prenez des notes en cours et arrêtez moi si je vais trop vite
• Posez des questions y compris en amphi
• Demandez au prof , pas aux voisin(e)s
• Pas de rappels de cours en TD
• Venez avec le cours, et en l’ayant regardé au préalable
• Revoyez le cours et/ou le TD avant d’y assister
• Cours et TD sont obligatoires
• Sortir de cours en n’ayant guère compris n’est pas grave: c’est
la répétition qui permet d’assimiler
(cours+relecture+TD+questions au prof…)
• Sachez les “formules à connaître” que je vous indique
• Demandez de l’aide si besoin (“soutien” si besoin, rattrapage
pour absence etc)
4
Résolution d’un problème grâce aux mathématiques : un
point au milieu de plusieurs autres.
• Poser correctement le problème
• Modéliser le problème et précisant les hypothèses
• Résoudre le problème
• La connaissance du comportement physique vous guide pour trouver
des solution (ex: eq. Diff avec second membre)
• Rester conscient que cette solution est dépendante du modèle
• F=ma est FAUX en physique relativiste
• Chute libre = parabole vrai pour un champ de pesanteur uniforme.
Ellipse en réalité
• Vitesse relative = différence des vitesses est FAUX en physique
relativiste
• Vivre sur des acquis est une erreur fondamentale
5
Plan du cours
• Rappels: formules usuelles de dérivation, logarithmes et
•
•
•
•
•
•
•
exponentielle
Fonctions et équations trigonométriques
Nombres complexes
introduction aux fonctions de plusieurs variables, formes
différentielles
Intégration
Equations différentielles
Vecteurs, équations linéaires
Coordonnées polaires, cylindriques et sphériques
6
Fonctions d’une seule variable
Rappels
Continuité
Dérivation
Extrema
7
Continuité
• Une fonction peut être continue ou
non, selon que sa courbe
représentative l’est ou non.
• Exemples
• f(x)=1/x est discontinue en 0 car
non définie.
• La courbe qui à x associe 0 pour
x<0 et 1 sinon est définie partout
et non continue en 0.
• Les fonctions polynômiales sont
continues
• La fonction sin(x)/x est non définie
en 0. On peut néanmoins la
prolonger par continuité en lui
donnant la valeur 1 en zéro.
8
Limite à droite
• On dit que +∞est la
limite de f quand x
tend vers x0 si pour
tout A, on peut
trouver η tel que
f ( x)  A si x  x0  
A
• A gauche c’est pareil
avec x0-x<

9
Limites finies
• Définitions générales et
f ( x ) aussi proche de L à  fixé que
rigoureuses: cf cours
l' on veut dès que x  x0 assez petit
• Théorème : Quand la limite
existe, elle est unique.
lim f ( x )  L  f ( x )  L   si x  x0  
x  x0
• Théorème : Quand une
fonction admet une limite finie
en un point ou elle est définie,
elle y est continue. Si elle n’y
est pas définie, on peut la
définir en ce point en la
prolongeant par continuité
(exemple déjà donné : sin(x)/x
en zéro).


10
Limites infinies (un seul exemple)
• On dit que +∞est la limite
de f quand x tend vers x0
si pour tout A, on peut
trouver η tel que
• Voir cours
• L’infini a un signe!!!
f ( x)  A si x  x0  
A

11
Quelques règles pour les limites à ±∞
• Toute puissance de x l’emporte sur le logarithme
• L’exponentielle l’emporte sur toute puissance de x
lim ln( x )  
x  
lim ln( x )  
x  0
 ln( x ) 
lim  n   0
x   x



lim x n ln( x )  0
x  0
n0
lim exp( x )  
x 
lim exp( x )  0
x 
 exp( x ) 
lim 
  
n
x 
x



lim x n exp( x )  0
x 
• La limite à ±∞ d’une fraction rationnelle (rapport de deux
polynômes) est égale à la limite du rapport des termes de
plus haut degré
12
Exemples
• Limites en + ∞ de
2𝑥 − 𝑒 𝑥
𝑥 3 +2
3−𝑥 4
et
𝑥 3 +2
3+𝑥 3
𝑒𝑥
𝑥3 + 1
ln(𝑥 2 )
𝑥3
𝑒 −𝑥 ∙ cos(𝑥) et 𝑒 𝑥 ∙ cos(𝑥)
cos(2𝑥 + 1)
𝑥3
13
Quelques rappels (sans démonstration)
Dérivation
• Le nombre dérivé, quand il existe,
•
•
•
•
•
•
•
•
•
caractérise la pente d’une courbe en un
point
𝑓 ′ 𝑥0 = sin(𝜃)ൗcos(𝜃) = tan(𝜃) où  est
« l’angle limite »
Une fonction n’est pas nécessairement
dérivable en un point (discontinuité ou point
anguleux). Ex: la valeur absolue de la
fonction précédente
Si une fonction est dérivable alors elle est
continue (dans le domaine de dérivabilité).
Si la dérivée s’annule et change de signe,
la fonction admet un extrémum
𝑢 + 𝑣 ′ = 𝑢′ + 𝑣 ′
𝑎𝑢 ′ = 𝑎𝑢′ pour a constant
𝑢𝑣 ′ = 𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣 ′
𝑢 ′
𝑢′ 𝑣−𝑢𝑣′
=
𝑣
𝑣2
𝑔(𝑓(𝑥) ′ = 𝑔′(𝑓 𝑥 ) ∙ 𝑓′(𝑥)
• Notation: 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑓(𝑥))

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Dérivation et limites
• Définition : Si la limite L existe, la fonction
qui associe à x le nombre dérivé de f en x
est la fonction dérivée de f par rapport à x. L  lim f ( x0  x )  f ( x0 )  lim f
• Théorème : La dérivée en un point est la
pente de la courbe en ce point.
• Propriété 1: Une fonction dérivable en un
point y est continue
x 0
x
x 0
 df 
 
 dx  x  x0
• Propriété 2 : Une fonction impaire a pour
dérivée une fonction paire et vice-versa.
Preuve?
• Non dérivabilité si
• Non continuité OU
• Point anguleux
Δf
• Devinette. Existe-t-il
• Des fonctions jamais continues
• Continues mais jamais dérivables
• Dérivables mais jamais continues
𝑓 𝑥0 + ℎ ~𝑓 𝑥0 + ℎ ∙ 𝑓′(𝑥0 ) quand h est petit
Δx
x
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
Un exemple amusant
sin(nx n )
f ( x) 
2
n
n 1

• Pour x<=1:
• continue
• dérivable
• Pour x>1
• continue
• Pas dérivable
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Dérivées usuelles (à savoir sauf les deux dernières)
• 𝑥 𝛼 → 𝛼𝑥 𝛼−1
1
2
𝑥 = 𝑥 1/2 → 𝑥 −1/2 =
•
•
1
𝑥
= 𝑥 −1 → −𝑥 −2 = −
1
2 𝑥
1
𝑥2
• cos 𝑥 → − sin 𝑥
• sin(𝑥) → cos(𝑥)
• cos 𝑎𝑥 + 𝑏 → −𝑎 ∙ sin 𝑎𝑥 + 𝑏
• sin 𝑎𝑥 + 𝑏 → 𝑎 ∙ cos(𝑎𝑥 + 𝑏)
1
•
1 + 𝑥3 →
•
1 + 𝑐𝑜𝑠 3 (𝑥) →
2
1+𝑥 3
∙ 3𝑥 2
1
2 1+𝑐𝑜𝑠 3 (𝑥)
∙ 3𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) ∙ −sin(𝑥)
𝑑𝑓
• Remarque de notation: on note également 𝑓 𝑥 sous la forme
𝑑𝑥
′
17
18
Exemple: dériver
𝑥
𝑥+1
cos 3𝑥 + 2
𝑠𝑖𝑛3 (𝑥) et sin(𝑥 3 )
ln 2𝑥 − 1
ln(2𝑥)
𝑥
𝑒 1/𝑥
𝑒 2𝑥−3
3𝑥 + 1
19
Minimum – maximum - extremum
• Théorème : Pour admettre un extremum local, il est
nécessaire que la dérivée s’annule. Si La dérivée
s’annule et change de signe, alors on a un extremum
local.
5
6 x 5 x6
5
6 x 6
20
Concavité et point d’inflexion
• Si la dérivée seconde sur un intervalle est positive, alors la fonction y est
dite convexe.
• Si la dérivée seconde sur un intervalle est négative, alors la fonction y
est dite concave. (f concave si –f convexe)
• Si la dérivée seconde est nulle en un point et change de signe, on a un
point d’inflexion.
21
Dérivation de fonctions composées
F ( x )  f ( g ( x ))  f  g ( x )
 F ( x )  f  g ( x ) g ( x )
1
1
F réciproque de F si F ( x)  y  x  F ( y )
1
F F ( x )   x
1
1
F ( F ( x )) F ( x )  1  F ( F ( x )) 
1
F ( y ) 
1
1
F ( F ( y ))
1
F ( x )
22
La symétrie permute x et y et inverse
les pentes
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2
𝑥 = 𝑦2 → 𝑦 = 𝑥
x
23
1
F ( y ) 
exemple
• 𝐹 𝑥 =
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
2
1
F ( F ( y ))
est croissante sur R (F’ >0)
• 𝐹 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑥 = 𝐹 −1 (𝑦)
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
=
=𝐺
2
• 𝐺 2 𝑥 − 𝐹2 𝑥 = 1
• 𝐺 2 𝑥 = 1 + 𝐹2 𝑥
• 𝐹′ 𝑥
• 𝐺 𝑥 =
𝑥 = 𝐺 𝐹 −1 (𝑦)
= 1 + 𝑦2
1 + 𝑦 2 = F′(𝐹 −1 𝑦 ) car F’>0
⇢ 𝑭
−𝟏
′ 𝒚 =
𝟏
𝟏 + 𝒚𝟐
• On note F(x)=sh(x), G(x)=ch(x) (sinus et cosinus hyperboliques)
Nota: 𝐹 −1 𝑦 ≝ 𝑎𝑟𝑔𝑠ℎ 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑦 + 1 + 𝑦 2
1
24
Théorème de Rolle
• Théorème de Rolle : Soit f une fonction dérivable sur un
intervalle [a,b]. Si f(a)=f(b) alors il existe tel que la dérivée de f en
c soit nulle (f’(c)=0).
• Démonstration: Faites Belmont – Uriage – Belmont en vélo
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Théorème des accroissements finis
• Formule des accroissements
finis : Soit f une fonction
dérivable sur [a,b]. Il existe tel
que
g ( x )  f ( x )  (a  x )
f (c) 
f ( b)  f ( a )
ba
f ( b)  f ( a )
ba
g (a )  f (a )
g ( b)  f ( a )
c  [a, b] tel que g ( c )  0
f ( b)  f ( a )
ba
f ( b)  f ( a )
 f ( c ) 
ba
g ( x )  f ( x ) 
Démonstration: Belmont Luitel OU
Belmont – Séchillienne – Luitel ??
26
Règle de l’Hopital
• Pour résoudre les indéterminations « 0/0 »
 f ( x) 
 quand f (a )  g (a )  0
lim
x a  g ( x ) 

 f ( x) 
0
 
f (a )  g (a )  0  lim 
x a  g ( x ) 
0
f ( x ) f ( x )  f (a ) f ( x )  f (a )
xa


g ( x ) g ( x )  g (a )
xa
g ( x )  g (a )
 sin x 
 cos x 
lim
  lim
 1
x 0 x  x 0 1 
 f ( x) 
 f ( x )  f (a )

 f ( x ) 
xa
  lim 
  lim 

lim 
x a  g ( x ) 
x a 
xa
g ( x )  g ( a )  x a  g ( x ) 
 1  cos x 
 sin x 
 cos x  1
lim

lim

lim





2
x 0
x

0
x

0
x

 2x 
 2  2
27
Fonctions logarithmes et exponentielle
𝑑
ln
𝑑𝑥
1
avec
𝑥
𝑥 𝑑𝑡
‫׬‬1 𝑡
𝑥 =
• La fonction logarithme népérien
•
est la fonction définie par
• Autrement dit:
• ln 𝑥 =
• Propriété: le logarithme du
• Soit 𝑓 𝑥 = ln(𝑎𝑥) (avec
produit est égal à la somme
des logarithmes (on suppose a
et x positifs)
ln(1)=0
a constant)
→𝑓 ′
𝑥 =
1
𝑎𝑥
∙𝑎 =
1
𝑥
→ln 𝑎𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶
→ln 𝑎 = ln 1 + 𝐶 = 𝐶
→𝐶 = ln 𝑎
→ln 𝑎𝑥 = ln 𝑎 + ln(𝑥)
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Propriétés élémentaires
• Domaine de définition: ℝ∗+
• Fonction strictement
croissante
• lim ln 𝑥 = +∞
𝑥→+∞
• lim+ ln 𝑥 = −∞
𝑥→0
• ln 1 = 0
• ln 𝑥𝑦 = ln 𝑥 + ln 𝑦
• ln
𝑥
𝑦
= ln 𝑥 − ln(𝑦)
• Il existe un nombre 𝑒 ≈
2.718 tel que ln 𝑒 = 1
ln(𝑥) = 0
lim
𝑥→+∞ 𝑥 𝑛
𝑛>0
29
Histoires de dérivées: dérivée logarithmique
• Quelle est la dérivée (si elle existe) de𝑔 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 ?
• Pour x>0, on a 𝑥 = 𝑥 donc 𝑔 𝑥 = ln 𝑥 donc 𝑔′ 𝑥 = 1/𝑥
• Pour x<0, on a 𝑥 = −𝑥 donc 𝑔 𝑥 = ln −𝑥
 𝑔′ 𝑥 =
1
−𝑥
∙ −1 =
1
𝑥
𝑑
ln
𝑑𝑥
également
1
𝑥
𝑥 = pour tout x≠0
• De la même manière, pour toute fonction f, on a 𝑓(𝑥) = ±𝑓 𝑥
•
𝑑
𝑙𝑛
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) =
𝑑
𝑙𝑛
𝑑𝑥
±𝑓(𝑥) =
1
∙
±𝑓(𝑥)
±𝑓′(𝑥) =
𝑑
𝑓′(𝑥)
ln 𝑓(𝑥) =
𝑑𝑥
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥)
30
Théorème
• Les primitives de
𝑓′ (𝑥)
𝑓(𝑥)
sont 𝑙𝑛 𝑓(𝑥) + 𝐶 avec C une constante
réelle quelconque
• Exemple:
−1
3𝑥 2 𝑑𝑥
න 3
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 3 + 2
𝑥 +2
−2
• Les primitives de
quelconque
• Exemple:
−1 𝑑𝑥
‫׬‬−2 𝑥
1
𝑥
−1
−2
1
= ln 1 − ln 6 = − ln 6 = ln( )
6
sont 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 avec C une constante réelle
= ln 1 − ln 2 = − ln 2 =
1
ln( )
2
31
La fonction exponentielle
• Def: la fonction exponentielle est la
fonction réciproque de la fonction
logarithme.
• Propriété fondamentale
𝑦 = exp 𝑥 ⟺ 𝑥 = ln(𝑦)
 x  ln(a )
 x  y  ln(a )  ln(b)  ln(ab)  exp( x  y )  exp(ln( ab))  ab  exp( x ) exp( y )

 y  ln(b)
exp( x  y )  e x e y
ln(a )  ln(b)  ln(ab)
• exp 1 = 𝑒 car ln 𝑒 = 1 par définition
Donc exp 𝑛 = 𝑒 ∙ 𝑒 ∙ 𝑒 ⋯ 𝑒 ∙ 𝑒 = 𝑒 𝑛
• On montre que pour tout x réel on a:
• On a bien sûr: exp −𝑥 = 𝑒 −𝑥 = 1/𝑒 𝑥
exp( x )  e x
32
Autres propriétés
• L’exponentielle est définie sur ℝ tout entier
• Sa courbe représentative s’obtient par
symétrie de la courbe de ln par rapport à la
diagonale
𝑑 𝑥
𝑒
𝑑𝑥
=
𝑑 𝑓(𝑥)
𝑥
𝑒 et 𝑒
𝑑𝑥
= 𝑓′(𝑥)𝑒 𝑓(𝑥)
𝑑 𝑎𝑥
𝑒 = 𝑎𝑒 𝑎𝑥
𝑑𝑥
lim exp( x )  
x 
En rouge: fonction exponentielle.
En vert: fonction ln
lim exp( x )  0
x 
 exp( x ) 
lim 
  
n
x 
x



lim x exp( x )  0
x 
n
e ln(a )  a
exp( ab)  e
ab
 
 e
a b
33
Un exemple: 𝑒 𝑥
• On pose
•𝑋
1
+
𝑋
+ 𝑒−𝑥 = 3
𝑒𝑥 = 𝑋
=3⟹
𝑋2
− 3𝑋 + 1 = 0 ⟹ 𝑋 =
3± 5
2
• Les deux valeurs trouvées pour X sont positives et correspondent à
3+ 5
3− 5
𝑥1 = 𝑙𝑛
et 𝑥2 = 𝑙𝑛
2
2
• Si X solution, 1/X aussi. Si x solution, -x aussi
3+ 5 3− 5
• On a bien
∙
2
2
=
9−5
4
= 1 donc les solutions en X sont
inverses l’une de l’autre et les solutions en x opposées
• 𝑥1 = 𝑙𝑛
3+ 5
2
et 𝑥2 = −𝑥1
34
Equation différentielle associée à l’exponentielle
• La solution générale de l’équation différentielle
𝑓′ 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑓 𝑥 , 𝑎 ∈ ℝ
• Est
𝑓 𝑥 = 𝐶 ∙ 𝑒 𝑎𝑥 , 𝐶 ∈ ℝ
• Où C est une constante réelle qui dépend des données du
problème. En fait C=f(x=0), condition dite “initiale”
35
Logarithme de base quelconque
• Soient x et b deux nombres réels positifs et non nuls. On cherche 𝛼 tel que 𝑥 =
𝑏𝛼
𝑥 = 𝑒 ln(𝑥) = 𝑏 𝛼 = 𝑒 ln(𝑏)
𝛼
= 𝑒 𝛼∙ln(𝑏)
ln(𝑥)
⟹ ln 𝑥 = 𝛼 ∙ ln 𝑏 ⟹ 𝛼 =
ln(𝑏)
• On dit que 𝛼 est le logarithme à base b de x et on le note 𝑙𝑜𝑔𝑏 (𝑥) =
ln(𝑥)
ln(𝑏)
• Exemple le plus fréquent: b=10 (logarithme décimal)
• Nombre de chiffres d’un nombre entier N?
𝐸 𝑙𝑜𝑔10 (𝑁) + 1 où E désigne la partie entière
• Décibel: mesure de la puissance relativement à une puissance de référence
𝑃
𝐺𝑑𝐵 = 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔10
𝑃𝑟𝑒𝑓
• Exemple: le dBm indique la puissance relativement à Pref=1mW
36
exp( x)  e x
Pot pourri
ln( xy )  ln( x )  ln( y )
x  0, y  0
x
ln   ln( x )  ln( y )
 y
lim ln( x )  
x  
lim ln( x )  
x  0
 ln( x ) 
lim  n   0
x   x



lim x n ln( x )  0
x  0
n0
ln(1  x )  x
exp( x )  1  x
exp( x  y )  e x e y
G( x)  ln f ( x)
ex
exp( x  y )  y
e
lim exp( x )  
x 
lim exp( x )  0
x 
 exp( x ) 
lim 
  
n
x 
x



lim x n exp( x )  0
x 
e( a b)  e a eb
e
ab
 
 e
a b
G ( x ) 
xe
xb
f ( x )
f ( x)
ln( x )
logb ( x )
ln( x )
log ( x ) 
ln(b)
b
df
 f ( x )  af ( x )  f ( x )  Ce
dx
ax
37
Trigonométrie – Equations trigonométriques
• Tout se fait sur le cercle
y
trigonométrique (rayon 1)
M
• Mesure et orientation des
angles
• Formules trigo simples
P
  3 , ,  ,
• Un angle est défini modulo 2
Q
𝜃
  2 ,0,2 ,
x
O
 0  [ ,  ]
ou
  0  2k
 0  [0,2 ]
 deg rés   radians
sin θ =
𝑄𝑀
𝑂𝑀
cos θ =
𝑃𝑀
𝑂𝑀
𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑄𝑀
tan θ =
=
𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑃𝑀
180

