2 Partie Cinématique: Déplacement, vitesse, accélération

2ème Partie
Cinématique:
Déplacement, vitesse, accélération
Notes de cours de
Licence de A. Colin
de Verdière
Introduction
Un objet est en mouvement si sa position mesurée par rapport à un autre objet change. Si cette
position relative ne change pas, le premier objet est au repos par rapport au second.
Mouvement et repos sont des concepts relatifs : on a besoin d’une référence. Vous êtes au
repos sur votre chaise prise comme référence, elle-même au repos sur le sol de la pièce, mais
il ne faudrait pas oublier que vous faites un tour en 24 heure sur la terre et cette rotation dans
l’espace est votre mouvement vu du soleil pris comme corps de référence.
Pour décrire le mouvement, il faut un repère c'est-à-dire un système d’axes fixes par rapport à
un objet pris comme référence. Pour repérer un objet on s’aperçoit que la géométrie
euclidienne est appropriée et qu’étant donnée une règle (une unité de longueur), on peut déjà
situer un objet sur une droite. D’autre part avec une montre, on peut le situer dans le temps.
Supposons que l’on observe que la position x de l’objet (fonction du temps t) obéisse à :
x=vt
(1)
xx
∆x
∆t
t
Quel est le changement de position entre deux instants t et t + Δt ? (Δt est un petit
accroissement que l’on fera tendre vers 0 ultérieurement). La distance parcourue Δx :
Δx = v(t + Δt) - vt = v Δt
En divisant par Δt on voit que Δx/Δt = v. La vitesse est donc v le taux de changement de x
divisé par l’intervalle de temps. Ici c’est une constante indépendante du temps t et de
l’intervalle ∆t comme quand vous êtes sur régulateur et que l’indication du compteur de votre
voiture ne bouge pas.
Mécanique Physique (S2) 2ème partie – page 1
Lorsque Galilée a fait ses premières expériences de Mécanique en laissant rouler des boules
sur des plans inclinés, il a obtenu que la position x de la boule sur le plan incliné obéissait à
une loi de la forme :
x = ½ A t²
(2)
L’accroissement de x entre t et t + Δt est cette fois :
Δx = ½ A(t + Δt)2 – ½ At2
Soit en développant le carré :
Δx = At Δt + ½ A (Δt)2
!x
= At + ½ A Δt
!t
et en divisant par Δt :
Il y a deux différences par rapport au cas précédent car le résultat dépend de t et d’un 2ème
terme proportionnel à Δt. Pour se libérer de l’arbitraire du Δt, pourquoi ne pas le faire tendre
vers zéro ? Cette idée géniale de Newton et Leibniz définit alors la vitesse instantanée,
comme la dérivée de x par rapport à t. Leibniz la note dx/dt et Newton l’appelle « fluxion » et
la note x& . L’appellation de Newton n’a pas été conservée (mais sa notation x& est encore en
usage de par sa simplicité). L’avantage de la notation de Leibniz est de coller à la définition
de la dérivée. On écrit :
v= x& =
dx
!x
=lim
lorsque Δt  0, soit v= At
dt
!t
Cette quantité définit ce que l’on appelle la vitesse instantanée. Instantanée car elle dépend de
l’instant t : ici elle est nulle à t = 0 puis augmente proportionnellement au temps (mais dans
l’exemple précédent elle était constante).
On peut recommencer l’opération et chercher l’accroissement de vitesse pour un petit
intervalle de temps rendu aussi petit que l’on veut. Cette opération, la dérivée seconde de x(t),
définit ce que l’on appelle l’accélération ; c'est aussi la variation de la variation de position
par rapport au temps.
Pour l’exemple (1) on voit que l’accélération est nulle. Pour l’exemple (2) on voit que :
&x& =
d2x
=A
dt 2
(Note : Enregistrer la notation de Leibniz pour la dérivée seconde). Ainsi les boules qui
roulent sur les plans inclinés de Galilée ont une accélération constante. La grande difficulté
des lois de la Mécanique, (qui fait qu’il a fallu attendre 1686, date de la parution des
« Principia » de Newton,) vient de ce que les lois du mouvement relient les forces et la dérivée
seconde de la position. Absolument rien d’intuitif à cela et le calcul dit « infinitésimal » (le
passage a la limite avec le Δt qui tend vers zéro) a été inventé pour relier les observations de
position du mouvement des corps et les lois de la Mécanique qui font intervenir les dérivées
secondes de la position. Si les lois relient accélération et force, vous voyez tout de suite que
Mécanique Physique (S2) 2ème partie – page 2
pour remonter à la position if faudra « intégrer » (2 fois) les équations du mouvement,
opération dont vous savez qu’elle est en général plus compliquée que de dériver.
