REPUBLIQUE TUNISIENNE Octobre 2014

REPUBLIQUE TUNISIENNE
_____
GéomaTiqua
Par L’ingénieur Géographe
Jalel ZID
Email : [email protected]
Sit Web : www.jzid.jimdo.com
Octobre 2014
GéomaTiqua
1
Préambule
GéomaTiqua est un logiciel Géodésique Topographique puissant qui génére une
base des données géographique « BDPoints » de toute nature avec un accès
instantanné sur Google Earth,
le traitement automatique des affaires
topographiques, cadastrales et IF depuis le levé jusqu’à la localisation et mise en
page à différentes échelles dans le découpage cadastral de la tunisie, la création et
gestion automatique d’une base des données cadastrale et enfin la gestion d’un
package de 40 applications géographiques nécessaires pour l’activité du géomètre
en tunisie .
La grande particularité de GéomaTiqua réside sur le traitement automatique de
l’information géographique simultanément sur quatre systèmes de coordonnées
locale et internationale (STT ou Fuseau, IGN, NTT ou UTM et WGS84) qui sont
réliés entre eux par de fonctions mathématiques universelles et des relations basées
sur les paramètres de transformations relatives au découpage cartographique au
1/50000 de la tunisie déterminées avec un RMS de 4 cm .
GéomaTiqua génére comme informations géographiques (terrestre et spatiale) en
Input en en Output deux types de fichiers :
 Des fichiers textes appelés nuages des points à format standard dont les champs
des données sont séparés par des tabulations ou par des ; (Nom X Y Z) . Comme
données en Input, ces fichiers peuvent être créer instantanément par
GéomaTiqua, et ce, par l’intermédiaire d’une grille de saisie (Touche F3) .
GéomaTiqua
2
 Des fichiers d’échanges dxf de type ASCII valables pour toute les versions d’
AUTOCAD appelés levés jonctionnés et qui doivent être géoréférenciés .
GéomaTiqua génére aussi automatiquement la sortie des plans topographiques à
différentes échelles (1/10000 ,1/5000,1/2000,1/1000 et 1/500) sur table traçante
selon un habillage standard qui est susceptible à être personaliser, et ce, par rapport
à un découpage local ou cadastral du pays dans le système LAMBERT ou UTM .
Pour les besoins de recherche, GéomaTiqua gére sur AUTOCAD et Google Earth ,
un maillage cartographique, cadastral et fuseau du territoire tunisien à différentes
échelles (1/10000 ,1/5000,1/2000,1/1000 et 1/500) , et ce, dans l’ancien découpage
LAMBERT et dans le nouveau découpage UTM de la Tunisie avec la possibilité
d’injection des points géographiques crées auparavant dans la base des données
« BDPoints » .
Aussi GéomaTiqua peut restituer un levé jonctionnée sur AUTOCAD et Google
Earth à partir d’un fichier texte organisé en un rapport des lots formé par un
ensemble de polygones fermés à coordonnées planimétriques (X,Y) dans un des 4
systèmes de coordonnées (STT ou Fuseau, IGN, NTT ou UTM et WGS84) sur
lequel sont définies .
Avec son traitement automatique par défaut sur la zone fuseau 32 sur laquelle se
trouve la tunisie, GéomaTiqua peut aussi localiser sur Google Earth n’importe quel
affaire traitée dans le système géodésique WGS84 à travers le monde entier (zone
fuseau comprise entre 0 et 60), et ce, en lisant même des fichiers textes issus des
récepteurs GPS (coordonnées géographiques (ϕ, λ, h) ou géocentriques
(Xg,Yg,Zg)).
GéomaTiqua
3
Autres particularités de GéomaTiqua
GéomaTiqua permet à partir des tables ou des fichiers organisés en rapports des
lots « RPTLOTS » issus des logiciels topographiques de production tels que
SDRMAP, SIERRA SOFT, COVADIS …:
 De créer et gérer une Base des Données Cadastrale et IF dans les 4 systèmes de
coordonnées STT, IGN, NTT et WGS84, et ce , dans un laps de temps reccord .
 De générer automatiquement les copies des plans et les jugements dans l’ancien
découpage (LAMBERT) et dans le nouveau découpage (UTM) .
 De créer automatiquement un récapitulatif détaillé du tableau des contenances
relatives aux parcelles du levé sur lesquelles figurent leurs localisation cadastrale
au 1/2000 (Lambert et UTM)
 De reproduire ou restituer automatiquement les fichiers dxf de levé dans les 4
systèmes de coordonnées , et ce, d’une manière structurés sous forme de couches
géométriques qui nous permet ..
 D’obtenir automatiquement les 4 types de tables attributaires (annotation, points,
polyline et polygone) sous ArcGIS nécessaires pour la mise en place d’un SIF en
vu de la création d’un Géoportail Intranet et Extranet .
RPTLOTS : Secteur Cadastral « SECTEUR_B_BOUZENNA » issu d’une étude
SDRMAP traité dans le système NTT. Nbre de parcelle : 567 . Taille : 528 Ko
Temps de réalisations des 5 objectifs : 41 mn
GéomaTiqua
4
GéomaTiqua permet à partir des coordonnées de n’importe quel point connu dans
l’un des 5 systèmes (STT,IGN,UTM,NTT,WGS84) , de créer un maillage
automatique d’une zone de levé qui se comporte :
 Comme une couverture aérienne dont la dimension de chaque photo image
Google est déterminée systèmatiquent selon la résolution de l’écran du PC avec
un coéfficient k réel d’agrandissement ou de retrécissement de la surface maillée.
 Comme une zone de préparation de la mission du levé proprement dit sur laquelle
sont injectés les points géodésiques ou de rattachement du territoire national.
GéomaTiqua
5
GéomaTiqua permet aussi à partir des points trigonométriques stockés dans la
base des données <BDPoints>, d’établir automatiquement une calibration spatiale
terrestre Post-Traitement de n’importe quel zone de levé du territoire, puis de
calculer automatiquement les coordonnées des points du levé par GPS dans le
système Local terrestre grâce à la transformation de Helmert 3D.
GéomaTiqua
6
Conception et Développement sous VBA-Excel d'une Base des données GT avec
un package d'applications géodésiques topographiques . <<GéomaTiqua>>
*
Module Principal ; Gestion intégrale d'une base des données géodésiques
topographiques avec visualisation instannée sur Googl Earth
1)
Les éléments de définition de la représentation plane LAMBERT et UTM pour la
Tunisie
2)
Calcul de l'altération linéaire LAMBERT + Passage de la Distance Plan à la
Distance Horizontale Terrain + NivellementG
3)
Calcul de l'altération linéaire UTM + Passage de la Distance Plan à la Distance
Horizontale Terrain + NivellementG
4)
Détermination de la direction de la mecque en un lieu donnée par procédés
géodésiques-topographiques
5)
Transformation mathémathique des coordonnées
CLARKE1880F et à l'Ellipsoide WGS84
6)
Transformation d'un fichier Texte ou Table Excel à champs (Nom,X,Y,Z) en un
fichier DXF
7)
Transformation d'un fichier dxf dans le système WGS84utm en un fichier KMZ
ou KML nécéssaire pour Google EARTH
relatifs
à
l'Ellipsoide
8) Visualisation d'un fichier KMZ ou KML sur Google EARTH
9)
Gestion des Fiches techniques des levés Topographiques par Station totale et par
GPS
10)
Transformation d'un levé .dxf ou .txt du système terrestre LAMBERT Nord au
système terrestre LAMBERT Sud
11)
Transformation d'un levé .dxf ou .txt du système terrestre LAMBERT Sud au
système terrestre LAMBERT Nord
12)
Transformation d'un levé .dxf ou .txt du système terrestre STT au système
terrestre IGN et Vice-Versa
13)
Transformation d'un levé .dxf ou .txt du système spatial WGS84 UTM au système
terrestre LAMBERT
14)
Transformation d'un levé .dxf ou .txt du système terrestre LAMBERT au système
spatial WGS84 UTM
15)
Transformation d'un fichier dxf du système spatial WGS84 UTM au système
terrestre UTM
GéomaTiqua
7
16)
Transformation d'un levé .dxf ou .txt du système terrestre UTM au système spatial
WGS84 UTM
17)
Transformation d'un levé .dxf ou .txt du système terrestre UTM au système
terrestre LAMBERT (IGN)
18)
Transformation d'un levé .dxf ou .txt du système terrestre LAMBERT au système
terrestre UTM
19) Correction et Optimisation d'un fichier dxf
20) Calcul d'un cheminement planimétrique classique encadré
21) Calcul d'un cheminement Altimétrique direct Trigonométrique
22) Calcul d'un cheminement Altimétrique Indirect Trigonométrique
23) Calcul automatique de gisement d'une direction
24) Calcul automatique de la surface d'un polygone
25) Résolution automatique de triangles quelconques
26) Calcul d'Intersection et Relèvement d'un point par Nivellement Géodésique
27) Calcul d'un relèvement planimétrique (X,Y)
28)
Transformation des coordonnées (X,Y) du système LAMBERT Nord au système
LAMBERT Sud et Vice-Versa
29)
Transformation des coordonnées d'un système 1 vers un système 2 par la méthode
de Helmert 2D (polynomiale d'ordre 1)
30)
Transformation des coordonnées du système spatial WGS84 vers le système
terrestre Carthage par la méthode de Helmert 3D (Fonction Simulitude)