38
La fonction tangente
• Domaine de définition:
ℝ\ (2𝑛 + 1)
𝜋
2
• Périodique de période 𝜋
• Infinité d’asymptotes verticales
• Dérivée:
•
𝑑𝑡𝑎𝑛(𝑥)
𝑑𝑥
=
1
𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥)
= 1 + 𝑡𝑎𝑛2 (𝑥)
39
A savoir par cœur ou à savoir retrouver
θ
0

6

4

3

2
s
i
n
c
o
1
2
3
2
2
2
1
2
2
2
3
2
1
0
cos      ?


sin    ?
2

sin      ?


cos      ?
2

cos      ?
s
1
0


cos     ?
2



sin     ?
2

sin      ?
3 

cos  
?
2 

3 

sin  
?
2 

 3

cos
   ?
 2

 3

sin
   ?
 2

40
Formules utiles
• Acheter une loupe
• Rouge: par cœur
• Vert: savoir déduire
• Orange:
savoir que
cela existe et penser à
lire le formulaire
41
Fonctions trigonométriques réciproques
• L’équation 𝑦 = sin 𝑥 admet une
solution unique dans l’intervalle [/2, /2] notée arcsin(𝑦)
• L’équation 𝑦 = cos 𝑥 admet une
solution unique dans l’intervalle [0,
] notée arc𝑜 𝑠 𝑦 .
• L’équation 𝑦 = tan(𝑥) admet une
solution unique dans l’intervalle ]/2, /2[ notée arc𝑡𝑎𝑛(𝑦).
• Nous avons ainsi défini trois
fonctions
• Arcsin : défini de [-1 1] sur [-/2, /2]
• Arccos défini de [-1 1] sur [0, ]
• Arctan défini de ]-∞ +∞ [ sur ]-/2, /2[
42
Propriétés
• En rouge: fonction arcsin
cos(arcsin x )  1  x 2  sin(arccos x )
x
tan(arcsin x ) 
1  x2
1  x2
tan(arccos x ) 
x
arccos x  arcsin x   / 2
d
1
arccos x  
dx
1 x2
d
1
arcsin x 
dx
1  x2
d
1
arctan x 
dx
1 x2
• En vert: fonction arccos
43
Détermination de l’angle à partir de son sinus ET de son cosinus
• Dans ce cas, l’angle est unique
sin x  a
(à 2 près)

• Une seule une valeur est
cos x  b
solution. Laquelle ?
• La fonction arctan a ses valeurs
 x  arctan( a / b)

dans le demi-cercle
tan( x )  a / b  
OU
trigonométrique de droite ]-/2,
 x  arctan( a / b)  

/2[, correspondant aux cosinus
positifs.
b  cos( x)  0  tan( x)  a / b  x  arctan( a / b)
b  cos( x)  0  tan( x)  a / b  x  arctan( a / b)  
Attention: dans certains domaines, le cas +𝜋n’arrive jamais (en électricité, par exemple, une
résistance est toujours positive) mais ce n’est pas une généralité!
44
Equations angulaires
• Un exemple simple
5 
• Une solution fausse
• La solution juste
5 
• Nota:
2

2
 

10

 2 k
k
10 


 2 
10
5
10
10

• Cas général: n solutions
n  
??????
2
10
5
  2  4  6  8
 , 
, 
, 
, 
10 10 5 10 5 10 5 10 5

• Il y a en fait (ici) 5 solutions


n    2k

2
  k
n
n
45
Equations trigonométriques de base
il suffit de lire sur le cercle pour ne rien oublier.
 x  Arc cos( y )  2k

cos x  y  
ou
 x   Arc cos( y )  2k

 x  Arc sin( y )  2k

sin x  y  
ou
 x    Arc sin( y )  2k

1


x

Arc
cos(
y
)

2
k
 nx  Arc cos( y )  2k

n
n


cos nx  y  
ou

ou
nx   Arc cos( y )  2k
 x   1 Arc cos( y )  2k 


n
n

1


x

Arc
sin(
y
)

2
k
 nx  Arc sin( y )  2k

n
n


sin nx  y  
ou

ou
nx    Arc sin( y )  2k
 x    1 Arc sin( y )  2k 


n n
n

46
a cos x  b sin x  c
Equations trigonométriques générales
 x  y  z  2 k
cos( x  y )  cos( z )  
 x  y   z  2 k
ou
• Objectif: écrire
• Problème: a et b ne sont
pas forcément des sinus
ou cosinus
a
a 2  b2
cos x 
b
a 2  b2
sin x 
 x  y  z  2 k
sin( x  y )  sin( z )  
 x  y    z  2 k
c
a 2  b2
A cos x  B sin x  C
b
a 2  b2
 cos y
2
2

 

a
b
A2  B 2  
 
 1
2
2
2
2
 a  b   a  b 
C 1
A et B définissent un seul angle y dont ils
sont le sinus ET le cosinus
a
a 2  b2
 sin y
y  arctan( a / b) si b  0
y  arctan( a / b)   si b  0
sin y cos x  cos y sin x  sin( x  y)  C
a
a b
2
2
 cos y
b
a b
2
2
  sin y
y   arctan( b / a ) si a  0
y   arctan( b / a )   si a  0
cos y cos x  sin y sin x  cos( x  y )  C
47
Procédure
• On écrit sous la forme qui nous arrange
• On s’assure qu’il y a des solutions
• On déduit y (unique) de ses sinus et cosinus A et B (pas
•
•
•
•
de 2k) (je recommande arctan)
On passe aux angles en faisant apparaître le 2k
On résoud
Cas où l’équation est en x: deux familles de solutions
(deux points sur le cercle)
Cas où l’équation est en nx: 2n familles de solutions (2n
points sur le cercle) et du 2k/n
48
4 cos(3 )  3sin(3 )  2
42  32  25  52
• Equation normalisée:
• Je décide de travailler avec
le sinus
4
3
2
cos(3 )  sin(3 ) 
5
5
5
4

sin(

)


5  sin( ) cos(3 )  cos( ) sin(3 )  sin(  3 )  2

3
5
cos( ) 
5

  arctan 4 / 3
Car cos>0)
Vérif: il y a des solutions
1
2 k
    arcsin( 2 / 5) 
   3  arcsin( 2 / 5)  2k
3
3


  3    arcsin( 2 / 5)  2k   1     arcsin( 2 / 5)  2k
3
3
Pas de valeurs décimales!!!
49
La somme de deux fonctions sinusoïdales de même
fréquence est une fonction sinusoïdale de même fréquence
•
50
•
51
Nombres complexes
• Rotations dans le plan: la rotation d’un vecteur quelconque est
déterminée par la rotation des vecteurs de base (système rigide)
ℛ𝜃 𝑖Ԧ = 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ 𝑖Ԧ + 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑗Ԧ
ℛ𝜃 𝑗Ԧ = −𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑖Ԧ + 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ 𝑗Ԧ
ℛ𝜃 𝑥Ԧ𝑖 + 𝑦Ԧ𝑗 = 𝑥 ∙ ℛ𝜃 𝑖Ԧ + 𝑦 ∙ ℛ𝜃 𝑗Ԧ
ℛ𝜃 𝑥Ԧ𝑖 + 𝑦Ԧ𝑗
= 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑦 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑖Ԧ + 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑦 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ 𝑗Ԧ
• Similitude : Rotation et homothétie 𝑆𝜌,𝜃 𝑋Ԧ = 𝜌 ∙ ℛ𝜃 𝑋Ԧ =
𝑥 ∙ 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑦 ∙ 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑖Ԧ + 𝑥 ∙ 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑦 ∙ 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ 𝑗Ԧ
• Le vecteur
𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑎
≡
caractérise la similitude
𝑏
𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑥
𝑥
𝑥
𝑎
𝑎
𝑆𝜌,𝜃 : 𝑦 ↦ 𝑦 ⨂
=
⨂ 𝑦
𝑏
𝑏
52
Nombres complexes
• Au point M de coordonnées (x,y) on associe le nombre
•
•
•
•
•
•
•
complexe 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦. M est appelé affixe de z
La multiplication par “i” correspond à une rotation de 𝜋/2 (cf
transparent précédent)
On a ainsi défini une opération de multiplication
𝑥 + 𝑖𝑦 ∙ 𝑎 + 𝑖𝑏 = 𝑥𝑎 − 𝑦𝑏 + 𝑖(𝑥𝑏 + 𝑦𝑎)
En particulier 𝑖 2 = −1, ce qui signifie simplement que deux
quarts de tours de 90 degrés donnent un demi-tour
On définit une addition: 𝑥 + 𝑖𝑦 + 𝑎 + 𝑖𝑏 = 𝑥 + 𝑎 + 𝑖(𝑦 + 𝑏)
On a étendu au plan la notion de produit
La multiplication par un nombre complexe est une rotation
combinée à une homothétie
53
Définitions et propriétés
• Soit 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
• 𝑥 = 𝑅𝑒 𝑧 est la partie réelle
• 𝑦 = 𝐼𝑚(𝑧) est la partie imaginaire
𝑥2
𝐼𝑚(𝑧)
𝑅𝑒(𝑧)
𝐼𝑚 𝑧
𝑠𝑖 𝑅𝑒 𝑧
𝑅𝑒 𝑧
𝐼𝑚 𝑧
+ 𝜋 𝑠𝑖 𝑅𝑒
𝑅𝑒 𝑧
• arg −𝑧 = arg 𝑧 + 𝜋
• arg 𝑖 =
𝜋
2

et 𝑖 = 1
• arg −𝑖 = −
O
x
→
𝜃 = arctan
ቐ
𝜃 = arctan
z

𝑦 2 est
• 𝑧 =
+
le module de z
• 𝜃 est son argument
• 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
y
𝜋
2
et 𝑖 = 1
𝑧ҧ
>0
𝑧 <0
Le point symétrique à l’affixe
de z, par rapport à l’axe
horizontal, définit le conjugué
de z
𝑧ҧ = 𝑥 − 𝑖𝑦
54
Propriétés
𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑧 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃
Module
• 𝑧 =
𝑥2 + 𝑦2
est la forme trigonométrique de z
Argument
• Si 𝛼𝜖ℝ+ , arg 𝛼 = 0
• Si 𝛼𝜖ℝ− , arg 𝛼 = 𝜋
• 𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑧1 ∙ 𝑧2
• 𝑧1 +𝑧2 ≠ 𝑧1 + 𝑧2
• arg 𝑧ҧ = −arg(𝑧)
• Multiplier par
• 𝑧 ∙ 𝑧ҧ = 𝑧
1
•
𝑧
=
correspond à une rotation d’angle 𝜃
• Multiplier par 𝑐𝑜𝑠𝜃1 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃1 ∙
𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃2 correspond donc à
une rotation d’angle 𝜃1 + 𝜃2
2
𝑧ҧ
𝑧2
1
• Remarque:
𝑖
𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃
=−𝑖
• Si 𝛼𝜖ℝ+ , arg 𝛼𝑧 = arg(𝑧)
• arg 𝑧1 ∙ 𝑧2 = arg 𝑧1 + arg 𝑧2
• arg 𝑧1 /𝑧2 = arg 𝑧1 − arg 𝑧2
55
Exemple: 𝑧 =
• 1+𝑖 =
1+𝑖 3
1+𝑖 3
2 et arg 1 + 𝑖 =
𝜋
4
• 1 + 𝑖 3 = 2 et arg 1 + 𝑖 3 =
• 𝑧 =
1+𝑖 3
1+𝑖 3
• arg 𝑧 = 3 ∙
• Par ailleurs:
= 2
𝜋
4
𝜋
3
− =
1+𝑖 3
1+𝑖 3
→ 𝒛 = 𝟐 ∙ 𝒄𝒐𝒔
5𝜋
12
=
1+𝑖 3
1+𝑖 3
𝜋
3
=
(−2+2𝑖)(1−𝑖 3)
4
𝟓𝝅
𝟓𝝅
+ 𝒊𝒔𝒊𝒏
𝟏𝟐
𝟏𝟐
1
2
= ൣ൫−1 +
56
Formule de Moivre
• Soit 𝑧 = 𝜌 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 avec 𝜌 = 𝑧 et 𝜃 = arg 𝑧
• En vertu de ce qui précède
𝑧 𝑛 = 𝜌𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑛
= 𝜌𝑛 ∙ cos(𝑛𝜃) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜃)
• En particulier, on a la formule de Moivre
𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑛
= cos(𝑛𝜃) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜃)
• Corollaire:
cos 𝑛𝜃 = 𝑅𝑒 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃
sin 𝑛𝜃 = 𝐼𝑚 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑛
𝑛
57
Module et argument de zn
• L’application directe de la formule de Moivre donne
immédiatement les deux relations :
z  z
n
n
 
arg z n  n arg( z )
• Exemple
1  i 3 
24
 224
58
Application: expression de
cos 3𝜃 𝑒𝑡 𝑑𝑒 sin 3𝜃 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜃
• On développe 𝑎 + 𝑏 𝑛 à l’aide
du triangle de Pascal.
Avec 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 , 𝑏 = 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 et
n=3
𝑎+𝑏
3
= 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3
cos 3𝜃 + 𝑖 ∙ sin 3𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 ∙ sin 𝜃
3
cos 3𝜃 + 𝑖 ∙ sin 3𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 3 𝜃 + 3𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 ∙ 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 − 3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛2 𝜃 − 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛3 (𝜃)
𝐜𝐨𝐬 𝟑𝜽 = 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜽 − 𝟑𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜽
൝
𝐬𝐢𝐧(𝟑𝜽) = 𝟑𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 ∙ 𝒔𝒊𝒏𝜽 − 𝒔𝒊𝒏𝟑 (𝜽)
59
La fonction exponentielle complexe
cos   1 
• On montre que
sin   
2
2
3
3!


exp( )  1   
• On a alors
exp(i )  1  i 

2
2
i

3
3!


4
4!
i

4
4!
5
5!
2
2
5
5!

6
6!



3
3!

4
4!

5
5!

ei  cos( )  i sin( )
La fonction exponentielle complexe peut donc être vue comme l’extension à tous
le plan complexe de la fonction exponentielle, compte tenu de ses relations avec
les fonctions trigonométriques circulaires.

60
exp( i )  e
i
 cos( )  i sin( )
ei  1
• Module
• Tout nombre complexe z de
module  et d’argument θ
peut s’écrire sous la forme
• Autre version de la formule
de Moivre
z  ei
z n   n ein
 cos   i sin n   n cos(n )  i sin(n )
 z  e
1 1
z  e  
 e
 z 
 i
e
i
 1
i
i
61
Formules d’Euler
𝑒 𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑒 −𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃
⟹
𝑒 𝑖𝜃 + 𝑒 −𝑖𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
2
𝑒 𝑖𝜃 − 𝑒 −𝑖𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃 =
2𝑖
Application: linéarisation (réduction d’une puissance de
sinus ou cosinus à une somme de sinus et cosinus)
Exemple: calculer une primitive de 𝑐𝑜𝑠 3 𝜃
62
Linéarisation de 𝑐𝑜𝑠3𝜃
• On développe 𝑎 + 𝑏 𝑛 à l’aide du
triangle de Pascal.
Avec 𝑎 = 𝑒 𝑖𝜃 , 𝑏 = 𝑒 −𝑖𝜃 et n=3
𝑎+𝑏
3
= 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3
𝑒 𝑖𝜃 + 𝑒 −𝑖𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
2
1
= ∙ 𝑒 3𝑖𝜃 + 3𝑒 2𝑖𝜃 𝑒 −𝑖𝜃 + 3𝑒 𝑖𝜃 𝑒 −2𝑖𝜃 + 𝑒 −3𝑖𝜃
8
1
3
𝑐𝑜𝑠 𝜃 = ∙ 𝑒 3𝑖𝜃 + 3𝑒 𝑖𝜃 + 3𝑒 −𝑖𝜃 + 𝑒 −3𝑖𝜃
8
𝑐𝑜𝑠 3 𝜃
𝑐𝑜𝑠 3 𝜃
1
cos 3𝜃 + 3𝑐𝑜𝑠𝜃
= ∙ 2 cos 3𝜃 + 6𝑐𝑜𝑠𝜃 =
8
4
63
Remarque: racines nièmes de l’unité
Pour tout n entier, les n nombres
𝑧𝑘 = 𝑒𝑥𝑝
Vérifient
𝑧𝑘𝑛 = 1
𝑖2𝑘𝜋
𝑛
On les appelle racines nièmes de l’unité
• Racines carrées
• Racines cubiques
• Racines huitièmes
(𝑘 = 0. . 𝑛 − 1)
=1
64
Un exemple: 𝑧3 = 1
• Dans ℝ il y a une seule solution z=1
• Dans ℂ il y a 3 solutions.
2𝜋
4𝜋
2𝜋
1, exp 𝑖
, exp 𝑖
= exp −𝑖
3
3
3
1
1
1, −1 + 𝑖 3 , −1 − 𝑖 3
2
2
Donc:
𝑥3
1
1
− 1 = 𝑥 − 1 𝑥 − −1 + 𝑖 3
𝑥 − −1 − 𝑖 3
2
2
𝑥3 − 1 = 𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 + 1
65
Equation du second degré à coefficients réels
Résoudre 𝑃 𝑧 = 𝑎𝑧 2 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0 (avec a, b et c réels)
Soit ∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 (discriminant)
• Si ∆= 0 alors il y a une solution unique 𝑧0
=−
𝑃 𝑧 = 𝑎 ∙ 𝑧 − 𝑧0
• Si ∆> 0 alors il y a deux solutions réelles
2
𝑏
2𝑎
𝑧1,2 =
−𝑏± ∆
2𝑎
• Si ∆< 0 alors il y a deux solutions conjuguées 𝑧1,2
=
−𝑏±𝑖∙ ∆
2𝑎
Dans les cas ∆≠ 0 : 𝑃 𝑧 = 𝑎 ∙ 𝑧 − 𝑧1 ∙ 𝑧 − 𝑧2
66
Vous avez dit géométrie???
• Circuits électriques en régime sinusoïdal (transformée de Fourier)
• Systèmes en régime quelconque (transformée de Laplace)
• Problèmes harmoniques (électrostatique, magnétostatique,
hydrodynamique 2D)
• Calculs d’intégrales (méthode des résidus)
• Théorie des nombres (premiers en autres)
• Modélisation des systèmes dynamiques et fractals
67
Impedance complexe (régime établi)
• On applique une tension
•
•
•
•
sinusoïdale aux bornes d’un circuit
RLC. Quel est le courant qui
traverse le circuit?
Le courant est sinusoïdal de même
fréquence mais éventuellement
déphasé
On écrit la tension totale
On considère la tension complexe
et le courant complexe
On définit l’impédance complexe
(connue) notée 𝑍 (connue)
𝟏
𝒁= 𝑹+
+ 𝒋𝑳𝝎
𝒋𝑪𝝎
• On déduit le courant crête et son
déphasage
Ug
Ici 𝑗 2 = −1
𝑈𝑔 = 𝑈0 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡
𝐼 = 𝐼0 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜑
1
𝑑𝐼
𝑈0 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 = RI + න 𝐼𝑑𝑡 + 𝐿
𝐶
𝑑𝑡
𝑈 = 𝑈0 ∙ 𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝐼 = 𝐼0 ∙ 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑
1
𝑈0 ∙ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = 𝑅 +
+ 𝑗𝐿𝜔 ∙ 𝐼0 ∙ 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑
𝑗𝐶𝜔
1
𝑈0 = 𝑅 +
+ 𝑗𝐿𝜔 ∙ 𝐼0 ∙ 𝑒 𝑗𝜑 = 𝑍 ∙ 𝐼0 ∙ 𝑒 𝑗𝜑
𝑗𝐶𝜔
𝜑 = −arg 𝑍
𝑈
𝐼0 = 0൘
𝑍
68
Racines carrées - Compléments
• Un nombre complexe
z  ei
• Admet deux racines carrées
z1,2    ei / 2
• Preuve: il y a deux racines uniquement, et celles-ci
conviennent!
• La notation X n’a de sens que pour X réel positif ou
nul
• Pourquoi? On peut définir sans ambiguité X ,
pour X réel. C’est LE réel positif dont le carré est X (relation
d’ordre dans R)
Il n’est pas possible d’ordonner les complexes, donc d’en
privilégier un!
69
Pourquoi pas
i
?
i  
 Nous décidons que
 On a =1 et =-/2 donc
e
i / 2
i  e
 i / 4
 Mais on a tout autant =3/2 donc
 i  ei 3 / 4
 Or
e
i / 4
i 3 / 4
 e
La décision « démocratique, unanime et consensuelle » ci-dessus
conduit à une incohérence
70
Une autre
• Un nombre réel n’admet pas forcément de racine carrée réelle
• Tout nombre complexe admet deux racines carrées complexes.
Mais cela n’autorise pas à faire n’importe quoi.
• 1=
1=
−1 ∙ −1 = −1 ∙ −1 = 𝑖 ∙ 𝑖 = −1
• Théorème très personnel: si z (complexe) n’est pas un réel
positif ou nul, alors 𝑧 = 0, où “0” est la note que je vous mets.
• Dit autrement: ne pas utiliser le symbole
qu’un nombre réel positif ou nul
pour autre chose
71
Polynômes dans R et C
ax n
• Monôme de degré n (x et a
réels ou complexes)
• Polynôme: somme de
monômes
n
P( x )  a 0  a1 x  a 2 x    a n x 
2
n