Imaginez que vous ayez enregistré le mouvement d’une voiture qui démarre, roule puis
s’arrête sur une route rectiligne, quelque chose comme :
x
x&
&x&
Alors voilà comment évolue respectivement la vitesse (au
milieu) et l’accélération (en bas) en fonction du temps. Notez
qu’il n’y a pas de raison pour que vitesse et accélération aient
le même signe.
t
Finalement le dernier dessin vous donne les forces
(horizontales si la route l’est) que subit la voiture au cours de
son déplacement. La force est d’abord positive pour accélérer
puis négative pour décélérer. La seule origine possible pour ces
forces vient des forces de contact (frottement) mécanique entre
route et les pneus. Bon il y a aussi la résistance de l’air mais
c’est très compliqué et on en parlera plus tard.
t
t
Déplacement, vitesse et accélération vus comme vecteurs
Pour l’instant on a analysé déplacement, vitesse et accélération sur une droite et ces quantités
sont des scalaires avec respectivement des unités SI, m, m s-1, m s-2. Si on s’intéresse au
mouvement dans l’espace (2D ou 3D), on va voir que leur vraie nature est de fait vectorielle.
Même en 1D on peut transformer un scalaire en vecteur de la façon suivante. On choisit un
axe orienté dans la direction x et un vecteur unitaire e selon l’axe x :
O
e
M
x
Le vecteur OM va caractériser la position du point M par :
OM = x e
où x est l’abscisse du point M et peut donc être > 0 ou < 0 selon que x est à droite ou à gauche
de O. Comme e est un vecteur indépendant du temps et donc constant, la vitesse et
l’accélération s’écrivent vectoriellement comme :
v=
et
dx
e
dt
d2x
a= 2 e
dt
On dira que x, dx/dt et d2x/dt2 sont les composantes respectivement du vecteur position OM,
du vecteur vitesse v et du vecteur accélération a.
Généralisons au cas 2D.
Mécanique Physique (S2) 2ème partie – page 3
P
r2
r1
O
Un objet se déplace dans le plan sur la trajectoire bleue. Sa position est repérée par le vecteur
position r1 à t (le point P sur la trajectoire) et par r2 à t+∆t dans un repère d’origine O. Entre
ces deux instants son déplacement est le vecteur différence en rouge ∆r= r2-r1. On peut alors
définir le vecteur vitesse moyenne vmoy=∆r/∆t entre ces deux instants. Si maintenant on fait
tendre ∆t vers zéro, r2 tend vers r1 et la vitesse instantanée va s’aligner sur la tangente à la
trajectoire au point P, en vert sur la figure. La vitesse moyenne tend vers la vitesse instantanée
dont les composantes sont :
v=
dr dx dy
= i+ j
dt dt
dt
!
y
Δs
Δy
1
2
Δx
s(t) : position de la particule
sur la trajectoire
x
On a dessiné à nouveau deux positions successives de l’objet séparées par un petit intervalle
de temps Δt. Alors le changement de position sur chacun des axes est :
Δx ∼ vx Δt
et
Δy ∼ vy Δt
où ∼ signifie approximativement égal et vx = dx/dt et vy=dy/dt. La distance parcourue par
l’objet de la position 1 à 2 est approximativement:
Δs ∼ (Δx2 + Δy2)1/2
Mécanique Physique (S2) 2ème partie – page 4
où « s » est la distance mesurée sur la trajectoire. Si on définit une orientation sur la
trajectoire, « s » s’appelle l’abscisse curviligne. Si on divise par Δt et que l’on fait tendre Δt
vers 0, on obtient:
"s
soit encore :
v = lim
"t #0 "t
!
