Théorème de Pythagore et trigonométrie

Cours
1b-1
Théorème de
Pythagore et
trigonométrie
Sommaire
1 Théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Réciproque du théorème de Pythagore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3 Trigonométrie dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Pour les mathématiciens de la Grèce antique, la géométrie est
au cœur des sciences. La géométrie grecque est marquée par
deux écoles : celle de Pythagore à l’école de Crotone, et celle
d’Euclide à l’école d’Alexandrie.
Pythagore de Samos était un astronome, philosophe, musicologue,
disciple de Thalès. Aucun écrit ne nous est parvenu, et on doit
se fier aux historiens de l’Antiquité quant à sa biographie et ses
œuvres.
Il crée son école à Crotone, laquelle devient rapidement une secte
aux règles de vie très sévères. Devenant dérangeant, il meurt assassiné.
On attribue à Pythagore l’origine du terme mathématiques au
sens grec de mathematikos : celui qui veut apprendre (scientifiquement). Pythagore est surtout connu par le « grand publique » par
le célèbre théorème qui porte son nom.
Son nom veut dire « annoncé par le dieu pythien », en relation
avec la Pythie de Delphes, vers qui son père, Mnésarque, appris
ceci : « ta femme est enceinte et mettra au monde un enfant qui
l’emportera en beauté et en sagesse. »
Pythagore (environ -560 à -480)
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Théorème de Pythagore et trigonométrie
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1 Théorème de Pythagore
Propriété 1.
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des
carrés des longueurs des deux côtés de l’angle
droit : a2 = b2 + c2 .
a
c
b
Point méthode : calculer le côté d’un triangle rectangle connaissant les deux autres.
On utilise la propriété de Pythagore en respectant la rédaction :
• citer le triangle rectangle dans lequel on se trouve ainsi que l’angle droit ;
pour une valeur
approchée, utiliser la
√
touche
• citer la propriété utilisée (« d’après la propriété de Pythagore ») ;
• écrire l’égalité ;
• calculer la longueur du côté.
Exemple 2
Longueur de l’hypoténuse.
Longueur d’un côté adjacent.
A
C
A
3 cm
3
B
C
4 cm
On applique le théorème de Pythagore
dans le triangle ABC rectangle en B :
AC 2 = AB 2 + BC 2
AC 2 = 32 + 42
AC 2 =√25
AC = 25
AC = 5.
Donc la longueur du côté [AC] est de 5 cm.
6
B
On applique le théorème de Pythagore dans le
triangle ABC rectangle en A :
BC 2 = AB 2 + AC 2
AC 2 = 62 − 32
AC 2 =√27
AC = 27
AC ≃ 5, 2.
La longueur du côté [AC] est d’environ 5, 2.
Il existe plus de 300 démonstration du théorème de Pythagore. En voici une utilisant
des propriétés géométriques des aires. Il s’agit de la démonstration d’Euclide (vers
−300). On désigne par A(P ) l’aire du polygone P .
\ = CBF
\
• BD = BC ; BA = BF et DBA
=⇒ les triangles DBA et CBF sont isométriques,
=⇒ A(DBA) = A(F BC).
• A(DBA) = A(DBI) = 12 A(DBIL)
A(F BC) = A(F BA) = 12 A(F BAG)
=⇒ A(DBIL) = A(F BAG).
• De même, on peut démontrer que A(ECIL) = A(KCAH)
• A(BCED) = A(DBIL) + A(ECIL)
=⇒ A(BCED) = A(F BAG) + A(KCAH)
=⇒ BC 2 = AB 2 + AC 2
N@thalie DAVAL
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Théorème de Pythagore et trigonométrie
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2 Réciproque du théorème de Pythagore
Propriété 3.
Si les côtés d’un triangle ABC vérifient la relation : BC 2 = AB 2 + AC 2 ,
alors le triangle ABC est rectangle en A.
Point méthode : savoir si un triangle est rectangle ou non, connaissant la longueur
de ses côtés.