i 0
• Degré du polynôme: celui du
monôme de degré le plus élevé
• Les monômes doivent être
rangés dans l’ordre des
puissances (croissantes ou
décroissantes)
ai x i
72
Quatre résultats très élémentaires
• Théorème «évident»: Deux polynômes sont égaux si et seulement si
leurs coefficients sont égaux.
• Théorème «moins évident»: Si deux fonctions polynomiales sont
égales en tout point, alors les coefficients des deux polynômes sont
égaux.
• Corollaire : Un polynôme est identiquement nul si et seulement si
ses coefficients sont tous nuls.
• Théorème :
• Les coefficients de la somme de deux polynômes sont obtenus en
faisant la somme des coefficients de chaque polynôme.
• Le degré de la somme est le degré du polynôme de degré
maximum.
n
P( x )  Q ( x ) 

i 0
max( m,n )
m
pi x i 

i 0
qi x i 

i 0
( p i  qi ) x i
73
Produit de deux polynômes
• Théorème : Le produit de deux polynômes est un polynôme de
degré égal à la somme des degrés des deux polynômes. On
obtient le produit par développement.
• La notation « somme » est très commode
• Calcul à la main
• Programmation
n
P( x )Q( x ) 

i 0
m
pi x i

i 0
qi x i 
n
m
i 0
j 0

pi q j x i  j 

i, j
pi q j x i  j
74
Division de deux polynômes
selon les puissances décroissantes
• Division Soient P1(x) et P2(x) deux
polynômes quelconques, P2 étant
supposé non identiquement nul.
• Théorème : il existe deux
polynômes uniques Q et R, tels que
• Procédure : Ecrire les polynômes
de gauche à droite selon les
puissances décroissantes et
procéder à une division classique.
P1 ( x )  P2 ( x )Q ( x )  R( x )
Q :quotient
R : reste
deg( R )  deg( P2 )
• Exemple : diviser x5+3x3-3x-2 par
x3+x+1.
• Réponse : Q(x)=x2+2 et
• R(x)=-x2-5x-4
P ( x)
R( x)
 Q( x) 
P ( x)
P ( x)
1
2
Sert au calcul de primitives…entre autres
2
75
Un exemple:
• Une primitive de :
x  2x  1
2
x 1
2
• est
x  ln( x 2  1)  C
76
Division selon les puissances croissantes
• On se fixe r entier >0
• Théorème : il existe deux
•
•
•
•
polynômes uniques S et T,
appelés également quotient
et reste, tels que
Procédure : Ecrire les
polynômes de gauche à
droite selon les puissances
croissantes et procéder à
une division classique.
Exemple : diviser 2+x2 par 1x+3x2 en s’arrêtant à l’ordre
r=2.
Réponse :
S(x)=2+2x-3x2
x3T(x)=-9x3+9x3 = x3(-9+9x)
Sert aux approximations
P1 ( x )  P2 ( x ) S ( x )  x ( r 1)T ( x )
S :quotient
x ( r 1)T ( x ) : reste
deg( S )  r
P1 ( x )
T ( x ) ( r 1)
 S ( x) 
x
P2 ( x )
P2 ( x )
 S ( x ) pour x assez petit
77
Remarque
• Allure à l’infini des polynômes réels.
• Théorème : Un polynôme de variable réelle et à coefficients réels
se comporte à l’infini comme son monôme de plus haut degré.
• Preuve : on met le terme de plus haut degré en facteur.
9
2 123 

4 x  9 x  2 x  123  4 x 1 


  4x
 4x 4x 4x 
6
4
6
2
5
6

6
78
Propriétés générales des polynômes réels
• Tout polynôme réel est défini sur ℝ tout entier
• Il y est dérivable donc continu
• Les limites à ±∞ sont celles du terme de plus haut degré
• Conséquences: les limites à ±∞ d’une fraction rationnelle (rapport de
deux polynômes) sont celles du rapport des termes de plus haut
degré
3𝑥 2 + 𝑥 + 1
3𝑥 2
3
lim
= lim
=
𝑥→+∞ 4𝑥 2 + 2
𝑥→+∞ 4𝑥 2
4
3𝑥 2 + 𝑥 + 1
3𝑥 2
lim
= lim
=0
𝑥→+∞ 4𝑥 3 + 2
𝑥→+∞ 4𝑥 3
3𝑥 3 + 𝑥 + 1
3𝑥 3
3𝑥
lim
= lim
= lim
= −∞
𝑥→−∞ 4𝑥 2 + 2
𝑥→−∞ 4𝑥 2
𝑥→−∞ 4
79
Zéros de polynômes
• Soit un polynôme P(z), de variable complexe et à
•
•
•
•
•
coefficients complexes.
Définition: on appelle “zéro” ou “” racine” de P tout
nombre complexe z0 vérifiant
𝑃 𝑧0 = 0
Théorème: Si P est un polynôme de degré n, alors𝑃 𝑧0 =
0 ⟺ 𝑃 𝑧 = 𝑧 − 𝑧0 ∙ 𝑄(𝑧) où Q est un polynôme de
degré (n-1).
Ceci permet de factoriser un polynôme
Théorème de Dalembert (forme simplifiée) : tout
polynôme admet des zéros dans ℂ
80
Polynômes à coefficients réels
• Théorème : Si un polynôme est à coefficients réels, le conjugué de tout
zéro est un zéro.
• Preuve : Si P est à coefficients réels, alors .
___
P ( z )  P( z ) en vertu de ab  a b
P( z0 )  0  P ( z0 )  0  P( z0 )  z0 zéro de même multiplicité que z0
• Corollaire : Un polynôme de degré 3 à coefficients réels a au moins un
zéro réel.
• Il a deux zéros conjugués et un troisième zéro « seul » conjugué de lui-même
donc réel
• Autre démonstration du corollaire : On suppose que le coefficient du
terme de plus haut degré est positif (s’il est négatif, le raisonnement
reste semblable). Alors, la limite à plus l’infini du polynôme P(x) est plus
l’infini. Elle est moins l’infini quand x tend vers moins l’infini. Comme la
fonction polynôme est continue, sa valeur passe au moins une fois par
zéro.
81
Illustration
3
P( x ) := 3 x 2 x4
3
Q( x ) := 5 x 2 x4
82
Fonction de plusieurs variables
Dérivées partielles et totalles
Différentielles
Différentielle exacte
83
Fonctions de plusieurs variables
• Un exemple
𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦 2 + 𝑥 + 2𝑦
Ici,
f est représentée par une
surface dans l’espace à trois
dimensions
Questions:
• Quelles sont les isovaleurs?
• Où sont les minima?
• Quelles sont les lignes de plus
grande pente?
• Comment
caractériser une
trajectoire qui s’inscrit sur la
surface (problème de la
fourmi)?
84
Isovaleurs: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑐𝑡𝑒
• Il suffit d’écrire 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦 2 + 𝑥 + 2𝑦 = C
• Les isovaleurs sont des ellipses non centrées
• (ici) on a un minimum pour
x~-0.1 et y~-0.4
Les lignes de plus grande pente
sont perpendiculaires aux
isovaleurs
85
Isovaleurs sur quelques exemples
• 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑐𝑡𝑒 ou 𝑦 = 𝑔 𝑥 définissent une courbe du plan
Ex: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2 est l’équation d’un cercle
𝑦 = 𝑥 2 est celle d’une parabole
• 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑐𝑡𝑒 défini une surface dans l’espace 3D
Ex: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 2 est l’équation d’une sphère
𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 est celle d’un paraboloïde
• Isobares, isothermes, isenthalpie, équipotentielles…
86
Dérivation (sur deux variables)
• Identique quel que soit le nombre de variables
• On considère (si elles existent) les dérivées partielles
𝑓 𝑥0 + ℎ, 𝑦0 − 𝑓 𝑥0 , 𝑦0
𝜕𝑓
=
𝑥 ,𝑦
ℎ→0
ℎ
𝜕𝑥 0 0
𝑓 𝑥0 , 𝑦0 + ℎ − 𝑓 𝑥0 , 𝑦0
𝜕𝑓
lim
=
𝑥 ,𝑦
ℎ→0
ℎ
𝜕𝑦 0 0
• Les dérivées partielles sont obtenues en considérant toutes les autre
variables comme étant constantes
lim
𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦 2 + 𝑥 + 2𝑦
𝜕𝑓
= 6𝑥 + 𝑦 + 1
𝜕𝑥
𝜕𝑓
= 𝑥 + 4𝑦 + 2
𝜕𝑦
Interprétation: 𝑓 𝑥0 + ℎ𝑥 , 𝑦0 + ℎ𝑦 ~𝑓 𝑥0 , 𝑦0 + ℎ𝑥 ∙
𝜕𝑓
𝜕𝑥
+ ℎ𝑦 ∙
𝜕𝑓
𝜕𝑦
87
Dérivées secondes (sur deux variables)
Identique pour plus de variables
• Chaque dérivée partielle est une fonction de deux variables et possède
des dérivées partielles. On définit:
𝜕 𝜕𝑓 𝜕 2 𝑓
≡
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2
𝜕 𝜕𝑓
𝜕2𝑓
≡
𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑥
𝜕 𝜕𝑓 𝜕 2 𝑓
≡
𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 2
𝜕 𝜕𝑓
𝜕2𝑓
≡
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦
• Théorème de Schwartz:
𝝏𝟐 𝒇
𝝏𝟐 𝒇
=
𝝏𝒙𝝏𝒚 𝝏𝒚𝝏𝒙
A connaître
88
Extrema
• Une variable:
𝑓 ′ 𝑥0 = 0 𝑒𝑡 𝑓 ′′ 𝑥0 > 0 → 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚
𝑓 ′ 𝑥0 = 0 𝑒𝑡 𝑓 ′′ 𝑥0 < 0 → 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑢𝑚
• Deux variables
𝝏𝒇
𝝏𝒇
𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 =
𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 = 𝟎
𝝏𝒙
𝝏𝒚
•𝑟=
𝜕2 𝑓
𝜕𝑥 2
𝑥0 , 𝑦0 , 𝑠 =
𝜕2 𝑓
𝜕𝑦 2
𝑥0 , 𝑦0 , 𝑡 =
𝜕2 𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
• ∆= 𝑟𝑠 − 𝑡 2
∆> 𝟎 𝒆𝒕 𝒓 > 𝟎 → 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒖𝒎
∆> 𝟎 𝒆𝒕 𝒓 < 𝟎 → 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒖𝒎
∆< 𝟎 → 𝒑𝒂𝒔 𝒅′ 𝒆𝒙𝒕𝒓𝒆𝒎𝒖𝒎
𝑥0 , 𝑦0
89
Exemples
• 𝑟=
𝜕2 𝑓
𝜕𝑦 2
𝜕2 𝑓
𝜕𝑥 2
𝑥0 , 𝑦0 , 𝑠 =
𝑥0 , 𝑦0 , 𝑡 =
𝜕2 𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝑥0 , 𝑦0
• ∆= 𝑟𝑠 − 𝑡 2
• De haut en bas:
• ∆> 0 𝑒𝑡 𝑟 > 0 → 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚
• ∆> 0 𝑒𝑡 𝑟 < 0 → 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑢𝑚
• ∆< 0 → 𝑝𝑎𝑠 𝑑 ′ 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑢𝑚
1
2
• 𝑓 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥𝑦
1
2
• 𝑓 = −𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑥𝑦
• 𝑓 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 10𝑥𝑦
90
Le problème de la fourmi
• Une fourmi se déplace sur la surface de tout à l’heure. Sa position (x,y) est
de la forme
𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔1 𝑡 𝑒𝑡 𝑦 = 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜔2 𝑡)
son altitude est 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦 2 + 𝑥 + 2𝑦
Courbes: w1=2 et w2=7, 7,5 et 7.56789 avec A=B=5
• Questions: quelle est sa vitesse ascentionnelle? Quelle est la vitesse
ascentionnelle d’un papillon qui l’accompagne, en étant à une altitude relative
notée 𝐻 𝑡 = 𝛼 ∙ exp cos t ????
91
92
Différentielle d’une fonction
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓 𝑥0 ~ℎ ∙ 𝑓′(𝑥0 ) quand h est petit
Ou encore : ∆𝑓~𝑓′(𝑥) ∙ ∆𝑥 pour h petit
• En mots: l’accroissement de f est en première approximation le
produit de la dérivée par l’accroissement de la variable
• On l’écrit ainsi:
𝒅𝒇
′
𝒅𝒇 = 𝒇 𝒙 ∙ 𝒅𝒙 =
∙ 𝒅𝒙
𝒅𝒙
• df est la différentielle de f
• Avec une variable, ce n’est guère intéressant. Posons nous la
question suivante: comment est orientée la ligne de plus grande
pente pour la fourmi de tout à l’heure? C’est plus intéressant, c’est
plus compliqué!
93
Différentielle logarithmique
• Calcul de petites variation d’un produit ou d’un rapport