&, dx ) 2 , dy ) 2 #
v = $* ' + * ' !
%$+ dt ( + dt ( "!
1/ 2
(
= v 2x + v 2y
1/ 2
)
Et alors on voit que v est le module du vecteur v de composantes vx et vy . On peut ainsi écrire
ce module v comme :
v=
ds
dt
En anglais on appelle speed ce module pour le différencier de velocity le vecteur vitesse.
Maintenant le vecteur vitesse v est bien entendu tangent à la trajectoire et si on introduit un
vecteur unitaire tangent à la trajectoire et en un point donné, on peut écrire le vecteur vitesse
v comme :
v=
ds
et
dt
(3)
Note :
1) Attention dans cette dernière expression, et est lié à la trajectoire et varie sur la
trajectoire.
2) On a ainsi deux moyens d’exprimer le vecteur vitesse, soit par ses composantes dxi/dt
dans un système d’axes fixes choisis, soit par sa représentation (dite intrinsèque) liée à
la trajectoire (3).
La représentation de l’accélération par ses composantes selon 3 axes Ox, Oy,Oz est similaire
à celle de la vitesse. L’accélération moyenne entre deux instants est amoy=∆v/∆t et
l’accélération instantanée est définie par ses composantes :
a=
dv y
dv dv x
=
i+
j
dt
dt
dt
a=
d2x d2y
i+ 2 j
dt 2
dt
On verra plus loin la représentation intrinsèque de l’accélération (c’est plus difficile car et
dans (3) ne garde pas la même direction lorsque la particule se déplace sur sa trajectoire).
!
Notez que tout ceci se généralise directement au cas 3D.
Application : Mouvement d’un projectile
C’est le moment d’appliquer ces notions au cas historiquement fondamental de la chute des
pommes et couramment utilisée sur les stades de foot du mouvement du ballon dans le champ
Mécanique Physique (S2) 2ème partie – page 5
de gravité. On est dans la situation où le corps, le ballon, a une masse faible par rapport à un
autre (ici la terre) et où le déplacement est petit devant la rayon de la terre. Tout se passe alors
comme si le petit objet avait une accélération essentiellement constante (égale à g) fournie par
le gros objet1.
On a donc :
a=g
et g est un vecteur de module et de direction (supposés) constants. On va integrer cette
relation en restant dans le domaine vectoriel. Le vecteur vitesse v obéit à :
dv
=g
dt
(4)
Sachant que dv et dt représentent des variations infinitésimales de v et de t, cette expression
peut se réécrire :
dv = g dt
et en intégrant des deux côtés :
!
v
v0
t
t
0
0
dv = ! g dt = g !
dt
où v = v0 à t = 0.
On obtient :
v – v0 = gt
(5)
Note :
1) On voit tout de suite que la vitesse et l’accélération n’auront les mêmes directions que
si v0 // g ou si v0 = 0 (le cas de la pomme à l’automne).
2) Le vecteur v est dans le plan formé par les deux vecteurs v0 et g et comme v est
tangent à la trajectoire, celle-ci sera donc plane et contenue dans ce plan (v0, g)
Pour avoir la position du ballon on écrit :
dl
=v
dt
et on intègre :
(6)
dl = v dt
!" l dl = " t v dt + g " t t dt
l0
0 o
0
l = l0 + v0t + 1/2g t2
soit :
(7)
!
1
Le cas général sera traité dans la 7ème partie consacrée à la gravitation universelle où vous serez content d’
apprendre que la trajectoire du ballon est la même que celle des planètes autour du soleil !
Mécanique Physique (S2) 2ème partie – page 6
Cette intégration vectorielle est très directe et on l’a fait pour vous montrer la puissance de
l’approche vectorielle mais on ne voit pas bien la trajectoire. Pour cela il faut réintroduire un
système d’axes xy dans le plan (v0, g).
y
Les composantes de v0 sont :
& v cos ' #
!!
v0 = $$ 0
v
sin
'
0
%
"
v0
g
α
avec v0 module de la vitesse.
x
O
" x%
& 0 #
!! et le déplacement l = $ ' dans ce système d’axes. On peut choisir la
De même g = $$
# y&
%' g "
position initiale à l’origine et (7) s’écrit en termes des composantes :
& x # & 0 # & v 0 cos ( #
& 0 #
!! + 1 / 2t 2 $$
$$ !! = $$ !!! + t $$
!!