31)
Visualisation automatique d'un levé topographique dans le système LAMBERT
sur Google EARTH
32)
Visualisation automatique d'un levé topographique dans le système NTT ou UTM
sur Google EARTH
GéomaTiqua
8
33)
Localisation et Mise en page automatique d'un levé topographique géoréférencié
dans le découpage cadastral LAMBERT de la Tunisie
34)
Localisation et Mise en page automatique d'un levé topographique géoréférencié
dans le découpage cadastral UTM de la Tunisie
35)
Transformation des coordonnées du système spatial WGS84 vers le système
terrestre Carthage NTT par la méthode de Helmert 3D (Fonction Simulitude)
36)
Gestion des fiches issues des levés par GPS+leurs transformations en des fichiers
dxf utiles pour le traitement topographique
37) Rendre le contrôle de l'unité de mesure d'un fichier .dxf en mètre
38)
Création d'un fichier DXF nuage des points WGS84utm à partir d'un levé par GPS
puis sa localisation Universelle sur Google EARTH
39)
Localisation universelle d'un levé .dxf ou .txt dans le système WGS84utm sur
Google EARTH
40)
Localisation d'un levé nuage des points .txt dans un système Géodésique donné
sur Google EARTH par saisie des points à champs (NomP X Y Z)
**
Module Principal 2 : Gestion technique intégrale des affaires topographiques
avec visualisation instannée sur Googl Earth . Génération des fichiers txt et dxf
GéomaTiqua
9
Fermer l’application sans quitter
l’environnement Excel .
Quitter l’application et l’environnement
Excel .
Actualisation de l’interface Ecran .
Mode de gestion Monoposte ou serveur .
Déclaration automatiques des variables
d’environnement Autocad, Google
EARTH, Global Mapper, Acrobate, …
Transformation d’une grille de points d’un
système géodésique à un autre, maillage
des zones de levés et gestion des bases des
données Cadastrales, IFF et topographiques
avec mise en page des copies des plans et
jugements .
Gestion intégrale d’une base des données
géodésique topographique
Initialisation de la feuille de calcul (remise
à zéro des cellules de champs) .
Mise à jour d’un point trigonométrique
dans la base des données BDPoints (Ajout
et modification) .
Visualisation instantanée d’un point
trigonométrique sur Google EARTH .
Recherche et affichage d’un point
trigonométrique de la base des données
BDPoints .
GéomaTiqua
Calcul du point trigonométriques dans les #
systèmes géodésiques terrestre et spatial
(Clarke 1880F et WGS84) .
Mise à jour des fichiers KMZ par
gouvernorat pour Google EARTH .
Edition sur imprimante de la fiche d’un
point trigonométrique .
Gestion des Affaires Topographiques .
10
Choix de la localisation des points trigonométriques par gouvernorat
Liste et transformation des points d’un système à un autre par masque de saisie
GéomaTiqua
11
Gestion technique intégrale des affaires
topographiques
Initialisation de la feuille de calcul (remise
à zéro des cellules de champs) .
GéomaTiqua
Calcul du point trigonométriques dans les #
systèmes géodésiques terrestre et spatial
(Clarke 1880F et WGS84) .
12
IR
L
Import des fichiers affaires .txt ou dxf dans l’un des # systèmes de coordonnées terrestre
Clarke 1880 F et spatiale WGS84 .
Import des fichiers .txt organisés en rapport des lots dans l’un des # systèmes de coordonnées
terrestre Clarke 1880 F et spatiale WGS84 .
GéomaTiqua
13
Maillage des feuilles Géographiques au 1/50000 de la
Tunisie (par coupure ou par groupe de coupures) .
Maillage des feuilles Cadastrales au 1/50000 de la
Tunisie (par coupure ou par groupe de coupures)
dans le découpage LAMBERT .
GéomaTiqua
14
Maillage des feuilles Cadastrales au 1/50000 de la Tunisie (par coupure ou par groupe de
coupures) dans le nouveau découpage UTM .
Maillage des feuilles origines Fuseaux de la Tunisie (par coupure ou par groupe de
coupures) dans la projection LAMBERT et UTM .
GéomaTiqua
15
Création d’un récapitulatif tableau des contenances et répertoire des coordonnées des points
d’une affaire organisée en rapport des lots, et ce, dans les # systèmes de coordonnées terrestre
Clarke 1880 F et spatial WGS84
Création d’un fichier dxf structuré par couches directement exploitable par la BD cadastrale
IFF Topographique de GéomaTiqua et par le logiciel ARCGIS ou GIS, d’une affaire organisée
en rapport des lots, et ce, dans les # systèmes de coordonnées terrestre Clarke 1880 F et spatial
WGS84
GéomaTiqua
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GéomaTiqua
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GéomaTiqua
18
Gestion d’une base des données cadastrale
GéomaTiqua
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Gestion de 40 Applications Géographiques
GéomaTiqua
21
REPUBLIQUE TUNISIENNE
____
LES SYSTEMES GEODESIQUES
ET
LES REPRESENTATIONS PLANES
EN USAGE EN TUNISIE
Octobre 2014
Par l’ingénieur Géographe
Jalel ZID
Email : [email protected]
Site Web : www.jzid.jimdo.com
GéomaTiqua
22
SOMMAIRE
1.
Introduction
2.
Rappels mathématiques
3.
Notions de trigonométrie sphérique
4.
Géométrie de l’ellipsoïde de révolution
5.
Les systèmes géodésiques
6.
Les différents systèmes géodésiques en usage
7.
Les réseaux géodésiques
8.
La représentation Lambert
9.
La représentation UTM
10.
Références
GéomaTiqua
23
I. INTRODUCTION
I. 1.Définitions de la Géodésie
Suivant l'étymologie le mot géodésie veut dire mesure de la Terre. Le grand
géodésien Allemand Friedrich Robert Helmert (1880) définissait la Géodésie comme
suit " la Géodésie est la science de la mesure et de la représentation de la surface
terrestre".
Une définition contemporaine de la Géodésie (1973) est donnée par le Comité
Associé Canadien de Géodésie et de Géophysique à savoir : la Géodésie est la
discipline qui concerne la mesure et la représentation de la Terre, incluant son
champ de gravité, dans un espace tridimensionnel variant avec le temps.
-
-
-
-
La Géodésie a ainsi deux aspects :
un aspect scientifique et de recherches :
la mesure des dimensions de la Terre et la détermination
de sa forme géométrique.
un aspect pratique :
l'établissement et la maintenance des réseaux géodésiques
tridimensionnels nationaux et globaux et en tenant compte des
variations de ces réseaux en fonction du temps,
la détermination du champ de gravité terrestre,
la mesure et la représentation
des phénomènes
géodynamiques comme le mouvement des pôles, les marées terrestres
et le mouvement de la croûte terrestre.
I.2. L’Astronomie de position
I.2.1.Définition
L’astronomie est la science qui étudie les différents objets célestes (astres,
radios- sources).
I.2.2. L’Astronomie de Position
Pour le géodésien, l’astronomie de position est un moyen de détermination de
certaines inconnues du point stationné à partir d’observations sur les astres ou des
étoiles. Les observations astronomiques effectuées dans ce cadre déterminent la
verticale physique du point de l’observation. L’astronomie physique fournit comme
résultat la distribution des verticales aux différents points stationnés. Si on
assimile la verticale à la normale à la surface modèle de référence, on peut alors
localiser ces points. On parlera alors d’Astronomie de Position.
Les observations astronomiques permettent en géodésie de déterminer :
les 2 inconnues fixant la direction de la verticale physique du lieu (,),
l’orientation d’une direction (Azimut),
GéomaTiqua
24
-
-
les coordonnées absolues d’un premier point d’un réseau ou point fondamental.
I.3. Les Systèmes de Référence
Le principe fondamental des déterminations astronomiques repose sur le fait que
dans le repère lié aux étoiles, celles-ci occupent des positions pratiquement fixes,
qu’il est possible de calculer et de les regrouper en des catalogues d’étoiles. Un
catalogue d’étoiles comprend les coordonnées (,) des étoiles observées, réduites à
une époque moyenne conventionnelle.
I.4.Sphère Céleste - Mouvement Diurne
La sphère céleste est une sphère de rayon infini sur laquelle sont fixées les
perspectives des étoiles. En regardant les étoiles, on s'aperçoit que les étoiles se
déplacent dans leur ensemble : c'est le mouvement diurne.
Le mouvement diurne obéit à 3 lois:
la sphère céleste tourne autour d'un de ses diamètres,
le mouvement s'effectue dans le sens rétrograde (non
direct),
le mouvement est uniforme et sa période est voisine de 24
h (23h 56 mn).
I.5. Objectifs de l’Astronomie de Position
Elle détermine les différentes relations entre la position de l’observateur (,) et
celle de l’astre (,) et ce en fonction du temps par l’intermédiaire de l’angle horaire
AH.
II. RAPPELS MATHEMATIQUES
II. RAPPELS DE LA TRIGONOMETRIE PLANE
II.1.Définitions des fonctions circulaires ou trigonométriques
M
B