Si f ( x)  u( x)v( x) alors :
df  u  dv  v  du
df df du dv




f
uv
u
v

Si f ( x ) 
u( x )
alors :
v( x )
v  du  u  dv
df 
v2
df v
du dv
 df 

f
u
u
v
f  a  u 
df
du

f
u
94
Fournit des approximations commodes pour
les variations relatives
df du dv
f u v
f  uv 





f
u
v
f
u
v
u
df du dv
f u v
f  





v
f
u
v
f
u
v
df
du
f
u
f  a u 



f
u
f
u

a et  constantes
réelles
95
exemple
• Exemple: variation du
volume d’une sphère
quand le rayon varie peu
• Si le rayon varie de 2%, le
volume varie d’environ 6%
• Ne sert à rien dans le cas
de sommes (ne convient
que pour les produits,
puissances et rapports)
df
du
f  a u 

f
u

4 3
V
R
3
dV
dR
V
R
3

3
V
R
V
R
96
Différentielle d’une fonction de plusieurs variables (2 ici)
• De par la construction même des dérivées partielles, on a
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝑓 𝑥0 + ℎ1 , 𝑦0 + ℎ2 ~𝑓 𝑥0 , 𝑦0 + ℎ1 ∙
+ ℎ2 ∙
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑓
∆𝑓~
∙ ∆𝑥 +
∙ ∆𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
• On définit la différentielle de f
𝜕𝑓
𝜕𝑓
d𝑓 =
∙ 𝑑𝑥 +
∙ 𝑑𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
97
dérivation d’une fonction composée (1/2)
f  f ( x, y ) et x, y dépendants du temps
df
f (t ) 
 ???
dt
df 
f
f
dx  dy
x
y

dx 
 x  x (t )


y

y
(
t
)

dy 

df 
dx
dt
dt
dy
dt
dt
f dx
f dy
df
 f dx f dy 
dt 
dt  

dt

dt

x dt
y dt
dt
 x dt y dt 
𝒅𝒇 𝝏𝒇 𝒅𝒙 𝝏𝒇 𝒅𝒚
=
∙
+
∙
𝒅𝒕 𝝏𝒙 𝒅𝒕 𝝏𝒚 𝒅𝒕
98
dérivation d’une fonction composée (2/2)
f  f ( x, y )
x  x (u, v )
y  y (u, v )
𝝏𝒇 𝝏𝒇 𝝏𝒙 𝝏𝒇 𝝏𝒚
=
∙
+
∙
𝝏𝒖 𝝏𝒙 𝝏𝒖 𝝏𝒚 𝝏𝒖
𝝏𝒇 𝝏𝒇 𝝏𝒙 𝝏𝒇 𝝏𝒚
=
∙
+
∙
𝝏𝒗 𝝏𝒙 𝝏𝒗 𝝏𝒚 𝝏𝒗
On a deux notions: celle de dérivée partielle (avec les 𝜕) et
de dérivée totale (avec les d)
99
Exemple: la fourmi et le papillon
Position de la fourmi 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔1 𝑡 𝑒𝑡 𝑦 = 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜔2 𝑡)
Altitude de la fourmi: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦 2 + 𝑥 + 2𝑦 = 𝑧
• Vitesse ascensionnelle de la fourmi:
𝜕𝑧
𝜕𝑧
= 6𝑥 + 𝑦 + 1 𝑒𝑡
= 𝑥 + 4𝑦 + 2
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= −𝐴𝜔1 𝑠𝑖𝑛 𝜔1 𝑡 𝑒𝑡
= 𝐵𝜔2 𝑐𝑜𝑠 𝜔2 𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝒅𝒛 𝝏𝒛 𝒅𝒙 𝝏𝒛 𝒅𝒚
𝒗𝒛 =
=
+
𝒅𝒕 𝝏𝒙 𝒅𝒕 𝝏𝒚 𝒅𝒕
• Position du papillon: p t = z + 𝐻 𝑡 = 𝑧 + 𝛼 ∙ exp cos t
• Vitesse ascensionnelle du papillon:
𝒅𝒑 𝝏𝒑 𝒅𝒙 𝝏𝒑 𝒅𝒚 𝝏𝒑 𝝏𝒛 𝒅𝒙 𝝏𝒛 𝒅𝒚 𝒅𝑯
𝒗𝒑 =
=
+
+
=
+
+
𝒅𝒕 𝝏𝒙 𝒅𝒕 𝝏𝒚 𝒅𝒕 𝝏𝒕 𝝏𝒙 𝒅𝒕 𝝏𝒚 𝒅𝒕 𝒅𝒕
100
La différentielle définit le plan tangent
𝒅𝒇 = 𝒇′ 𝒙 ∙ 𝒅𝒙
∆𝑓~𝑓′(𝑥) ∙ ∆𝑥
• Si y=f(x)
𝑦 − 𝑦0 = 𝑓′(𝑥0 ) ∙ 𝑥 − 𝑥0
est la droite tangente
𝝏𝒇
𝝏𝒇
𝒅𝒇 =
∙ 𝒅𝒙 +
∙ 𝒅𝒚
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝜕𝑓
𝜕𝑓
∆𝑓~
∙ ∆𝑥 +
∙ ∆𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
• Si z=f(x,y)
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝑧 − 𝑧0 =
∙ 𝑥 − 𝑥0 +
∙ (𝑦 − 𝑦0 )
𝜕𝑥
𝜕𝑦
Est le plan tangent
101
Notion de forme différentielle
• Loi des gaz parfaits:
dx
𝑛𝑅𝑇
𝑉=
𝑃
𝑛𝑅𝑇
𝑛𝑅
𝑑𝑉 = − 2 ∙ 𝑑𝑃 +
∙ 𝑑𝑇
𝑃
𝑃
• Cas du cylindre de section 𝑆 = 𝜋𝑅 2
Travail des forces de pression (détente selon x)
𝐹 = 𝑃𝑆 → 𝛿𝑊 = 𝐹𝑑𝑥 =
Variation d’énergie interne:
𝛿𝑄 = −𝑃 ∙ 𝑑𝑉 =
Questions:
𝑛𝑅𝑇
𝑃
𝐹
𝑆 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑃. 𝑑𝑉
𝑆
∙ 𝑑𝑃 − 𝑛𝑅 ∙ 𝑑𝑇
déduire Q, énergie interne du système
𝑛𝑅𝑇
En écrivant δ𝑄 = 𝑃 ∙ 𝑑𝑃 − 𝑛𝑅 ∙ 𝑑𝑇 ?
102
Formes différentielles
• On appelle forme différentielle toute quantité (ici avec trois
variables)
𝜔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∙ 𝑑𝑦 + 𝑅 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∙ 𝑑𝑧
• Exemples:
 df, la différentielle de n’importe quelle fonction
 𝜔 = 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦
 𝛿𝑄 =
𝑛𝑅𝑇
𝑃
∙ 𝑑𝑃 − 𝑛𝑅 ∙ 𝑑𝑇
103
Différentielle exacte
• Une forme différentielle sera dite exacte si elle est la différentielle d’une
fonction autrement dit si:
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜔 = 𝑃 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑄 ∙ 𝑑𝑦 + 𝑅 ∙ 𝑑𝑧 =
∙ 𝑑𝑥 +
∙ 𝑑𝑦 +
∙ 𝑑𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
• U ne condition nécessaire (mais pas suffisante) est de vérifier le
théorème de Schwartz:
𝝏𝑸 𝝏𝑷
𝝏𝑹 𝝏𝑷
𝝏𝑸 𝝏𝑹
=
,
=
,
=
𝝏𝒙 𝝏𝒚
𝝏𝒙 𝝏𝒛
𝝏𝒛 𝝏𝒚
• Dans le cas de deux variables x et y, on a seulement, bien sûr:
𝝏𝑸
𝝏𝒙
=
𝝏𝑷
𝝏𝒚
• Une forme qui vérifie le théorème de Schwartz est dite fermée
• Toute forme exacte est donc fermée
𝜔 = 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 est exacte (différentielle de f=xy)
𝑛𝑅𝑇
∙ 𝑑𝑃 − 𝑛𝑅 ∙ 𝑑𝑇 n’est pas exacte
𝑃
𝛿𝑄
𝑛𝑅𝑇
𝑛𝑅
=
∙
𝑑𝑃
−
∙ 𝑑𝑇 est exacte
𝑃
𝑃2
𝑃
𝛿𝑄 =
104
Réciproque, théorème de Poincaré
• Nous avons vu qu’une forme exacte est fermée (Schwartz)
• Une forme fermée est elle exacte?
• 𝜔=
2𝑥
𝑑𝑥
𝑥 2 +𝑦 2
2
2𝑦
+ 𝑥 2+𝑦 2 𝑑𝑦 vérifie le th. de Schwartz (fermée)
• Si 𝑓 = 𝑙𝑛(𝑥 + 𝑦 2 ) on voit que 𝜔 = 𝑑𝑓en
observant les dérivées
• Mais f n’est pas définie en (0,0) (« trou »)
• Théorème de Poincaré: si 𝜔 est fermée sur
un ensemble de définition sans trou
(domaine simplement connexe) alors elle est exacte.
105
Autres exemples
• 𝜔=−
𝑦
𝑑𝑥
𝑥 2 +𝑦 2
+
𝑥
𝑑𝑦
𝑥 2 +𝑦 2
est non exacte
Les dérivées sont celles de arctan
• 𝜔=
𝑦
𝑑𝑥
1+𝑥 2 𝑦 2
+
𝑥
𝑑𝑦
1+𝑥 2 𝑦 2
𝑦
𝑥
est exacte
Les dérivées sont celles de arctan 𝑥𝑦
106
Le problème inverse
• On suppose que 𝜔 est exacte. De quelle fonction est-elle
la différentielle?
• Ex: 𝑑𝑓 = 2𝑥𝑦 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑥 2 + 3𝑦 2 ∙ 𝑑𝑦 ≡
𝜕𝑓
𝑑𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑓
𝑑𝑦
𝜕𝑦
• On intègre les dérivées partielles en considérant l’autre
variable comme constante
• 2𝑥𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
→ 𝑓 = ‫ ׬‬2𝑥𝑦 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑦 + 𝜑(𝑦)
𝜕𝑓
→𝑓
𝜕𝑦
𝒚𝟑 + 𝐂
• 𝑥 2 + 3𝑦 2 =
= ‫ 𝑥 ׬‬2 + 3𝑦 2 ∙ 𝑑𝑦 = 𝑥 2 𝑦 + 𝑦 3 + 𝜓(𝑥)
• 𝒇 = 𝒙𝟐 𝒚 +
où C est une constante
107
Notion de gradient, exprimé en coordonnées cartésiennes
• Soit 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦 2 + 𝑥 + 2𝑦 (la fourmi!)
• Les lignes de même altitude (isovaleurs, lignes de niveau), vérifient 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐶 où
C est constante
• Si la fourmi, au cours du temps, se déplace à altitude constante, alors
𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑦(𝑡) = 𝐶, et son vecteur vitesse est tangent aux lignes de niveau
𝑑𝑓 𝜕𝑓 𝑑𝑥 𝜕𝑓 𝑑𝑦 𝜕𝑓
𝜕𝑓
=
∙
+
∙
=
∙𝑣 +
∙𝑣 =0
𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑥 𝜕𝑦 𝑦
• Le vecteur
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
noté 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 est perpendiculaire aux lignes de niveau. On l’appelle
le gradient de f.
• En dimension 3 on a 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑧
108
Propriété
• Le gradient définit la direction de plus grande pente.
• Si la fourmi se dáplace pendant un intervalle de temps ∆𝑡 petit POSITIF,
du point 𝑥0 , 𝑦0 au point 𝑥1 , 𝑦1 , alors
𝜕𝑓
∆𝑥~𝑡 𝜕𝑥
𝑥1
𝑥0
•
𝑦1 ~ 𝑦0 + 𝑡 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 → ∆𝑦~𝑡 𝜕𝑓
𝜕𝑦
• 𝑓 𝑥1 , 𝑦1 ~𝑓 𝑥0 , 𝑦0 +
𝜕𝑓
∆𝑥 𝜕𝑥
+
𝜕𝑓
∆𝑦 𝜕𝑦
= 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 + 𝑡 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓
2
• Quand f(x,y)=C est une courbe, gradf est orthogonal à cette courbe et
pointe vers le sens des f croissants
• Quand f(x,y,y )=C est une surface, gradf est orthogonal à cette surface et
pointe vers le sens des f croissants
109
Intégration – Intégrales généralisées
• Définition 1: Une fonction f définie de
manière constante sur des intervalles
(finis ou non) est dite fonction en
escalier.
• Définition 2 : Soit f une fonction en
escalier définie sur [a,b], l’aire I
algébrique, située entre la courbe et
l’axe de x est appelée intégrale de
Riemann de f
b
I
 f ( x)dx
a
b
b
b
a
a
a
 f ( x)dx   f (t )dt   f
Les variables
d’intégration sont
muettes
Les surfaces sont comptées positivement quand: on va vers les x croissants et la
courbe est au dessus de l’axe des x ou quand on va vers les x décroissants avec
la courbe sous l’axe des x
110
Intégration des fonctions continues par morceaux
• Théorème : Une fonction
  0, sn en escalier, f ( x)  sn ( x)   , x  [a, b]
continue par morceaux sur
[a, b] peut être approchée
b
b
uniformément par des fonctions
sn ( x )dx
en escalier
 f ( x)dx  nlim


a
• L’intégrale de f est obtenue
comme limite des intégrales des
fonctions en escalier
• Elle correspond à la notion
intuitive de surface, avec un
signe
a
111
Propriétés élémentaires
• La surface sous un point est
a
 f ( x)dx  0
nulle
a
c
c
a
b
a
 f ( x)dx   f ( x)dx   f (t )dt
• Relation de Chasles
• Corollaire :
b
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx
• Linéarité. Si α et β sont deux
réels quelconques, et f deux
fonctions intégrables
b
b
b
a
a
a
 f ( x)  g( x)dx    f ( x)dx    g( x)dx
112
Remarques et contre-remarques
b
• Si A est constant
 Adx  A(b  a)
A savoir!!!
a
• Attention
Une raison simple: une
surface n’est pas le carré
d’une surface!
b
a
a
a
b
b
 f ( x) g ( x)dx   f ( x)dx  g ( x)dx
b

a
a
 x2 
xg ( x )dx    g ( x )dx
 2 b

113
Autres propriétés
• Si f(x)<g(x) pour tout x
appartenant à l’intervalle [a,b],
• Inégalité triangulaire
• Conséquence
b
b
a
a
 f ( x)dx   g ( x)dx
A B  A  B
b
b
b
a
a
a
 f ( x)  g( x) dx   f ( x) dx   g( x) dx
114
Primitives et intégrales
• Définition : Une fonction F(x) dont la dérivée par rapport
à x est f(x) est appelée primitive de f.
• Propriété : la fonction nulle admet pour primitives toutes
les fonctions constantes.
• Théorème : Si F et G sont deux primitives de f, alors elles
diffèrent seulement par une constante.
• Preuve: la dérivée de F-G est nulle
115
Relation primitive/intégrale
x
• Théorème : La fonction F définie par F ( x ) 
une primitive de f.
 f (t )dt
a
x h
F ( x  h)  F ( x) 
 f (t )dt
x
f ( x  h)  f ( x)
2
f ( x  h)  f ( x)
F ( x  h)  F ( x)  h
2
F ( x  h )  F ( x )  hf ( x )
F ( x  h )  F ( x )  hf ( x )  h
f(x+h)
f(x)
h
F ( x  h )  F ( x )  hf ( x )
Corollaire : Si F est une primitive
quelconque de f, donc est définie à
une constante près, on a :
x
b
 f (t )dt  F (b)  F (a)
a
x+h
116
Calcul d’intégrales
• Ce peut être le calcul de primitives (on ne met pas de bornes)
𝑥2
2
‫ = 𝑥𝑑 ∙ 𝑥 ׬‬+ 𝐶
les primitives étant à une constante additive près
• Ce peut être le calcul de valeurs (on met les bornes)
3
3
𝑥2
5
න 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 =
=
2 2 2
2
Ici, n’importe quelle primitive convient
• Ce peut être une fonction particulière
𝑥
𝑥
2
𝑡
𝑥2 1
𝐹 𝑥 = න 𝑡 ∙ 𝑑𝑡 =
=
−
2
2
2
1
1
Attention: la variable d’intégration n’a rien à voir avec les bornes,
elle est dite muette, et il ne doit pas y avoir de confusion
117
Attention à que vous écrivez
3
𝑥2
2 2
3
• ‫׬‬2 𝑥
∙ 𝑑𝑥 =
3
• ‫׬‬2 𝑥
∙ 𝑑𝑡 = 𝑥𝑡
𝑥
• ‫׬‬1 𝑥
∙ 𝑑𝑥 ne veut rien dire car x est, ici, à la fois variable
3
2
=
5
2
= 3𝑥 − 2𝑥 = 𝑥 (on intègre selon t)
et constante
• ‫ ׬‬2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 𝐶 ne pose pas de problème
118
Méthodes d’intégration
• Intégration à l’aide de fonctions connues
Tableaux de primitives, dérivée logarithmique etc..
Linéarisation des fontions trigonométriques (Euler)
• Intégration par parties
b
b
(uv )   u v  uv   u(t )v (t )dt  u(t )v(t )ba  u (t )v(t )dt


a
a
• Changement de variables
  g (b)
t b

t a
f ( g (t )) g (t )dt 
 f ( )d
 g (a)
119
Un premier exemple
•𝑓 𝑥 =
2𝑥 2 +2𝑥+3
𝑥 2 +1
=2
2𝑥+1
+ 2
𝑥 +1
=2+
2𝑥
𝑥 2 +1
1
+ 2
𝑥 +1
• Une primitive de f est donc
• ‫ = 𝑥𝑑 𝑥 𝑓 ׬‬2𝑥 + 𝑙𝑛 𝑥 2 + 1 + arctan(𝑥)
• On a décomposé f en éléments plus simples avant de
reconnaître des dérivées connues.
120
Par linéarisation
• 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑒 𝑖𝜃 +𝑒 −𝑖𝜃
2
• 𝑐𝑜𝑠 3 𝜃 =
• 𝑐𝑜𝑠 3 𝜃 =
• 𝑐𝑜𝑠 3 𝜃 =
1
8
1
8
∙ 𝑒 3𝑖𝜃 + 3𝑒 2𝑖𝜃 𝑒 −𝑖𝜃 + 3𝑒 𝑖𝜃 𝑒 −2𝑖𝜃 + 𝑒 −3𝑖𝜃
1
8
∙ 2 cos 3𝜃 + 6𝑐𝑜𝑠𝜃 =
∙ 𝑒 3𝑖𝜃 + 3𝑒 𝑖𝜃 + 3𝑒 −𝑖𝜃 + 𝑒 −3𝑖𝜃
න 𝑐𝑜𝑠 3 𝜃
cos 3𝜃 +3𝑐𝑜𝑠𝜃
4
1 1
∙ 𝑑𝜃 =
sin(3𝜃) + 3𝑠𝑖𝑛𝜃
4 3
121
Exemples d’intégrations par parties
b
b
(uv )   u v  uv   u(t )v (t )dt  u(t )v(t )ba  u (t )v(t )dt


a
a
1
න ln 𝑥 𝑑𝑥 = න 1 ∙ ln(𝑥) ∙ 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ ln 𝑥 − න 𝑥 ∙ ∙ 𝑑𝑥
𝑥
1
′
𝑢 = ln 𝑥
ቊ ′
→ ቐ𝑢 = 𝑥
𝑣 =1
𝑣=𝑥
⟹ න ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥
122
b
Exemples
b
(uv )   u v  uv   u(t )v (t )dt  u(t )v(t )ba  u (t )v(t )dt


a
a
න 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑥 − න 1 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑢=𝑥
𝑢′ = 1
൜ ′
→ቊ
𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑣 = 𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑢=𝑥
𝑢′ = 1
൜ ′
→ቊ
𝑣 = 𝑒𝑥
𝑣 = 𝑒𝑥
• Si P est un polynôme de degré N, on calcule ‫ 𝑥𝑑 𝑥 𝑒)𝑥(𝑃 ׬‬par N
intégrations par parties, chacune faisant baisser d’un degré
123
Intégration par changement de variables
  g (b)
t b


f ( g (t )) g (t )dt 
f ( )d
 g (a)
t a
2
Un exemple simple (si l’on ne reconnaît pas la dérivée de 𝑒 𝑥 )
𝑏
𝑏2
𝑏
2
2
2
න 𝑒 𝑥 ∙ 2𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = න 𝑒 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 2 = න 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑏 − 𝑒 𝑎
𝑎
𝑎
𝑎2
Tout consiste à noter que 𝟐𝒙𝒅𝒙 = 𝒅𝒙𝟐 et à voir que
𝑢 = 𝑥 2 est une variable plus appropriée
2
124
Exemple
b

I  t 1  t 2 dt
• Calculer
a
• On reconnaît que
𝑡 ∙ 𝑑𝑡 =
b
1
𝑑𝑡 2
2
x  t2
b
I   t 1  t 2 dt   12 1  t 2 dt 2 
a
b

a
1
t 1  t dt 
2
2
a
x b2

x a 2

12
1  x 3 / 2
1  x dx 
23

b2
a2
x b2
1
2
x a 2



1  x dx
1
(1  b 2 ) 3 / 2  (1  a 2 ) 3 / 2
3

125
Méthode générale pour l’intégration par
changement de variables
• 0) Trouver la bonne variable: pas de règle générale
• 1) Remplacer l’ancienne variable par la nouvelle dans la
fonction à intégrer
• 2) Remplacer la différentielle de l’ancienne variable par
celle de la nouvelle en écrivant une relation entre les deux
différentielles en question
• 3) Changer les bornes en mettant les nouvelles
126
Exemple: le même (méthode générale)
b

