Feuille d`exercices 3 : Analyse – Equations différentielles.

Université Denis Diderot Paris 7
(2013-2014)
TD Maths, Agro
Mathieu Merle : [email protected]
www.math.jussieu.fr/∼merle
Feuille d’exercices 3 : Analyse – Equations différentielles.
Exercice 1 Exprimer toutes les solutions des équations différentielles qui suivent.
1. f 0 (x) + f (x) = 1.
2. g 0 (x) + g(x) = exp(λx), avec λ un réel fixé.
3. h0 (x) + h(x) = cos2 (x).
4. u0 (x) + cos(x)u(x) = 0.
5. v 0 (x) +
1
x ln(x) v(x)
= 0,
0
6. w (x) + 2w(x) = cos(x).
Dans ce qui suit, c est une constante réelle.
1. f (x) = c exp(−x) + 1.
2. g(x) = c exp(−x) +
3. h(x) = c exp(−x) +
exp(λx)
λ+1 .
1
10 (2 sin(2x)
+ cos(2x) + 5) .
4. u(x) = c exp(− sin(x)).
5. v(x) =
c
ln(x) .
6. w(x) = c exp(−2x) + 15 (sin(x) + 2 cos(x)).
Exercice 2 Exprimer toutes les solutions des équations différentielles qui suivent
1. (1 + x2 )f 0 (x) − 2xf (x) = (1 + x2 )2 .
2. xg 0 (x) + g(x) = ex (sur R∗+ ).
3. h0 (x) +
1−2x
x2 h(x)
= 1 (sur R∗+ ).
2
4. u0 (x) + 2xu(x) = xe−x .
5. (1 + x2 )v 0 (x) + xv(x) = x.
6. x2 w0 (x) − w(x) = x2 − x + 1 (sur R∗+ ).
Dans ce qui suit, c est une constante réelle.
1. f (x) = c(x2 + 1) + x3 + x.
2. g(x) =
c
x
+
ex
x .
3. h(x) = cx2 exp
1
x
+ x2 .
4. u(x) = c exp(−x2 ) +
5. v(x) =
x2
2
exp(−x2 ).
√ c
x2 +1
+ 1.
6. w(x) = c exp − x1 + x − 1.
Exercice 3 Trouver toutes les solutions des équations différentielles qui suivent
1. f 00 (x) − 3f 0 (x) + 2f (x) = x2 + x + 1.
2. g 00 (x) − g 0 (x) = x2 .
1
3. h00 (x) − 2h0 (x) + h(x) = x2 .
4. u00 (x) + 4u0 (x) + 4u(x) = −e−x .
5. v 00 (x) + 4v(x) = sin(ax), pour a ∈ R.
6. w00 (x) − mw0 (x) + w(x) = 0, pour m ∈ R.
Dans ce qui suit, c1 et c2 sont deux constantes réelles.
1. f (x) = c1 exp(x) + c2 exp(2x) +
2. g(x) = c1 exp(x) + c2 −
1
2
3 x(x
x2
2
+ 2x + 3.
+ 3x + 6).
3. h(x) = c1 exp(x) + c2 x exp(x) + x2 + 4x + 6.
4. u(x) = c1 exp(−2x) + c2 x exp(−2x) − exp(−x).
sin(ax)
4−a2 .
trouve v(x) = c1 cos(2x) + c2 sin(2x) + 14 x cos(2x).
on obtient v(x) = c1 cos(2x) + c2 sin(2x) − 41 x cos(2x).
2
5. Si a2 6= 4, on obtient v(x) = c1 cos(2x) + c2 sin(2x) +
Lorsque a = −2, on
Enfin lorsque a = 2
6. Le discriminant de l’équation caractéristique est ∆ = m − 4.
Lorsque m2 > 4, on obtient donc
1
1p 2
1p 2
w(x) = exp( mx) c1 exp(
m − 4x) + c2 exp(−
m − 4x) .