O
A
On définit les fonctions circulaires comme suit :
sin 
= AM/OM , cos
GéomaTiqua
= OA/OM
tg = AM/OA et cotg  = 1/tg
(1)
25
Ecrivons dans le triangle OAM, le théorème de Pythagore, on obtient :
OM² = OA² + AM²
OA²/OM² + AM²/OM² = 1
Soit :
cos²  + sin²  = 1
(2) est dite la relation fondamentale de la trigonométrie plane.
(2)
II.2.Propriétés des fonctions circulaires
Les fonctions circulaires sont des fonctions périodiques, on a :
sin(  2k )  sin 
cos (  2k )  cos 
tg(   k )  tg 
pour k = 1,2,3,…,n,….
Les domaines de définition sont :
- pour les fonctions sin et cos [-,+],
- pour la fonction tg
[-/2,+/2]
De plus on les propriétés suivantes :
sin(- ) = - sin  , cos(- ) = cos  ,
(3)
tg(- ) = -tg
(4)
Et sin ( / 2   ) = cos 
cos ( / 2   ) = sin 
(5)
tg ( / 2   ) = cotg 
sin (   ) = sin 
cos (   ) = -cos
(6)
tg (   ) = -tg 
II.3.Formules Usuelles
On a les formules suivantes :
cos(a+b) = cosa.cosb – sina.sinb
cos(a-b) = cosa.cosb + sina.sinb
sin(a+b) = sina.cosb + sinb.cosa
sin(a-b) = sina.cosb – sinb.cosa
tga  tgb
tga - tgb
tg(a+b) =
tg(a-b) =
1 - tga.tgb
1  tga.tgb
sin2a = 2sina.cosa
, cos2a = cos²a – sin²a = 2cos²a – 1 = 1 – 2sin²a
(7)
(8)
(9)
2 tga
tg2a =
1  tg²a
Si on pose
Alors :
GéomaTiqua
tg(a/2) = t
(10)
26
sina =
2t
1  t²
, cosa =
,
1  t²
1  t²
tga =
2t
1  t²
II.4.Dérivées des fonctions circulaires
Les fonctions circulaires sont des fonctions indéfiniment dérivables dans
leurs domaines de définition. On alors :
y = sinx  y’ = cosx
y= cosx  y’ = -sinx
(11)
 y’ = 1+tg²x = 1/cos²x
y = tgx
Pour x au voisinage de 0 ( x< 3°) on a les développements limités suivants :
sinx = x – x3/6 + …..
cosx = 1 – x²/2 + …..
tgx = x – x3/3 +……
(12)
Pour les valeurs remarquables, on le tableau suivant :
a (en radians)
0
 / 6 = 30°
 / 4 = 45°
 / 3 = 60°
sin a
0
1
2
cos a
1
2
2
2
2
3
2
1
2
tg a
3
2
3
3
0
3
1
 / 2 = 90°
1
0
+
II.5. LES ESPACES EUCLIDIENS
R3 = x =(a,b,c)  où a,b,c sont les composantes du vecteur x.
II.5.1. Les Bases d’un espace vectoriel de dimension fini
Définition : Un ensemble (ei) de l’espace vectoriel V est une base de V si :
a) les vecteurs (ei) sont indépendants   i e i  o  i  0  i
(13)
i
b) tout vecteur x s'exprime d'une manière unique en fonction de ei donc
 x  V,  i uniques / x   i e i
i
1 
0
 0
 