% y " % 0 " % v 0 sin ( "
%' g "
(8)
# x = +v 0 cos % t
"
2
! y = +v 0 sin % t $ 1 / 2 g t
(9)
La trajectoire est dite alors sous forme paramétrique x(t), y(t) où t est le paramètre. On voit
que le mouvement selon x conserve sa vitesse initiale (il n’y a pas d’accélération selon x). Si
on élimine t dans (9) on obtient l’équation d’une parabole utilisable pour jouer au foot ou se
taper dessus (boulet) :
y="
1
g
x 2 + x tan !
2
2 v 0 cos 2 !
Le repère lié à la trajectoire, le mouvement circulaire
Composantes de l’accélération
On va s’intéresser à l’accélération d’une particule qui se déplace sur une trajectoire courbe.
Si la trajectoire est rectiligne, l’accélération est nécessairement le long de la trajectoire mais si
elle présente des virages, on voit tout de suite que la vitesse change de direction et donc qu’il
existe nécessairement une composante de l’accélération dans la direction normale à la
trajectoire. C’est elle que nous voulons calculer.
Mécanique Physique (S2) 2ème partie – page 7
C
e’t
dφ
det
A’
r
e’t
et
φ
en
et
dφ
A
On introduit et le vecteur unitaire tangent en A à la trajectoire et en le vecteur normal unitaire
dirigé vers C, le centre de courbure de la trajectoire. Celle ci est toujours assimilable
localement à un cercle de centre C et de rayon r (si la trajectoire n’est pas un cercle, C et r
changent tout le temps). Si v est le module de la vitesse, le vecteur v s’écrit :
v = v et
et donc pour avoir le vecteur accélération, on dérive par rapport au temps :
a=
dv
d
et + v
et
dt
dt
Le premier terme représente la variation du module de la vitesse et est une accélération
tangentielle. Le deuxième est plus délicat et correspond à un changement de direction de la
trajectoire. On voit qu’à chaque position s sur la trajectoire (occupée à différents t) correspond
l’angle φ entre et et une direction x choisie et fixe. Voir sur la figure les directions de et et e’t
à 2 instants successifs t et t’. Si t’ → t, on peut se rendre compte que e’t – et est dans la
direction de en (vers l’intérieur de la trajectoire) et sa longueur est celle de l’arc d’angle dφ
(voir figure) et donc :
det = dφ en
soit encore :
d
d!
et =
⋅ en
dt
dt
L’angle est fonction de s (l’abscisse curviligne) φ(s) et s(t) de sorte que la dérivation d’une
fonction composée donne :
d! d! ds
d!
=
=v
dt ds dt
ds
Mais ds est l’arc AA’ (lorsque t’ → t) et donc ds =r dφ :
d
v
et = en
dt
r
Les composantes tangentielle et normale (on dit aussi centripète c'est-à-dire vers le centre de
courbure C) de a s’en déduisent :
dv
at =
,
dt
v2
an =
r
Mécanique Physique (S2) 2ème partie – page 8
La démonstration de la composante normale de l’accélération an est peut être plus facile à
suivre en coordonnées cartésiennes. Imaginons une particule se déplaçant sur un cercle de
rayon r à vitesse v constante.
y
θ
θθ
x
La vitesse en rouge est indiquée sur la figure au point M de coordonnées x= r cosθ et y=r sinθ
$ "vsin#'
(avec θ l’angle entre OM et Ox). Elle a pour composantes v = &
) et on peut écrire :
% vcos# (
y
x
v = "v i + v j
r
r
v
v !
a = " vyi + vx j
r
r
v2
a = " (cos#i + sin#j)
r
On retrouve que l’accélération v2/r est centripète, dirigée vers le centre du cercle O. Voici
démontrée la formule importante donnant l’accélération normale/centripète mais dont la
! correspond bien au temps écoulé pour en attendre l’écriture par
difficulté de démonstration
Newton.