2
2
2
Lorsque m2 = 4 on trouve
1
1
w(x) = c1 exp( mx) + c2 x exp( mx).
2
2
Enfin lorsque m2 < 4 on obtient
1p
1p
1
4 − m2 x) + c2 sin(
4 − m2 x) .
w(x) = exp( mx) c1 cos(
2
2
2
Exercice 4 On considère un paramètre m ∈ R, et l’équation
y 00 (x) − (m + 1)y 0 (x) + my(x) = ex − x − 1.
Résoudre, en discutant suivant les valeurs de m.
Dans ce qui suit c1 , c2 sont des constantes réelles.
L’équation homogène a pour équation caractéristique x2 − (m + 1)x + m = 0 de discriminant
∆ = (m − 1)2 , et de racines 1, m. Lorsque m 6= 1 on obtient donc comme solution générale de
l’équation homogène
yh (x) = c1 exp(x) + c2 exp(mx).
Lorsque m = 1, on trouve
yh (x) = c1 exp(x) + c2 x exp(x).
Reste à trouver une solution particulière. Remarquons qu’une telle solution particulière peut
s’écrire y1 + y2 avec
y100 (x) − (m + 1)y10 (x) + my1 (x) = ex ,
y200 (x) − (m + 1)y20 (x) + my2 (x) = −x − 1.
Commençons par le cas m 6= 1. On cherche d’abord y1 . Il semble clair qu’il faille la chercher sous
la forme P (x)ex , avec P un polynôme. On aura alors
P 00 + 2P 0 + P − (m + 1)P 0 − (m + 1)P + mP = 1
et on peut donc choisir par exemple P (x) =
x
m−1
2
⇔
P 00 − (m − 1)P 0 = 1,
Pour y2 , il suffit de choisir un polynôme approprié. On voit rapidement qu’il suffit de le prendre
de degré 1, i.e. y2 (x) = ax + b, avec
−a(m + 1) + m(ax + b) = −x − 1
⇔
a=−
2m + 1
1
.
,b = −
m
m2
On conclut que dans le cas m 6= 1, une solution de l’équation différentielle
y 00 (x) − (m + 1)y 0 (x) + my(x) = ex − x − 1 s’écrit
y(x) = c1 exp(x) + c2 exp(mx) +
x
x
2m + 1
.
exp(x) −
−
m−1
m
m2
Reste à traiter le cas m = 1. On cherche d’abord y1 à nouveau sous la forme P (x)ex . On obtient
comme précedemment P 00 − (m − 1)P 0 = 1, ce qui se traduit ici par P 00 = 1, on prend par
2
exemple P (x) = x2 . Pour y2 , le raisonnement ci-dessus reste valable et on trouve à nouveau
x
y2 (x) = − m
− 2m+1
m2 = −x − 3.
On conclut que dans le cas m = 1, une solution de l’équation différentielle
y 00 (x) − 2y 0 (x) + y(x) = ex − x − 1 s’écrit
y(x) = c1 exp(x) + c2 x exp(x) +
x2
exp(x) − x − 3.
2
Exercice 5 Une voiture de masse m roulant rectilignement à la vitesse v0 coupe son moteur et
n’est plus soumise qu’à une force de frottement proportionnelle à la vitesse : F = −αv. Ecrire la
loi de la variation de la vitesse v en fonction du temps et en déduire l’équation du mouvement.
On peut supposer que la droite sur laquelle se déplace la voiture est l’axe des abscisses. L’origine
figure le point de départ de notre véhicule, x(t) sa position au temps t.
L’accéleration est la dérivée seconde de la position x00 , la vitesse est sa dérivée première x0 .
D’après le théorème de Newton, et nos choix de conditions initiales on obtient donc
mx00 (t) = −αx0 (t), x(0) = 0, x0 (0) = v0 .
La résolution est facile, on obtient tout d’abord
α x0 (t) = v0 exp − t ,
m
puis
α v0 m 1 − exp − t .
