Démontrer que deux droites sont parallèles

GEOMETRIE DANS L'ESPACE
Démontrer que deux droites sont parallèles
Définition : Deux droites sont parallèles dans l’espace si et seulement si elles sont
– coplanaires et n’ont aucun point commun
– confondues.
Théorème : Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l’un est sécant à l’autre et les
droites d’intersection sont parallèles
d'
Le plan sécant coupe les plans P et P’ en d et d’.
Les droites d et d’ sont parallèles
P’
d
P
Théorème : (du toit) Si deux droites parallèles d et d’ se trouvent dans deux plans sécants
ces deux plans se coupent en une droite parallèle à d et d’.

d'
Les droites d et d’ sont parallèles.
Elles sont situées dans deux plans qui se coupent en .
La droite  est parallèle à d et à d’
d

Toutes les méthodes vues au collège pour démontrer que deux droites sont
parallèles dans le plan sont applicables dans tout plan de l’espace. Il suffit
pour avoir le droit de les appliquer de préciser le plan auquel appartiennent
ces droites
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Démontrer que deux droites sont parallèles
Fiche originale réalisée par Thierry Loof
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N
Exercice 1
M
K et L sont les milieux des arêtes [EH] et [EF] du parallélépipède
rectangle ABCDEFGH.
(AK) et (DH) se coupent en M et (AL) et (BF) en N.
1. Montrer que K est le milieu de [AM] et L le milieu de
H
[AN].
2. Démontrer que (KL) et (MN) sont parallèles.
G
F
L
K
E
C
B
D
A
Corrigé – Revoir les explications du cours
Exercice 2
H
ABCDEFGH est un cube. M est un point de l’arête [AB]. Le plan (GEM)
coupe la droite (BC) en N. Montrer que (MN) et (EG) sont parallèles.
G
E
F
D
A
B
M
C
N
Corrigé– Revoir les explications du cours
Exercice 3
S
SABCD est une pyramide de sommet S à base trapézoïdale avec
(AB)//(CD). M est un point de l’arête [SC]. Le plan (ABM) coupe la
droite (SD) en N.
Montrer que (MN)//(DC)
N
M
D
A
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C
B
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Démontrer que deux droites sont parallèles
Corrigé 1
N
M
K et L sont les milieux des arêtes [EH] et [EF] du parallélépipède
rectangle ABCDEFGH.
(AK) et (DH) se coupent en M et (AL) et (BF) en N.
1. Montrer que K est le milieu de [AM] et L le milieu de
H
[AN].
Dans le plan (ADE), AEK et KHM forment une figure clé pour le
KA
KE
théorème de Thalès car (AE)//(DM). On a donc
=
= 1.
KM
KH
Donc K est le milieu de [AM].
D
G
F
L
K
E
C
B
A
On montre de même que L est le milieu de [AN].
2. Démontrer que (KL) et (MN) sont parallèles.
Dans le plan (AMN), on applique le théorème des milieux dans le triangle AMN pour en déduire
que (KL) et (MN) sont parallèles.
Dans cet exercice on n’a utilisé que des théorèmes du plan
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Démontrer que deux droites sont parallèles
Corrigé 2
ABCDEFGH est un cube. M est un point de l’arête [AB]. Le plan (GEM)
coupe la droite (BC) en N. Montrer que (MN) et (EG) sont parallèles.
(ABCD) // ( EFGH). (EGM) coupe ( EFGH) en (EG) et (ABCD) en (MN), or
Théorème : Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l’un est
sécant à l’autre et les droites d’intersection sont parallèles
Donc (MN) et (EG) sont parallèles.
H
G
E
F
D
A
M
B
C
N
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