 
 
Exemple : dans R , e1 =  0  ; e 2  1  ; e 3   0 
 0
0
1 
 
 
 
(e1, e2,e3) est une base dite base canonique de R3.
3
II.5.2.Norme d'un vecteur
Si x = (,,) alors x =  ²   ²   ²
GéomaTiqua
(14)
(15)
27
II.5.3.Produit scalaire de 2 vecteurs
Soient x = (,,) et x' = (',',') alors:
x.x' = .' + .' + .'
(16)
et x.x' est un réel
On a aussi : x.x' = xx'.cos(x,x')
(17)
II.5.4. Produit vectoriel de 2 vecteurs
Soient x = (,,) et x' = (',',') ,alors le produit vectoriel des vecteurs x et x'
est le vecteur y noté x x' telque y soit orthogonal au plan engendré par x et x' et
que (x,x',y) forme un repère direct.
On écrit :

'
 ' '


 ' =  '  '
'
 ' -  '

(18)
les composantes du vecteur y.
On a aussi
y =xx'.sin(x,x')
De plus, on a les propriétés suivantes :
x y = -y x
x x = o
(19)
(20)
II.6. LE CALCUL MATRICIEL
 a11.......... ...a ai .......... ....a1n 


 a 21.......... ...a 2i .......... ....a 2n 
 .......... .......... .......... .......... . 

A
 .......... ......... a ji .......... ....a jn 


 .......... .......... .......... .......... . 
 a .......... ...a .......... .....a 
mi
mn 
 m1
(21)
Le tableau A =(aij) s'appelle matrice de m lignes et n colonnes.
Si m = n, A est dite matrice carrée d'ordre n. Dans la suite, on considère les
matrices d'ordre n.
II.6.1.Opérations sur les Matrices
- soit A= (aij) et B= (bij) et C= A+B. L'élément cij de C est telque cij = aij + bij i,j =
1,2,…n
- soit C = µA où µ est un réel, alors C= (cij) avec: cij = µ.aij i,j = 1,2,…n
- soit C= A.B le produit de 2 matrices carrées, alors C = (cij) telque :
n
c ij   a ik .b kj
pour i, j  1,2 .....n
(22)
k 1
GéomaTiqua
28
-
on a A.B  B.A en général .
la matrice O = ( 0 ) matrice dont tous les éléments sont nuls est la matrice
neutre pour l'addition :
A+O=O+A=A
(23)
- la matrice unité I = (ij)
avec ij =1 si i=j et ij = 0 si i  j c-à-d que les éléments
diagonaux de I sont égaux à 1 et les autres sont égaux à0.
1 0 0 .......... ...0 


 0 1 0 .......... ...0 
(24)
I
.......... .......... .....0 


 0......... .......... ....1. 


alors
A.I = I.A = A
(25)
Donc I est l'élément neutre pour la multiplication des matrices.
II.6.2.Propriétés des Matrices
Matrice symétrique, soit A =(aij) ,
A est symétrique  aij = aji pour i,j = 1,2,….n
(26)
Matrice transposée : soit la matrice A =(aij) et B= (bij) .
B est la matrice transposée de A  bji = aij pour i,j = 1,2,….n, et on note :
B  At
(27)
t
Matrice antisymétrique : A est antisymétrique  A = - A
(28)
soit aii = 0 pour i = 1,2,….n.
A =(aij) une matrice définie positive est une matrice carrée telle que :
x  o , on a xt .A.x  0 .
(29)
Une matrice orthogonale est une matrice A où toutes les lignes ou colonnes ci
vérifient :
cti. cj = 0 si i j et =1 si i=j .
Alors A-1= At .
(30)
Soit A la matrice :
a b

A = 
c d 
Alors le déterminant de A est égal à dét(A) = a.d – b.c
(31)
Et on note
Dét(A) =
a b
 ad  bc
c d
Théorème : si dét(A) est non nul, alors la matrice A est inversible.
Soit la matrice d'ordre 3 :
a b c 


b' c'
b c
b c
- a'
 a"
A =  a' b' c'  alors dét(A) = a.
b" c"
b" c"
b' c'
 a" b" c"


GéomaTiqua
(32)
29
III. LA TRIGONOMETRIE SPHERIQUE
La trigonométrie sphérique établit les relations liant les grandeurs
caractéristiques d’un triangle sphérique.
III.1.Le Triangle Sphérique:
On considère une sphère de centre un point O et de rayon l’unité et trois
points sur la sphère A,B, et C .On appelle triangle sphérique la figure formée par les
3 arcs de grands cercles AB,AC, et CB inférieurs à 200 grades.
A
b
c
a
C
B
Les grandeurs qui caractérisent le triangle sphérique ABC sont :
les 3 côtés notés respectivement a, b, c, équivalents aux angles au
centre des directions OA,OB,OC soit :
a = (OB,OC),
-
-
b = (OA,OC),
c = (OA,OB)
les 3 angles dièdres des faces du trièdre OA,OB,OC notés A,B,C.
Remarquons que les angles et côtés du triangle sont des grandeurs mesurables
par des angles.
III.2. Les Formules de la Trigonométrie Sphérique
Un triangle sphérique est entièrement défini par la donnée de 3 de ses 6 éléments.
Alors entre 4 éléments quelconques, il y a les relations suivantes :
3 côtés, 1 angle : 3 relations,
3 angles, 1 côté : 3 relations,
2 côtés, 2 angles (opposés aux côtés) : 3 relations,
2 côtés, 2 angles (adjacents aux côtés) : 6 relations.
III.2.1.La Formule Fondamentale
cosa = cosb.cosc + sinb.sinc.cosA
GéomaTiqua
(1)
30
III.2.2.La Formule des Sinus
s in A s in B s in C


s in a
s in b
s in c
III.2.3. Formules des sinus cosinus
sina.cosB = cosb.sinc- cosc.sinb.cosA
(2)
(3)
III.2.4. Formule des cotangentes
sinA.cotgB = cotgb.sinc – cosc.cosA
(4)
III.3.L’Excès Sphérique
On note T la surface du triangle sphérique ABC, on alors
A + B+ C =  + T/R² =  + 
 (rd) = T/R² =
(5)
T Aire ABC

 excès sphérique
R²
R²
(6)
C
A
B
IV. GEOMETRIE DE LA SPHERE
ET DE L'ELLIPSOIDE DE REVOLUTION
IV.1. Représentation de la sphère
Définition : la sphère (S) de rayon R est l’ensemble des points (X, Y, Z) de R3 telque :
X² +Y² + Z² = R²
On peut paramétrer la sphère par les coordonnées ( , ) d’où :
X = R.cos.cos
Y = R.cos.sin
Z = R.sin
GéomaTiqua
31
Z
M

O
Y

X
IV.2.Géométrie de l'Ellipse
IV.2.1.Définition : L'ellipse est le lieu des points dont la somme des distances à
deux points fixes ou foyers est constante:
MF + MF' = constante=2a
(1)
M
F’
F
Où a est dit le demi-grand axe de l'ellipse.
Une autre définition de l'ellipse est la transformée par affinité d'un cercle dans le
rapport b/a où b est le demi-petit axe.
Y
M’
M