α
m
Notons en particulier que la distance totale parcourue par le véhicule est ` =
x(t) =
3
v0 m
α .
Exercice 6 On suppose qu’à sa mort, un organisme contient une quantité q0 d’atomes de
carbone 14.
Les atomes de carbone 14 vont subir des désintégrations radioactives. Le nombre de
désintégrations N par unité de temps est proportionnel à la quantité q d’atomes de carbone 14
présents : N = αq.
1. Déterminer une équation régissant lévolution de q, et la résoudre.
2. Déterminer α, sachant que la période de demi-vie (temps pendant lequel la moitié du
carbone 14 présent se désintègre) est de 5730 ans.
3. On trouve un bois fossile qui subit 610 désintégrations par jour. Le même type de bois
subit un taux initial de 19520 désintégrations par jour. Déterminer l’âge du fossile.
4. Sachant que le carbone 14 est absorbé par les organismes vivants par la respiration du
CO2 présent dans l’atmosphère, et que le taux de CO2 actuel est le plus élevé depuis
800000 ans, pouvez-vous expliquer l’erreur commise dans le calcul de la question 3 ?
1. Le taux de désinteǵrations au temps t est αq(t). Si on suppose que t → q(t) est continue,
le nombre de désintégrations entre les temps t et t + est donc
N (t, t + ) = αq(t) + o()
Ainsi
q(t + ) = q(t) − αq(t) + o(),
ce qui se traduit par
q 0 (t) =
lim
→0,>0
q(t + ) − q(t)
= −αq(t).
Finalement, on trouve que
q(t) = q(0) exp(−αt).
2. D’après l’énoncé, au temps t1 ≈ 5730 × 86400 × 365.242 secondes, on a q(t1 ) = q(0)/2, de
sorte que
exp(−αt1 ) =
1
2
⇔
t1 =
ln(2)
α
⇔α=
ln(2)
≈ 3.8333 · 10−12 .
t1
3. On cherche simplement t1 tel que
N (t1 )
610 · 86400
610
q(t1 )
αN (t1 )
=
=
=
=
.
q0
αN (0)
N (0)
19520 · 86400
19520
Or q(t1 )/q(0) = exp(−αt1 ) et donc on cherche
t1 = −
ou encore
1
610
1
ln(
) = (ln(19520) − ln(610)) ≈ 9.0411 · 1011 secondes ,
α
19520
α
ln(19520) − ln(610)
ln(2)
5730
= 28650 ans .
4. Le problème est que le carbone 14 absorbé par un organisme au cours d’une existence
typique est environ proportionnel à la quantité de CO2 présent dans l’atmosphère. Ainsi,
deux arbres similaires, ayant vécu 30 ans jusqu’à respectivement l’an −26600 et l’an 2012
n’auront en fait pas absorbé la même quantité de carbone 14. Leur taux de désintégration
initial est donc différent, et on ne peux a priori pas se servir directement du taux mesuré
sur l’arbre le plus récent pour étalonner le taux initial de l’arbre plus ancien. En létat ce
taux a été surestimé, ainsi donc que l’âge du fossile.
Pour obtenir une meilleure estimation, il faudrait inclure une correction en multipliant par
le rapport estimé entre le taux de CO2 dans l’atmosphère de l’époque du fossile et le taux
actuel, et le problème devient plus compliqué (mais pas du tout impossible à traiter !)
4
Exercice 7 Le but de l’exercice est de résoudre l’équation différentielle
(1 + x)y 00 (x) − 2y 0 (x) + (1 − x)y(x) = xe−x .
(E)
1. Vérifier que x → C exp(x) est solution de l’équation homogène associée.
2. Par la méthode de la variation de la constante, en déduire qu’une solution de l’équation
homogène s’écrit
C1 (2x2 + 6x + 5) exp(−x) + C2 exp(x),
où C1 , C2 sont des constantes réelles.