I  t 1  t 2 dt
• Calculer
a
• On POSE
x  t2
• On écrit l’ancienne
variable en fonction de
la nouvelle
t x
dt 
• On différencie

a
1
t 1  t dt 
2
1
dx
2t
2
• On n’a plus qu’à intégrer
2
2 x
dx 
1
t 1  t dt 
1  x dx
2
• On reporte
b
1
x b2

x a 2

12
1  x 3 / 2
1  x dx 
23

b2
a2


1
(1  b 2 ) 3 / 2  (1  a 2 ) 3 / 2
3

127
Un autre exemple: intégrer 1/𝑐𝑜𝑠4𝜃
𝜃2
1
𝐼= න
𝑑𝜃
𝑐𝑜𝑠 4 𝜃
(0)
1
𝑐𝑜𝑠 2 𝜃
(1)
(2)
𝜃1
= 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 → 𝑡 = 𝑡𝑎𝑛 𝜃
1
𝑐𝑜𝑠 4 𝜃
= 1 + 𝑡2
2
𝑑𝑡 = 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 ∙ 𝑑𝜃 = 1 + 𝑡 2 ∙ 𝑑𝜃
1
𝑑𝜃 =
∙ 𝑑𝑡
1 + 𝑡2
1
𝑑𝜃 = 1 + 𝑡 2
4
𝑐𝑜𝑠 𝜃
2
∙
𝑡𝑎𝑛𝜃2
𝐼=
න
𝑡𝑎𝑛𝜃1
1 + 𝑡2
1
∙ 𝑑𝑡 = 1 + 𝑡 2 ∙ 𝑑𝑡
2
1+𝑡
𝑡3
∙ 𝑑𝑡 = 𝑡 +
3
𝑡𝑎𝑛𝜃2
𝑡𝑎𝑛𝜃1
128
Valeur moyenne d’une fonction
• Définition : La valeur moyenne d’une fonction sur un
intervalle [a,b] est
__
1
f 
ba
1
2
2

0
cos 2 (t )dt 
b
 f (t )dt
a
1
2
2

0
1  cos( 2t )

1
dt 

2
2 2
Application et exercice : On applique une tension sinusoïdale de
valeur crête V0 aux bornes d’une résistance R. Quelle est la valeur
de la tension Veff continue qui, placée aux bornes de R, dissiperait
en moyenne la même puissance Joule ?
Veff 
V0
2
129
Tension efficace
V 2 (t )
V02
dE 
dt 
cos 2 (t )dt
R
R
T
V02
E
cos 2 (t )dt
R
0
 P 
 Veff
2
0
T
2
0
Veff2
1
V 1
V
2
E
cos
(

t
)
dt



T
R T 0
2R
R
V0

2
130
Un exemple d’application: longueur d’un arc de courbe
• On calcule la longueur
infinitésimale d’une portion de
courbe
ds
dy
dy  df  f ( x 0dx
( ds ) 2  ( dx ) 2  ( dy ) 2
dx
2
 dy 
ds  ( dx )  ( dy )  1    dx  1  f 2 ( x ) dx
 dx 
2
2
b
L

a
1  f  2 ( x ) dx
131
y
Application : surface d’un demi cercle
• Demi cercle supérieur de rayon R
𝑦=
𝑅
𝑅2 − 𝑥 2 = 𝑅 1 − 𝑥/𝑅
2
𝑅
𝑆 = න 𝑦 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑅 න 1 − 𝑥/𝑅 2 𝑑𝑥
−𝑅
𝑥
𝑅
= 𝑐𝑜𝑠𝜃 →
−𝑅
1 − 𝑥/𝑅
2
= 𝑠𝑖𝑛𝜃 et 𝑑𝑥 = −𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑑𝜃
𝟎
𝑆 = −𝑅 2 න 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜃
𝝅
0
1 − cos(2𝜃)
𝑠𝑖𝑛2 𝜃 =
→ න 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜃 = −𝜋/2
2
𝜋
𝝅 𝟐
𝑺 = .𝑹
𝟐
x
132
Calcul numérique des intégrales: une méthode simple
• Méthode des trapèzes
• Discrétisation :
hi=(xi+1-xi) et fi=f(xi)
xN
A

f i  f i 1
Ai 
hi
2
N
f ( x )dx 
x0

i 0
f i  f i 1
hi
2
• Si le pas est constant (h)
2
N
A  h
i 0
fi  fi 1
fN 
 f0
 h  f1  f 2    f N 1 

2
2 
2

0
x 2 dx 
8
 2.667
3
100 pas  2.627
133
Intégrales généralisées
• Intégrales où la fonction
1
à intégrer possède une
singularité
• Le truc: peut on passer à
la limite?
1
lim
 0

 
1

0

1
0

1
 lim 2 x    lim 2(1    2
  0
x  0
dx



dx
x
1
 lim
 0
X

dx
x
2
?
dx
dx
1

lim

lim
1


 1
2 X 
2
X 
X
x
x
1


dx
x
x
1
dx
2
134
Définitions plus précises
• Définition : I est convergente si la
A
limite existe (f non singulière en a)
I
X
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx
X A
a
a
• Cas de deux singularités en A et B
• F est définie en a
• Le résultat doit être indépendant
de a
B
vérifier, de manière générale, est
que l’aire comprise sous la courbe
soit une quantité finie.
X
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx  lim  f ( x)dx
X A
A
• La propriété « physique » à
a
X B
X
a
135
Convergence absolue.
• Convergence absolue
B
B
A
A
 f ( x) dx convergent e   f ( x)dx convergent e
f ( x)  x  s
• Si, pour x assez grand >X
et s>1
• Si l’on peut définir
X
A
• Alors
A

f ( x ) dx 
X

x  s dx 
X
•
• Donc, si x>1

a
x  s dx
X
A
• Or
 f ( x) dx

1
x  s 1
1 s

A
X


 f ( x) dx
X
Converge si s>1
converge
 f ( x)dx
X
converge
136


1
dx
 lim ln( x )  0    divergente
x x




e  x  lim  e  x  1  1  convergent e
x 
0
e
 x2
parfaitement intégrable sur [0,1]
Si x  1  e

e
x

2
dx 
1

e
0

1
 x2
dx 
 x2
 1/ x2
1
dx  convergente
2
x

2
137
Application: série de Fourier
• Décomposer un signal périodique f(t) en somme de
signaux périodiques
1
ai 
T
bi 
1
T
T

0
T

0
 2t 
f (t ) cos i
dt

 T 
 2
f (t ) sini
 T
~
a
f (t )  0 
2
~
?????? f (t )  f (t ) ??????
ça dépend .......

i

t dt (i  0)

 2
ai cos i
 T

 2
t   bi sini

 T

t

138
Premier essai: degré 10 – Super!
1 2 cos ( t  ) 2 cos ( 3 t  ) 2 cos ( 5 t  ) 2 cos ( 7 t  ) 2 cos ( 9 t  )




g( t ) := 
4
2
9
2
25
2
49
2
81
2





1
-1
1
139
Ordre 10 ou 100: le phénomène de Gibbs
g( t ) := 0.250000.31831 cos ( t  )0.11310 10
0.045473 cos ( 7 t  )0.69075 10
-14
-14
cos ( 2 t  )0.10610 cos ( 3 t  )0.68870 10
cos ( 8 t  )0.035368 cos ( 9 t  )0.11233 10
-14
-14
cos ( 4 t  )0.063660 cos ( 5 t  )0.64155 10
cos ( 10 t  )
-14
cos ( 6 t  )
140
Un autre exemple avec les mains: la transformée de
Fourier
• Connaître le contenu
fréquentiel d’un signal
• Mal défini pour un
cosinus. On considère
seulement
fˆ ( ) 



N
Cˆ N ( ) 
N tend vers l’infini?
2 ( -1 )


cos  0t e  jt dt

N
• Que vaut la limite quand
f (t )e  jt dt
( 1N~ )

 N~  
 sin


2
2
 



141
cos( 7t )
• N=10..100..1000, ω0=7
lim Cˆ N ( )  
N 
On a fabriqué un pic de largeur
nulle et d’intégrale !
Théorie des distributions
(Laurent Schwartz, Médaille
Fields)
142
cos(7t )  5 cos( 21t )
• Raies à ω0=7 et ω1=21 – Intégrale 
•
143
Equations différentielles
• Relation entre une fonction et ses dérivées
• Equations du premier ou du second ordre
• Equations d’ordre supérieur
• Equa. Diff. = Equation + conditions aux limites (ou conditions initiales)
• Equations du premier ordre
• Zoologie (à variable separables etc…)
• Méthodes de résolution
• Equations du second ordre
• Linéaires avec ou sans second membre
• Méthode de variation des constantes
• Applications
• Systèmes dynamiques (oscillateur, mécanique du point …)
• Thermique, vibrations, électromagnétisme (EDP)
• Hypothèse: une solution unique une fois les conditions initiales données
• 1 C.I. pour le premier ordre
• N C.I.pour l’ordre N
• Remarque: équation du mouvement = du second ordre (force versus
position
144
Exemple: chute d’un corps
Facile – no comments
• Equation fondamentale
de la dynamique
• Conditions initiales
• Solution
• Trajectoire parabolique
Devinette: un satellite suit une ellipse.
Où est la différence?
Une autre: la Lune ne tombe pas,
mais le stylo tombe. Qu’est ce qui
cloche?
 x 
 
X     x i  yj
 y

2
 mx   0
d X
m 2  mgj  
dt
my   mg
x(0)  x0 et x(0)  v x 0
y (0)  y0 et y (0)  v y 0
 x (t )  at  b
mx   0


1 2




m
y


mg
y
(
t
)


gt  ct  d


2
 x ( t )  v x 0 t  x0


1 2
 y (t )   2 gt  v y 0t  y0
145
Second exemple pour comprendre la signification
physique des termes: oscillateur forcé
v g (t )  L

di 1

i (t )dt  Ri (t )
dt C
d 2i i (t )
di

v g (t )  L 2 
R
C
dt
dt
v g (t )
d 2i R di
1


i (t ) 
2
L
dt
LC
L
dt
d 2i R di
2



0 i (t )   (t )
2
L dt
dt
Pertes (facteur
de qualité)
Résonance
(intérieure)
Comment l’oscillateur se comporte t’il
pour un générateur sinusoïdal
quelconque?
Excitation
(extérieure)
Combinaison du mode propre
d’oscillation (eq. Sans second
membre) et du terme forcé (le
second membre)
Le équations les plus fréquentes: systèmes du premier et
du second ordre (mais ce ne sont pas les seules)
• Système linéaires
e1 (t )  s1 (t ) 
  e1 (t )  e2 (t )  s1 (t )  s2 (t )
e2 (t )  s2 (t ) 
• Systèmes régis par une équation différentielle du type (à coefficients
constants réels)
ds(t )
A
 Bs (t )  e(t )
dt
d 2 s (t )
ds(t )
A

B
 Cs(t )  e(t )
2
dt
dt
• A, B et C sont les constantes du système (résistances, masse, capacité
calorifique…)
• e(t) est la grandeur d’entrée (tension, position, température…)
• s(t) est la grandeur de sortie (tension relevée sur oscilloscope…)
147
Equations du premier ordre à variables séparables
• Séparation de x et y
→intégration séparée
• Equation de départ
dy
 f ( x)  y  f ( x)
dx
• Résolution
dy  f ( x )dx  y ( x ) 
 f ( )d
x
• Cas particulier
y ( 0)  y 0  y ( x )  y 0 
 f ( )d
0
Notation: x = variable, y = fonction recherchée
148
Une autre….y est la fonction cherchée
• Equation type
y   g( y)
dy
dy
 g( y) 
 dx  x 
dx
g( y)

1
dy
 G( y )  y  G( x )
g( y)
dy
y  1  y 
dx
dy
dy
dx 
x
 c  2 1  y  c  G( y )
1 y
1 y
C. limites
2
x c
 y     1
2 2
On vérifie?
149
Une dernière, mais le principe est le même
f ( x)
y 
g( y)
• Equation type
y 
f ( x ) dy

 f ( x )dx  g ( y )dy 
g ( y ) dx
 f ( x)dx   g ( y)dy  c
1
F ( x )  G ( y )  c  y  GF ( x )  c
x3
y3 x4
2
3
2
3
y   2  y y  x  y dy  x dx 

c
3
4
y
1/ 3
 3x 4

y  
 d 
 4

y (0)  y0  d  y03
y (T )  yT  d 
Exemples
Conditions initiales
yT3
3T 4

4
150
Equations homogènes du premier ordre
 y
y  f  
x
• Equation type
• Changement « naturel » de
fonction
y  tx  y   t  xt   f (t )
f (t )  t  x
La solution

dx

x

dt
dx
dt


dx
x
f (t )  t
dt
 y
 F (t )  F  
f (t )  t
x
 y
ln( x )  C  F  
x
1
 y  x F ln( x )  C 
t( x) 
y
x
151
x
Un exemple
2

 y 2 y  2 xy  0
• On divise tout par x 
y2 
y
2y x
 y
1 
 y  2  0  y 

f
 
2 
2
2

x
x 
1 y x
x

y
t( x) 
x
f (t )  t  x
dt
dx
dt


dx
x
f (t )  t
dx
dt
1 t2
2t 
1

 3
dt   
dt
2
x
f (t )  t t  t
t 1 t 
xy
2
2
t
2
x


k

x

y
 Cy  0
ln x  ln t  ln 1  t  c  ln
c
2
2
2
x y
1 t
t
y/x
yx


1  t2 1  y2 / x2 x2  y2
152
La solution: des cercles
153
Equation sans second membre et à coefficients constants
𝐴𝑦′ + 𝐵𝑦 = 0
• Il suffit d’écrire
𝑦′
𝐵
= − = 𝛼 → 𝑙𝑛 𝑦 = 𝛼𝑥 + 𝐾1
𝑦
𝐴
𝑦 = ±𝑒 𝐾1 ∙ 𝑒 𝛼𝑥 = 𝐾 ∙ 𝑒 𝛼𝑥 , 𝐾 ∈ ℝ
• Formellement, K est non nul, mais on voit que K=0 donne également
une solution.
• Par identification, K=y(0), correspondant à une condition initiale
𝒚(𝒙) = 𝒚(𝟎) ∙ 𝒆−𝑩𝒙/𝑨
154
Equation sans second membre et à coefficients non constants
𝐴(𝑥)𝑦′ + 𝐵(𝑥)𝑦 = 0
• Il suffit d’écrire
𝑦′
𝐵 𝑥
=−
= 𝛼(𝑥) → 𝑙𝑛 𝑦 = න 𝛼 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐾1
𝑦
𝐴 𝑥
𝑦 = ±𝑒 𝐾1 ∙ 𝑒 ‫𝛼 ׬‬
𝑡 𝑑𝑡
= 𝐾 ∙ 𝑒‫𝛼 ׬‬
𝑡 𝑑𝑡
,𝐾 ∈ ℝ
• Formellement, K est non nul, mais on voit que K=0 donne également
une solution.
• Par identification, K=y(0), correspondant à une condition initiale
𝒚(𝒙) = 𝒚(𝟎) ∙ 𝒆− ‫𝑩 ׬‬
𝒕 /𝑨(𝒕)∙𝒅𝒕
155
Equation à coefficients non constants, cas général
𝐴(𝑥)𝑦′ + 𝐵(𝑥)𝑦 = 𝜑(𝑥)
Théorème: la solution générale de cette équation est la somme de la
solution générale de l’équation sans second membre et d’une solution
particulière de l’équation complète
𝒚 𝒙 =𝑲∙𝒆
−‫׬‬
𝑩 𝒕
∙𝒅𝒕
𝑨 𝒕
+ 𝒚𝒑 (𝒙)
On détermine yp par divination quand c’est facile, par méthode de la
variation de la constante quand c’est plus difficile
Attention: Ici, 𝐾 ≠ 𝑦(0). On détermine K à partir des conditions initiales
une fois que l’on a l’expression de la solution complète
156
Equations linéaires et combinaison linéaire de solution (marche
aussi pour les équations linéaires du second ordre)
• Théorème : si F et G sont deux solutions de l’équation sans
second membre alors 𝐾 𝑥 = 𝜆𝐹 𝑥 + 𝜇𝐺 𝑥 l’est aussi
K ( x )  F ( x )  G ( x )
 K ( x )  F ( x )  G ( x )
• .
 AK   BK   ( AF   BF )   ( AG   BG )  0
157
Cas particulier: équation à coefficients constants
𝐴𝑦 ′ + 𝐵𝑦 = 𝐶, 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴, 𝐵 𝑒𝑡 𝐶 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑠
Théorème: la solution générale de cette équation est la somme de la
solution générale de l’équation sans second membre et d’une solution
particulière de l’équation complète, et donc, de manière évidente:
𝒚 𝒙 =𝑲∙
Condition initiale: 𝑦 0 = 𝐾 +
𝐶
𝐵
𝑩𝒙
−𝑨
𝒆
+ 𝑪/𝑩
→ 𝐾 = 𝑦 0 − 𝐶/𝐵
158
Méthode de variation de la constante. Recherche de yp
𝐴(𝑥)𝑦′ + 𝐵(𝑥)𝑦 = 𝜑(𝑥)
Une solution de l’équation sans second membre est
𝑦𝐺 𝑥 = 𝑒
−‫׬‬
𝐵 𝑡
∙𝑑𝑡
𝐴 𝑡
Une solution particulière de l’équation complète est
𝝋(𝒕)
𝒚𝒑 (𝒙) = 𝒚𝑮 (𝒙) ∙ න
∙ 𝒅𝒕
𝑨(𝒕) ∙ 𝒚𝑮 (𝒕)
159
𝝋(𝒕)
𝒚𝒑 (𝒙) = 𝒚𝑮 (𝒙) ∙ න
∙ 𝒅𝒕
𝑨(𝒕) ∙ 𝒚𝑮 (𝒕)
𝝋(𝒕)
𝝋(𝒙)
𝒚′𝒑 (𝒙) = 𝒚′𝑮 (𝒙) ∙ න
∙ 𝒅𝒕 +𝒚𝑮 (𝒙) ∙
𝑨(𝒕) ∙ 𝒚𝑮 (𝒕)
𝑨(𝒙) ∙ 𝒚𝑮 (𝒙)
𝐴 𝑥 ∙ 𝑦 ′ 𝑝 + 𝐵 𝑥 ∙ 𝑦𝑝 = 𝐴 𝑥 ∙ 𝑦 ′ 𝐺 + 𝐵 𝑥 ∙ 𝑦𝐺 ∙ ‫׬‬
𝜑(𝑡)
∙
𝐴(𝑡)∙𝑦𝐺 (𝑡)
𝐴 𝑥 ∙ 𝑦 ′ 𝐺 + 𝐵 𝑥 ∙ 𝑦𝐺 = 0 (définition de yg)
𝑨 𝒙 ∙ 𝒚′ 𝒑 + 𝑩 𝒙 ∙ 𝒚𝒑 = 𝝋 𝒙
𝑑𝑡 +𝜑 𝑥
160
Un exemple
𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑥
𝑦𝐺 = 𝑒 −2𝑥
𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑦𝐺 (𝑥) ∙ න
𝜑(𝑡)
∙ 𝑑𝑡
𝐴(𝑡) ∙ 𝑦𝐺 (𝑡)
𝑦𝑝 𝑥 = 𝑒 −2𝑥 ∙ න 𝑡 ∙ 𝑒 2𝑡 ∙ 𝑑𝑡
1 2𝑡
𝑢 = 𝑡, 𝑣 = 𝑒 → 𝑢 = 1, 𝑣 = 𝑒
2
1
1
2𝑡
2𝑥
2𝑡
2𝑥
න 𝑡 ∙ 𝑒 ∙ 𝑑𝑡 = 𝑥/2 ∙ 𝑒 − න 𝑒 𝑑𝑡 = 𝑒 ∙ 𝑥/2 −
2
4
′
2𝑡
′
𝟏
𝒚𝒑 = 𝒙/𝟐 −
𝟒
161
Application: circuit RC forcé