O
m
X
Soit 
l'angle mOM',  est dit latitude paramétrique ou réduite, d'où les
coordonnées de M sur l'ellipse sont:
GéomaTiqua
32
M
X  a.cos

Y  b.sin
(2)
Dans le système d'axes Ox, Oy, l'équation de l'ellipse s'écrit aussi :
X² Y²

1
a²
b²
-
(3)
On appelle
aplatissement
la
quantité
(4)
la première excentricité e /
(5)

=
(a
-
b)/a
e² = (a² - b²)/a²
IV.2.2.Equations paramétriques de l'ellipse
En faisant intervenir l'angle  de la normale en M avec le grand-axe.
M

Alors les équations paramétriques de l'ellipse en fonction de  sont :
a. cos

X  a.cos  1  e ². sin ²

M
b² . sin 
Y  b.sin 

a
1
 e ². sin ²

On pose :
N( ) 
a
1  e². sin ²
(6)
(7)
N est appelé la grande normale.
Les équations paramétriques de l'ellipse deviennent :
a. cos

 N( ).cos
X  a.cos 
1

e
².
sin
²


M
b². sin 
Y  b.sin 
 (1  e²).N( ).sin

a 1  e². sin ²

GéomaTiqua
(8)
33
IV.3.Géométrie de l'Ellipsoïde de Révolution
On va étudier les propriétés de l'ellipsoïde de révolution obtenu par la
rotation d'un ellipse autour du demi petit-axe comme le montre la figure ci-dessous:
Z
M
h

Y

X
-
IV.3.1.Les coordonnées géodésiques d’un point
Les coordonnées géodésiques définies sur l'ellipsoïde de révolution sont:
la longitude  : angle du plan méridien du point M avec le plan méridien
origine, dans notre cas , le plan origine est le plan XOZ.
La latitude  : angle de la direction de la normale au point M avec le
plan équatorial,
L'altitude ellipsoidique h: si le point n'est pas sur l'ellipsoïde .
Si h  0,alors les coordonnées tridimensionnelles du point M sont :
X  ( N  h).cos .cos

M Y  ( N  h).cos .sin
Z  ( N.(1 - e²)  h).sin

(10)
V. LES SYSTEMES GEODESIQUES
V.1.INTRODUCTION
Parmi les buts de la géodésie, on trouve la définition et la mise en place de
systèmes géodésiques.
A un système géodésique, il lui est associé le réseau géodésique de base. Nous
verrons par la suite l’établissement et le calcul des réseaux géodésiques.
GéomaTiqua
34
-
V.2.DEFINITION D’UN SYSTEME GEODESIQUE
Un système géodésique donné est un système de coordonnées où sont
représentés les points géodésiques. Il est défini par :
son origine,
son orientation,
le type de coordonnées pour localiser les points.
Le système le plus utilisé est le système cartésien formé par un repère
(OX,OY,OZ) tel que l’axe OZ soit parallèle à l’axe de rotation de la Terre , et le plan
OXZ parallèle au méridien de Greenwich origine des longitudes, l’axe OY est tel que
le trièdre (OX,OY,OZ) soit orthogonal et direct. A ce système, on lui associe une
base orthonormée (e1, e2, e3) c’est-à-dire :
║e1║=║e2║=║e3║= 1 = l’unité des longueurs = le mètre
Z
e3
O
e1
e2
Y
X
Le modèle choisi de la surface topographique est un ellipsoïde de révolution
dont l’origine coïncide avec le point O. Les coordonnées choisies sont les coordonnées
géodésiques (, , h).
II.2.Les Référentiels géocentriques
Un référentiel est dit géocentrique si son origine est au voisinage du centre de la
Terre, on distingue:
A. les référentiels terrestres:
Z
e3
e2
e1
O
GéomaTiqua
X
Y
35
- l’origine est positionnée à 500 m environs du centre de masse de la Terre.
- ce sont des référentiels nationaux,
- exemples: Carthage(Tunisie), Voirol(Algérie), Merchich (Maroc).
-
B. Les référentiels spatiaux:
l’origine est située presque au centre de la Terre (<2m),
Z
e3
e2
e1
O
Y
X
II.3. Les référentiels topocentriques
Un référentiel est dit topocentrique si son origine est sur la surface topographique
Z
y
z
B
A
x
Y