Finalement, reste à introduire la vitesse et l’accélération angulaire. La vitesse angulaire est :
ω=
d!
dt
avec des unités de radians/sec. L’accélération angulaire α n’est pas autre chose que :
#=
dv
et alors aT =
=rα
dt
et
d" d 2 !
=
dt dt 2
v2
an =
= ω2r
r
Dans un mouvement circulaire dit uniforme aT = 0 (puisque ω est constant).
Mécanique Physique (S2) 2ème partie – page 9
Notes :
1) Si r → ∞, an → 0 et la trajectoire est effectivement rectiligne.
2) Vérifiez que an a bien les dimensions d’une accélération.
3) La formule est générale et le cas du mouvement circulaire n’en est qu’un cas
particulier r =cste (que nous allons examiner).
Mouvement circulaire
Ce cas particulier est important pour bien
applications depuis la découverte de la roue,
l’observation des orbites des étoiles vues par
observateur terrestre et plus récemment de
multiplication des rond-points dans les villes.
des
de
un
la
A
R
φ
C
s
O
x
CA = R est une constante. On repère la position d’une
particule A sur le cercle soit par l’angle φ entre Ox, une
direction arbitraire et le rayon vecteur CA, soit par
l’abscisse curviligne s le long de la trajectoire. Par
définition :
s=Rφ
où
et donc
v=R
d!
dt
d!
est la vitesse angulaire ω (unité rad s-1) :
dt
v = Rω.
On parlera de mouvement circulaire uniforme si ω = cste. Le temps mis pour faire une
révolution (2π) est alors la période T dite de révolution et donc :
ω = 2π/T
La fréquence ν est le nombre de tours effectué par unité de temps et donc ν = 1/T. L’unité
consacrée pour s-1 est le Hertz (Hz) mais dans l’industrie on parle souvent en rpm le nombre
de rotations par minute (exemple du compte-tour de voiture).
Notes : On peut rendre vectorielle la définition de ω. La direction de ω est ⊥ au plan de la
trajectoire avec le sens donné par le pouce lorsque les doigts de la main droite sont courbés
dans le sens de rotation de la trajectoire. Pour les mouvements plans que l’on considère dans
cette introduction, une seule composante est donc non nulle.
Mécanique Physique (S2) 2ème partie – page 10
Application : la rotation de la terre
A la latitude θ = 48° 19’, 9 N, se trouve la bouée des
Fillettes à l’entrée du goulet de Brest, cette bouée décrit
dans l’espace un cercle de rayon R = r cos θ où r est le
rayon de la terre approximativement 6370 km. (Un
point sur ce cercle Γ est repéré sur la terre par l’angle
longitude φ). Comme la terre tourne d’Ouest en Est, le
vecteur ω est dirigé comme sur la figure. Maintenant la
vitesse de cette bouée est v = ωR. Pour l’estimer il faut
connaître ω ou la période T. Vous diriez 24 heures soit
86 400 s. Vous auriez tort mais un petit peu seulement.
En effet la terre tourne aussi en même temps (et dans le
même sens) autour du soleil de sorte que sa période
propre de rotation est un peu plus faible d’environ 240
s.
ω
R
v
⊗
Γ
r
Brest
θ
Faites le calcul et vous trouverez que comme la bouée vous effectuez tous les jours dans
l’espace un cercle de 4 235 km à la vitesse de 308 m s-1 ou 1 108 km hr-1 !
Notez que finalement ce v peut s’écrire :
v = ω r sin α
où α = π/2 - θ est l’angle entre ω et r (le vecteur entre le centre de la terre et le point de la
surface) et vous voyez sur le dessin que le vecteur v est ⊥ au plan de la feuille repéré par ω et
r (je l’ai indiqué par ⊗, une flèche qui rentre dans la feuille). Tout cela finit par ressembler
furieusement à un produit vectoriel et effectivement on peut écrire :
v=ω xr
Expression que vous voudrez bien vérifier en fonction des propriétés du produit vectoriel vues
au chapitre Statique.
