Fiche méthode 06 – Signe d `une fonction – Comparaison de

Seconde – Lycée Desfontaines – Melle
Fiche méthode 06 – Signe d ’une fonction – Comparaison de fonctions
I.
Signe d’une fonction
Définitions :
Etudier le signe d’une fonction f consiste à étudier le signe de son expression algébrique f( x) en fonction des valeurs de x, pour x
appartenant à l’ensemble de définition de f.
Interprétation graphique :
Soit C la courbe représentative d’une fonction f.
•
Dire que pour tout x appartenant à un intervalle I de Df , f( x) est strictement positif revient à dire que Cf est strictement au
dessus de l’axe des abscisses pour tout x appartenant à I. Autrement dit, les solutions de l’inéquation f( x)>0 sont les
abscisses des points de Cf situés strictement au dessus de l’axe des abscisses.
•
Dire que pour tout x appartenant à un intervalle I de Df , f( x) est strictement négatif revient à dire que Cf est strictement en
dessous de l’axe des abscisses pour tout x appartenant à I. Autrement dit, les solutions de l’inéquation f( x)<0 sont les
abscisses des points de Cf situés strictement en dessous de l’axe des abscisses.
•
Dire que f( a)=0 (avec a☻Df ) revient à dire que Cf coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse a. Autrement dit, les
solutions de l’équation f( x)=0 sont les abscisses des points d’intersection de Cf avec l’axe des abscisses.
II.
Comparaison de fonctions
1. Définition
Définition :
Comparer deux fonctions f et g, c’est comparer f( x) et g(x) en fonction des valeurs de x, pour x appartenant à Df ∩Dg , c'est-à-dire,
c’est déterminer les valeurs de x pour lesquelles f( x)>g( x), les valeurs de x pour lesquelles f( x)<g( x) et les valeurs de x pour
lesquelles f( x)=g( x).
Méthode :
Pour comparer deux fonctions f et g, on peut étudier le signe de f−g, càd le signe de f( x)−g( x) pour x appartenant à Df ∩Dg .
f( x)−g( x)>0ñf( x)>g(x)
En effet, f( x)−g( x)<0ñf( x)<g( x)
f( x)−g( x)=0ñf(x)=g( x)
2. Interprétation graphique
Soient Cf et Cg les courbes représentatives de deux fonctions f et g.
• Dire que pour tout x appartenant à un intervalle I (inclus dans Df ∩Dg ), f( x)>g( x) revient à dire que Cf est strictement au
dessus de Cg pour tout x de I. Autrement dit, les solutions de l’inéquation f( x)>g( x) sont les abscisses des points de Cf
situés strictement au dessus de Cg .
•
Dire que pour tout x appartenant à un intervalle I (inclus dans Df ∩Dg ), f( x)<g( x) revient à dire que Cf est strictement en
dessous de Cg pour tout x de I. Autrement dit, les solutions de l’inéquation f( x)<g( x) sont les abscisses des points de Cf
situés strictement en dessous de Cg .
•
Dire que f( a)=g( a) (a appartenant à Df ∩Dg ) revient à dire que Cf coupe Cg au point d’abscisse a. Autrement dit, les
solutions de l’équation f( x)= g( x) sont les abscisses des points d’intersection de Cf et Cg .
3. Comparaison à un réel
Définition :
Comparer une fonction f à un réel m, consiste à déterminer les valeurs de x pour lesquelles f( x)>m, les valeurs de x pour lesquelles
f( x)<m et les valeurs de x pour lesquelles f( x)=m.
FM 06 : Signe d’une fonction – Comparaison de fonctions
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Méthode :
Pour comparer deux fonctions f à un réel m, on peut étudier le signe de f−m, càd le signe de f( x)−m pour x appartenant à Df .
f( x)−m>0ñf( x)>m
En effet, f( x)−m<0ñf( x)<m
f( x)−m=0ñf( x)=m
Interprétation graphique :
Soient Cf la courbe représentative d’une fonction f.
• Dire que pour tout x appartenant à un intervalle I (inclus dans Df ), f( x)>m revient à dire que Cf est strictement au dessus de
la droite d’équation y=m pour tout x de I. Autrement dit, les solutions de l’inéquation f( x)>m sont les abscisses des points
de Cf situés strictement au dessus de la droite d’équation y= m.
•
Dire que pour tout x appartenant à un intervalle I (inclus dans Df ), f( x)<m revient à dire que Cf est strictement en dessous
de la droite d’équation y=m pour tout x de I. Autrement dit, les solutions de l’inéquation f( x)<m sont les abscisses des
points de Cf situés strictement en dessous de la droite d’équation y=m.
•
Dire que f( a)=m (a appartenant à Df ) revient à dire que Cf coupe la droite d’équation y=m au point d’abscisse a.
Autrement dit, les solutions de l’équation f( x)=m sont les abscisses des points d’intersection de Cf avec la droite d’équation
y=m.
III.
Exercices
Le plan est muni d’un repère (O,I,J)
Exercice 1
2x+3
.
5−x
1- Déterminer l’ensemble de définition de f.
2- Etudier le signe de f.
3- Interpréter graphiquement.
Soit f la fonction définie par f( x)=
Exercice 2
On donne la courbe représentative d’une fonction g. Avec la précision
permise par le graphique :
1. Déterminer l’ensemble de définition Dg de g.
2. Déterminer le sens de variation de g et dresser son tableau de
variation.
3. Déterminer le signe de g( x) en fonction des valeurs de x.
4. Résoudre : g( x)=2 ; g( x)Ã 3 ; g( x)<-2.
Exercice 3
2
Soient f et g les fonctions définies sur Ë par f(x)=( x+1) −9 et g(x)=( x−2)(2x+1).
Déterminer le signe de f( x)− g( x) sur Ë. En déduire la position relative de Cf par rapport à Cg .
Exercice 4
On donne ci-contre les courbes représentatives de deux fonctions f et g définies sur [-3;6].
Résoudre à l’aide du graphique f( x)=g( x) et f( x)>g(x).
Exercice 5
2x−1
.
3−x
Déterminer le domaine de définition Df de f.
Etudier le signe de f( x)−2 pour x appartenant à Df . En déduire la position de Cf par rapport à la droite d’équation y=2.
Soit f la fonction définie par f( x)=
1.
2.
Exercice 6 : Soient f et g les fonctions définies sur Ë par f( x)= x 2−4x+4 et g( x)=( x−2)(2x+3).
1. Etudier le signe de f( x) puis de g( x) en fonction des valeurs de x. en déduire la position relative de Cf puis de Cg par rapport
à l’axe des abscisses.
2. Etudier le signe de f( x)−4 en fonction des valeurs de x. En déduire la position de Cf par rapport à la droite d’équation y=4.
3. Etudier le signe de f( x)−g( x) en fonction des valeurs de x. En déduire la position de Cf par rapport à Cg .
4. Soit h la fonction définie sur Ë par h(x)=-4x+29 et soit D sa courbe représentative. Déterminer les coordonnées des points
d’intersection de Cf et de D.
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