X
II.4. Orientations des Référentiels
Pour les référentiels terrestres, l’orientation se faisait à l’aide de l’observation d’un
point de Laplace soit la détermination de (,) astronomiques et l’observation de
l’azimut astronomique d’une direction Aza.
GéomaTiqua
36
On appliquait, l’équation de Laplace, pour contrôler l’orientation du système:
Azg  Aza  (g  a ) sin
(1)
Pour les référentiels spatiaux, l’orientation est obtenue d’après la définition même
du référentiel spatial.
L’observation d’un premier point par l’astronomie de position détermine les
coordonnées géodésiques de ce point en prenant :
géodésique = astro
(2-a)
géodésique = astro
(2-b)
avec astro et astro sont respectivement la latitude et longitude astronomiques..
Ce premier point est dit Point Fondamental du système géodésique. Ce qui
implique qu’au point fondamental la normale à l’ellipsoïde est confondue avec la
verticale.
Pour pouvoir déterminer un deuxième point, on observe sa distance au premier
point. Cette distance est déterminée à partir d’une mesure d’une base avec précision
au voisinage des deux points.
Pour les systèmes géodésiques classiques, on a 2 systèmes indépendants : l’un
pour les coordonnées horizontales et un autre pour la composante verticale.
Les réseaux planimétriques ou horizontaux sont déterminés à partir des
observations de triangulation (mesures angulaires) ou de trilatération (mesures des
distances) réduites à l’ellipsoïde adopté.
Par contre, le système altimétrique est observé par le nivellement de précision
et la référence des altitudes est déterminée à partir des observations du niveau
moyen des mers(par les marégraphes).
VI. LES DIFFERENTS SYSTEMES GEODESIQUES
EN USAGE EN TUNISIE
VI. Les Systèmes Géodésiques en Tunisie
VI.1. Le Système Géodésique ‘VOIROL’
C’était le premier système géodésique en Tunisie caractérisé par :
- le point fondamental (point de départ) : Voirol près d’Alger créé en 1875,
- la surface de référence c’est-à-dire le modèle choisi pour la Terre est l’ellipsoïde
de Clarke Français 1880 (a=6378249.200 m , f=1/293.46602) avec a le demi grand
GéomaTiqua
37
axe de l’ellipsoïde et f est l’aplatissement = (a-b)/a,
- l’orientation de départ est l’azimut de la direction Voirol-Meleb El Kora, mesuré en
1874,
- une distance ou base à Blida en Algérie mesurée en 1854.
Une grande partie du premier réseau géodésique Tunisien était calculé dans ce
système.
VI.2. Le Système Géodésique ‘CARTHAGE 34’
A la suite de la détection d’une erreur dans la mise à l’échelle du système Voirol
en 1910 et vu sa qualité, le Service Géographique de l’Armée Française (S.G.A.F) a
établi un nouveau système géodésique indépendant du système Voirol Les éléments
de définition de ce système sont :
- le point fondamental : le point Carthage en Tunisie,
- l’ellipsoïde de référence : l’ellipsoïde de Clarke Français 1880,
- l’azimut de l’orientation : la direction Carthage – Bir Bou Regba,
- la mise à l’échelle : les bases de Tunis et de Médenine.
VI.3. Les Travaux de Modernisation des Réseaux Géodésiques Tunisiens : le
système CARTHAGE86
Grâce à la prise de conscience à la Direction de la Topographie et de la
Cartographie (DTC),de l’importance des Sciences Géographiques et en particulier de
l’aspect géodésique, un protocole d’accord entre la DTC et l’Institut Géographique
National de France (IGNF) a été conclu en Septembre 1972 .
Cet accord concerne l’étude et l’analyse des calculs de compensation des
réseaux géodésiques Tunisiens du 1er et 2ème ordre. L’analyse de l’état de ces
réseaux a montré des insuffisances aux niveaux de la qualité de l’échelle (1/40000 à
1/30000) et de l’orientation (15dmgr à 25dmgr ). De plus, de nombreux points
géodésiques ont disparu et ont été détruits d’où la nécessité de reprendre des
travaux géodésiques pour revaloriser les réseaux géodésiques tunisiens.
Et c’est à partir de 1978, l’OTC a décidé de moderniser les réseaux géodésiques
tunisiens afin de satisfaire les besoins cartographiques et topographiques du pays en
commençant par les réseaux de base.
Les travaux de revalorisation de la géodésie Tunisienne comprenaient :
- la réfection des anciens points du 1er ordre, du 1er ordre complémentaire, du 2ème
ordre et du 2ème ordre complémentaire,
- la construction de nouveaux points sur les sites des anciens points disparus,
- la densification de l’ancien réseau par de nouveaux points,
GéomaTiqua
38
- les observations angulaires azimutales et zénithales,
- la détermination de 8 points de Laplace,
- la mesure des côtés de 8 triangles géodésiques,
- la détermination de 5 points par la méthode Doppler,
- la compensation des observations terrestres avec les données Doppler pour obtenir
les nouvelles coordonnées du nouveau réseau.
Les observations des 8 points de Laplace et la mesure des côtés des 8 triangles
géodésiques, les observations et le calcul des 5 stations Doppler ainsi que la
compensation du réseau géodésique ont fait l’objet de la convention n° 2916 signée
entre l’OTC et l’IGNF en 1982.
Le nouveau réseau géodésique appelé Réseau Géodésique Primordial (RGP) est
composé de 338 points. La compensation des nouvelles observations a donné un
nouveau système géodésique déduit du système CARTHAGE34 par une rotation de
20 dmgr environ ce qui va fait changer les coordonnées de 0 à 16 m suivant
l’éloignement du centre de la rotation. Ce nouveau système a été utilisé qu’en
cartographie à petites échelles.
Ayant les nouvelles observations, un calcul de compensation a été fait en 1986,
en fixant les coordonnées des points anciens dans CARTHAGE34, en trois blocs,
définissant le système géodésique CARTHAGE86. Ce système présente différences
allant jusqu’à un mètre avec le système CARTHAGE34. Le réseau géodésique
secondaire a été calculé en utilisant les coordonnées des points primordiaux de
CARTHAGE86.
-
-
VI.4. Le nouveau système géodésique Tunisien : La Nouvelle Triangulation
Tunisienne NTT
Au vue des problèmes des systèmes géodésiques en Tunisie et dans le but de
l’unification des systèmes géodésiques en usage, il a été créé en décembre 2004
une commission technique permanente chargée de l’étude de la géodésie à l’OTC.
Lors de sa réunion n°10 du 23 Mars 2004, la commission a adopté le calcul de l’IGN
comme nouveau système géodésique terrestre Tunisien appelé ‘NTT’ la Nouvelle
Triangulation Tunisienne. Ce nouveau système est défini par les éléments suivants :
ellipsoïde
de
référence :
l’ellipsoïde de Clarke Français 1880
(a=6378249.200 m , f=1/293.46602) avec a le demi grand axe de l’ellipsoïde et
f est l’aplatissement = (a-b)/a,
Fixation des coordonnées de 5 points dans CARTHAGE34 (J. Hamid, Bou
Rebeh, J. Semmama, Ain Abdour, Henchir Hajjar), avec un écart-type de 50 cm,
Azimuts d’Orientation : les 8 azimuts astronomiques observés,
Les bases : 24 distances observées dans les huit triangles,
Compensation en un seul bloc.
GéomaTiqua
39
VII. LES RESEAUX GEODESIQUES
VII.1. Introduction
L’un des buts de la Géodésie est l’établissement des réseaux géodésiques dans un
territoire donné. Ces réseaux géodésiques vont constituer l’ossature des travaux
cartographiques et topographiques.
-
-
-
Généralement, la région à cartographie est une vaste zone très étendue. Les
procédés topographiques comme les polygonales ne peuvent pas être utilisés et c’est
dû :
Premièrement, la surface topographique n’est pas un plan mais plutôt un
sphéroïde. Ainsi la sphéricité de la Terre est négligée dans les travaux
topographiques. De plus, les corrections de la représentation plane ne sont pas
prises en compte,
Deuxièmement, vu l’étendue de la zone, les levés topographiques ne peuvent
pas être faits à partir d’une seule polygonale. On est amené à faire plusieurs
polygonales, celles-ci sont déterminées les unes indépendantes des autres ainsi
que leurs compensations ou ajustements.
Le groupement de ces polygonales va cumuler les erreurs dès qu’on s’éloigne de la
polygonale choisie polygonale de départ. Aussi, on ne peut laisser les erreurs,
tolérées pour une polygonale, se cumuler et falsifier la position des points.
Le but de la géodésie est la détermination avec précision de ces points dispersés
sur tout le territoire objet de la carte.
VII.2. Définition d’un Réseau Géodésique
Un réseau géodésique est généralement constitué par une chaîne de triangles où
les sommets représentent les points géodésiques souvent matérialisés aux sommets
des montagnes et des constructions et bâtiments élevés (châteaux d’eau, phares,...).
Ce réseau de triangles couvre l’ensemble du territoire. Les coordonnées des points
géodésiques sont déterminées dans le système géodésique du pays.
VII.3. La Structure des Réseaux Tunisiens
A. Avant 1978
Avant 1978, les réseaux géodésiques tunisiens étaient structurés comme suit :
un réseau du premier ordre,
un réseau du premier ordre complémentaire,
un réseau du deuxième ordre,
un réseau du deuxième ordre complémentaire,
un réseau du troisième ordre,
un canevas de points astronomiques au sahara.
GéomaTiqua
40
Le calcul a été fait en petits blocs de points. Le premier ordre est calculé le
premier, le second ordre s’appuyait sur le premier ordre et ainsi de suite. Les
coordonnées des points sont généralement exprimées en coordonnées rectangulaires
planes Lambert Nord Tunisie ou Lambert Sud Tunisie.
B. Après 1978
Les travaux de revalorisation de la géodésie tunisienne entamés à partir de
1978 ont défini deux réseaux géodésiques terrestres :
le Réseau Géodésique Primordial Tunisien : les distances entre les points
varient de 7-8 km à 15-23 km,
le Réseau Géodésique Secondaire Tunisien : les distances entre les points
varient de3-4 km à 7-8 km,
VIII. LA REPRESENTATION PLANE LAMBERT
-
VIII.1.Définition et Propriétés
La représentation plane Lambert est une représentation :
- conique : on utilise les coordonnées polaires R et ,
conforme : conservation des angles ou l’altération angulaire est nulle,
directe : les coordonnées polaires sont des fonctions de la forme :
R = R()
 = ()
où (, ) sont les coordonnées d’un point sur le modèle ellipsoidique.
S
s
M
m
0