Mécanique Physique (S2) 2ème partie – page 11
x
Mouvement relatif – Transformation galiléenne
La notion de position absolue n’a pas de sens en physique mais on a mis pas mal de temps à
s’en rendre compte. Philosophie et religion ont obscurci les débats et avaient tendance au fil
des époques à identifier des points de signification particulière, le centre de la terre
(anthropocentrisme - terre au centre du monde), le centre du Soleil (héliocentrisme – soleil au
centre du monde). Mais il n’y a jamais eu d’évidence expérimentale qu’un point soit à
privilégier par rapport à un autre de sorte que les lois physiques ne font intervenir que les
positions relatives des corps en interactions.
La notion de mouvement est elle aussi relative car elle dépend du corps choisi comme
référence par l’observateur comme l’exemple ci dessous le montre :
A au repos
B en mouvement
B au repos
A en mouvement
A
B
Pour l’observateur immobile dans la rue, B est une voiture bleue garée dans la rue et A se
déplace vers la droite. Pour l’observateur au repos dans la voiture rouge A, B se déplace vers
la gauche.
A
B
P
La question posée sur la figure ci dessus vise à observer le mouvement de la voiture P selon
que l’observateur est immobile sur le trottoir en A ou dans la voiture B qui se déplace à
vitesse constante par rapport à A. On écrit :
AP = AB + BP
Mécanique Physique (S2) 2ème partie – page 12
Maintenant si la mesure du temps est la même en A, B et P (le temps est absolu), on dérive la
relation ci dessus pour obtenir :
V(P/A) = V(B/A) + V(P/B)
Cette formule de composition des vitesses indique que la vitesse de P par rapport à A est égale
à la vitesse de B par rapport à A plus la vitesse de P par rapport à B. Si V(B/A) est constant,
alors en dérivant une nouvelle fois :
a(P/A) = a(P/B)
Les observateurs en A et B à vitesse relative constante entre eux observent la même
accélération de P. Ce qui est introduit en une dimension se généralise directement en 2 ou 3
dimensions ci dessous :
Considérons deux objets A et B en mouvement et un observateur situé sur un référentiel avec
un repère Oxyz :
z
VA
A
VA
rBA
rA
rB
O
B
VB
y
VBA
VB
x
Etant donné une règle et une horloge, l’observateur O peut définir la position ra de l’objet A
en fonction du temps et donc calculer sa vitesse :
VA =
d
rA
dt
et idem pour B : vB =
d
rB
dt
La position de B par rapport à A est le vecteur AB que l’on va écrire rBA (pour faire penser à
la position de B par rapport à A). D’après la soustraction des vecteurs :
rBA = rB – rA
Mais si on dérive cela par rapport à t, on obtient la vitesse de B par rapport à A, c'est-à-dire la
vitesse de B mesurée par un observateur en A :
VBA = VB – VA
ou
VB = VA + VBA
Le plus simple est de se rappeller la construction du diagramme des vitesses à droite dans la
figure ci dessus.
Si on dérive encore encore une fois par rapport à t, l’accélération relative de B par rapport à
A, soit aBA :
aBA = aB – aA
Mécanique Physique (S2) 2ème partie – page 13
Comment transformer les composantes de la
position, vitesse et accélération d’un objet A
pour deux observateurs en translation
uniforme (c'est-à-dire à vitesse constante) l’un
par rapport à l’autre ? On a un repère xyz et un
autre x’y’z’ qui se déplace à la vitesse u par
rapport au premier dans la direction x (par
exemple).
A
y
r’
r
O
x
y’
O’
x’
z’
z
Les axes // entre eux vont rester parallèle puisque le mouvement est une translation OO’.
Supposons que O’ soit en O à t = 0 et donc que :
OO’ = u t
Comme précédemment on voit que dans le triangle formé par les points O, O’ et A :
OA = OO’ + O’A
soit :
où
r’ = r – u t
(10)
&u#
$ !
u = $ 0 ! . Les composantes de O’A sont alors reliées à celle de OA par :
$0!
% "
x’ = x – u t
y’ = y
z’ = z
et
t’ = t
La transformation ci-dessus est appelée transformation galiléenne du nom du précurseur de
Newton, Galilée (1564-1642). La dernière ligne t’ = t vient du fait que l’on a utilisé
implicitement le même temps pour mesurer les variations de position de A dans les deux
repères xyz et x’y’z’. Ceci n’est pas correct comme Einstein l’a montré en 1905 et n’est
qu’une approximation : la remise en cause d’un temps absolu valable dans tout les
réferentiels par Einstein a conduit à abandonner cette transformation qui reste valable lorsque
la vitesse relative u est petite par rapport à la vitesse de la lumière c = 3 108 m s-1 et elle reste
donc une très bonne approximation dans la plupart des applications pratiques terrestres.