1
Ri 
idt  v g (t )
C
i
Ri    v g
C
1

RC
i0  De t
i p  e t
t

e v g ( )d
0
R
i  De t  e t
Circuit RC fermé
sans générateur
t

0
D  i (0)
e v g ( )d
R
162
Exemples: C=10-6F, R=100Ω, i0=2A
• Décharge simple
• Rampe de tension (négative)
• Générateur sinusoidal
163
Equations linéaires du second ordre dans C
• LINEAIRES: si F et G solutions, alors aF+bG solution, pour a et b
constantes
• Equations linéaires sans second membre: solutions générales
• Equations avec second membre (système forcé) avec variation
de la constante
• Cas important: équations avec coefficients constants
a ( x ) y   b( x ) y   c( x ) y  0
 2 conditions initiales
Equation « homogène » sans
second membre
On se donne y et y’ pour x
donné
Ou y pour deux x donnés
Ou y’ pour deux x donnés
164
Théorème, déjà vu:
• si F et G solutions, alors F+G solution, pour a et b
constantes
a ( x ) F   b( x ) F   c( x ) F  0
a ( x )G   b( x )G   c( x )G  0
_______________________
a ( x )( F  G )  b( x )( F  G )  c( x )( F  G )  0
165
Théorème d’existence et d’unicité
• Théorème: Il existe deux familles de solutions linéairement
indépendantes de l’équation homogène. La solution générale est
combinaison linéaire de deux de ces solutions.
• Théorème équivalent: Il existe 2 solutions particulières
indépendantes (de rapport non constant) C et S telles que
• C(0)=1, C’(0)=0, S(0)=0, S’(0)=1
y( x)  y0C( x)  y0 S ( x)
• où y0 et y’0 sont les conditions initiales (fonction et dérivée)
166
Exemple: oscillateur harmonique
y    2 y  0
C (0)  1
C ( x )  cos(x )  C ( x )   sin(x )  
C (0)  0
 S ( 0)  0
S ( x )  sin(x )  S ( x )  cos(x )  

 S (0)  1
1
 y  y0C ( x )  y0 S ( x )
167
Equations du second ordre à coefficients constants et
sans second membre
• Equations du type
ay  by  cy  0
t
ye
• On cherche deux solutions
indépendantes de la forme
t
y   e
• On a
2 t
t
t
a e  be  ce  0
a  b  c  0
2
2 t
y    e
Equation caractéristique
168
Résolution de l’équation caractéristique
a  b  c  0
2
• Deux solutions simples réelles
• Une solution double réelle
• Deux solutions simples conjuguées
• Purement imaginaires
• Avec partie réelle non nulle
• Peut on avoir une autre situation?
169
Théorème :
• Si les zéros de l’équation
caractéristique sont tous
deux réels, distincts, on a
des solutions en
• Si les zéros sont
égaux,donc réels on a
des solutions en
y  C1e
1x
 C2 e
2 x
y  ex C1 x  C2 
• Si les zéros sont
complexes, donc
conjugués, les solutions
sont alors :
y  e x C1 cos x  C2 sin x
    i
170
Cas un: deux zéros réels distincts
ay  by  cy  0
y   3 y   y  0
a 2  b  c  0
  3  1  0
x
2
2x
e et e solutions élémentair es
indépendan tes (e x /e2 x  cte )
1  1

1  2
y  C1e  C2e  CI
x
2x
171
Les conditions initiales
y  3 y  y  0
y  C1e x  C2e 2 x
 y   C1e x  2C2e2 x
y (0)  y0 
C1  C2  y0  C1  2 y0  y 



y (0)  y0  C1  2C2  y0 
C2  y0  y0 
172
Conclusion1:
• Si les zéros de l’équation
caractéristique sont tous deux
réels, distincts, on a des
solutions en
y  C1e1x  C2e2 x
 y  1C1e1x   2C2e2 x
• Conditions initiales (par
exemple)
y (0)  y0 
C1  C2  y0 

  C1 , C2 
y(0)  y0  1C1   2C2  y0 
173
Cas deux: une solution double réelle
ay  by  cy  0
y   2 y   y  0
a 2  b  c  0
  2  1  0
 1
2
x
x
e et xe solutions élémentair es
indépendan tes (e x /xe x  cte )
On vérifie?
y  Ae  Bxe  C1e x  C2   CI
x
x
x
174
Conditions initiales
y  C1e  x  C2 
x
x
x

 y  C1 (1  x )e  C1C2e
y0  C1C2



y0  C1  C1C2  C1 1  C2 
175
Conclusion2
• Si les zéros sont égaux,donc réels on a des solutions
en
ye
x
C1 x  C2 
y0  C1C2


y0  C1  C1C2  C1 1  C2 
176
Cas 3: deux imaginaires purs (donc opposés)
ay  by  cy  0
a 2  b  c  0
cos(3x) et sin(3x)solu tions élémentair es
indépendan tes
y   9 y  0
 90
   3i
2
On vérifie?
y  C1 cos(3x)  C2 sin(3x)  CI
177
Conditions initiales
y  C1 cos(3x )  C2 sin(3x )
 y   3C1 sin(3x )  3C2 cos(3x )
y 0  C1 


y 0  3C2 
178
Cas 3 bis: zéros conjugués
ay  by  cy  0
y   4 y   13 y  0
a 2  b  c  0
  4  13  0
   2  3i
e
e
( 2  3i ) x
( 2 3i ) x
2
e e
2 x 3ix
2 x 3ix
e e
Amortissement
oscillation
y  C1e2 x cos(3x)  C2e2 x sin(3x)  e2 x C1 cos(3x)  C2 sin(3x)
Question à 50c: où sont passés les complexes?????
179
Conclusion 3
• Si les zéros sont complexes, donc conjugués, les
solutions sont alors :
ye
x
C1 cos x  C2 sin x
    i
• Les solutions sont réelles car les CI le sont
180
Equations avec second membre – exemple: oscillateur forcé
a( x ) y   b( x ) y   c( x ) y  ( x )
 deux conditions limites
• Théorème : La solution générale de l’équation avec second
membre est la somme de la solution générale de l’équation sans
second membre, et d’une solution particulière de l’équation
complète.
• Le hic: comment trouver la solution particulière?
• Variation des constantes!
181
La solution (sans démonstration). Nous ne l’utiliserons pas, mais
ceci donne la forme générales quand on veut une expression
thoérique
• Solution particulière et solution totale
a( x ) y   b( x ) y   c( x ) y  ( x )
 deux conditions limites
 x b(t ) 
w( x )  exp  
dt 
 0 a (t ) 
x
y p ( x)  S ( x)

0
x
( )C ( )
( ) S ( )
d  C ( x )
d
w( )
w( )

0
x
y ( x )  y 0 C ( x )  y 0 S ( x )  S ( x )

0
x
( )C ( )
( ) S ( )
d  C ( x )
d
w( )
w( )

0
182
Interprétation physique des solutions
• La solution particulière de l’équation complète correspond
au comportement à long terme du système quand celui-ci
est amorti (coefficient en y’)
• Elle correspond à son comportement à long terme quand
on démarre le système avec une énergie interne nulle
• On peut donc la deviner (ou au moins deviner sa forme)
dans le cas d’un système physique ou technique )
183
Equations à coefficients constants
• Tous les coefficients sont
constants
ay   by   cy  
• Une solution particulière
évidente est 𝑦𝑝 =
Φ
𝑐
• Si Y est la solution générale
de l’équation sans second
membre, alors

y Y 
c
184
Exemple: circuit RLC série fermé
Tension aux bornes du condensateur
• i=Cdu/dt
• Equation:𝑈 − 𝑅𝐶 ∙ 𝑈 ′ + 𝐿𝐶 ∙ 𝑈 ′′ = 0
  R C  4LC
2
<0
2
0
0R2
L
 pasd ' oscillations
C
0R2
L
 lim ite
C
0R2
L
 oscillations
C
>0
185
Circuit forcé – Etape 1
y   y   y  cos(4t )
𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + 𝑦 = 0
𝛼2 + 𝛼 + 1 = 0
−1 ± 𝑖 3
α=
.
2
𝑦𝑠𝑠𝑚 = 𝑒
−𝑥/2
∙ 𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠
3
∙ 𝑥 + 𝐵 ∙ 𝑠𝑖𝑛
2
3
∙𝑥
2
𝑒 −𝑥/2 ∙ 𝑐𝑜𝑠
3
∙𝑥
2
186
Oscillateur forcé - fin
y   y   y  cos(4t )
Solution particulière:
𝑦𝑝 = 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 4𝑡 + 𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛(4𝑡)
𝑦′𝑝 = −4𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛 4𝑡 + 4𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠(4𝑡)
𝑦′′𝑝 = −16𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 4𝑡 − 16𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛(4𝑡)
𝑦′′𝑝 +𝑦′𝑝 +𝑦𝑝 = −15𝑎 + 4𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠 4𝑡 − 4𝑎 + 15𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛 4𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 4𝑡
𝒂 = −𝟏𝟓/𝟐𝟒𝟏
−𝟏𝟓𝒂 + 𝟒𝒃 = 𝟏
൝
→ቊ
𝒃 = 𝟒/𝟐𝟒𝟏
𝟒𝒂 + 𝟏𝟓𝒃 = 𝟎
187
𝑦 = 𝑒−𝑥/2 ∙ 𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠
3
∙ 𝑥 + 𝐵 ∙ 𝑠𝑖𝑛
2
3
∙𝑥
2
−
15
4
∙ 𝑐𝑜𝑠 4𝑡 +
∙ 𝑠𝑖𝑛(4𝑡)
241
241
On observe le régime transitoire
(éq. Sans second membre,
régime libre) et le régime à long
terme (forcé, solutionparticulière)
188
Calcul vectoriel
• Notion générale de vecteur, bases, norme
• Produit scalaire
• Droites et plans, vectoriels et affines
• Produit vectoriel
• Equation d’une droite, d’un plan
• Normale à une droite ou à un plan
• Applications: distance d’un point à une droite, à un plan
• Systèmes d’équations linéaires
189
Définitions générales
• Un vecteur permet de définir une direction, un sens et une intensité.
Exemple: une force de 5N dirigée verticalement vers le bas
• On peut multiplier un vecteur par un réel: trois personnes exerçant
une force de 5N de même direction et de même sens exercent au
total 15 N
• On peut ajouter des vecteurs: deux personnes qui exercent chacun
une force exercent au total une force résultante qui dépend des sens
et des intensités de deux force initiale
190
• De manière générale, un espace vectoriel réel E est un
ensemble au sein duquel on sait définir une addition et
une multiplication (externe) par un réel
• 𝐴 ∈ 𝐸 𝑒𝑡 𝐵 ∈ 𝐸 ⟹ 𝐴 + 𝐵 ∈ 𝐸
• 𝐴 ∈ 𝐸 𝑒𝑡 𝜆 ∈ ℝ ⟹ 𝜆𝐴 ∈ 𝐸
• Deux vecteurs A et B sont dits colinéaires s’ils sont de
même direction donc si l’on peut écrire B = 𝜆𝐴, 𝜆 ∈ ℝ
• Nous indiquerons par la suite les vecteurs avec des flèches mais ce
n’est pas indispensable…
• L’”intensité”du vecteur s’appelle sa norme, elle est positive
• Exemples de vecteurs et norme associée
La position d’un point par rapport à une origine / la distance (m)
Une force / l’intensité de la force (N)
Une vitesse / la vitesse en m/s
La position et la vitesse (en m/s) d’une masse située au bout d’un
ressort (x,v) / norme non définie…
191
Quelques questions qui demandent le calcul vectoriel
• Travail d’une force
• Calculer le champ magnétique créé par un fil parcouru
par un courant
• Calculer la force qui s’exerce sur un proton en
mouvement
• Pourquoi et comment un patineur en rotation et qui
resserre les bras accélère t’il?
• Pourquoi et comment le pendule de Foucault voit il son
plan d’oscillation varier?
192
Somme et produit par un réel: les deux seules choses qui
définissent des vecteurs (même pas besoin de la norme)
 
X Y

Y

X

X avec   0
 
X Y
 


X Y  X  Y


X   X

X avec   0
193
Espaces vectoriels et affines
• Un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs
• Ex: l’ensemble des vecteurs colinéaires à un vecteur donné est une droite
vectorielle, et est constitué de vecteurs uniquement
• Un espace affine est constitué de points. Deux points permettent de définir un
vecteur
• Si A et B permettent de définir un vecteur 𝐴𝐵 et si (A,B,C,D) est un
parallélogramme, alors D et C définissent le même vecteur: 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶
(mêmes direction et sens, même norme)
B
A
C
• 𝑨𝑩 + 𝑩𝑪 = 𝑨𝑪 (𝑪𝒉𝒂𝒔𝒍𝒆𝒔)
D
• Deux droites affines parallèles ont le même vecteur directeur.
• Deux droites vectorielles parallèles sont…identiques
194
Définitions/propriétés
• Combinaison linéaire (2 vecteurs ou plus)
• Définition : Deux vecteurs sont indépendants s’ils ne
•
•
•
•
•
•
sont pas colinéaires.
n vecteurs forment un système libre, par opposition à
un système lié) si aucun de ses vecteurs ne peut
s’écrire comme combinaison linéaire des autres.
La dimension d’un espace vectoriel est le plus grand
nombre de vecteurs qui puissent former un système
libre.
On appelle base tout système libre de n vecteurs, n
étant ici la dimension de l’espace considéré.
Théorème : Tout espace vectoriel admet des bases.
Corolaire: tout vecteur de l’espace vectoriel peut
s’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de
base
Les coefficients sont les coordonnées (ou
composantes) du vecteur
• Repère dans un espace affine: Une base + un point
• Pas forcément orthonormé
• Nous noterons les vecteurs sous forme
colonne sauf quand il n’y a pas d’ambiguité.


X  Y


1 X 1    N X N

k
M
O

j

i

  
i , j, k
  
OM  ai  bj  ck


195
Dimension = nombre de degrés de liberté
• Les trois degrés de liberté de l’espace ambiant définissent
•
•
•
•
un espace de dimension 3.
L’espace ambiant est un espace affine de dimension 3
L’ensemble des trajectoires d’un point dans l’espace
ambiant est déterminé par 3 coordonnées de position et 3
composantes de vitesse. C’est un espace à 6 dimensions
appelé espace des phases (6N dimensions si N points)
L’ensemble des polynômes de degré n est un espace
vectoriel de dimension (n+1)
L’ensemble des solutions d’une équation linéaire du
second membre et sans secon membre est un espace
vectoriel de dimension 2
196
Divers
• Combinaison linéaire de deux vecteurs (ici en dimension 2)
Si 𝐴Ԧ =
𝑥𝐴
𝑦𝐴
𝑒𝑡 𝐵 =
𝑥𝐵
𝑦𝐵
alors λ𝐴Ԧ + 𝜇𝐵 =
𝜆𝑥𝐴 +𝜇𝑥𝐵
𝜆𝑦𝐴 +𝜇𝑦𝐵
• Vecteur défini par deux points
𝑀=
𝑥𝑀
𝑦𝑀
𝑒𝑡 𝑁 =
𝑥𝑁
𝑦𝑁
alors 𝑀𝑁 =
𝑥𝑁 −𝑥𝑀
𝑦𝑁 −𝑦𝑀
• Milieu M d’un segment [A,B], O étant une origine quelconque
𝑂𝑀 =
• Barycentre de n points Xi
𝑂Ω =
1
∙ 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵
2
1
∙ ෍ 𝜆𝑖 ∙ 𝑂𝑋𝑖
𝜆1 + ⋯ 𝜆𝑛
• Indépendant du point d’origine (heureusement!)
𝑂𝐴 + 𝐴Ω =
1
1
∙ ෍ 𝜆𝑖 ∙ 𝑂𝐴 + 𝐴𝑋𝑖 = 𝑂𝐴 +
∙ ෍ 𝜆𝑖 ∙ 𝐴𝑋𝑖
𝜆1 + ⋯ 𝜆𝑛
𝜆1 + ⋯ 𝜆𝑛
197
Produit scalaire
• Par définition, le produit scalaire de deux vecteurs est le nombre réel
𝑋Ԧ ∙ 𝑌 = 𝑋Ԧ ∙ 𝑌 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃
où 𝜃 est l’angle entre les deux vecteurs
• En particulier 𝑋Ԧ ∙ 𝑋Ԧ = 𝑋Ԧ
2
• Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit
scalaire est nul.
Le produit scalaire commute 𝑋Ԧ ∙ 𝑌 = 𝑌 ∙ 𝑋Ԧ
Il se distribue 𝑋Ԧ ∙ 𝑌 + 𝑍Ԧ = 𝑋Ԧ ∙ 𝑌 + 𝑋Ԧ ∙ 𝑍Ԧ
𝛼 ∙ 𝑋Ԧ ∙ 𝑌 = 𝛼𝑋Ԧ ∙ 𝑌 = 𝑋Ԧ ∙ 𝛼𝑌 , 𝛼 ∈ ℝ
𝜶𝑿 = 𝜶 ∙ 𝑿
1
𝑋
Ԧ de même sens et
∙ 𝑋Ԧ est colinéaire à 𝑋,
de norme 1. On a ainsi normalisé le vecteur 𝑋Ԧ
• Théorème: le vecteur 𝑛 =
198
Le produit scalaire est une projection
• 𝑛 = 1, 𝑛 vecteur directeur de la droite, O un point
quelconque
• 𝑂𝐴 = 𝑂𝐻 + 𝐻𝐴
• 𝑛 ∙ 𝑂𝐴 = 𝑂𝐻 (distance algébrique, avec un signe)
A
H
O
𝒏
Le produit scalaire est un NOMBRE
199
Base orthornormée (dimension 3 pour l’exemple)
• Une base 𝑖Ԧ, 𝑗Ԧ, 𝑘 est une base orthonormée si et seulement si
•
𝑖Ԧ = 𝑗Ԧ = 𝑘 = 1
• 𝑖Ԧ ∙ 𝑗Ԧ = 𝑗Ԧ ∙ 𝑘 = 𝑘 ∙ 𝑖Ԧ = 0
𝑥𝐴
• Théorème: Si la base est orthonormée et si 𝐴Ԧ = 𝑦𝐴 et 𝐵 =
𝑧𝐴
𝑥𝐵
𝑦𝐵 alors 𝐴Ԧ ∙ 𝐵 = 𝑥𝐴 ∙ 𝑥𝐵 + 𝑦𝐴 ∙ 𝑦𝐵 + 𝑧𝐴 ∙ 𝑧𝐵
𝑧𝐵
• Si la base n’est pas orthonormée, la formule est plus
compliquée
200
Démonstration
𝐴Ԧ = 𝑥𝐴 ∙ 𝑖Ԧ + 𝑦𝐴 ∙ 𝑗Ԧ + 𝑧𝐴 ∙ 𝑘
𝐵 = 𝑥𝐵 ∙ 𝑖Ԧ + 𝑦𝐵 ∙ 𝑗Ԧ + 𝑧𝐵 ∙ 𝑘
𝐴Ԧ ∙ 𝐵 = 𝑥𝐴 ∙ 𝑥𝐵 ∙ 𝑖Ԧ ∙ 𝑖Ԧ + 𝑥𝐴 ∙ 𝑦𝐵 ∙ 𝑖Ԧ ∙ 𝑗Ԧ + ⋯
• Si la base est orthonormée, les carrés scalaires valent 1
et les produits croisés sont nuls, et alors
→ 𝐴Ԧ ∙ 𝐵 = 𝑥𝐴 ∙ 𝑥𝐵 + 𝑦𝐴 ∙ 𝑦𝐵 + 𝑧𝐴 ∙ 𝑧𝐵
• Sinon, le produit scalaire dépend des produits scalaires
des vecteurs de base entre eux.
• On n’a pas toujours une base orthonormée
201
Angle entre deux vecteurs
𝑋 ∙ 𝑌 = 𝑋 ∙ 𝑌 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
𝑋∙𝑌
𝑋 ∙ 𝑌
𝑋∙𝑌
𝑋 ∙ 𝑌
∈ [0, 𝜋]
Angle interne
Exemple:𝑋Ԧ = 1,2,3 𝑒𝑡 𝑌 = 2,1,0
4
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
70
202
Equation d’un plan dans un espace de dimension 3
• Les vecteurs (x,y,z) perpendiculaires à un vecteur donné 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐)
forment, un dimension 3, un plan vectoriel
• L’équation du plan vectoriel est donc
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 0
dont 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) est un vecteur normal
• Plan affine passant par un point A fixé.
A et B (x,y,z) sont un plan perpendiculaire à 𝑛 si 𝐴𝐵 est perpendiculaire
à𝑛
𝑎 𝑥 − 𝑥𝐴 + 𝑏 𝑦 − 𝑦𝐴 + 𝑐 𝑧 − 𝑧𝐴 = 0
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑐𝑡𝑒
est l’équation d’un plan affine dont 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) est un vecteur normal
203
Exemple: distance D de M(1,2,3) au plan 3x+2y+z=7
Position du point par rapport au plan
A(1,1,2) appartient au plan et 𝐴𝑀 = (0,1,1)
𝐴𝑀 = 𝐴𝐻 + 𝐻𝑀
𝑛 = (3,2,1) est un vecteur normal
𝑛 ∙ 𝐴𝑀 = 𝑛 ∙ 𝐻𝑀 = ± 𝑛 ∙ 𝐻𝑀 = ± 𝑛 ∙ 𝐷
±𝐷 =
𝑛∙𝐴𝑀
𝑛
=
3
,
14
positif, donc M est du côté du plan donné par le sens de 𝑛
Bis: prendre A (0,0,7)….
204
Produit vectoriel

