Triangle rectangle. Trouver x pour que le triangle soit rectangle en B
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Triangle rectangle. Trouver x pour que le triangle soit rectangle en B
Classe de 1èreSTI2D DEVOIR MAISON N°1 Exercice n°1 : Triangle rectangle. Correction A C Trouver x pour que le triangle soit rectangle en B. B Si le triangle ABC est rectangle en B, il vérifie la propriété de Pythagore : AC2 = AB2 + BC2 (3x – 2)2 = (2x + 2)2 + x2 9x2 – 12x + 4 = 4x2 + 8x + 4 + x2 9x2 – 4x2 – x2 – 12x – 8x + 4 – 4 = 0 4x2 – 20x = 0 4x (x – 5) = 0 Un produit de facteurs est nul si l’un au moins des facteurs est nul : 4x = 0 ou x – 5 = 0 x=0 ou x = 5. x = 0 n’est pas une solution possible car dans ce cas, [BC] n’a pas de mesure. La seule mesure de x qui convient est donc x = 5. Le triangle a pour côtés : AB = 12 ; BC = 5 et AC = 13. On a bien 132 = 169 et 122 + 52 = 144 + 25 = 169. Exercice n°2 : Nombre d’or x y 1°) = : on factorise les quantités du membre de droite de l’égalité par y. On a : y x–y x y×1 1 = = (car le numérateur et le dénominateur sont multiplier par le même nombre y). y x x – 1 y × y y – 1 x 1 On remplace alors par φ et on obtient l’égalité : φ = y φ–1 ⇔ φ × (φ – 1) = 1 ⇔ φ2 – φ = 1 ⇔ φ2 – φ – 1 = 0 2°) Déterminer φ, racine positive de l’équation φ2 – φ – 1 = 0. ∆ = b2 – 4ac = (–1)2 – 4 × 1 × (–1) = 5 > 0. Il y a donc deux racines : –b + ∆ –(–1) + 5 1 + 5 x1 = = = 2a 2×1 2 –b – ∆ –(–1) – 5 1 – 5 x2 = = = 2a 2×1 2 1+ 5 La seule racine positive est x1 donc φ = ≈ 1,618 à 10–3 près par défaut. 2 3°) (1) On a : φ2 – φ – 1 = 0 ⇔ φ2 = φ + 1 Classe de 1èreSTI2D DEVOIR MAISON N°1 Correction (2) On a : φ2 – φ – 1 = 0 ⇔ et φ2 – φ = 1 : on divise chaque membre de l’égalité par φ ≠ 0 ⇔ φ – 1 = 1 φ 4°) a) Figure complète : b) EF = EC (rayon du cercle) Calcul de EC : dans le triangle EBC rectangle en B, d’après La propriété de Pythagore, on : EC2 = EB2 + BC2 EC2 = a2 + (2a)2 = 5a2 donc EC = EF = 5a. AF = AE + EF = a + 5a = (1 + 5)a. AF (1 + 5)a 1 + 5 = = =φ 2a 2 AD Le rectangle AFGD est bien un rectangle d’or. c) Calcul de BF : BF = EF – EB = 5a – a = ( 5 – 1)a 2a 2 2 × ( 5 + 1) BC = = = BF ( 5 – 1)a 5 – 1 ( 5 – 1) × ( 5 + 1) 2 × ( 5 + 1) 2 × ( 5 + 1) 2 × ( 5 + 1) 5+1 = = = = =φ 2 2 5–1 4 2 (5) – 1 Le rectangle BFGC est bien un rectangle d’or. A E D Exercice n°3 : Problème. 1 1°) x = × 9,81 × t12 = 4,905t12 2 2°) v = d/t. donc d = v × t Soit x = 340t2. 3°) Comme t = t1 + t2 = 6, on a : t2 = 6 – t1. 4°) Dans les deux cas, la distance pour descendre ou remonter est la même 4,905t12 = 340t2 = 340 × (6 – t1) ⇔ 4,905t12 = 340 × 6 – 340 × t1 ⇔ 4,905t12 + 340t1 – 2040 = 0 5°) ∆ = b2 – 4ac = 3402 – 4 × 4,9 × (– 2040) = 115 600 + 39 984 = 155 584 > 0 Il y a deux racines : –b + ∆ –340 + 155 584 t1 ’ = = ≈ 5,56 secondes. 2a 2 × 4,9 –b – ∆ –340 – 155 584 t1’’ = = ≈ – 75 (impossible, on cherche un nombre positif) 2a 2 × 4,9 6°) x = 4,905t12 = 4,905 × 5,562 ≈ 152 m. B F C G