Maintenant si on dérive (10) par rapport au temps (les observateurs O et O’ utilisent encore
les mêmes Δt pour calculer les variations de position Δr et Δr’) alors :
v’ = v – u
(11)
Mécanique Physique (S2) 2ème partie – page 14
soit :
v’x = vx – u
v’y = vy
v’z = vz
et si on re-dérive (11) encore une fois :
a’ = a
Deux observateurs en translation rectiligne uniforme l’un par rapport à l’autre mesurent la
même accélération de l’objet A. On dira que l’accélération est un invariant lorsque l’on passe
d’un référentiel à un autre par une transformation Galiléenne.
Note : Lorsque l’on observe le mouvement des corps à partir de la terre qui tourne, on voit
tout de suite que l’accélération d’un objet mesurée par un observateur terrestre va être
différente de celle vue par un observateur extérieur (lié à une étoile fixe par ex.). On se
penchera sur ce problème difficile dans la dernière partie de ce cours et on se borne à ne
considérer pour l’instant que des cas où les effets de la rotation de la terre sont négligeables
sans trop savoir comment en juger pour l’instant…
Applications:
1/ Ces changements de référentiels se posent couramment en navigation aérienne ou maritime
des lors que les milieux air ou mer ont un mouvement propre par rapport à la terre et les
considérations ci dessus fournissent directement la solution de ces problèmes de navigation.
B
θ
Vent
y
A
x
Comment aller de l’aéroport A à l’aéroport B avec un vent traversier de vitesse V=50 km/h ⊥
à AB ? L’avion P a une vitesse propre u=200km/h par rapport à l’air environnant et le pilote
doit trouver la direction à prendre. S’il se dirige directement sur B, le vent (en bleu) va le
balayer à droite et il doit donc corriger cette dérive. On regarde la construction sur la figure et
on écrit :
V (P/sol) = V(air/sol) + V(P/air)
ce qui donne la vitesse V(P/air) en noir :
V(P/air) = V (P/sol) - V(air/sol)
Maintenant la vitesse par rapport au sol (en rouge) doit être selon AB. En projetant selon les
axes x et y, on a: -u sinθ + V = 0, u cosθ = VPS et donc u2 = V2+VPS2, ce qui n’est autre que le
Mécanique Physique (S2) 2ème partie – page 15
théorème de Pythagore dans le triangle à droite ci dessus… On obtient VPS=193 km/h et
θ=14o,5. De là on obtient le temps de vol un peu rallongé par rapport au cas sans vent.
2/ Une vache regarde passer un train. Imaginons un train qui se déplace horizontalement à une
vitesse constante u = 150 km/h. Un voyageur au repos dans le train laisse tomber une
bouteille en chute libre. Que voit la vache ?
Elle voit la trajectoire de la bouteille par le prisme d’une transformation galiléenne. Dans le
référentiel prime du train (O’x’ horizontal dans le sens du mouvement du train, O’y’ orienté
verticalement vers le haut), on a une simple chute libre et donc la trajectoire est : x’= 0, y’ = 1/2g t2, z’=0. La transformation galiléenne précédente (10) donne les coordonnées de la
bouteille pour la vache dans son champ : x=ut, y=-1/2gt2, z=0 La forme de la trajectoire
apparaît en éliminant t :
y="
g 2
x
2 u2
Supposons que la bouteille soit lâchée par la fenêtre à l’origine et tombe d’une hauteur h=4m.
La distance où elle touche le sol est x=u (2h/g)1/2, soit 37.5 m. La parabole est donc très étirée
!
horizontalement car sur la distance
verticale h, le temps de chute n’est que de 0.9 sec et le
gain de vitesse verticale (8.8 m/s) reste petit devant la vitesse du train (41.6 m/s).
La trajectoire de la bouteille est en rouge pour un observateur du train, en bleu pour la vache.
Mécanique Physique (S2) 2ème partie – page 16