Les images des méridiens et parallèles sont respectivement des droites
concourantes en un point S et des cercles de centre ce dernier point.
VIII.2. Expression des Coordonnées Polaires
On démontre que les équations de la représentation plane Lambert :
() = sin0.( - 0)
(2-a)
R() = N0cotg0.exp(-sin0( L() – L(φ0) ) )
(2-b)
GéomaTiqua
41
avec 0 la longitude du méridien central, 0 la latitude géodésique du parallèle
origine et L() la latitude isométrique donnée par :
L( )  Log (tg (

4


2
)) 
1  e. sin 
e
Log (
)
2
1  e. sin 
VIII.3.Expression des Coordonnées Cartésiennes
Soit un point M(, ) ayant pour coordonnées polaires (,R), prenons un
système d’axes (x,y) telque Ox est porté par l’image du méridien origine dirigé vers
le Nord et l’axe Oy par la tangente à l’image du parallèle origine et dirigé vers
l’Ouest.
X

M
Y
S
M’
O
Soit S le point de Ox telque OS = R0 = R(0)
Alors :
ou encore :
y = M’M = - Rsin
x = OS – SM’ = R0 - Rcos
y = - Rsin = - Rsin( ( - 0)sin0 ) )
x = R0 - Rcos = R0 - Rcos( ( - 0 )sin0 ) )
(4-a)
(4-b)
avec  comptée positivement à l’Est du méridien origine des longitudes. Ce système
de coordonnées est utilisé par les services régionaux dans les travaux de
l’immatriculation foncière.
VIII.4. Le Module Linéaire – L’Altération Linéaire
Définition : on appelle module linéaire m en un point le rapport dS/ds où dS et ds
représentent respectivement des distances infinitésimales respectivement sur le
plan et sur le modèle ellipsoidique ou sphérique de la terre.
m 
d is ta n c e in f in ité s im a le s u rle p la n
dS

d is ta n c e in f in ité s im a le s u rle m o d è le
ds
Définition : On appelle altération linéaire en un point la quantité : E = m – 1
(5)
(6)
Cas de la représentation Lambert :
GéomaTiqua
42
Le module linéaire est donné par :
m( ) 
1  e² sin ² . cos  0 e  sin 
0
( L ( )  L ( 0 ))
(8)
1  e² sin ² 0 . cos 
VIII.5.Convergence des Méridiens
Définition : On appelle convergence des méridiens en un point le gisement de l’image
du méridien passant par le point. Elle est donnée par :
X
S
  (  0 ) sin  0
(9)

M
Y
O
VIII.6.Correction de la réduction à la corde
Sur le terrain, on observe une direction AB. Sa transformée sur le plan de la
représentation n’est pas une droite, mais une courbe tournant sa concavité vers
l’image du parallèle origine.
B
A
b
a
   0 
d
Sur le plan, pour passer de l’arc ab à la corde ab, on apporte une correction à la
lecture de la direction AB ou ab. Cette correction est appelée la correction de
réduction à la corde. Elle est donnée par :
dv (en dmgr ) 
( R0  R(1 / 3))
.d
2 N 0  0 sin 1"
(10)
avec :
-
-
R(1/3) : la valeur de R au point se trouvant à la distance
AB
de A dans la
3
direction AB,
dλ : la différence de longitudes en km des 2 extrémités de la visée AB,
- N0= a/(1-e²sin²0) et ρ0 = a(1-e²)(1-e²sin²0)-3/2 exprimés les deux en km,
GéomaTiqua
43
-
a le demi-grand axe de l’ellipsoïde.
VIII.7. Relation entre Azimut et Gisement
Pour passer de l’azimut géodésique sur le modèle ellipsoidique de direction AB au
gisement ab sur le plan de la représentation, on a la relation suivante :
G = Az - γ + dv
(11)
avec γ la convergence des méridiens au point A et dv la correction de réduction à la
corde.
Y
S
G

Az
b
a
d
VIII.8. Les éléments de définition des représentations Lambert Nord et Sud
Tunisie
Pour la Tunisie, la représentation en vigueur est la représentation Lambert. On a
défini deux représentations Lambert l’une pour le nord et une autre pour le sud.
Pour réduire les altérations linéaires, on multiplie les coordonnées (x,y) par un
facteur d’échelle k. Les coordonnées sont alors:
x = k(R0 - Rcos)
(12-a)
y = - k.Rsin
(12-b)
On passe des coordonnées (x,y) aux coordonnées (X,Y) translatées avec l’axe X vers
l’Est et Y vers le Nord par :
X = 500000.00 m – y
Y = 300000.00 m + x
(13-a)
(13-b)
x
Y
y
O
GéomaTiqua
O
X
44
Le module linéaire devient :
-
-
m’ = k.m
(14)
Lambert Nord Tunisie
parallèle origine 0 = 40 gr Nord = 36° Nord
longitude du méridien central 0
= 11 gr Est de Greenwich = 9°54’ Est
Greenwich
facteur d’échelle = k = 0.999625544
ellipsoïde de Clarke Français 1880 : a = 6378249.200 m e² = 0.0068034877
- constante en X = 500000.00 m ; constante en Y = 300000.00 m
Lambert Sud Tunisie
parallèle origine 0 = 37 gr Nord = 33° 18’ Nord
longitude du méridien central 0 = 11 gr Est de Greenwich = 9°54’ Est
Greenwich
facteur d’échelle = k = 0.999625769
ellipsoïde de Clarke Français 1880 : a = 6378249.200 m e² = 0.0068034877
- constante en X = 500000.00 m ; constante en Y = 300000.00 m
IX. LA REPRESENTATION PLANE
UTM (UNIVERSAL TRANSVERSE MERCATOR)
IX.I. Présentation de la représentation UTM
IX.1.1. Définition et Propriétés
La représentation UTM (Universal Transverse Mercator) est une des
représentations planes les plus utilisée dans le monde. C’est une représentation
cylindrique transverse conforme d’un modèle ellipsoidique:
cylindrique: on utilise les coordonnées X et Y,
conforme : conservation des angles ou l’altération angulaire est nulle,
transverse : les coordonnées X et Y sont des fonctions de (, ) où (, )
sont les coordonnées d’un point sur le modèle ellipsoidique,
X = X(, )
Y = Y(, )
Ses propriétés fondamentales sont :
L’image de l’équateur de l’ellipsoïde est l’axe ox du plan.
L’image du méridien de longitude 0 , appelé méridien central, est l’axe oy.
GéomaTiqua
45
Avant réduction d’échelle, le méridien central est automécoique. On
applique une réduction d’échelle de coefficient k=0.9996 pour réduire l’altération
linéaire.
Elle est universelle, les formules des coordonnées sont les mêmes car elles
dépendent de - 0 ,  et des paramètres de l’ellipsoïde de référence.
Y
[λ- λ 0]
[φ=0]
O
X
Les images des parallèles de l’hémisphère nord et des méridiens sont des arcs
de courbes qui se coupent sous un angle droit et dont les concavités sont tournées
respectivement vers le nord et l’axe des Y.
Les courbes coordonnées  = constante et  = constante sur le modèle sont
orthogonales et leurs images dans le plan le sont aussi.
IX. 2.Indicatrice de Tissot
La représentation est conforme, par suite l’altération angulaire est nulle,
l’indicatrice de Tissot est un cercle et le module linéaire ne dépend pas de la
direction mais seulement du point et on a l’équivalence entre :
Altération angulaire nulle  m = m  m = m
(2)
GéomaTiqua
46
où  désigne ‘direction’.
IX. 3.Expression des Coordonnées Cartésiennes (X,Y)
En posant :
N= a/(1-e²sin² )1/2
² = e'²cos²
t = tg() = tg
et