3. En déduire les solutions de (E).
1. C’est évident.
2. Notons yh (x) = C(x) exp(x), de sorte que
(1 + x)yh00 (x) − 2yh0 (x) + (1 − x)yh (x) = exp(x) ((1 + x)C 00 (x) + 2xC 0 (x)) = 0.
On obtient alors
C 0 (x) = C1 (1 + x)2 exp(−2x),
et on trouve bien que
C(x) = C1 (2x2 + 6x + 5) exp(−2x) + C2 ,
yh (x) = C1 (2x2 + 6x + 5) exp(−x) + C2 exp(x).
3. Sans surprise, on cherche une solution particulière de la forme P (x) exp(−x), et donc
(1 + x)P 00 (x) + 2xP 0 (x) = x,
de sorte qu’on doit choisir P 0 (x) = 1/2, P (x) = x+1
2 . Finalement, une solution de (E)
s’écrit
x+1
C1 (2x2 + 6x + 5) exp(−x) + C2 exp(x) +
exp(−x).
2
Exercice 8 Résoudre, sur R∗+ , l’équation différentielle
x2 f 00 (x) + 4xf 0 (x) + (2 − x2 )f (x) = 1,
en posant g(x) = x2 f (x).
Notons que
g 0 (x) = 2xf (x) + x2 f 0 (x),
g 00 (x) = 2f (x) + 4xf 0 (x) + x2 f 00 (x).
L’équation de l’énoncé se ré’écrit donc
g 00 (x) − g(x) = 1,
dont la solution générale s’écrit
g(x) = C1 exp(x) + C2 exp(−x) − 1.
Finalement on conclut que pour x > 0,
f (x) =
g(x)
C1 exp(x) C2 exp(−x)
1
=
+
− 2.
x2
x2
x2
x
5
Exercice 9 Résoudre, sur R∗+ , l’équation différentielle
x2 f 00 (x) + f (x) = 0,
en posant t = ln(x).
En déduire l’ensemble des fonctions g de classe C 1 telles que
∀x > 0 , g 0 (x) = g(1/x).
Si pour x > 0, on pose t = ln(x), on a x = exp(t). Posons alors f (x) = f (exp(t)) = h(t). On
trouve
h0 (t) = exp(t)f 0 (exp(t)) = xf 0 (x),
h00 (t) = exp(t)f 0 (exp(t))+exp(2t)f 00 (exp(t)) = x2 f 00 (x)+xf 0 (x),
de sorte que l’équation de l’énoncé se traduit par
h00 (t) − h0 (t) + h(t) = 0,
dont la solution générale s’exprime :
√ !
3
t + c2 cos
2
h(t) = exp(t/2) c1 sin
√ !!
3
t
.
2
On trouve donc finalement que
h(t) = f (x) =
√
√
x c1 sin
!
3
ln(x) + c2 cos
2
√
!!
3
ln(x)
.
2
D’autre part, si g 0 (x) = g(1/x) pour x > 0, en dérivant, puis en réutilisant l’équation, on trouve
que
1
1
g 00 (x) = − 2 g 0 (1/x) = − 2 g(x) ⇔ x2 g 00 (x) + g(x) = 0,
x
x
dont on vient d’exprimer toutes les solutions.
Exercice 10
Soit λ ∈ R. Trouver toutes les fonctions de classe C 1 qui vérifient
f 0 (x) + f (λ − x) = exp(x).
On commencera par trouver une équation du second ordre satisfaite par f .
Dérivons notre équation, pour obtenir
f 00 (x) − f 0 (λ − x) = exp(x).
Si on réécrit notre équation en λ − x on trouve que
f 0 (λ − x) + f (x) = exp(λ − x).
En combinant ces deux équations on trouve finalement que
f 00 (x) + f (x) = exp(x) + exp(λ − x).
Le reste de la résolution est standard, on trouve que la solution générale de cette équation s’écrit
f (x) = c1 sin(x) + c2 cos(x) +
6
exp(x) exp(λ − x)
+
.
2
2