X
• un système de trois vecteurs est dit
direct si l’orientation des vecteurs,
dans l’ordre indiqué, correspond à
l’orientation des trois premiers doigts
de la main droite, dans l’ordre
(pouce, index, majeur).

  
X , Y, Z

Y

• Pas forcément orthogonalité
• Correspond au sens trigonométrique
dans le plan, qui n’a plus de sens en
3 dimensions ou plus
• Dans un espace, quelle que soit la
dimension, il n’y a que deux
orientations possibles

Z
205
Plusieurs définitions: (i,j,k) direct quand
• Règle du tire-bouchon
• Si l’on tourne de i vers j,
alors k est orienté dans le
sens où avance le tirebouchon
• Règle de la main droite
• La main tendue donne le
sens de i
• Une balle dans la paume
donne le sens de j
• Le pouce donne le sens de
k
• Règle des trois doigts de la

X

Y
main droite

Z
206
Produit vectoriel, définition:
• On définit 𝑍Ԧ = 𝑋⋀𝑌 comme étant le seul vecteur vérifiant
•
𝑿, 𝒀, 𝒁 est direct
• Z orthogonal à X et Y
•
𝒁 = 𝑿 ∙ 𝒀 ∙ 𝒔𝒊𝒏𝜽 (l’angle étant compté en zéro et 𝜋)
• Propriétés
• Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul

• Le produit vectoriel est anticommutatif
 

• Plus généralement
Le produit vectoriel
est un VECTEUR


X Y - Y X




 
X  Y  X  Y   X  Y
 
 
       
X  Y  A B  X  A X  B  Y  A Y  B

 
   
X  X Z  X  Z X  0

  
 
  
X  Y Z  Z X Y  Y Z X
   
   
 

  






207
Cas d’une base orthonormée directe
• La définition du produit vectoriel implique immédiatement que
si 𝑖Ԧ, 𝑗Ԧ, 𝑘 est orthonormée directe alors
𝑖Ԧ ∧ 𝑗Ԧ = 𝑘 et 𝑗Ԧ ∧ 𝑖Ԧ = −𝑘
𝑗Ԧ ∧ 𝑘 = 𝑖Ԧ et 𝑘 ∧ 𝑗Ԧ = −Ԧ𝑖
𝑘 ∧ 𝑖Ԧ = 𝑗Ԧ et 𝑖Ԧ ∧ 𝑘 = −Ԧ𝑗
𝑖Ԧ ∧ 𝑖Ԧ = 𝑗Ԧ ∧ 𝑗Ԧ = 𝑘 ∧ 𝑘 = 0
• Conséquence: Si 𝑋 = 𝑥Ԧ𝑖 + 𝑦Ԧ
𝑗 + 𝑧𝑘 et 𝑌 = 𝑎Ԧ𝑖 + 𝑏Ԧ𝑗 + 𝑐𝑘
𝑋 ∧ 𝑌 = 𝑥𝑎Ԧ𝑖 ∧ 𝑖Ԧ + 𝑥𝑏Ԧ𝑖 ∧ 𝑗Ԧ + ⋯ + 𝑦𝑎Ԧ𝑗 ∧ 𝑖Ԧ + ⋯
𝑋 ∧ 𝑌 = 0 + 𝑥𝑏𝑘 + ⋯ − 𝑦𝑎𝑘 + ⋯
𝑿 ∧ 𝒀 = 𝒚𝒄 − 𝒛𝒃 ∙ 𝒊Ԧ + 𝒛𝒂 − 𝒙𝒄 ∙ 𝒋Ԧ + 𝒙𝒃 − 𝒚𝒂 ∙ 𝒌
208
Cas d’une base orthonormée: calcul pratique
• Règle des déterminants
 x  a   yc  zb 
 y   b    za  xc 
    

 z   c   xb  ya 
 x  a   yc  zb 
 y   b    za  xc 
    

 z   c   xb  ya 
209
Un exemple avec les deux produits
  
X Y  Z
1 2   1
 2   1    5 
     
 3 1   3
 

( X  Y)  X
 

( X  Y)  Y
 1 *1  5 * 2  3 * 3  0
 1 * 2  5 *1  3 *1  0

 
 
 
X  Y  X Y sin X , Y

 
 
 
X  Y  X  Y cos X , Y



Z  1  25  9  35

X  14

Y  6

Z
35
35

   sin 
84
14 6
X Y
 
 
X  Y  7  X Y cos   cos  
35 49

1
84 84
  24.6 deg
7
14 6

49
84
210
Distance d’un point à une droite
• 𝑛 vecteur directeur de la droite, O un point quelconque
• 𝑂𝐴 = 𝑂𝐻 + 𝐻𝐴
• 𝑛 ∧ 𝑂𝐴 = 𝐴𝐻 ∙ 𝑛 → 𝐴𝐻 =
𝑛∧𝑂𝐴
𝑛
A
H
O
𝒏
Le produit vectoriel est un VECTEUR
211
Problèmes de magnétisme


  
F  q E v B
𝜇0 ∙ 𝐼
𝑑𝐵 =
∙ 𝑑 𝑙Ԧ ∧ 𝑟Ԧ
3
4𝜋𝑟
Champ élémentaire

• Force électrique et force
magnétique
• Champ crée par un courant (loi de
Biot et Savart)
Fil rectiligne infini
Solénoïde (inductance)
212
Interaction entre deux charges en
mouvement
• Champ magnétique crée
par une charge en
mouvement
• Interaction entre deux
charges en mouvement
213
Un peu de géométrie
• Vecteur directeur de la droite formant l’intersection de
deux plans
• 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 6
• 𝑥−𝑦+𝑧 =3
• Vecteurs normaux: (1,2,3) et (1,-1,1)
1
1
5
• 2 ∧ −1 = 2 convient…..
3
1
−3
C’est pas
bioutiful??
214
Une autre interprétation du produit vectoriel
• Orthogonal au plan qui
contient X et Y
 

X Y  X
  
X Y  Y
 
 
 
X  Y  X Y sin X , Y


Y
h

X



 
Y sin X , Y  h
 
X  Y  2 * aire du triangle  aire du paralélogr amme

215
Applications
• Moment d’un vecteur par
 

 

M A X  AB  X
rapport à un point
• vecteur
• Moment d’un vecteur par
rapport à un axe
• scalaire
M
 
 

  
   
X  M A X  u   AB  X   u


216
Un autre exemple: levier


Feff  F cos   j
• La « force qui compte » est
• L’effet est d’autant plus important
•
•
•
•
que le « bras de levier » OM est
grand
La seule quantité importante est
donc
Ceci doit être indépendant de la
position angulaire dans le plan
On définit donc ainsi le moment de
la force par
La rotation, et tout ce qui entraîne
une rotation, sera donc associé à
la notion de moment
OM  F cos   OM  F sin 

 OM  F

M F / O

F

j


i

O
M
217
Vecteur rotation: une façon de voir les choses
• ω: vitesse angulaire
(radians/seconde)
• Comment décrire quelque chose
qui change tout le temps?


X
O

v
v
OX  v
   

R OX
OX 2

1  
  2 OX  v
R
Moment cinétique (ici un seul point) analogue à la quantité de mouvement
218
Sytèmes d’équations linéaires
• On considère les systèmes linéaires de plusieurs
équations à plusieurs inconnues
𝑀11 𝑥1 + ⋯ + 𝑀1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑦1
⋯
•ቐ
p équations à n inconnues
𝑀𝑝1 𝑥1 + ⋯ + 𝑀𝑝𝑛 𝑥𝑛 = 𝑦𝑝
• Un tel système peut admettre une solution unique,
aucune solution, ou une infinité de solutions
• Quand il y a plus d’équations que d’inconnues, il n’y a en
général pas de solution stricte, mais on sait en définir au
sens des moindres carrés (exemple: déterminer
expérimentalement deux paramètres avec 20 mesures)
219
Résolution par combinaison linéaire
• Théorème: On obtient un système équivalent en remplaçant l’une des
équations par une combinaison linéaire de cette équation et d’une autre
quelconque (attention, il faut l’une des deux d’origine).
• On peut ainsi éliminer une inconnue de toutes les équations sauf une et
réitérer le processus. On peut pour cela
• échanger deux lignes.
• multiplier une ligne par un nombre non nul.
• ajouter dun multiple d'une ligne à une autre ligne.
2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 13
−7𝑦 − 𝑧 = −27
𝐸𝑞2 − 2 ∗ 𝐸𝑞1
• ቐ4𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −1 → ቐ 4𝐸𝑞3 − 𝐸𝑞2 → ቐ 15𝑦 + 7𝑧 = 53
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 13
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 13
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 13
7𝐸𝑞1 + 𝑒𝑞2
−34𝑦 = −136
𝑦=4
• ൞ 15𝑦 + 7𝑧 = 53 → ቐ 15𝑦 + 7𝑧 = 53 → ቐ
7𝑧 = −7
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 13
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 13
𝑥 = 13 − 12 + 2 = 3
220
Cas où il n’y a pas de solution unique
• Si l’une des équations est une combinaison linéaire de certaines des
autres, il y a une infinité de solutions ou aucune.
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 1
• ቐ 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 2
3𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = 3
• L’équation 3 est la somme des deux premières, le système se ramène à deux
équations
• ቊ
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 1
qui est l’équation d’une droite
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 2
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 1
• ቐ 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 2
3𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = 4
• L’équation 3 est la somme des deux premières à gauche mais pas à droite. Il
n’y a pas de solutions, les équations étant incompatibles.
221
La méthode du pivot de Gauss
•
1𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 4𝑡 = 4
2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 + 1𝑡 = 3
3𝑥 + 4𝑦 + 1𝑧 + 2𝑡 = 2
4𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 + 3𝑡 = 1
• On élimine x de chaque
ligne, puis y etc
• On résout le système
triangulaire obtenu de
proche en proche
• ex: -10z=-5, -y+z=0 etc
222
Un programme aisé (donne la matrice triangulaire et le
vecteur associé, il reste à résoudre
223
Applications linéaires et matrices
• On considère une fonction qui, à un vecteur en dimension
n, associe un vecteur en dimension p
• On part donc d’un espace donné pour arriver dans un
autre, qui n’est pas nécessairement le même
• Définition: f est linéaire si, pour tout couple de vecteurs
(X,Y) et pour tout couple de réels (a,b) on a
f(aX+bY)=af(X)+bf(Y)
• Exemple: Un circuit électrique avec 3 tensions d’entrée et
deux de sortie
224
Théorème fondamental
• Il existe np nombres, notés Mik tels que si
 y1 
 x1 
 
X   et Y    avec Y  f ( X )
 
 y p 
 xn 
• Alors
y1  M 11x1  M 12 x2    M 1n xn

y p 1  M p1 x1  M p 2 x2    M pn xn
• On appelle matrice de l’application f le tableau de
nombres
 M 11  M 1n 


M     
 M p1  M pn 
225
Démonstration succinte
• Si ei est un vecteur de base de l’espace de départ et si E1…Ep sont
les vecteurs de base de l’espace d’arrivée, on peut toujours
décomposer f(ei) sous la forme:
f (ei )  M i1E1    M ip E p
• Dans ces conditions, la colonne de rang i de la matrice M est
constituée des coordonnées de l’image du ième vecteur de la base
de départ dans la base d’arrivée.
• La linéarité de f fait le reste
• Remarque importante: La matrice dépend des bases de départ et
d’arrivée
226
Exemple de matrice carrée 2*2
• Une rotation dans le plan, d’angle , a pour matrice
cos 
R  
 sin 
 sin  
cos  
• Démonstration: que sont les images des vecteurs de base?
• Application: Comment obtenir la rotation d’un vecteur quelconque?
 X   x cos   y sin  
 Y    x sin   y cos  
  

• L’identité f(x)=x a pour matrice un tableau où la diagonale vaut 1 et où
les autres termes sont nuls, la matrice Identité
227
Addition et multiplication par un réel
• Si M est la matrice de f, la matrice de af, où a est un nombre réel, est
la matrice notée aM, dont chaque terme est obtenu en multipliant le
terme correspondant dans M par a
aM ij  aM ij
• Si f et g sont deux applications linéaires de matrices M et N, la
matrice de l’application f+g est égale à la somme M+N des deux
matrices, calculée en faisant la somme termes à termes
M  N ij  M ij  Nij
• L’addition est commutative
228
Composition
• Si f g sont deux applications linéaires de matrices respectives M et N
• Théorème: L’application f(g) est linéaire et est caractérisée par une
matrice notée MN (produit)
• Nota: le produit de matrices n’est pas commutatif. Attention aux
dimensions
 N11  N1 j  N1 p 
Pij 
M ik N kj
    
k 1..n


   N kj   
i  1..n







j  1.. p


 N n1  N nj  N np 
 M 11    M 1n   P11    P1 p 
           


 
 M i1  M ik  M in     Pij   

     







 
 M m1    M mn   Pm1    Pmp 

229
Exemple: composée de deux rotations
cos 
R  
 sin 
cos   sin  
R  

 sin  cos  
 sin   cos  cos   sin  sin 

cos   sin  cos   cos  sin 
 sin  cos   cos  sin   cos     sin   

cos  cos   sin  sin    sin    cos    
What is it?
Deux rotations successives de 90
degrés:
Matrice identité I
R / 2
0  1


1
0


R / 2 * R / 2
 1 0 

 I

 0  1
Was ist das?
Kecose?
230
Le produit de deux matrices n’est pas commutatif
• Un exemple suffit
 2


 4
 1


 3
1


3
2


4
 1


 3
2


4
 5


13
8


20
 2


 4
1


3
10


22
7


15
231
Notion de matrice inverse
• Soit une matrice M. S’il existe une matrice (notée M-1)
telle que
MM
1
1
M M I
Alors la matrice M-1 est appelée MATRICE INVERSE de M
• L’inverse de M-1 est M
232
Inverse d’une matrice d’ordre 2
 -2


 3

 2
 1


 3
2


4
 1


 0
0


1
1 


-1 

2 
 1


 3
2


4
 -2


 3

 2
 1


 3
2


4
1 


-1 

2 
 1


 0
0


1
D=4*1-3*2=-2 est le
DETERMINANT de la
matrice 2*2
•On divise chaque terme par D.
•On permute les termes diagonaux M11 et M22
•On change le signe des termes hors diagonale
Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul
Se généralise en dimension quelconque
233
Notion de matrice transposée
• Soit M une matrice n*p.
• La matrice transposée de M, notée Mt est la matrice p*n
telle que
Mtik = Mki
(permutation des termes, sauf la diagonale évidemment)
234
Une application: équation à deux inconnues..ou plus
• Les matrices permettent de résoudre les systèmes de n
équations à p inconnues, y compris différentiels
• Si n#p, on trouve des solutions au sens des moindres
carrés
• D’un point de vue pratique, quand n=p,on ne calcule pas
l’inverse de la matrice, mais on utilise des méthodes plus
sophistiquées issues des matrices
2 x  3 y  4
2 3  x  4
4



MX


 3 1  y  2
2
3
x

y

2






 