 ( )   ds   d  a(1 - e²) (1 - e²sin² )
0
0
3 / 2
(3)
(4)
(5)
d
(7)
0
où () est la longueur de la méridienne entre 0 et .
avec - a : le demi-grand axe de l’ellipsoïde de référence
- e² : le carré de la première excentricité = (a²-b²)/a²
- e'²: le carré de la deuxième excentricité
e'²=e²/(1-e²)
(8)
(9)
on démontre que les formules définitives du calcul direct sont donc :
(10)
x = (-0)N.cos + (-0) N.cos .(1– t²+²)/6+ (-0) N.cos .(5–18t²+t +14² - 58²t² +
134)/120+ (-0)7N.cos7.(61 + 131t² + 179t4 + 331² – 3298t²² )/5040
3
3
5
5
4
y = () +(-0)²N.cos.sin /2+ (-0)4N.cos3.sin.(5 – t² +9² +44 )/24+
(-0)6 Ncos5.sin.(61 – 58t² + t4 + 270²– 330²t² + 2004 – 2324t²)/720
Avec 0 la longitude du méridien central. L’expression de ()
donnée par :
(11)
( en radians ) est
(12)
() = a(1-e²).(C0 + C2sin2 + C4sin4 + C6sin6 + C8sin8 + C10sin10 + C12sin12…)
Les coefficients Ci sont donnés par :
(13)
4
6
8
C0=1 + 3e²/4 + 45.e /64 + 175.e /256 + 11025.e /16384+
+ 43659.e10/65536 + 693693.e12/1048576
GéomaTiqua
47
C2 = - ( 3.e²/8 + 15.e4/32 + 525.e6/1024 + 2205.e8/4096 + 72765e10/131072 +
297297e12/524288)
C4 = 15.e4/256 + 105.e6/1024 + 2205.e8/16384 + 10395e10/65536 +
+ 1486485e12/8388608
C6 = - ( 35.e6/3072 + 315.e8/12288 + 31185.e10/786432 +
165165.e12/3145728 )
C8 = 315.e8/131072 + 3465.e10/524288 + 99099.e12/8388608
C10 = - 693.e10/1310720 – 9009.e12/5242880
C12 = 1001.e12/8388608
Les valeurs numériques de ces coefficients pour l’ellipsoïde de Clarke Français sont:
C0 = 1.005135378
C2 = - 0.002573167
C4 = 2.7447x10-6
C6 =- 3.6434x10-9
(14)
-12
C8 = 5.2466x 10
C10 = - 7.877x10-15
C12 = 1.183x10-17.
Le calcul montre qu‘on peut négliger les coefficients C10 et C12 .
En général, on applique à x, y un coefficient de réduction k = 0.9996 et une
constante de translation en x de 500000 m, les coordonnées obtenues sont :
X = k.x + 500000
Y = ky
(15-1)
(15-2)
IX. 4.Expression des Coordonnées ( , )
Dans ce paragraphe, on va décrire le passage des coordonnées cartésiennes
(X,Y) aux coordonnées ( , λ).
1.
(X,Y) ===> (x,y) avec x = (X – 500000)/k et y = Y/k.
2.
On calcule ’ par la résolution de (’) = y (par itération).
3.
On calcule t’ = tg(’) = tg’ et ’² = e'²cos²’.
4.
On calcule la latitude isométrique L’ = L(’) avec L() donnée par la formule
ci-dessous :
L( )  Logtg ( / 4   / 2) 
5.
1  e sin 
e
Log (
)
2
1  e sin 
(16)
On calcule λ et L par les formules (17) ci-dessous :
GéomaTiqua
48
(17)
4
x
3 1  2t '²   '²
5 5  28t '²  24t ' 6 '²  8t '² '²
  0 
x
x
N ' cos  '
6 N ' 3 cos  '
120 N ' 5 cos  '
L  L' x ²
6.
4
tg '
tg ' (5  6t '²   '²  4 ' 4 )
6 tg ' (61  180t '²  120t ' 46 '²  48 '²t '²)
 x4

x
2 N '² cos  '
24 N ' 4 cos  '
720 N ' 6 cos  '
Ayant L, on détermine  par itérations à partir de (16).
IX.5. Les Eléments de définition de l’UTM Tunisie
Ellipsoïde de référence = ellipsoïde Clarke Français (a= 6378249.200 m et b =
6356515.000 m ou e² = 0.0068034877)
Latitude parallèle origine = 0 = 0 gr = 0°
Longitude méridien origine = 0 = 9° Est Greenwich ou fuseau n°32
Facteur d’échelle = k = 0.9996
Constante translation X = 500 000 m
Constante translation Y = 0 m
Amplitude de la longitude = 6° <  <11°
IX.6. Module linéaire et Altération linéaire
Le module linéaire en un point M( , ) exprime le rapport:
m
dS
" distance plan"

ds " distance ellipsoide "
(18)
On démontre que l'expression du module linéaire au point M est donnée par la
formule ci-dessous :
m( ,  )  k 1   ²(1   ²) cos ²
On appelle altération linéaire :
=m–1
(19)
(20)
Soit De la distance réduite à l’ellipsoïde de référence, la distance réduite au plan de
la représentation est donnée par :
Dp = m.De = (1+ ) De = De + .De
(21)
 s’exprime généralement en cm/ km .
GéomaTiqua
49
IV. Convergence des Méridiens
Le gisement de l’image du méridien appelé ‘ convergence des méridiens’ et noté par 
en un point M(, ) est donné en première approximation par la formule :
(22)
tg  (   0 ) sin 
 est comptée dans le sens des gisements. Le signe de  sera déterminé en fonction
de la position du point par rapport au méridien central.
XI. REFERENCES
1.
Chedly Fezzani,1979. Analyse de la Structure des Réseaux AstroGéodésiques Tunisiens. Thèse de Docteur Ingénieur, septembre 1979, ENSG,
IGN, Paris.
2.
J. Lemenestrel, 1980, Cours de géodésie, ENSG,IGN, Paris.
3.
J. Commiot. 1982.Cours de cartographie mathématique, ENSG,IGN, Paris.
4.
Abdelmajid Ben Hadj Salem, 1997.cours de géodésie, OTC.
GéomaTiqua
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