• repérer le côté qui pourrait être l’hypoténuse (le plus grand côté) ;
• calculer séparément :
— le carré du plus grand côté ;
— la somme des carrés des deux autres côtés.
Deux cas peuvent se présenter :
il n’y a pas égalité
il y a égalité
• écrire l’égalité ;
• écrire l’inégalité ;
• conclure
« le triangle est rectangle en. . . »
• conclure
« le triangle n’est pas rectangle. »
• citer la propriété utilisée
« d’après la réciproque du théorème de Pythagore » ;
• citer la propriété utilisée
« d’après le théorème de Pythagore » ;
Remarque 4
Lorsqu’il n’y a pas égalité, on utilise un raisonnement par contraposition, c’est à dire
un raisonnement qui consiste à passer d’un énonce direct de type [A =⇒ B] à sa
formule contraposée de type [non B =⇒ non A].
Exemple 5
Soit ABC un triangle tel que AC = 10,
AB = 6 et BC = 8.
Le triangle ABC est-il rectangle ?
Soit ABC un triangle tel que AC = 9,
AB = 16 et BC = 12.
Le triangle ABC est-il rectangle ?
Le côté le plus long étant [AC], si le triangle
est rectangle, il l’est en B.
Le côté le plus long étant [AB], si le triangle
est rectangle, il l’est en C.
• AC 2 = 102 = 100 ;
• AB 2 + BC 2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100.
On a l’égalité : AC 2 = AB 2 + BC 2 .
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
• AB 2 = 162 = 256 ;
• AC 2 +CB 2 = 92 +122 = 81+144 = 225
On a : AB 2 6= AC 2 + CB 2 .
D’après le théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rectangle.
Les géomètres égyptiens de l’époque pharaonique (donc bien avant la
naissance de Pythagore) disposaient d’une corde sur laquelle ils avaient
effectué 13 nœuds consécutifs situés à des intervalles réguliers. Celle-ci
permettait de former des angles droits.
N@thalie DAVAL
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3 Trigonométrie dans le triangle rectangle
Définition 6.
moyen
mnémotechnique :
SOCATO
H H A
Soit ABC un triangle rectangle en A ; on note α la mesure l’angle aigu
\ on a :
ACB,
AC
côté opposé
AB
côté adjacent
=
;
sin α =
=
cos α =
hypoténuse
BC
hypoténuse
BC
AB
côté opposé
=
tan α =
côté adjacent
AC
osé
hyp
oté
nu
se
α
gle
l’an
tà
cen
d ja
éa
côt
pp
éo
t
ô
c
B
α
gle
n
’a A
àl
α
C
Les formules de trigonométrie permettent également de calculer la mesure des angles
dans un triangle rectangle.
Exemple 7
Soit le triangle ABC rectangle en A, avec AB = 12 cm et AC = 16 cm.
la touche
\ en utilisant la formule de la tangente :
On peut calculer la mesure de l’angle ACB
permet de
AB
12
cm
3
3
−1
\
\
≃ 36, 9˚.
=
= d’où ACB = tan
déterminer l’angle tan ACB =
AC
16
cm
4
4
correspondant à une
tangente
Inversement, les formules de trigonométrie permettent de calculer la longueur d’un
côté dans un triangle rectangle.
Exemple 8
\ = 30˚.
Soit le triangle ABC rectangle en A tel que AB = 12 cm et α = ACB
On peut calculer la longueur du côté [BC] en utilisant la formule du sinus :
AB
12 cm
AB
d’où BC =
=
= 24 cm.
sin α = sin \
ACB =
BC
sin α
sin 30˚
Propriété 9.
Si α est la mesure (en degrés) d’un angle aigu dans un triangle.
On a : 0 < α < 90˚ et les propriétés suivantes :
• 0 < cos α < 1
et
• cos2 α + sin2 α = 1
N@thalie DAVAL
0 < sin α < 1.
et
tan α =
4/4
sin α
.
cos α
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