  1 / 7 3 / 7  4 2 / 7
1
MX  Y  X  M Y  





 3 / 7  2 / 7  2  8 / 7 
235
Coordonnées polaires (dans le plan)
• Dans un repère orthonormé
(𝑂, 𝑖Ԧ, 𝑗Ԧ)
• 𝑥 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃
• 𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃
• 𝑟 𝑒𝑡 𝜃 sont les
coordonnées polaires de M
𝑥2
+
𝑦2
• 𝜃 = arctan
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
• 𝑟=
• 𝜃 = arctan
• 𝜃=
𝜋
2
• 𝜃=−
r
𝜃
𝑠𝑖 𝑥 > 0
+ 𝜋 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑦 > 0
𝜋
2
y
𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑦 < 0
x
236
Exemples
• 𝑟 = 3 𝑒𝑡 𝜃 =
2𝜋
3
3
2
→ 𝑥 = − 𝑒𝑡 𝑦 =
• 𝑥 = 3 𝑒𝑡 𝑦 = 4 → 𝑟 =
3 3
2
25 = 5 𝑒𝑡 𝜃 = arctan
4
3
• Attention
𝑥
• Il est correct d’écrire 𝑀
𝑦 en coordonnées cartésiennes
𝑟
• Il n’est pas correct d’écrire 𝑀
(exemple suit)
𝜃
237
Repère polaire (repère tournant)
On définit
• Le vecteur radial:𝑢𝑟 =
1
𝑂𝑀
𝑢𝜃
∙ 𝑂𝑀
Il est colinéaire au rayon vecteur et de
norme 1
𝑢𝑟
M
• Le vecteur orthoradial:𝑢𝜃
Il est perpendiculaire à 𝑢𝑟 et obtenu en
tournant dans le sens trigonométrique
O
𝒖𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∙ 𝒊Ԧ + 𝒔𝒊𝒏𝜽 ∙ 𝒋Ԧ
𝜋
𝑢𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝜋/2 ∙ 𝑖Ԧ + 𝑠𝑖𝑛 𝜃 +
∙ 𝑗Ԧ
2
𝒖𝜽 = −𝒔𝒊𝒏𝜽 ∙ 𝒊Ԧ + 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∙ 𝒋Ԧ
(𝑢𝑟 , 𝑢𝜃 ) est direct
238
Propriétés “cinématiques” (fondamentales en mécanique)
• 𝑢𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ 𝑖Ԧ + 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑗Ԧ
• 𝑢𝜃 = −𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑖Ԧ + 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ 𝑗Ԧ
𝑑𝑢𝑟
= 𝑢𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑢𝜃
= −𝑢𝑟
𝑑𝜃
La dérivation est une rotation de 𝜋/2 dans le sens
trigonométrique
239
Eléments de longueur et déplacement élémentaire
• On suppose un déplacement aussi petit que l’on veut
(”infiniment petit”)
• 𝑑 𝑀1, 𝑀3 =
𝑑𝑟
2
+ 𝑟 ∙ 𝑑𝜃
2
M3
• 𝑀1 𝑀3 = 𝑀1 𝑀4 + 𝑀4 𝑀3 = 𝑑𝑟 ∙ 𝑢𝑟 + 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑢𝜃 M2
(en lisant sur le dessin)
M4
• De façon plus rigoureuse, on calcule une différentielle
• 𝑂𝑀1 = 𝑟 ∙ 𝑢𝑟 = 𝑓 𝑟, 𝜃
• 𝑑(𝑂𝑀1 ) =
𝜕𝑓
𝑑𝑟
𝜕𝑟
+
𝜕𝑓
𝑑𝜃
𝜕𝜃
• 𝑑(𝑂𝑀1 ) = 𝑢𝑟 ∙ 𝑑𝑟 + 𝑟 ∙ 𝑢𝜃 ∙ 𝑑𝜃
d𝜃
M1
dr
240
M3
Elément de surface
M2
• 𝑑 2 𝑆 = 𝑟 ∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝑑𝜃
M4
M1
• Cas d’un cercle don’t le
rayon varie de dr: il faut
intégrer sur un tour
complet et dans ce cas
• 𝑑𝑆 = 2𝜋𝑟 ∙ 𝑑𝑟
• La surface d’un disque
est donc, par intégration
•𝑆=
𝑅
‫׬‬0 2𝜋𝑟
∙ 𝑑𝑟 = 𝜋𝑅2
d𝜃
dr
241
Dérivation d’un vecteur de norme constante
• 𝑟Ԧ = 𝑟 ∙ 𝑢𝑟
• 𝑟Ԧ = 𝑟 = 𝑐𝑡𝑒
• 𝑟Ԧ ∙ 𝑟Ԧ = 𝑟 2 = 𝑐𝑡𝑒
•
𝑑
𝑑𝜃
𝑟Ԧ ∙ 𝑟Ԧ =
𝑑 𝑟Ԧ
𝑑𝜃
∙ 𝑟Ԧ + 𝑟Ԧ ∙
𝑑 𝑟Ԧ
𝑑𝜃
= 2 ∙ 𝑟Ԧ ∙
𝑑 𝑟Ԧ
𝑑𝜃
=0
• La dérivée (selon 𝜃) d’un vecteur de norme constante est
perpendiculaire à ce vecteur
242
Coordonnées cylindriques: polaires+ 1 dimension
• Vecteur position
• Attention: les vecteurs radiaux sont
dans le plan (Ԧ𝑖, 𝑗Ԧ)
• 𝑥 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃
• 𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃
• 𝑧=𝑧
• 𝜃 = arctan
• 𝜃 = arctan
• 𝜃=
z
𝑥2 + 𝑦2
• 𝑟=
• 𝜃=

 

 

OM  xi  yj  zk  rur  zk  r  zk

𝜋
2
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑠𝑖 𝑥 > 0
M
z
+ 𝜋 𝑠𝑖 𝑥 < 0

𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑦 > 0
𝜋
−2
𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑦 < 0
r
P
x

u

ur
243
Vecteurs unitaires
• Vecteur position
• Vecteur radial

 

 

OM  xi  yj  zk  rur  zk  r  zk

𝑢𝑟 =
1
𝑂𝑃
∙ 𝑂𝑃
z
• (𝑢𝑟 , 𝑢𝜃 , 𝑘) orthonomé
direct
 

• Vecteur orthoradial u  k  ur
M
z

• 𝑢𝑟 ∧ 𝑢𝜃 = 𝑘
• 𝑢𝜃 ∧ 𝑘 = 𝑢 𝑟
• 𝑘 ∧ 𝑢𝑟 = 𝑢 𝜃
r
P
x

u

ur
𝒖𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∙ 𝒊Ԧ + 𝒔𝒊𝒏𝜽 ∙ 𝒋Ԧ
𝒖𝜽 = −𝒔𝒊𝒏𝜽 ∙ 𝒊Ԧ + 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∙ 𝒋Ԧ
244
Dérivation: comme en polaires avec 𝑘Ԧ constant
• 𝑢𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ 𝑖Ԧ + 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑗Ԧ
• 𝑢𝜃 = −𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑖Ԧ + 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ 𝑗Ԧ
• 𝑘=𝑘
𝑑𝑢𝑟
= 𝑢𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑢𝜃
= −𝑢𝑟
𝑑𝜃
𝑑𝑘
=0
𝑑𝜃
245
Eléments de longueur et déplacement élémentaire
• On suppose un déplacement aussi petit que l’on veut
(”infiniment petit”)
• 𝑑 𝑀1, 𝑀5 =
𝑑𝑟
M5
2
+ 𝑟 ∙ 𝑑𝜃
2
+ 𝑑𝑧
2
• 𝑀1 𝑀5 = 𝑀1 𝑀4 + 𝑀4 𝑀3 + 𝑀3 𝑀5 = 𝑑𝑟 ∙ 𝑢𝑟 + 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑢𝜃 + dz ∙ 𝑘
M3
M2
(en lisant sur le dessin)
M4
• De façon plus rigoureuse, on calcule une différentielle
• 𝑂𝑀1 = 𝑟 ∙ 𝑢𝑟 + 𝑧 ∙ 𝑘 = 𝑓 𝑟, 𝜃
• 𝑑(𝑂𝑀1 ) =
𝜕𝑓
𝑑𝑟
𝜕𝑟
𝜕𝑓
+ 𝑑𝜃
𝜕𝜃
𝜕𝑓
+ 𝑑𝑧
𝜕𝑧
• 𝑑(𝑂𝑀1 ) = 𝑢𝑟 ∙ 𝑑𝑟 + 𝑟 ∙ 𝑢𝜃 ∙ 𝑑𝜃 + 𝑘 ∙ dz
M1
d𝜃
dr
246
Elément de volume
M5
M3
• 𝑑(𝑂𝑀1 ) = 𝑢𝑟 ∙ 𝑑𝑟 + 𝑟 ∙ 𝑢𝜃 ∙ 𝑑𝜃 + 𝑘 ∙ dz
M2
M4
• 𝑑 3 𝑉 = 𝑟 ∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑑𝑧
• On utilise explicitement le fait que les
coordonnées sont orthogonales, i.e. les vecteurs
tangents aux lignes d’iso-coordonnées forment
une base orthonormée
• 𝑢𝑟 , 𝑢𝜃 , 𝑘 est orthonormé direct
M1
d𝜃
dr
247
Gradient
• Le vecteur gradient
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑧
noté 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 est perpendiculaire
aux lignes de niveau.
𝝏𝒇
𝝏𝒇
𝝏𝒇
𝒈𝒓𝒂𝒅𝒇 =
∙ 𝒊Ԧ +
∙ 𝒋Ԧ +
∙𝒌
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
• En coordonnées cylindriques
𝝏𝒇
𝟏 𝝏𝒇
𝝏𝒇
𝒈𝒓𝒂𝒅𝒇 =
∙ 𝒖𝒓 +
∙ 𝒖𝜽 +
∙𝒌
𝝏𝒓
𝒓 𝝏𝜽
𝝏𝒛
248
Une manière de comprendre
𝒅𝒇 =
𝝏𝒇
𝝏𝒇
𝝏𝒇
∙ 𝒅𝒙 +
∙ 𝒅𝒚 +
∙ 𝒅𝒛
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
𝒈𝒓𝒂𝒅𝒇 =
𝝏𝒇
𝝏𝒇
𝝏𝒇
∙ 𝒊Ԧ +
∙ 𝒋Ԧ +
∙𝒌
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
• En coordonnées cylindriques, il faut considérer les déplacements élémentaires
dans chaque direction
• 𝒅𝒇 =
𝝏𝒇
∙ 𝒅𝒓
𝝏𝒓
+
𝝏𝒇
∙ 𝒅𝜽
𝝏𝜽
+
𝝏𝒇
𝝏𝒛
∙ 𝒅𝒛
• 𝑑(𝑂𝑀1 ) = 𝑢𝑟 ∙ 𝑑𝑟 + 𝑢𝜃 ∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 + 𝑘 ∙ dz
• 𝒅𝒇 =
𝝏𝒇
∙ 𝒅𝒓
𝝏𝒓
𝟏 𝝏𝒇
∙𝒓∙
𝒓 𝝏𝜽
+ ∙
𝒅𝜽 +
𝝏𝒇
∙ 𝒅𝒛
𝝏𝒛
𝝏𝒇
𝟏 𝝏𝒇
𝝏𝒇
𝒈𝒓𝒂𝒅𝒇 =
∙𝒖 +
∙𝒖 +
∙𝒌
𝝏𝒓 𝒓 𝒓 𝝏𝜽 𝜽 𝝏𝒛
249
Coordonnées sphériques
•
𝑂𝑀 = 𝑟, 𝜑 = 𝑖Ԧ, 𝑂𝑃 ∈ 0,2𝜋 , 𝜃 = 𝑘 𝑂𝑀 ∈ 0, 𝜋
• 𝑂𝑃 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃
• 𝑂𝐻 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑧
• 𝑥 = 𝑂𝑃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑
• 𝑦 = 𝑂𝑃 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑
𝑥 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑
• ቐ 𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑
𝑧 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃
Illustration: http://res-nlp.univ-lemans.fr/NLP_C_M01_G01/co/contenu_26.html
250
Relations réciproques
•
𝑂𝑀 = 𝑟, 𝜑 = 𝑖Ԧ, 𝑂𝑃 ∈ 0,2𝜋 , 𝜃 = 𝑘 𝑂𝑃 ∈ 0, 𝜋
𝑥 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑
• ቐ 𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑
𝑧 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
• 𝑟=
• 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
• 𝑡𝑎𝑛𝜑 =
• 𝜑 = arctan
𝜋
2
• 𝜑=−
∈ 0, 𝜋
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑠𝑖 𝑥 > 0
𝑦
𝑥
• 𝜑 = arctan
• 𝜑=
𝑧
𝑟
+ 𝜋 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑦 > 0
𝜋
2
𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑦 < 0
Illustration: http://res-nlp.univ-lemans.fr/NLP_C_M01_G01/co/contenu_26.html
251
Un exemple
• 𝑟 = 2, 𝜃 =
5𝜋
,𝜑
6
=
𝜋
(emprunt G. Laget)
3
1 1 1
𝑥 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 2 ∙ ∙ =
2 2 2
1 3
3
𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 2 ∙ ∙
=
2 2
2
− 3
𝑧 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2 ∙
=− 3
2
• 𝑥 = −1, 𝑦 = 2, 𝑧 = 3
𝑟 = 14
𝑧
3
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
= arccos
𝑟
14
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 −2 + 𝜋 = − arctan 2 + 𝜋
252
La base sphérique: une base orthonormée directe
• 𝑢𝑟 =
1
𝑂𝑀
1
𝑟
∙ 𝑂𝑀 = ∙ 𝑂𝑀
1
• 𝑢𝜑 =
∙ 𝑘 ∧ 𝑢𝑟
𝑘∧𝑢𝑟
• 𝑢𝜃 = 𝑢𝜑 ∧ 𝑢𝑟
253
Déplacements élémentaires (transparent Guillaume Laget)
254
Eléments de surface (transparent Guillaume Laget)
255
Un dernier transparent volé à Guillaume, parce que le
point de vue est partagé
256
Complément: calcul de
I=
• 𝑂𝑀1 = 𝑟 ∙ 𝑢𝑟 = 𝑓 𝑟, 𝜃
• 𝑑(𝑂𝑀1 ) = 𝑢𝑟 ∙ 𝑑𝑟 + 𝑟 ∙ 𝑢𝜃 ∙ 𝑑𝜃
•𝑆=
𝜃
2
∙ 𝑟2
• 𝑑S 𝑟 = 𝑟𝜃 ∙ 𝑑𝑟
• 𝑑𝑆 = 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑑𝑟
+∞ −𝑥2
‫׬‬−∞ 𝑒 𝑑𝑥
257
Intégrale double (figure: Guillaume Laget, S2)
𝑋 = 𝑥,
𝑦
𝑉 = ඵ 𝑓(𝑋) ∙ 𝑑𝑆 = ඵ 𝑓(𝑥, 𝑦) ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦
𝐷
𝐷
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒 −𝑥
2 −𝑦 2
258
Calcul
2
2
2
• 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒 −𝑥 −𝑦 = 𝑒 −𝑟
2
2
• 𝑓 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 = 𝑒 −𝑥 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑒 −𝑦 ∙ 𝑑𝑦
2
2
+∞
+∞
• ‫𝑥(𝑓 𝑛𝑎𝑙𝑝׭‬, 𝑦) ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 = ‫׬‬−∞ 𝑒 −𝑥 ∙ 𝑑𝑥 ∙ ‫׬‬−∞ 𝑒 −𝑦 ∙ 𝑑𝑦 = 𝐼 2
𝑑𝑆 = 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑑𝑟
2
• 𝑓 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 = 𝑒 −𝑟 ∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑑𝑟
2𝜋
• ‫𝑥(𝑓 𝑛𝑎𝑙𝑝׭‬, 𝑦) ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 = ‫׬‬0
+∞
𝑑𝜃 ∙ ‫׬‬0
+∞
I=න
−∞
2
𝑟𝑒 −𝑟 ∙ 𝑑𝑟 = 𝜋
2
𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋
259
Compléments
• Question: un objet est en orbite autour de la Terre. A
l’altitude H0=10000 km sa vitesse est de 200 m/s. Quelle
est sa vitesse à H1=200 km ?
• De quoi a-t-on besoin?
3.982 ∙ 108
𝐴=
ℎ + 6370 2
260
Intégrale curviligne
• Soit 𝛾 une courbe du plan paramétrée par t
𝛾 𝑡 = 𝑥 𝑡 , 𝑦(𝑡)
Soit 𝜔 = 𝑃 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑑𝑦
On définit l’intégrale curviligne d’un point A à un point B de 𝛾 par
𝐵
ර 𝜔=න
𝐴
𝑡=𝑡𝐵
𝑃 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑥′(𝑡) + 𝑄 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑦′(t) ∙ 𝑑𝑡
𝑡=𝑡𝐴
Théorème: Si 𝜔 est exacte alors l’intégrale ne dépend que des
extrémités de la trajectoire
Corollaire: l’intégrale est nulle pour un circuit fermé
Démonstration: Si 𝜔 = 𝑑𝑓 alors 𝑃 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑥′(𝑡) + 𝑄 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑦′(t)=
Et:
𝐵
‫ 𝐵 𝑓 = 𝜔 𝐴ׯ‬− 𝑓(𝐴)
𝑑𝑓
𝑑𝑡
261
Travail d’une force (ici: dans le plan)
𝛿𝑊 = 𝐹Ԧ ∙ 𝑑𝑠Ԧ où 𝑑𝑠Ԧ est le déplacement élémentaire
𝛿𝑊 = 𝐹𝑥 ∙ 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 ∙ 𝑑𝑦
𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣é𝑒
∆𝑊 = න
𝛿𝑊
𝑑é𝑝𝑎𝑟𝑡
• Si 𝛿𝑊 est une différentielle exacte, alors le travail ne dépend que des points
de départ et d’arrivée
On note alors 𝛿𝑊 = −𝑑𝐸𝑝 (énergie potentielle).
𝐹𝑥
Ԧ
• Cela signifie que 𝐹 =
𝐹𝑦 = −𝑔𝑟𝑎𝑑(𝐸𝑝 )
• Une force est dite conservative quand son travail ne dépend que des points
de départ d’arrivée. Dans ce cas, la variation d’énergie cinétique est égale à
la l’opposé de la variation d’énergie potentielle et l’énergie totale 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 est
constante
262
Cas d’une force radiale
𝑘𝑚
• 𝐹Ԧ = − 2 ∙ 𝑢𝑟 (en sphériques, force attractive pour la gravité)
𝑟
• m: masse de l’objet
• De manière évidente
𝑘𝑚
𝑘𝑚
𝐹Ԧ = −𝑔𝑟𝑎𝑑 −
→ 𝐸𝑝 = −
𝑟
𝑟
• Quand on passe du point A au point B
• 𝐸𝑐𝐵
−
𝐸𝑐𝐴
=
𝑚𝑣𝐵2
−
𝑚𝑣𝐴2
=
𝑘𝑚
𝑟𝐵
• Il faut connaître 𝑘 = 6.67 ∙
𝑘𝑚
−
→ 𝑣𝐵2 =
𝑟𝐴
10−11 ∙ 𝑀𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒
𝑣𝐴2
• 𝑟 = 𝑅𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒 + 𝐻
• 𝑀𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒 = 597 ∙ 1022 𝑘𝑔 𝑒𝑡 𝑅𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒 = 6370 𝑘𝑚
• 𝑣𝐵 = 6026 𝑚/𝑠
𝑘
+
𝑟𝐵
𝑘
−
𝑟𝐴